5.1 ପରିଚୟ

‘କାର୍ଯ୍ୟ’, ‘ଶକ୍ତି’ ଏବଂ ‘ଶକ୍ତି’ ଶବ୍ଦଗୁଡ଼ିକ ଦୈନନ୍ଦିନ ଭାଷାରେ ବାରମ୍ବାର ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ। ଜଣେ ଚାଷୀ କ୍ଷେତ ଚାଷ କରୁଥିବା, ଜଣେ ନିର୍ମାଣ ଶ୍ରମିକ ଇଟା ବୋହୁଥିବା, ଜଣେ ଛାତ୍ର ଏକ ପ୍ରତିଯୋଗିତାମୂଳକ ପରୀକ୍ଷା ପାଇଁ ଅଧ୍ୟୟନ କରୁଥିବା, ଜଣେ ଶିଳ୍ପୀ ଏକ ସୁନ୍ଦର ପ୍ରକୃତି ଦୃଶ୍ୟ ଚିତ୍ରାଙ୍କନ କରୁଥିବା, ସମସ୍ତେ କାର୍ଯ୍ୟ କରୁଥିବା କୁହାଯାଏ। ତଥାପି, ଭୌତିକ ବିଜ୍ଞାନରେ, ‘କାର୍ଯ୍ୟ’ ଶବ୍ଦଟି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଏବଂ ସଠିକ୍ ଅର୍ଥ ଧାରଣ କରେ। ଯେଉଁମାନେ ଦିନେ ୧୪-୧୬ ଘଣ୍ଟା କାର୍ଯ୍ୟ କରିବାର କ୍ଷମତା ରଖନ୍ତି, ସେମାନଙ୍କର ବହୁତ ଶକ୍ତି ବା ଶକ୍ତି ଅଛି ବୋଲି କୁହାଯାଏ। ଆମେ ଜଣେ ଲମ୍ବା ଦୂରତା ଧାବକଙ୍କୁ ତାଙ୍କର ଶକ୍ତି ବା ଶକ୍ତି ପାଇଁ ପ୍ରଶଂସା କରୁ। ଏହିପରି ଶକ୍ତି ହେଉଛି ଆମର କାର୍ଯ୍ୟ କରିବାର କ୍ଷମତା। ଭୌତିକ ବିଜ୍ଞାନରେ ମଧ୍ୟ, ‘ଶକ୍ତି’ ଶବ୍ଦଟି ଏହି ଅର୍ଥରେ କାର୍ଯ୍ୟ ସହିତ ସମ୍ବନ୍ଧିତ, କିନ୍ତୁ ଉପରେ କଥିତ ପରି ‘କାର୍ଯ୍ୟ’ ଶବ୍ଦଟି ନିଜେ ଅଧିକ ସଠିକ୍ ଭାବରେ ପରିଭାଷିତ। ‘ଶକ୍ତି’ ଶବ୍ଦଟି ଦୈନନ୍ଦିନ ଜୀବନରେ ବିଭିନ୍ନ ଅର୍ଥର ଛାଇ ସହିତ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ। କରାଟେ କିମ୍ବା ବକ୍ସିଂରେ ଆମେ ‘ଶକ୍ତିଶାଳୀ’ ମୁଷ୍ଟିପ୍ରହାର ବିଷୟରେ କଥା ହୁଏ। ଏଗୁଡ଼ିକ ଅତ୍ୟଧିକ ଗତିରେ ପ୍ରଦାନ କରାଯାଏ। ଏହି ଅର୍ଥର ଛାଇ ଭୌତିକ ବିଜ୍ଞାନରେ ବ୍ୟବହୃତ ‘ଶକ୍ତି’ ଶବ୍ଦର ଅର୍ଥ ସହିତ ନିକଟତର। ଆମେ ଦେଖିବା ଯେ ଭୌତିକ ସଂଜ୍ଞା ଏବଂ ଏହି ପଦଗୁଡ଼ିକ ଆମ ମନରେ ସୃଷ୍ଟି କରୁଥିବା ଶାରୀରିକ ଚିତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ସର୍ବୋତ୍ତମ ଏକ ଢିଲା ସମ୍ପର୍କ ରହିଛି। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟର ଲକ୍ଷ୍ୟ ହେଉଛି ଏହି ତିନୋଟି ଭୌତିକ ପରିମାଣର ବୁଝାମଣା ବିକଶିତ କରିବା। ଆମେ ଏହି କାର୍ଯ୍ୟରେ ଅଗ୍ରସର ହେବା ପୂର୍ବରୁ, ଆମକୁ ଏକ ଗାଣିତିକ ପୂର୍ବାପେକ୍ଷା ବିକଶିତ କରିବା ଆବଶ୍ୟକ, ଯାହା ହେଉଛି ଦୁଇଟି ଭେକ୍ଟରର ସ୍କେଲାର ଗୁଣଫଳ।

5.1.1 ସ୍କେଲାର ଗୁଣଫଳ

ଆମେ ଅଧ୍ୟାୟ 3 ରେ ଭେକ୍ଟର ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ବ୍ୟବହାର ବିଷୟରେ ଶିଖିଛୁ। ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣ, ବେଗ, ତ୍ୱରଣ, ବଳ ଇତ୍ୟାଦି ଭୌତିକ ପରିମାଣଗୁଡ଼ିକ ଭେକ୍ଟର। ଆମେ ଏହା ମଧ୍ୟ ଶିଖିଛୁ କିପରି ଭେକ୍ଟରଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଡ଼ା କିମ୍ବା ବିଯୋଗ କରାଯାଏ। ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ ଜାଣିବା ଆବଶ୍ୟକ କିପରି ଭେକ୍ଟରଗୁଡ଼ିକୁ ଗୁଣନ କରାଯାଏ। ଭେକ୍ଟର ଗୁଣନ କରିବାର ଦୁଇଟି ଉପାୟ ଅଛି ଯାହା ସହିତ ଆମେ ସାମ୍ନା ହେବୁ: ଗୋଟିଏ ଉପାୟକୁ ସ୍କେଲାର ଗୁଣଫଳ ଭାବରେ ଜଣାଶୁଣା ଯାହା ଦୁଇଟି ଭେକ୍ଟରରୁ ଏକ ସ୍କେଲାର ଦେଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଭେକ୍ଟର ଗୁଣଫଳ ଭାବରେ ଜଣାଶୁଣା ଯାହା ଦୁଇଟି ଭେକ୍ଟରରୁ ଏକ ନୂତନ ଭେକ୍ଟର ସୃଷ୍ଟି କରେ। ଆମେ ଅଧ୍ୟାୟ 6 ରେ ଭେକ୍ଟର ଗୁଣଫଳ ଦେଖିବୁ। ଏଠାରେ ଆମେ ଦୁଇଟି ଭେକ୍ଟରର ସ୍କେଲାର ଗୁଣଫଳ ନେଉଛୁ। ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ଭେକ୍ଟର A ଏବଂ Bର ସ୍କେଲାର ଗୁଣଫଳ କିମ୍ବା ଡଟ୍ ଗୁଣଫଳ, A.B ଭାବରେ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ (ପଢ଼ନ୍ତୁ $\mathbf{A} \operatorname{dot} \mathbf{B}$) ଏହିପରି ପରିଭାଷିତ

$$ \begin{equation*} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=A B \cos \theta \tag{5.1a} \end{equation*} $$

ଏଠାରେ $\theta$ ହେଉଛି ଚିତ୍ର 5.1(a) ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଥିବା ପରି ଦୁଇଟି ଭେକ୍ଟର ମଧ୍ୟରେ କୋଣ। ଯେହେତୁ $A, B$ ଏବଂ $\cos \theta$ ସ୍କେଲାର, $\mathbf{A}$ ଏବଂ $\mathbf{B}$ର ଡଟ୍ ଗୁଣଫଳ ଏକ ସ୍କେଲାର ପରିମାଣ। ପ୍ରତ୍ୟେକ ଭେକ୍ଟର, $\mathbf{A}$ ଏବଂ $\mathbf{B}$, ଗୋଟିଏ ଦିଗ ଅଛି କିନ୍ତୁ ସେମାନଙ୍କର ସ୍କେଲାର ଗୁଣଫଳର କୌଣସି ଦିଗ ନାହିଁ।

ସମୀକରଣ (5.1a)ରୁ, ଆମ ପାଖରେ ଅଛି

$$ \begin{aligned} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} & =A(B \cos \theta) \\ & =B(A \cos \theta) \end{aligned} $$

ଜ୍ୟାମିତିକ ଭାବରେ, $B \cos \theta$ ହେଉଛି ଚିତ୍ର 5.1 (b) ରେ $\mathbf{B}$ର $\mathbf{A}$ ଉପରେ ପ୍ରକ୍ଷେପଣ ଏବଂ $A \cos \theta$ ହେଉଛି ଚିତ୍ର 5.1 (c) ରେ $\mathbf{A}$ର $\mathbf{B}$ ଉପରେ ପ୍ରକ୍ଷେପଣ। ତେଣୁ, A.B ହେଉଛି $\mathbf{A}$ର ପରିମାଣ ଏବଂ A ର ଦିଗରେ $\mathbf{B}$ର ଉପାଦାନର ଗୁଣଫଳ। ବିକଳ୍ପ ଭାବରେ, ଏହା $\mathbf{B}$ର ପରିମାଣ ଏବଂ $\mathbf{A}$ର $\mathbf{B}$ ଦିଗରେ ଉପାଦାନର ଗୁଣଫଳ।

ସମୀକରଣ (5.1a) ଦର୍ଶାଏ ଯେ ସ୍କେଲାର ଗୁଣଫଳ କମ୍ୟୁଟେଟିଭ ନିୟମ ପାଳନ କରେ:

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$

ସ୍କେଲାର ଗୁଣଫଳ ବିତରଣ ନିୟମ ପାଳନ କରେ:

$\mathbf{A} \cdot(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}+\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}$

ଆହୁରି, $\quad \mathbf{A} \cdot(\lambda \mathbf{B})=\lambda(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$

ଯେଉଁଠାରେ $\lambda$ ଏକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା।

ଉପରୋକ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକର ପ୍ରମାଣ ଆପଣଙ୍କ ପାଇଁ ଏକ ଅଭ୍ୟାସ ଭାବରେ ଛାଡ଼ି ଦିଆଯାଇଛି।

ଏକକ ଭେକ୍ଟର $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$ ପାଇଁ ଆମ ପାଖରେ ଅଛି

$$ \begin{aligned} & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=1 \\ & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=0 \end{aligned} $$

ଦୁଇଟି ଭେକ୍ଟର ଦିଆଯାଇଛି

$$ \begin{aligned} & \mathbf{A}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}} \\ & \mathbf{B}=B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}} \end{aligned} $$

ସେମାନଙ୍କର ସ୍କେଲାର ଗୁଣଫଳ ହେଉଛି

$$ \begin{align*} & \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\left(A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \cdot\left(B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \\ & =A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z} \tag{5.1b} \end{align*} $$

ସ୍କେଲାର ଗୁଣଫଳର ସଂଜ୍ଞା ଏବଂ (ସମୀକରଣ 5.1b) ରୁ ଆମ ପାଖରେ ଅଛି:

$$ \begin{equation*} \text{(i)} \quad \quad \quad \quad \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=A_{x} A_{x}+A_{y} A_{y}+A_{z} A_{z} \end{equation*} $$

$$\text{Or, } \quad\quad\quad\quad A^{2}=A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2} \tag{5.1c}$$

ଯେହେତୁ $\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=|\mathbf{A}||\mathbf{A}| \cos 0=A^{2}$.

(ii) $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=0$, ଯଦି $\mathbf{A}$ ଏବଂ $\mathbf{B}$ ପରସ୍ପର ଲମ୍ବ ହୁଅନ୍ତି।

ଉଦାହରଣ 5.1 ବଳ $\mathbf{F}=(3 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}-5 \hat{\mathbf{k}})$ ଏକକ ଏବଂ ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣ $\mathbf{d}=(5 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}})$ ଏକକ ମଧ୍ୟରେ କୋଣ ଖୋଜନ୍ତୁ। ଏହା ଛଡା $\mathbf{F}$ର $\mathbf{d}$ ଉପରେ ପ୍ରକ୍ଷେପଣ ଖୋଜନ୍ତୁ।

ଉତ୍ତର $\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}=F_{x} d_{x}+F_{y} d_{y}+F_{z} d_{z}$

$$ \begin{aligned} & =3(5)+4(4)+(-5)(3) \\ & =16 \text { unit } \end{aligned} $$

ତେଣୁ $\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}=F d \cos \theta=16$ ଏକକ

ବର୍ତ୍ତମାନ $\mathbf{F} \cdot \mathbf{F}$ $$ =F^{2}=F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2} $$

$$ \begin{aligned} & =9+16+25 \\ & =50 \text { unit } \end{aligned} $$

ଏବଂ $\mathbf{d} \cdot \mathbf{d} \quad=d^{2}=d_{x}^{2}+d_{y}^{2}+d_{z}^{2}$

$$ =25+16+9 $$

$$ =50 \text { unit } $$

$\therefore \cos \theta=\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{50}}=\frac{16}{50}=0.32$,

$\theta=\cos ^{-1} 0.32$

ଚିତ୍ର 5.1 (a) ଦୁଇଟି ଭେକ୍ଟର A ଏବଂ Bର ସ୍କେଲାର ଗୁଣଫଳ ଏକ ସ୍କେଲାର: A.B = A B cos θ. (b) B cos θ ହେଉଛି Bର A ଉପରେ ପ୍ରକ୍ଷେପଣ। (c) A cos θ ହେଉଛି Aର B ଉପରେ ପ୍ରକ୍ଷେପଣ।

5.2 କାର୍ଯ୍ୟ ଏବଂ ଗତିଜ ଶକ୍ତିର ଧାରଣା: କାର୍ଯ୍ୟ-ଶକ୍ତି ପ୍ରମେୟ

ନିମ୍ନଲିଖିତ ସମ୍ପର୍କ ସ୍ଥିର ତ୍ୱରଣ $a$ ଅଧୀନରେ ସରଳରେଖୀୟ ଗତି ପାଇଁ ଅଧ୍ୟାୟ 3 ରେ ସାମ୍ନା ହୋଇଛି,

$$ \begin{equation*} v^{2}-u^{2}=2 a s \tag{5.2} \end{equation*} $$

ଯେଉଁଠାରେ $u$ ଏବଂ $v$ ହେଉଛି ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ଏବଂ ଅନ୍ତିମ ଗତି ଏବଂ $s$ ଅତିକ୍ରାନ୍ତ ଦୂରତା। ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ $m / 2$ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରି, ଆମ ପାଖରେ ଅଛି

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m a s=F s \tag{5.2a} \end{equation*} $$

ଯେଉଁଠାରେ ଶେଷ ପଦଟି ନିଉଟନର ଦ୍ୱିତୀୟ ନିୟମରୁ ଅନୁସରଣ କରେ। ଆମେ ଭେକ୍ଟର ବ୍ୟବହାର କରି ସମୀକରଣ (5.2)କୁ ତିନି ମାପରେ ସାଧାରଣୀକରଣ କରିପାରିବା

$$ v^{2}-u^{2}=2 \text { a.d } $$

ଏଠାରେ $\mathbf{a}$ ଏବଂ $\mathbf{d}$ ଯଥାକ୍ରମେ ବସ୍ତୁର ତ୍ୱରଣ ଏବଂ ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣ ଭେକ୍ଟର। ପୁନର୍ବାର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ $\mathrm{m} / 2$ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରି, ଆମେ ପ୍ରାପ୍ତ କରୁ

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m \mathbf{a} \cdot \mathbf{d}=\mathbf{F} . \mathbf{d} \tag{5.2b} \end{equation*} $$

ଉପରୋକ୍ତ ସମୀକରଣଟି କାର୍ଯ୍ୟ ଏବଂ ଗତିଜ ଶକ୍ତିର ସଂଜ୍ଞା ପାଇଁ ଏକ ପ୍ରେରଣା ପ୍ରଦାନ କରେ। ସମୀକରଣର ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵ ହେଉଛି ‘ଅଧା ବସ୍ତୁତ୍ଵ ଗୁଣିତ ଗତିର ବର୍ଗ’ ରାଶିର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ମୂଲ୍ୟରୁ ଏହାର ଅନ୍ତିମ ମୂଲ୍ୟ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ପାର୍ଥକ୍ୟ। ଆମେ ଏହି ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରିମାଣକୁ ‘ଗତିଜ ଶକ୍ତି’ କୁହୁ, ଯାହାକୁ $K$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ। ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ଵ ହେଉଛି ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣ ଏବଂ ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣର ଦିଗରେ ବଳର ଉପାଦାନର ଗୁଣଫଳ। ଏହି ପରିମାଣକୁ ‘କାର୍ଯ୍ୟ’ କୁହାଯାଏ ଏବଂ ଏହାକୁ W ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ। ସମୀକରଣ (5.2b) ତା’ପରେ ହୁଏ

$$ \begin{equation*} K_{f}-K_{i}=W \tag{5.3} \end{equation*} $$

ଯେଉଁଠାରେ $K_{i}$ ଏବଂ $K_{f}$ ଯଥାକ୍ରମେ ବସ୍ତୁର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ଏବଂ ଅନ୍ତିମ ଗତିଜ ଶକ୍ତି। କାର୍ଯ୍ୟ ଏକ ବଳ ଏବଂ ଯେଉଁ ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣ ଉପରେ ଏହା କାର୍ଯ୍ୟ କରେ ସେଥି ସହିତ ସମ୍ବନ୍ଧିତ। ଏକ ବଳ ଦ୍ୱାରା ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣ ଉପରେ ଶରୀର ଉପରେ କାର୍ଯ୍ୟ ସମ୍ପାଦିତ ହୁଏ।

ସମୀକରଣ (5.2) ମଧ୍ୟ କାର୍ଯ୍ୟ-ଶକ୍ତି (WE) ପ୍ରମେୟର ଏକ ବିଶେଷ କେସ: ଏକ କଣର ଗତିଜ ଶକ୍ତିର ପରିବର୍ତ୍ତନ ନିଟ ବଳ ଦ୍ୱାରା ଏହା ଉପରେ କରାଯାଇଥିବା କାର୍ଯ୍ୟ ସହିତ ସମାନ। ଆମେ ପରବର୍ତ୍ତୀ ବିଭାଗରେ ଏକ ପରିବର୍ତ୍ତନଶୀଳ ବଳ ପାଇଁ ଉପରୋକ୍ତ ଉତ୍ପାଦନକୁ ସାଧାରଣୀକରଣ କରିବୁ।

ଉଦାହରଣ 5.2 ଏହା ସୁପରିଚିତ ଯେ ଏକ ବର୍ଷା ବିନ୍ଦୁ ତଳ ମୁହାଁ ମାଧ୍ୟାକର୍ଷଣ ବଳ ଏବଂ ବିରୋଧୀ ପ୍ରତିରୋଧକ ବଳର ପ୍ରଭାବରେ ପଡ଼େ। ପରବର୍ତ୍ତୀଟି ବିନ୍ଦୁର ଗତି ସହିତ ସମାନୁପାତୀ ବୋଲି ଜଣାଶୁଣା, କିନ୍ତୁ ଅନ୍ୟଥା ଅନିର୍ଦ୍ଧାରିତ। ଏକ ବର୍ଷା ବିନ୍ଦୁ ବିଚାର କର ଯାହାର ବସ୍ତୁତ୍ଵ $1.00 \mathrm{~g}$ ଉଚ୍ଚତା $1.00 \mathrm{~km}$ରୁ ପଡ଼ୁଛି। ଏହା ଭୂମି ସହିତ $50.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ ଗତିରେ ଆଘାତ କରେ। (a) ମାଧ୍ୟାକର୍ଷଣ ବଳ ଦ୍ୱାରା କରାଯାଇଥିବା କାର୍ଯ୍ୟ କ’ଣ? ଅଜ୍ଞାତ ପ୍ରତିରୋଧକ ବଳ ଦ୍ୱାରା କରାଯାଇଥିବା କାର୍ଯ୍ୟ କ’ଣ?

ଉତ୍ତର (a) ବର୍ଷା ବିନ୍ଦୁର ଗତିଜ ଶକ୍ତିର ପରିବର୍ତ୍ତନ ହେଉଛି

$$ \begin{aligned} & \Delta K=\frac{1}{2} m v^{2}-0 \\ & =\frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 50 \times 50 \\ & =1.25 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ଯେଉଁଠାରେ ଆମେ ଧାରଣା କରିଛୁ ଯେ ବର୍ଷା ବିନ୍ଦୁଟି ପ୍ରାରମ୍ଭରେ ବିଶ୍ରାମରେ ଅଛି। ଧାରଣା କରି ଯେ $g$ ଏକ ସ୍ଥିରାଙ୍କ ଯାହାର ମୂଲ୍ୟ $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$, ମାଧ୍ୟାକର୍ଷଣ ବଳ ଦ୍ୱାରା କରାଯାଇଥିବା କାର୍ଯ୍ୟ ହେଉଛି,

$$ \begin{aligned} W_{g} & =m g h \\ & =10^{-3} \times 10 \times 10^{3} \\ & =10.0 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

(b) କାର୍ଯ୍ୟ-ଶକ୍ତି ପ୍ରମେୟରୁ

$$ \Delta K=W_{g}+W_{r} $$

ଯେଉଁଠାରେ $W_{r}$ ହେଉଛି ବର୍ଷା ବିନ୍ଦୁ ଉପରେ ପ୍ରତିରୋଧକ ବଳ ଦ୍ୱାରା କରାଯାଇଥିବା କାର୍ଯ୍ୟ। ତେଣୁ

$$ \begin{aligned} W_{r} & =\Delta K-W_{g} \\ & =1.25-10 \\ & =-8.75 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ଋଣାତ୍ମକ।

5.3 କାର୍ଯ୍ୟ

ପୂର୍ବରୁ ଦେଖାଯାଇଥିବା ପରି, କାର୍ଯ୍ୟ ବଳ ଏବଂ ଯେଉଁ ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣ ଉପରେ ଏହା କାର୍ଯ୍ୟ କରେ ସେଥି ସହିତ ସମ୍ବନ୍ଧିତ। ଏକ ସ୍ଥିର ବଳ $\mathbf{F}$ ବିଚାର କର ଯାହା ବସ୍ତୁତ୍ଵ $m$ର ଏକ ବସ୍ତୁ ଉପରେ କାର୍ଯ୍ୟ କରୁଛି। ବସ୍ତୁଟି ଚିତ୍ର 5.2 ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଥିବା ପରି ଧନାତ୍ମକ $x$-ଦିଗରେ ଏକ ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣ $\mathbf{d}$ ଅନୁଭବ କରେ।

ଚିତ୍ର 5.2 ଏକ ବସ୍ତୁ ବଳ Fର ପ୍ରଭାବରେ ଏକ ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣ d ଅନୁଭବ କରେ।

ବଳ ଦ୍ୱାରା କରାଯାଇଥିବା କାର୍ଯ୍ୟ ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣର ଦିଗରେ ବଳର ଉପାଦାନ ଏବଂ ଏହି ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣର ପରିମାଣର ଗୁଣଫଳ ଭାବରେ ପରିଭାଷିତ। ଏହିପରି

$$ \begin{equation*} W=(F \cos \theta) d=\mathbf{F} \cdot \mathbf{d} \tag{5.4} \end{equation*} $$

ଆମେ ଦେଖୁ ଯଦି କୌଣସି ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣ ନାହିଁ, ତେବେ ବଳ ବଡ଼ ହେଲେ ମଧ୍ୟ କୌଣସି କାର୍ଯ୍ୟ ସମ୍ପାଦିତ ହୁଏ ନାହିଁ। ଏହିପରି, ଯେତେବେଳେ ଆପଣ ଏକ କଠିନ ଇଟା କାନ୍ଥ ବିରୁଦ୍ଧରେ ଜୋର୍ରେ ଠେଲିବେ, ଆପଣ କାନ୍ଥ ଉପରେ ପ୍ରୟୋଗ କରୁଥିବା ବଳ କୌଣସି କାର୍ଯ୍ୟ କରେ ନାହିଁ। ତଥାପି ଆପଣଙ୍କର ମାଂସପେଶୀଗୁଡ଼ିକ ବିକଳ୍ପ ଭାବରେ ସଙ୍କୁଚିତ ଏବଂ ଶିଥିଳ ହେଉଛି ଏବଂ ଆଭ୍ୟନ୍ତରୀଣ ଶକ୍ତି ବ୍ୟବହୃତ ହେଉଛି ଏବଂ ଆପଣ ଥକ୍କା ହୋଇଯାଆନ୍ତି। ଏହିପରି, ଭୌତିକ ବିଜ୍ଞାନରେ କାର୍ଯ୍ୟର ଅର୍ଥ ଦୈନନ୍ଦିନ ଭାଷାରେ ଏହାର ବ୍ୟବହାରଠାରୁ ଭିନ୍ନ।

କୌଣସି କାର୍ଯ୍ୟ ସମ୍ପାଦିତ ହୁଏ ନାହିଁ ଯଦି:

(i) ଉପରୋକ୍ତ ଉଦାହରଣରେ ଦେଖାଯାଇଥିବା ପରି ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣ ଶୂନ୍ୟ। ଜଣେ ଓଜନୋତ୍ତୋଳକ $30 \mathrm{~s}$ ପାଇଁ ତାଙ୍କ କାନ୍ଧ ଉପରେ 150 $\mathrm{kg}$ ବସ୍ତୁତ୍ଵକୁ ସ୍ଥିର ଭାବରେ ଧରିରଖି ଏହି ସମୟ ମଧ୍ୟରେ ଭାର ଉପରେ କୌଣସି କାର୍ଯ୍ୟ କରେ ନାହିଁ।

(ii) ବଳ ଶୂନ୍ୟ। ଏକ ମସୃଣ କ୍ଷିତିଜ ସମତଳ ଟେବୁଲ ଉପରେ ଗତି କରୁଥିବା ଏକ ବ୍ଲକ କ୍ଷିତିଜ ବଳ ଦ୍ୱାରା କାର୍ଯ୍ୟ କରାଯାଏ ନାହିଁ (କାରଣ କୌଣସି ଘର୍ଷଣ ନାହିଁ), କିନ୍ତୁ ଏକ ବଡ଼ ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣ ଅନୁଭବ କରିପାରେ।

(iii) ବଳ ଏବଂ ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣ ପରସ୍ପର ଲମ୍ବ ହୁଅନ୍ତି। ଏହା ଏହିପରି କାରଣ, $\theta=\pi / 2 \mathrm{rad}$ $\left(=90^{\circ}\right), \cos (\pi / 2)=0$ ପାଇଁ। ଏକ ମସୃଣ କ୍ଷିତିଜ ସମତଳ ଟେବୁଲ ଉପରେ ଗତି କରୁଥିବା ବ୍ଲକ ପାଇଁ, ମାଧ୍ୟାକର୍ଷଣ ବଳ $m g$ କୌଣସି କାର୍ଯ୍ୟ କରେ ନାହିଁ କାରଣ ଏହା ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣ ସହିତ ସଠିକ୍ କୋଣରେ କାର୍ଯ୍ୟ କରେ। ଯଦି ଆମେ ଧାରଣା କରୁ ଯେ ଚନ୍ଦ୍ରର କକ୍ଷପଥ ପୃଥିବୀ ଚାରିପାଖରେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ବୃତ୍ତାକାର, ତେବେ ପୃଥିବୀର ମାଧ୍ୟାକର୍ଷଣ ବଳ କୌଣସି କାର୍ଯ୍ୟ କରେ ନାହିଁ। ଚନ୍ଦ୍ରର �କ୍ଷଣିକ ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣ ସ୍ପର୍ଶକୀୟ ଅଟେ ଯେତେବେଳେ ପୃଥିବୀର ବଳ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଭିତରକୁ ଏବଂ $\theta=\pi / 2$।

କାର୍ଯ୍ୟ ଧନାତ୍ମକ ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ ଉଭୟ ହୋଇପାରେ। ଯଦି $\theta$ ସମୀକରଣ (5.4)ରେ $0^{\circ}$ ଏବଂ $90^{\circ}, \cos \theta$ ମଧ୍ୟରେ ଅଛି, ତେବେ ଧନାତ୍ମକ। ଯଦି $\theta$ ସମୀକରଣ (5.4)ରେ $90^{\circ}$ ଏବଂ $180^{\circ}, \cos \theta$