ଅଧିକାଂଶ ବିଜ୍ଞାନରେ ଗୋଟିଏ ପିଢ଼ି ଯାହା ଗଢ଼େ, ତାକୁ ପରବର୍ତ୍ତୀ ପିଢ଼ି ଭାଙ୍ଗିଦିଏ ଏବଂ ଗୋଟିଏ ଯାହା ସ୍ଥାପନ କରେ, ତାକୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ଅସ୍ତିତ୍ୱହୀନ କରିଦିଏ। କେବଳ ଗଣିତରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପିଢ଼ି ପୁରାତନ ଗଠନରେ ଏକ ନୂତନ କାହାଣୀ ଗଢ଼େ। - ହର୍ମାନ୍ ହାଙ୍କେଲ୍

10.1 ପରିଚୟ

ଆମର ଦୈନନ୍ଦିନ ଜୀବନରେ, ଆମେ ଅନେକ ପ୍ରଶ୍ନର ସମ୍ମୁଖୀନ ହୁଏଁ - ତୁମର ଉଚ୍ଚତା କେତେ? ଜଣେ ଫୁଟବଲ୍ ଖେଳାଳି କିପରି ବଲ୍ କୁ ମାରିବ ଯାହା ଦ୍ୱାରା ତାଙ୍କ ଦଳର ଅନ୍ୟ ଜଣେ ଖେଳାଳିଙ୍କୁ ପାସ୍ ଦେବ? ଲକ୍ଷ୍ୟ କରନ୍ତୁ ଯେ ପ୍ରଥମ ପ୍ରଶ୍ନର ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଉତ୍ତର ହୋଇପାରେ 1.6 ମିଟର, ଏକ ପରିମାଣ ଯାହା କେବଳ ଗୋଟିଏ ମୂଲ୍ୟ (ପରିମାଣ) ନେଇ ଗଠିତ ଯାହା ଏକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା। ଏଭଳି ପରିମାଣଗୁଡ଼ିକୁ ସ୍କେଲାର କୁହାଯାଏ। କିନ୍ତୁ, ଦ୍ୱିତୀୟ ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ହେଉଛି ଏକ ପରିମାଣ (ଯାହାକୁ ବଳ କୁହାଯାଏ) ଯାହା ମାଂସପେଶୀ ଶକ୍ତି (ପରିମାଣ) ଏବଂ ଦିଗ (ଯେଉଁ ଦିଗରେ ଅନ୍ୟ ଖେଳାଳି ଅବସ୍ଥିତ) ନେଇ ଗଠିତ। ଏଭଳି ପରିମାଣଗୁଡ଼ିକୁ ସଦିଶ କୁହାଯାଏ। ଗଣିତ, ଭୌତିକ ବିଜ୍ଞାନ ଏବଂ ଯାନ୍ତ୍ରିକ ବିଜ୍ଞାନରେ, ଆମେ ଉଭୟ ପ୍ରକାରର ପରିମାଣ ସହିତ ବାରମ୍ବାର ସମ୍ମୁଖୀନ ହୁଏଁ, ଯଥା: ସ୍କେଲାର ପରିମାଣ ଯେପରିକି ଦୈର୍ଘ୍ୟ, ବସ୍ତୁତ୍ଵ, ସମୟ, ଦୂରତା, ଗତି, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ, ଆୟତନ, ତାପମାତ୍ରା, କାର୍ଯ୍ୟ, ଟଙ୍କା, ଭୋଲ୍ଟେଜ୍, ଘନତା, ପ୍ରତିରୋଧ ଇତ୍ୟାଦି ଏବଂ ସଦିଶ ପରିମାଣ ଯେପରିକି ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣ, ବେଗ, ତ୍ୱରଣ, ବଳ, ଓଜନ, ଗତିର ପରିମାଣ, ବିଦ୍ୟୁତ୍ କ୍ଷେତ୍ରର ତୀବ୍ରତା ଇତ୍ୟାଦି।

W.R. Hamilton $(1805-1865)$

ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ସଦିଶମାନଙ୍କ ବିଷୟରେ କେତେକ ମୌଳିକ ଧାରଣା, ସଦିଶମାନଙ୍କ ଉପରେ ବିଭିନ୍ନ କ୍ରିୟା, ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ବୀଜଗାଣିତିକ ଏବଂ ଜ୍ୟାମିତିକ ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକୁ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବା। ଏହି ଦୁଇ ପ୍ରକାରର ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକୁ ଏକତ୍ର ବିଚାର କଲେ ସଦିଶ ଧାରଣାର ଏକ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଅନୁଭୂତି ମିଳେ ଏବଂ ଉପରେ ଉଲ୍ଲେଖିତ ବିଭିନ୍ନ କ୍ଷେତ୍ରରେ ସେମାନଙ୍କର ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରୟୋଗିକତାକୁ ନେଇଯାଏ।

10.2 କେତେକ ମୌଳିକ ଧାରଣା

ମନେକର ’ $l$ ’ ସମତଳ କିମ୍ବା ତ୍ରିପରିମାଣିକ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା କୌଣସି ସରଳରେଖା। ଏହି ରେଖାକୁ ତୀରଚିହ୍ନ ସାହାଯ୍ୟରେ ଦୁଇଟି ଦିଗ ଦିଆଯାଇପାରେ। ଏହି ଦିଗଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ଦିଗ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କରାଯାଇଥିବା ରେଖାକୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦେଶିତ ରେଖା କୁହାଯାଏ (ଚିତ୍ର 10.1 (i), (ii))।

ଚିତ୍ର 10.1

ବର୍ତ୍ତମାନ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରନ୍ତୁ ଯଦି ଆମେ ରେଖା $l$କୁ AB ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ ସୀମିତ କରିବା, ତେବେ ରେଖା $l$ ଉପରେ ଦୁଇଟି ଦିଗ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସହିତ ଏକ ପରିମାଣ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ହୁଏ, ଯାହା ଫଳରେ ଆମେ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦେଶିତ ରେଖାଖଣ୍ଡ ପାଇବା (ଚିତ୍ର 10.1(iii))। ତେଣୁ, ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦେଶିତ ରେଖାଖଣ୍ଡର ପରିମାଣ ତଥା ଦିଗ ଉଭୟ ରହିଛି।

ସଂଜ୍ଞା 1 ଏକ ପରିମାଣ ଯାହାର ପରିମାଣ ତଥା ଦିଗ ଉଭୟ ରହିଛି, ତାହାକୁ ସଦିଶ କୁହାଯାଏ।

ଲକ୍ଷ୍ୟ କରନ୍ତୁ ଯେ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦେଶିତ ରେଖାଖଣ୍ଡ ହେଉଛି ଏକ ସଦିଶ (ଚିତ୍ର 10.1(iii)), ଯାହାକୁ $\overrightarrow{{}AB}$ ରୂପେ ସୂଚିତ କରାଯାଏ କିମ୍ବା ସରଳଭାବେ $\vec{a}$ ରୂପେ, ଏବଂ ‘ସଦିଶ $\overrightarrow{{}AB}$’ କିମ୍ବା ‘ସଦିଶ $\vec{a}$’ ରୂପେ ପଢ଼ାଯାଏ।

ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁ $A$ରୁ ସଦିଶ $\overrightarrow{{}AB}$ ଆରମ୍ଭ ହୁଏ, ତାହାକୁ ଏହାର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ, ଏବଂ ଯେଉଁ ବିନ୍ଦୁ $B$ରେ ଏହା ଶେଷ ହୁଏ, ତାହାକୁ ଏହାର ଅନ୍ତିମ ବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ। ଏକ ସଦିଶର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ଏବଂ ଅନ୍ତିମ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଦୂରତାକୁ ସଦିଶର ପରିମାଣ (କିମ୍ବା ଦୈର୍ଘ୍ୟ) କୁହାଯାଏ, ଯାହାକୁ $|\overrightarrow{{}AB}|$, କିମ୍ବା $|\vec{a}|$, କିମ୍ବା $a$ ରୂପେ ସୂଚିତ କରାଯାଏ। ତୀରଚିହ୍ନଟି ସଦିଶର ଦିଗକୁ ସୂଚିତ କରେ।

ଟିପ୍ପଣୀ ଯେହେତୁ ଦୈର୍ଘ୍ୟ କଦାପି ଋଣାତ୍ମକ ନୁହେଁ, $|\vec{a}|<0$ ସଂକେତର କୌଣସି ଅର୍ଥ ନାହିଁ।

ସ୍ଥିତି ସଦିଶ

କ୍ଲାସ XIରୁ, ତ୍ରିପରିମାଣିକ ଡାହାଣହାତୀ ଆୟତାକାର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ପ୍ରଣାଳୀକୁ (ଚିତ୍ର 10.2(i)) ସ୍ମରଣ କରନ୍ତୁ। ସ୍ଥାନରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ $P$ ବିଚାର କରନ୍ତୁ, ଯାହାର ମୂଳବିନ୍ଦୁ $O(0,0,0)$ ସପେକ୍ଷରେ ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ $(x, y, z)$ ଅଛି। ତେବେ, ସଦିଶ $\overrightarrow{{}OP}$ ଯାହାର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ଏବଂ ଅନ୍ତିମ ବିନ୍ଦୁ ଯଥାକ୍ରମେ $O$ ଏବଂ $P$ ଅଛି, ତାହାକୁ $O$ ସପେକ୍ଷରେ ବିନ୍ଦୁ $P$ର ସ୍ଥିତି ସଦିଶ କୁହାଯାଏ। ଦୂରତା ସୂତ୍ର (କ୍ଲାସ XIରୁ) ବ୍ୟବହାର କରି, $\overrightarrow{{}OP}$ (କିମ୍ବା $\vec{r}$)ର ପରିମାଣ ଦିଆଯାଇଛି

$$ |\overrightarrow{{}OP}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $$

ବ୍ୟବହାରରେ, ମୂଳବିନ୍ଦୁ $O$ ସପେକ୍ଷରେ ବିନ୍ଦୁମାନ $A, B, C$, ଇତ୍ୟାଦିର ସ୍ଥିତି ସଦିଶଗୁଡ଼ିକୁ ଯଥାକ୍ରମେ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$, ଇତ୍ୟାଦି ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ (ଚିତ୍ର 10.2 (ii))।

ଚିତ୍ର 10.2

ଦିଗ କୋସାଇନ୍

ଚିତ୍ର 10.3 ଭଳି ଏକ ବିନ୍ଦୁ $P(x, y, z)$ର ସ୍ଥିତି ସଦିଶ $\overrightarrow{{}OP}$ (କିମ୍ବା $\vec{r}$) ବିଚାର କରନ୍ତୁ। ସଦିଶ $\vec{r}$ ଦ୍ୱାରା $x, y$ ଏବଂ $z$-ଅକ୍ଷଗୁଡ଼ିକର ଧନାତ୍ମକ ଦିଗ ସହିତ ଯେଉଁ କୋଣଗୁଡ଼ିକ $\alpha$, $\beta, \gamma$ ତିଆରି କରାଯାଏ, ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଏହାର ଦିଗ କୋଣ କୁହାଯାଏ। ଏହି କୋଣଗୁଡ଼ିକର କୋସାଇନ୍ ମୂଲ୍ୟ, ଅର୍ଥାତ୍ $\cos \alpha, \cos \beta$ ଏବଂ $\cos \gamma$କୁ ସଦିଶ $\vec{r}$ର ଦିଗ କୋସାଇନ୍ କୁହାଯାଏ, ଏବଂ ସାଧାରଣତଃ ଯଥାକ୍ରମେ $l, m$ ଏବଂ $n$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ।

ଚିତ୍ର 10.3ରୁ, ଜଣେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିପାରନ୍ତି ଯେ ତ୍ରିଭୁଜ OAP ସମକୋଣୀ, ଏବଂ ତାହାରେ, ଆମେ ପାଇବା $\cos \alpha=\frac{x}{r}(r$ ରୁ ଅର୍ଥ $|\vec{r}|)$। ସେହିପରି, ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ OBP ଏବଂ OCPରୁ, ଆମେ ଲେଖିପାରିବା $\cos \beta=\frac{y}{r}$ ଏବଂ $\cos \gamma=\frac{z}{r}$। ତେଣୁ, ବିନ୍ଦୁ Pର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କଗୁଡ଼ିକୁ $(l r, m r, n r)$ ରୂପେ ମଧ୍ୟ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରେ। ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ $l r, m r$ ଏବଂ $n r$, ଯାହା ଦିଗ କୋସାଇନ୍ ସହିତ ସମାନୁପାତୀ, ସେଗୁଡ଼ିକୁ ସଦିଶ $\vec{r}$ର ଦିଗ ଅନୁପାତ କୁହାଯାଏ, ଏବଂ ଯଥାକ୍ରମେ $a, b$ ଏବଂ $c$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ।

ଟିପ୍ପଣୀ ଜଣେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରିପାରନ୍ତି ଯେ $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ କିନ୍ତୁ ସାଧାରଣତଃ $a^{2}+b^{2}+c^{2} \neq 1$।

10.3 ସଦିଶମାନଙ୍କର ପ୍ରକାରଭେଦ

ଶୂନ୍ୟ ସଦିଶ ଏକ ସଦିଶ ଯାହାର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ଏବଂ ଅନ୍ତିମ ବିନ୍ଦୁ ମିଳିତ ହୁଏ, ତାହାକୁ ଶୂନ୍ୟ ସଦିଶ (କିମ୍ବା ନଲ୍ ସଦିଶ) କୁହାଯାଏ, ଏବଂ $\overrightarrow{{}0}$ ରୂପେ ସୂଚିତ କରାଯାଏ। ଶୂନ୍ୟ ସଦିଶକୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଦିଗ ଦିଆଯାଇପାରିବ ନାହିଁ କାରଣ ଏହାର ପରିମାଣ ଶୂନ୍ୟ। କିମ୍ବା, ବିକଳ୍ପ ଭାବରେ, ଏହାକୁ କୌଣସି ଦିଗ ବିଶିଷ୍ଟ ବୋଲି ବିବେଚନା କରାଯାଇପାରେ। ସଦିଶଗୁଡ଼ିକ $\overrightarrow{{}AA}, \overrightarrow{{}BB}$ ଶୂନ୍ୟ ସଦିଶକୁ ପ୍ରକାଶ କରେ,

ଏକକ ସଦିଶ ଏକ ସଦିଶ ଯାହାର ପରିମାଣ ଏକତା (ଅର୍ଥାତ୍ 1 ଏକକ) ହୁଏ, ତାହାକୁ ଏକକ ସଦିଶ କୁହାଯାଏ। ଏକ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଦିଶ $\vec{a}$ର ଦିଗରେ ଥିବା ଏକକ ସଦିଶକୁ $\hat{a}$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ।ସମ-ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ସଦିଶ ଦୁଇ କିମ୍ବା ତହିଁରୁ ଅଧିକ ସଦିଶ ଯାହାର ସମାନ ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ବିନ୍ଦୁ ଅଛି, ସେଗୁଡ଼ିକୁ ସମ-ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ସଦିଶ କୁହାଯାଏ।

ସମରେଖୀ ସଦିଶ ଦୁଇ କିମ୍ବା ତହିଁରୁ ଅଧିକ ସଦିଶକୁ ସମରେଖୀ ବୋଲି କୁହାଯାଏ ଯଦି ସେମାନେ ସେମାନଙ୍କର ପରିମାଣ ଏବଂ ଦିଗ ନିର୍ବିଶେଷରେ ସମାନ ସରଳରେଖା ସହ ସମାନ୍ତରାଳ ହୁଅନ୍ତି।

ସମାନ ସଦିଶ ଦୁଇଟି ସଦିଶ $\vec{a}$ ଏବଂ $\vec{b}$କୁ ସମାନ ବୋଲି କୁହାଯାଏ, ଯଦି ସେମାନଙ୍କର ସେମାନଙ୍କର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କର ସ୍ଥିତି ନିର୍ବିଶେଷରେ ସମାନ ପରିମାଣ ଏବଂ ଦିଗ ରହିଛି, ଏବଂ $\vec{a}=\vec{b}$ ରୂପେ ଲିଖିତ ହୁଏ।

ଏକ ସଦିଶର ଋଣାତ୍ମକ ଏକ ସଦିଶ ଯାହାର ପରିମାଣ ଏକ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଦିଶ (ଯେପରିକି, $\overrightarrow{{}AB}$) ସହ ସମାନ, କିନ୍ତୁ ଦିଗ ଏହାର ବିପରୀତ, ତାହାକୁ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଦିଶର ଋଣାତ୍ମକ କୁହାଯାଏ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ସଦିଶ $\overrightarrow{{}BA}$ ହେଉଛି ସଦିଶ $\overrightarrow{{}AB}$ର ଋଣାତ୍ମକ, ଏବଂ $\overrightarrow{{}BA}=-\overrightarrow{{}AB}$ ରୂପେ ଲିଖିତ ହୁଏ।

ଟିପ୍ପଣୀ ଉପରେ ସଂଜ୍ଞାୟିତ ସଦିଶଗୁଡ଼ିକ ଏପରି ଯେ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସି ଗୋଟିଏକୁ ଏହାର ପରିମାଣ ଏବଂ ଦିଗ ବଦଳାଇବା ବିନା ଏହାର ସମାନ୍ତରାଳ ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣ କରାଯାଇପାରେ। ଏଭଳି ସଦିଶଗୁଡ଼ିକୁ ମୁକ୍ତ ସଦିଶ କୁହାଯାଏ। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ, ଆମେ କେବଳ ମୁକ୍ତ ସଦିଶ ସହିତ କାର୍ଯ୍ୟ କରିବା।

ଉଦାହରଣ 1 ଦକ୍ଷିଣର 40 ଡିଗ୍ରୀ ପଶ୍ଚିମରେ 40 କିମି ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣକୁ ଗ୍ରାଫିକାଲି ପ୍ରକାଶ କରନ୍ତୁ।

ସମାଧାନ ସଦିଶ $\overrightarrow{{}OP}$ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣକୁ ପ୍ରକାଶ କରେ (ଚିତ୍ର 10.4)।

ଚିତ୍ର 10.4

ଉଦାହରଣ 2 ନିମ୍ନଲିଖିତ ମାପଗୁଡ଼ିକୁ ଶ୍ରେଣୀଭୁକ୍ତ କରନ୍ତୁ ସ୍କେଲାର ଏବଂ ସଦିଶ ରୂପେ।

(i) $5 \mathrm{~s}$

(ii) $1000 \mathrm{~cm}^{3}$

(iii) $10 \mathrm{~N}$

(iv) $30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$

(v) $10 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$

(vi) $20 m / s$ ଉତ୍ତର ଆଡକୁ

ସମାଧାନ

(i) ସମୟ-ସ୍କେଲାର

(ii) ଆୟତନ-ସ୍କେଲାର

(iii) ବଳ-ସଦିଶ

(iv) ଗତି-ସ୍କେଲାର

(v) ଘନତା-ସ୍କେଲାର

(vi) ବେଗ-ସଦିଶ

ଉଦାହରଣ 3 ଚିତ୍ର 10.5ରେ, କେଉଁ ସଦିଶଗୁଡ଼ିକ:

(i) ସମରେଖୀ

(ii) ସମାନ

(iii) ସମ-ପ୍ରାରମ୍ଭିକ

ସମାଧାନ

(i) ସମରେଖୀ ସଦିଶ: $\vec{a}, \vec{c}$ ଏବଂ $\vec{d}$।

(ii) ସମାନ ସଦିଶ : $\vec{a}$ ଏବଂ $\vec{c}$।

(iii) ସମ-ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ସଦିଶ : $\vec{b}, \vec{c}$ ଏବଂ $\vec{d}$।

10.4 ସଦିଶମାନଙ୍କର ଯୋଗ

ଏକ ସଦିଶ $\overrightarrow{{}AB}$ ସରଳଭାବେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ Aରୁ ବିନ୍ଦୁ $B$କୁ ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣକୁ ବୁଝାଏ। ବର୍ତ୍ତମାନ ଏକ ପରିସ୍ଥିତି ବିଚାର କରନ୍ତୁ ଯେଉଁଥିରେ ଜଣେ ଝିଅ $A$ରୁ $B$କୁ ଗତି କରେ ଏବଂ ତା’ପରେ $B$ରୁ $C$କୁ ଗତି କରେ (ଚିତ୍ର 10.7)। ଝିଅଟି ଦ୍ୱାରା ବିନ୍ଦୁ $A$ରୁ ବିନ୍ଦୁ $C$କୁ କରାଯାଇଥିବା ନିଟ୍ ସ୍ଥାନାନ୍ତରଣ, ସଦିଶ $\overrightarrow{{}AC}$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି ଏବଂ ଏହିପରି ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇଛି

ଚିତ୍ର 10.7

$ \overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC} $

ଏହାକୁ ସଦିଶ ଯୋଗର ତ୍ରିଭୁଜ ନିୟମ ଭାବରେ ଜଣାଶୁଣା।

ସାଧାରଣତଃ, ଯଦି ଆମର ଦୁଇଟି ସଦିଶ $\vec{a}$ ଏବଂ $\vec{b}$ ଅଛି (ଚିତ୍ର 10.8 (i)), ତେବେ ସେମାନଙ୍କୁ ଯୋଗ କରିବାକୁ, ସେମାନଙ୍କୁ ଏପରି ଅବସ୍ଥାପିତ କରାଯାଏ ଯେପରିକି ଗୋଟିଏର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ବିନ୍ଦୁ ଅନ୍ୟଟିର ଅନ୍ତିମ ବିନ୍ଦୁ ସହ ମିଳିତ ହୁଏ (ଚିତ୍ର 10.8(ii))।

ଚିତ୍ର 10.8

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଚିତ୍ର 10.8 (ii)ରେ, ଆମେ ସଦିଶ $\vec{b}$କୁ ଏହାର ପରିମାଣ ଏବଂ ଦିଗ ବଦଳାଇବା ବିନା ସ୍ଥାନାନ୍ତରିତ କରିଛୁ, ଯାହା ଫଳରେ ଏହାର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ବିନ୍ଦୁ $\vec{a}$ର ଅନ୍ତିମ ବିନ୍ଦୁ ସହ ମିଳିତ ହୁଏ। ତା’ପରେ, ସଦିଶ $\vec{a}+\vec{b}$, ଯାହାକୁ ତ୍ରିଭୁଜ $ABC$ର ତୃତୀୟ ବାହୁ $AC$ ଦ୍ୱାରା ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇଛି, ଆମକୁ ସଦିଶଗୁଡ଼ିକ $\vec{a}$ ଏବଂ $\vec{b}$ର ଯୋଗଫଳ (କିମ୍ବା ପରିଣାମୀ) ଦିଏ ଅର୍ଥାତ୍, ତ୍ରିଭୁଜ $ABC$ରେ (ଚିତ୍ର 10.8 (ii)), ଆମେ ପାଇବା

$ \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}=\overrightarrow{{}AC} $

ବର୍ତ୍ତମାନ ପୁନର୍ବାର, ଯେହେତୁ $\overrightarrow{{}AC}=-\overrightarrow{{}CA}$, ଉପରୋକ୍ତ ସମୀକରଣରୁ, ଆମେ ପାଇବା

$$ \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}+\overrightarrow{{}CA}=\overrightarrow{{}AA}=\overrightarrow{{}0} $$

ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ଯେତେବେଳେ ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁଗୁଡ଼ିକ କ୍ରମରେ ନିଆଯାଏ, ଏହା ଶୂନ୍ୟ ପରିଣାମୀକୁ ନେଇଯାଏ କାରଣ ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ଏବଂ ଅନ୍ତିମ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ମିଳିତ ହୁଅନ୍ତି (ଚିତ୍ର 10.8(iii))।

ବର୍ତ୍ତମାନ, ଏକ ସଦିଶ $\overrightarrow{{}BC^{\prime}}$ ଗଠନ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ଏହାର ପରିମାଣ ସଦିଶ $\overrightarrow{{}BC}$ ସହ ସମାନ ହୁଏ, କିନ୍ତୁ ଏହାର ବିପରୀତ ଦିଗ (ଚିତ୍ର 10.8 (iii)), ଅର୍ଥାତ୍, $ \overrightarrow{{}BC^{\prime}}=-\overrightarrow{{}BC} $ ତା’ପରେ, ଚିତ୍ର 10.8 (iii)ରୁ ତ୍ରିଭ