3.1 ପରିଚୟ

ଗତ ଅଧ୍ୟାୟରେ ଆମେ ସ୍ଥାନ, ସ୍ଥାନାନ୍ତର, ବେଗ ଏବଂ ତ୍ୱରଣର ଧାରଣାଗୁଡ଼ିକୁ ବିକଶିତ କରିଥିଲୁ ଯାହା ଏକ ସରଳରେଖାରେ ଗତି କରୁଥିବା ବସ୍ତୁର ବର୍ଣ୍ଣନା ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକ | ଆମେ ଦେଖିଲୁ ଯେ ଏହି ରାଶିଗୁଡ଼ିକର ଦିଗାତ୍ମକ ଦିଗକୁ + ଏବଂ - ଚିହ୍ନ ଦ୍ୱାରା ନିର୍ଦ୍ଦେଶିତ କରାଯାଇପାରେ, କାରଣ ଏକ ମାତ୍ରାରେ କେବଳ ଦୁଇଟି ଦିଗ ସମ୍ଭବ | କିନ୍ତୁ ଦ୍ୱିମାତ୍ରିକ (ଏକ ସମତଳ) କିମ୍ବା ତ୍ରିମାତ୍ରିକ (ଅବକାଶ) ରେ ବସ୍ତୁର ଗତି ବର୍ଣ୍ଣନା କରିବା ପାଇଁ, ଉପରୋକ୍ତ ଭୌତିକ ରାଶିଗୁଡ଼ିକୁ ବର୍ଣ୍ଣନା କରିବା ପାଇଁ ଆମକୁ ସଦିଶ ବ୍ୟବହାର କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ | ତେଣୁ, ପ୍ରଥମେ ସଦିଶର ଭାଷା ଶିଖିବା ଆବଶ୍ୟକ | ସଦିଶ କ’ଣ? ସଦିଶକୁ କିପରି ଯୋଗ, ବିୟୋଗ ଏବଂ ଗୁଣନ କରାଯାଏ? ଏକ ସଦିଶକୁ ଏକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଗୁଣିଲେ ଫଳାଫଳ କ’ଣ? ଏକ ସମତଳରେ ବେଗ ଏବଂ ତ୍ୱରଣକୁ ସଂଜ୍ଞାୟିତ କରିବା ପାଇଁ ସଦିଶ ବ୍ୟବହାର କରିବା ସକ୍ଷମ ହେବା ପାଇଁ ଆମେ ଏହା ଶିଖିବୁ | ତା’ପରେ ଆମେ ଏକ ସମତଳରେ ବସ୍ତୁର ଗତି ଆଲୋଚନା କରିବୁ | ସମତଳରେ ଗତିର ଏକ ସରଳ ଉଦାହରଣ ଭାବରେ, ଆମେ ସ୍ଥିର ତ୍ୱରଣ ସହିତ ଗତି ଆଲୋଚନା କରିବୁ ଏବଂ ପ୍ରକ୍ଷିପ୍ତ ଗତିର ବିସ୍ତୃତ ବିବରଣୀ ଦେବୁ | ବୃତ୍ତାକାର ଗତି ହେଉଛି ଏକ ପରିଚିତ ଶ୍ରେଣୀର ଗତି ଯାହାର ଦୈନନ୍ଦିନ ଜୀବନରେ ବିଶେଷ ମହତ୍ତ୍ୱ ରହିଛି | ଆମେ ସମବୃତ୍ତାକାର ଗତି କିଛି ବିସ୍ତୃତ ଭାବରେ ଆଲୋଚନା କରିବୁ | ସମତଳରେ ଗତି ପାଇଁ ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ବିକଶିତ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ସହଜରେ ତ୍ରିମାତ୍ରିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ବିସ୍ତାରିତ କରାଯାଇପାରିବ |

3.2 ଅଦିଶ ଏବଂ ସଦିଶ

ଭୌତିକବିଜ୍ଞାନରେ, ଆମେ ରାଶିଗୁଡ଼ିକୁ ଅଦିଶ କିମ୍ବା ସଦିଶ ଭାବରେ ଶ୍ରେଣୀଭୁକ୍ତ କରିପାରିବା | ମୌଳିକ ଭାବରେ, ପାର୍ଥକ୍ୟ ହେଉଛି ଯେ ଏକ ସଦିଶ ସହିତ ଏକ ଦିଗ ସଂଯୁକ୍ତ, କିନ୍ତୁ ଏକ ଅଦିଶ ସହିତ ନୁହେଁ | ଏକ ଅଦିଶ ରାଶି ହେଉଛି କେବଳ ପରିମାଣ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ରାଶି | ଏହା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଭାବରେ ଗୋଟିଏ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଉପଯୁକ୍ତ ଏକକ ଦ୍ୱାରା ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ହୋଇଥାଏ | ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା, ଏକ ବସ୍ତୁର ବସ୍ତୁତ୍ଵ, ଏକ ବସ୍ତୁର ତାପମାତ୍ରା ଏବଂ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଘଟଣା ଘଟିଥିବା ସମୟ | ଅଦିଶଗୁଡ଼ିକୁ ସଂଯୋଗ କରିବାର ନିୟମଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ସାଧାରଣ ବୀଜଗଣିତର ନିୟମ | ଅଦିଶଗୁଡ଼ିକୁ ସାଧାରଣ ସଂଖ୍ୟା* ପରି ଯୋଗ, ବିୟୋଗ, ଗୁଣନ ଏବଂ ଭାଗ କରାଯାଇପାରିବ | ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଯଦି ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ ଯଥାକ୍ରମେ 1.0 m ଏବଂ 0.5 m ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର ପରିସୀମା ହେଉଛି ଚାରି ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟର ସମଷ୍ଟି, 1.0 m + 0.5 m +1.0 m + 0.5 m = 3.0 m | ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାହୁର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଏକ ଅଦିଶ ଏବଂ ପରିସୀମା ମଧ୍ୟ ଏକ ଅଦିଶ | ଆଉ ଏକ ଉଦାହରଣ ନିଅନ୍ତୁ: ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଦିନର ସର୍ବାଧିକ ଏବଂ ସର୍ବନିମ୍ନ ତାପମାତ୍ରା ଯଥାକ୍ରମେ 35.6 °C ଏବଂ 24.2 °C | ତେବେ, ଦୁଇଟି ତାପମାତ୍ରାର ପାର୍ଥକ୍ୟ ହେଉଛି 11.4 °C | ସେହିପରି, ଯଦି 10 cm ବାହୁ ବିଶିଷ୍ଟ ଆଲୁମିନିୟମର ଏକ ସମଘନ ବସ୍ତୁର ବସ୍ତୁତ୍ଵ 2.7 kg ହୁଏ, ତେବେ ଏହାର ଆୟତନ ହେଉଛି 10–3 m3 (ଏକ ଅଦିଶ) ଏବଂ ଏହାର ଘନତା ହେଉଛି 2.7×103 kg m–3 (ଏକ ଅଦିଶ) | ଏକ ସଦିଶ ରାଶି ହେଉଛି ଏକ ରାଶି ଯାହାର ଏକ ପରିମାଣ ଏବଂ ଏକ ଦିଗ ଉଭୟ ରହିଛି ଏବଂ ଯୋଗର ତ୍ରିଭୁଜ ନିୟମ କିମ୍ବା ସମାନ ଭାବରେ ସମାନ୍ତର ଚିତ୍ର ନିୟମ ପାଳନ କରେ | ତେଣୁ, ଏକ ସଦିଶକୁ ଏହାର ପରିମାଣ (ଏକ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା) ଏବଂ ଏହାର ଦିଗ ଦେଇ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କରାଯାଏ | କେତେକ ଭୌତିକ ରାଶି ଯାହାକି ସଦିଶ ଦ୍ୱାରା ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରାଯାଏ ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଲା: ସ୍ଥାନାନ୍ତର, ବେଗ, ତ୍ୱରଣ ଏବଂ ବଳ |

ଏକ ସଦିଶକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିବା ପାଇଁ, ଆମେ ଏହି ପୁସ୍ତକରେ ଏକ ଗାଢ଼ ଅକ୍ଷର ପ୍ରକାର ବ୍ୟବହାର କରୁ | ତେଣୁ, ଏକ ବେଗ ସଦିଶକୁ ଏକ ପ୍ରତୀକ v ଦ୍ୱାରା ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରାଯାଇପାରିବ | କାରଣ ଗାଢ଼ ଅକ୍ଷର ପ୍ରସ୍ତୁତ କରିବା କଷ୍ଟକର, ହସ୍ତଲିପିରେ ଲେଖାଯାଉଥିବା ସମୟରେ, ଏକ ସଦିଶକୁ ପ୍ରାୟତଃ ଏକ ଅକ୍ଷର ଉପରେ ଏକ ତୀର ରଖି ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରାଯାଏ, ଯେପରିକି rv | ତେଣୁ, v ଏବଂ rv ଉଭୟ ବେଗ ସଦିଶକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ | ଏକ ସଦିଶର ପରିମାଣକୁ ପ୍ରାୟତଃ ଏହାର ପରମ ମୂଲ୍ୟ କୁହାଯାଏ, ଯାହାକି |v| = v ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ ହୋଇଥାଏ | ତେଣୁ, ଏକ ସଦିଶକୁ ଏକ ଗାଢ଼ ଅକ୍ଷର ଦ୍ୱାରା ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରାଯାଏ, ଯଥା A, a, p, q, r, … x, y, ଯାହାର ସମ୍ବନ୍ଧିତ ପରିମାଣଗୁଡ଼ିକ ସାଧାରଣ ଅକ୍ଷର A, a, p, q, r, … x, y ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ ହୋଇଥାଏ |

3.2.1 ସ୍ଥାନ ଏବଂ ସ୍ଥାନାନ୍ତର ସଦିଶ

ଏକ ସମତଳରେ ଗତି କରୁଥିବା ବସ୍ତୁର ସ୍ଥାନ ବର୍ଣ୍ଣନା କରିବା ପାଇଁ, ଆମକୁ ଏକ ସୁବିଧାଜନକ ବିନ୍ଦୁ ବାଛିବାକୁ ପଡ଼ିବ, ଯେପରିକି O କୁ ମୂଳବିନ୍ଦୁ ଭାବରେ | ଧରାଯାଉ P ଏବଂ P′ ଯଥାକ୍ରମେ t ଏବଂ t′ ସମୟରେ ବସ୍ତୁର ସ୍ଥାନ [ଚିତ୍ର 3.1(a)] | ଆମେ O ଏବଂ P କୁ ଏକ ସରଳରେଖା ଦ୍ୱାରା ଯୋଗ କରୁ | ତେବେ, OP ହେଉଛି t ସମୟରେ ବସ୍ତୁର ସ୍ଥାନ ସଦିଶ | ଏହି ରେଖାର ଶୀର୍ଷରେ ଏକ ତୀର ଚିହ୍ନିତ କରାଯାଇଛି | ଏହାକୁ ଏକ ପ୍ରତୀକ r ଦ୍ୱାରା ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରାଯାଏ, ଅର୍ଥାତ୍ OP = r | P′ ବିନ୍ଦୁକୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ସ୍ଥାନ ସଦିଶ OP′ ଦ୍ୱାରା ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରାଯାଏ, ଯାହାକୁ r′ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ | ସଦିଶ r ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସଦିଶର ପରିମାଣକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ ଏବଂ ଏହାର ଦିଗ ହେଉଛି ସେହି ଦିଗ ଯେଉଁଥିରେ O ଠାରୁ ଦେଖିଲେ P ଅବସ୍ଥିତ | ଯଦି ବସ୍ତୁଟି P ରୁ P′ କୁ ଗତି କରେ, ସଦିଶ PP′ (ଯାହାର ପୁଛ P ରେ ଏବଂ ଅଗ୍ରଭାଗ P′ ରେ) କୁ P ବିନ୍ଦୁ (t ସମୟରେ) ରୁ P′ ବିନ୍ଦୁ (t′ ସମୟରେ) କୁ ଗତି ପାଇଁ ସମ୍ବନ୍ଧିତ ସ୍ଥାନାନ୍ତର ସଦିଶ କୁହାଯାଏ |

ଚିତ୍ର 3.1 (a) ସ୍ଥାନ ଏବଂ ସ୍ଥାନାନ୍ତର ସଦିଶ | (b) ସ୍ଥାନାନ୍ତର ସଦିଶ PQ ଏବଂ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଗତି ପଥ |

ଏହା ମନେ ରଖିବା ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଯେ ସ୍ଥାନାନ୍ତର ସଦିଶ ହେଉଛି ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ଏବଂ ଅନ୍ତିମ ସ୍ଥାନକୁ ଯୋଗ କରୁଥିବା ସରଳରେଖା ଏବଂ ଏହା ଦୁଇଟି ସ୍ଥାନ ମଧ୍ୟରେ ବସ୍ତୁ ଦ୍ୱାରା ଅନୁସୃତ ପ୍ରକୃତ ପଥ ଉପରେ ନିର୍ଭର କରେ ନାହିଁ | ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଚିତ୍ର 4.1(b) ରେ, ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ଏବଂ ଅନ୍ତିମ ସ୍ଥାନକୁ P ଏବଂ Q ଭାବରେ ଦିଆଯାଇଥିଲେ, ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଗତି ପଥ ପାଇଁ, ଯେପରିକି PABCQ, PDQ, ଏବଂ PBEFQ, ସ୍ଥାନାନ୍ତର ସଦିଶ ସମାନ PQ ହୋଇଥାଏ | ତେଣୁ, ସ୍ଥାନାନ୍ତରର ପରିମାଣ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟରେ ବସ୍ତୁର ପଥ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ଠାରୁ କମ୍ କିମ୍ବା ସମାନ ହୋଇଥାଏ | ଏହି ତଥ୍ୟକୁ ଗତ ଅଧ୍ୟାୟରେ ସୁଦ୍ଧା ସରଳରେଖାରେ ଗତି ଆଲୋଚନା କରିବା ସମୟରେ ଗୁରୁତ୍ୱ ଦିଆଯାଇଥିଲା |

3.2.2 ସଦିଶମାନଙ୍କର ସମାନତା

ଦୁଇଟି ସଦିଶ A ଏବଂ B ସମାନ ବୋଲି କୁହାଯାଏ ଯଦି, ଏବଂ କେବଳ ଯଦି, ସେମାନଙ୍କର ସମାନ ପରିମାଣ ଏବଂ ସମାନ ଦିଗ ରହିଛି |**

ଚିତ୍ର 3.2 (a) ଦୁଇଟି ସମାନ ସଦିଶ A ଏବଂ B | (b) ଦୁଇଟି ସଦିଶ A′ ଏବଂ B′ ଅସମାନ ଯଦିଓ ସେମାନଙ୍କର ସମାନ ଦୈର୍ଘ୍ୟ ରହିଛି |

ଚିତ୍ର 3.2(a) ଦୁଇଟି ସମାନ ସଦିଶ A ଏବଂ B କୁ ଦର୍ଶାଉଛି | ଆମେ ସହଜରେ ସେମାନଙ୍କର ସମାନତା ଯାଞ୍ଚ କରିପାରିବା | B କୁ ନିଜ ସହିତ ସମାନ୍ତରାଳ ଭାବରେ ସ୍ଥାନାନ୍ତରିତ କର ଯେପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏହାର ପୁଛ Q, A ର ପୁଛ ସହିତ ମିଳିତ ହୁଏ, ଅର୍ଥାତ୍ Q, O ସହିତ ମିଳିତ ହୁଏ | ତା’ପରେ, ଯେହେତୁ ସେମାନଙ୍କର ଅଗ୍ରଭାଗ S ଏବଂ P ମଧ୍ୟ ମିଳିତ ହୁଏ, ଦୁଇଟି ସଦିଶ ସମାନ ବୋଲି କୁହାଯାଏ | ସାଧାରଣତଃ, ସମାନତା A = B ଭାବରେ ସୂଚିତ ହୋଇଥାଏ | ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ ଯେ ଚିତ୍ର 3.2(b) ରେ, ସଦିଶ A′ ଏବଂ B′ ର ସମାନ ପରିମାଣ ରହିଛି କିନ୍ତୁ ସେମାନେ ସମାନ ନୁହଁନ୍ତି କାରଣ ସେମାନଙ୍କର ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଦିଗ ରହିଛି | ଯଦି ଆମେ B′ କୁ ନିଜ ସହିତ ସମାନ୍ତରାଳ ଭାବରେ ସ୍ଥାନାନ୍ତରିତ କରି ଏହାର ପୁଛ Q′ କୁ A′ ର ପୁଛ O′ ସହିତ ମିଳିତ କରିବା, B′ ର ଅଗ୍ରଭାଗ S′, A′ ର ଅଗ୍ରଭାଗ P′ ସହିତ ମିଳିତ ହୁଏ ନାହିଁ |

3.3 ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ସଦିଶର ଗୁଣନ

ଏକ ସଦିଶ A କୁ ଏକ ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା λ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ଫଳରେ ଏକ ସଦିଶ ମିଳେ ଯାହାର ପରିମାଣ λ ଗୁଣନୀୟକ ଦ୍ୱାରା ପରିବର୍ତ୍ତିତ ହୋଇଥାଏ କିନ୍ତୁ ଦିଗ A ସହିତ ସମାନ ରହେ :

$$ |\lambda \mathbf{A}|=\lambda|\mathbf{A}| \text { if } \lambda=0 $$

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଯଦି A କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରାଯାଏ, ଫଳାଫଳ ସଦିଶ 2A ର ଦିଗ A ସହିତ ସମାନ ରହେ ଏବଂ ଏହାର ପରିମାଣ |A| ର ଦୁଇଗୁଣ ହୋଇଥାଏ ଯେପରି ଚିତ୍ର 3.3(a) ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି | ଏକ ସଦିଶ A କୁ ଏକ ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା −λ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ଫଳରେ ଅନ୍ୟ ଏକ ସଦିଶ ମିଳେ ଯାହାର ଦିଗ A ର ଦିଗର ବିପରୀତ ଏବଂ ଯାହାର ପରିମାଣ |A| ର λ ଗୁଣ ହୋଇଥାଏ |

ଏକ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଦିଶ A କୁ ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା, ଯେପରିକି –1 ଏବଂ –1.5, ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ଫଳରେ ସଦିଶଗୁଡ଼ିକ ମିଳେ ଯେପରି ଚିତ୍ର 3.3(b) ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି | ଯେଉଁ ଗୁଣନୀୟକ λ ଦ୍ୱାରା ଏକ ସଦିଶ A କୁ ଗୁଣନ କରାଯାଏ ସେହି λ ର ନିଜସ୍ୱ ଭୌତିକ ମାତ୍ରା ରହିପାରେ | ତେବେ, λ A ର ମାତ୍ରା ହେଉଛି λ ଏବଂ A ର ମାତ୍ରାର ଗୁଣଫଳ | ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଯଦି ଆମେ ଏକ ସ୍ଥିର ବେଗ ସଦିଶକୁ ସମୟ ଅବଧି (ସମୟ) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରୁ, ଆମେ ଏକ ସ୍ଥାନାନ୍ତର ସଦିଶ ପାଇବୁ |

ଚିତ୍ର 3.3 (a) ସଦିଶ A ଏବଂ ଏକ ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା 2 ଦ୍ୱାରା A କୁ ଗୁଣନ କରିବା ପରେ ଫଳାଫଳ ସଦିଶ | (b) ସଦିଶ A ଏବଂ ଏକ ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା –1 ଏବଂ –1.5 ଦ୍ୱାରା ଏହାକୁ ଗୁଣନ କରିବା ପରେ ଫଳାଫଳ ସଦିଶ |

3.4 ସଦିଶର ଯୋଗ ଏବଂ ବିୟୋଗ — ଚିତ୍ରାତ୍ମକ ପଦ୍ଧତି

ଯେପରି ଅନୁଚ୍ଛେଦ 3.2 ରେ ଉଲ୍ଲେଖ କରାଯାଇଛି, ସଦିଶଗୁଡ଼ିକ, ସଂଜ୍ଞା ଅନୁଯାୟୀ, ତ୍ରିଭୁଜ ନିୟମ କିମ୍ବା ସମାନ ଭାବରେ, ସମାନ୍ତର ଚିତ୍ର ଯୋଗ ନିୟମ ପାଳନ କରନ୍ତି | ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ ଚିତ୍ରାତ୍ମକ ପଦ୍ଧତି ବ୍ୟବହାର କରି ଯୋଗର ଏହି ନିୟମ ବର୍ଣ୍ଣନା କରିବୁ | ଆସନ୍ତୁ ଆମେ ଦୁଇଟି ସଦିଶ A ଏବଂ B ବିଚାର କରିବା ଯାହାକି ଚିତ୍ର 3.4(a) ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଥିବା ପରି ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ | ଏହି ସଦିଶଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରୁଥିବା ରେଖା ଖଣ୍ଡଗୁଡ଼ିକର ଦୈର୍ଘ୍ୟ ସଦିଶଗୁଡ଼ିକର ପରିମାଣ ସହିତ ସମାନୁପାତୀ | ସମଷ୍ଟି A + B କୁ ଖୋଜିବା ପାଇଁ, ଆମେ ସଦିଶ B କୁ ଏପରି ଭାବରେ ସ୍ଥାପନ କରୁ ଯେପରିକି ଏହାର ପୁଛ ସଦିଶ A ର ଶୀର୍ଷରେ ରହିବ, ଯେପରି ଚିତ୍ର 3.4(b) ରେ | ତା’ପରେ, ଆମେ A ର ପୁଛକୁ B ର ଶୀର୍ଷ ସହିତ ଯୋଗ କରୁ | ଏହି ରେଖା OQ ଏକ ସଦିଶ R କୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ, ଅର୍ଥାତ୍ ସଦିଶ A ଏବଂ B ର ସମଷ୍ଟି | କାରଣ, ସଦିଶ ଯୋଗର ଏହି ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ, ସଦିଶଗୁଡ଼ିକ ଶୀର୍ଷରୁ ପୁଛକୁ ସଜ୍ଜିତ ହୋଇଥାନ୍ତି, ଏହି ଚିତ୍ରାତ୍ମକ ପଦ୍ଧତିକୁ ଶୀର୍ଷ-ରୁ-ପୁଛ ପଦ୍ଧତି କୁହାଯାଏ | ଦୁଇଟି ସଦିଶ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ଫଳାଫଳ ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର ତିନୋଟି ବାହୁ ଗଠନ କରେ, ତେଣୁ ଏହି ପଦ୍ଧତିକୁ ସଦିଶ ଯୋଗର ତ୍ରିଭୁଜ ପଦ୍ଧତି ଭାବରେ ମଧ୍ୟ ଜଣାଶୁଣା | ଯଦି ଆମେ ଚିତ୍ର 3.4(c) ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଥିବା ପରି B + A ର ଫଳାଫଳ ଖୋଜୁ, ସମାନ ସଦିଶ R ମିଳିଥାଏ | ତେଣୁ, ସଦିଶ ଯୋଗ ବିନିମୟଶୀଳ:

A + B = B + A $\quad \quad \quad$ (3.1)

ଚିତ୍ର 3.4 (a) ସଦିଶ A ଏବଂ B | (b) ସଦିଶ A ଏବଂ B ଚିତ୍ରାତ୍ମକ ଭାବରେ ଯୋଗ କରାଯାଇଛି | (c) ସଦିଶ B ଏବଂ A ଚିତ୍ରାତ୍ମକ ଭାବରେ ଯ