ଗାଣିତିକ ଆବିଷ୍କାରର ଚାଳକ ଶକ୍ତି ହେଉଛି ଯୁକ୍ତି ନୁହେଁ, କଳ୍ପନା। - A.DEMORGAN

11.1 ପରିଚୟ

କ୍ଲାସ XI ରେ, ଦ୍ୱିପରିମାଣିକ ବିଶ୍ଳେଷଣାତ୍ମକ ଜ୍ୟାମିତି ଏବଂ ତ୍ରିପରିମାଣିକ ଜ୍ୟାମିତିର ପରିଚୟ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବା ସମୟରେ, ଆମେ କେବଳ କାର୍ଟେସିଆନ ପଦ୍ଧତି ପ୍ରତି ସୀମିତ ଥିଲୁ। ଏହି ପୁସ୍ତକର ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତୀ ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ଭେକ୍ଟରର କେତେକ ମୌଳିକ ଧାରଣା ଅଧ୍ୟୟନ କରିଛୁ। ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ ତ୍ରିପରିମାଣିକ ଜ୍ୟାମିତି ପାଇଁ ଭେକ୍ଟର ବୀଜଗଣିତ ବ୍ୟବହାର କରିବୁ। 3-ପରିମାଣିକ ଜ୍ୟାମିତି ପ୍ରତି ଏହି ଉପାୟର ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ହେଉଛି ଏହା ଅଧ୍ୟୟନକୁ ସରଳ ଏବଂ ସୁନ୍ଦର* କରିଥାଏ।

ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ଏକ ରେଖାର ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ଏବଂ ଦିଗ୍ ଅନୁପାତ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବୁ ଏବଂ ସ୍ପେସ୍ରେ ବିଭିନ୍ନ ପରିସ୍ଥିତିରେ ରେଖା ଏବଂ ସମତଳର ସମୀକରଣ, ଦୁଇଟି ରେଖା ମଧ୍ୟରେ କୋଣ, ଦୁଇଟି ସମତଳ, ଏକ ରେଖା ଏବଂ ଏକ ସମତଳ, ଦୁଇଟି ବିକୃତ ରେଖା ମଧ୍ୟରେ ସର୍ବନିମ୍ନ ଦୂରତା ଏବଂ ଏକ ସମତଳରୁ ଏକ ବିନ୍ଦୁର ଦୂରତା ବିଷୟରେ ମଧ୍ୟ ଆଲୋଚନା କରିବୁ। ଉପରୋକ୍ତ ଫଳାଫଳଗୁଡ଼ିକର ଅଧିକାଂଶ ଭେକ୍ଟର ରୂପରେ ପ୍ରାପ୍ତ ହୋଇଥାଏ। ତଥାପି, ଆମେ ଏହି ଫଳାଫଳଗୁଡ଼ିକୁ କାର୍ଟେସିଆନ୍ ରୂପରେ ମଧ୍ୟ ଅନୁବାଦ କରିବୁ ଯାହା, ବେଳେବେଳେ, ପରିସ୍ଥିତିର ଏକ ସ୍ପଷ୍ଟ ଜ୍ୟାମିତିକ ଏବଂ ବିଶ୍ଳେଷଣାତ୍ମକ ଚିତ୍ର ପ୍ରଦାନ କରେ।

ଲିଓନାର୍ଡ ଇଉଲର $(\mathbf{1 7 0 7 - 1 7 8 3 })$

11.2 ଏକ ରେଖାର ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ଏବଂ ଦିଗ୍ ଅନୁପାତ

ଅଧ୍ୟାୟ 10 ରୁ, ମନେରଖ ଯେ ଯଦି ମୂଳବିନ୍ଦୁ ଦେଇ ଯାଉଥିବା ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦେଶିତ ରେଖା $L$ ଯଥାକ୍ରମେ $\alpha, \beta$ ଏବଂ $\gamma$ କୋଣ $x, y$ ଏବଂ $z$-ଅକ୍ଷ ସହିତ କରେ, ଯାହାକୁ ଦିଗ୍ କୋଣ କୁହାଯାଏ, ତେବେ ଏହି କୋଣଗୁଡ଼ିକର କୋସାଇନ୍, ଅର୍ଥାତ୍ $\cos \alpha, \cos \beta$ ଏବଂ $\cos \gamma$ କୁ ନିର୍ଦ୍ଦେଶିତ ରେଖା $L$ ର ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ କୁହାଯାଏ।

ଯଦି ଆମେ $L$ ର ଦିଗକୁ ବିପରୀତ କରିବା, ତେବେ ଦିଗ୍ କୋଣଗୁଡ଼ିକ ସେମାନଙ୍କର ସପ୍ଲିମେଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ପ୍ରତିସ୍ଥାପିତ ହୁଅନ୍ତି, ଅର୍ଥାତ୍ $\pi-\alpha, \pi-\beta$ ଏବଂ $\pi-\gamma$। ତେଣୁ, ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ଗୁଡ଼ିକର ଚିହ୍ନ ବିପରୀତ ହୋଇଯାଏ।

ଚିତ୍ର 11.1

ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ ଯେ ସ୍ପେସ୍ରେ ଥିବା ଏକ ଦିଆଯାଇଥିବା ରେଖାକୁ ଦୁଇଟି ବିପରୀତ ଦିଗରେ ବିସ୍ତାର କରାଯାଇପାରେ ଏବଂ ତେଣୁ ଏହାର ଦୁଇଟି ସେଟ୍ ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ଅଛି। ସ୍ପେସ୍ରେ ଥିବା ଏକ ଦିଆଯାଇଥିବା ରେଖା ପାଇଁ ଏକ ଅନନ୍ୟ ସେଟ୍ ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ପାଇବା ପାଇଁ, ଆମେ ଦିଆଯାଇଥିବା ରେଖାକୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦେଶିତ ରେଖା ଭାବରେ ନେବା ଉଚିତ। ଏହି ଅନନ୍ୟ ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ଗୁଡ଼ିକୁ $l, m$ ଏବଂ $n$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ।

ଟିପ୍ପଣୀ ଯଦି ସ୍ପେସ୍ରେ ଥିବା ଦିଆଯାଇଥିବା ରେଖା ମୂଳବିନ୍ଦୁ ଦେଇ ଯାଏ ନାହିଁ, ତେବେ, ଏହାର ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ଖୋଜିବା ପାଇଁ, ଆମେ ମୂଳବିନ୍ଦୁ ଦେଇ ଏବଂ ଦିଆଯାଇଥିବା ରେଖା ସହିତ ସମାନ୍ତରାଳ ଏକ ରେଖା ଅଙ୍କନ କରୁ। ବର୍ତ୍ତମାନ ମୂଳବିନ୍ଦୁରୁ ଗୋଟିଏ ନିର୍ଦ୍ଦେଶିତ ରେଖା ନିଅ ଏବଂ ଏହାର ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ଖୋଜ କାରଣ ଦୁଇଟି ସମାନ୍ତରାଳ ରେଖାର ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ର ସେଟ୍ ସମାନ ଅଟେ।

ଯେକୌଣସି ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା ଯାହା ଏକ ରେଖାର ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ସହିତ ସମାନୁପାତୀ, ସେଗୁଡ଼ିକୁ ରେଖାର ଦିଗ୍ ଅନୁପାତ କୁହାଯାଏ। ଯଦି $l, m, n$ ହେଉଛନ୍ତି ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ଏବଂ $a, b, c$ ହେଉଛନ୍ତି ଏକ ରେଖାର ଦିଗ୍ ଅନୁପାତ, ତେବେ $a=\lambda l, b=\lambda m$ ଏବଂ $c=\lambda n$, ଯେକୌଣସି ଅଣଶୂନ୍ୟ $\lambda \in \mathbf{R}$ ପାଇଁ।

ଟିପ୍ପଣୀ କେତେକ ଲେଖକ ଦିଗ୍ ଅନୁପାତକୁ ଦିଗ୍ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟ କହନ୍ତି।

ମନେକର $a, b, c$ ହେଉଛନ୍ତି ଏକ ରେଖାର ଦିଗ୍ ଅନୁପାତ ଏବଂ ମନେକର $l, m$ ଏବଂ $n$ ହେଉଛନ୍ତି ରେଖାର ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ (d.c’s)। ତେବେ

$$ \frac{l}{a}=\frac{m}{b}=\frac{n}{c}=k \text{ (say), } k \text{ being a constant. } $$

ତେଣୁ $ \qquad l=a k, m=b k, n=c k $

କିନ୍ତୁ $ \qquad l^{2}+m^{2}+n^{2}=1 $

ତେଣୁ $ \qquad k^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=1 $

କିମ୍ବା $ \qquad k= \pm \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

ତେଣୁ, (1) ରୁ, ରେଖାର d.c.’s ହେଉଛନ୍ତି $ \qquad l= \pm \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, m= \pm \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, n= \pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

ଯେଉଁଠାରେ, $k$ ର ଇଚ୍ଛିତ ଚିହ୍ନ ଉପରେ ନିର୍ଭର କରି, କିମ୍ବା ତା ପାଇଁ ଏକ ଧନାତ୍ମକ କିମ୍ବା ଋଣାତ୍ମକ ଚିହ୍ନ ନିଆଯିବା ଉଚିତ। ଯେକୌଣସି ରେଖା ପାଇଁ, ଯଦି $a, b, c$ ହେଉଛନ୍ତି ଏକ ରେଖାର ଦିଗ୍ ଅନୁପାତ, ତେବେ $k a, k b, k c ; k \neq 0$ ମଧ୍ୟ ଦିଗ୍ ଅନୁପାତର ଏକ ସେଟ୍। ତେଣୁ, ଏକ ରେଖାର ଦିଗ୍ ଅନୁପାତର ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ସେଟ୍ ମଧ୍ୟ ସମାନୁପାତୀ। ଆହୁରି ମଧ୍ୟ, ଯେକୌଣସି ରେଖା ପାଇଁ ଦିଗ୍ ଅନୁପାତର ଅସୀମ ଅନେକ ସେଟ୍ ଅଛି।

11.2.1 ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ଦେଇ ଯାଉଥିବା ଏକ ରେଖାର ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍

ଯେହେତୁ ଦୁଇଟି ଦିଆଯାଇଥିବା ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟରେ କେବଳ ଏକ ରେଖା ଯାଇପାରେ, ଆମେ ଦିଆଯାଇଥିବା ବିନ୍ଦୁ $P(x_1, y_1, z_1)$ ଏବଂ $Q(x_2, y_2, z_2)$ ଦେଇ ଯାଉଥିବା ରେଖାର ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିପାରିବା (ଚିତ୍ର 11.2 (କ))।

ଚିତ୍ର 11.2

ମନେକର $l, m, n$ ହେଉଛନ୍ତି ରେଖା PQ ର ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ଏବଂ ଏହା $\alpha, \beta$ ଏବଂ $\gamma$ କୋଣ $x, y$ ଏବଂ $z$-ଅକ୍ଷ ସହିତ କରୁଛି।

$P$ ଏବଂ $Q$ ରୁ $XY$-ସମତଳ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର ଯାହା $R$ ଏବଂ $S$ ରେ ମିଳିତ ହୁଅନ୍ତୁ। $P$ ରୁ $QS$ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏକ ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କର ଯାହା $N$ ରେ ମିଳିତ ହୁଏ। ବର୍ତ୍ତମାନ, ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ $PNQ, \angle PQN=\gamma$ ରେ (ଚିତ୍ର 11.2 (ଖ))।

$$ \begin{aligned} & \cos \gamma=\frac{\mathrm{NQ}}{\mathrm{PQ}}=\frac{z _{2}-z _{1}}{\mathrm{PQ}} \\ & \cos \alpha=\frac{x _{2}-x _{1}}{\mathrm{PQ}} \text { और } \cos \beta=\frac{y _{2}-y _{1}}{\mathrm{PQ}} \end{aligned} $$

ତେଣୁ ତେଣୁ, ବିନ୍ଦୁ $P(x_1, y_1, z_1)$ ଏବଂ $Q(x_2, y_2, z_2)$ କୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ରେଖା ଖଣ୍ଡର ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ହେଉଛନ୍ତି

$$ \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $$

ଯେଉଁଠାରେ $ \qquad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $

ଟିପ୍ପଣୀ $P(x_1, y_1, z_1)$ ଏବଂ $Q(x_2, y_2, z_2)$ କୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ରେଖା ଖଣ୍ଡର ଦିଗ୍ ଅନୁପାତ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ନିଆଯାଇପାରେ

$$ x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \text{ or } x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2 $$

ଉଦାହରଣ 1 ଯଦି ଏକ ରେଖା ଯଥାକ୍ରମେ $90^{\circ}, 60^{\circ}$ ଏବଂ $30^{\circ}$ କୋଣ $x, y$ ଏବଂ $z$-ଅକ୍ଷର ଧନାତ୍ମକ ଦିଗ ସହିତ କରେ, ତେବେ ଏହାର ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ ମନେକର ରେଖାର $d . c$। ’ $s$ ହେଉଛି $l, m, n$। ତେବେ $l=\cos 90^{\circ}=0, m=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$, $n=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$।

ଉଦାହରଣ 2 ଯଦି ଏକ ରେଖାର ଦିଗ୍ ଅନୁପାତ 2, - 1, - 2 ଅଛି, ତେବେ ଏହାର ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ହେଉଛନ୍ତି

$$ \frac{2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-1}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} $$

କିମ୍ବା $\qquad \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3}$

ଉଦାହରଣ 3 ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ $(-2,4,-5)$ ଏବଂ $(1,2,3)$ ଦେଇ ଯାଉଥିବା ରେଖାର ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ $P(x_1, y_1, z_1)$ ଏବଂ $Q(x_2, y_2, z_2)$ ଦେଇ ଯାଉଥିବା ରେଖାର ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ଦିଆଯାଏ

ଯେଉଁଠାରେ $ \qquad \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $

$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

ଏଠାରେ $P$ ହେଉଛି $(-2,4,-5)$ ଏବଂ $Q$ ହେଉଛି $(1,2,3)$।

ତେଣୁ $ \qquad P Q=\sqrt{(1-(-2))^{2}+(2-4)^{2}+(3-(-5))^{2}}=\sqrt{77} $

ତେଣୁ, ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁକୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ରେଖାର ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ହେଉଛି

$ \qquad \frac{3}{\sqrt{77}}, \frac{-2}{\sqrt{77}}, \frac{8}{\sqrt{77}} $

ଉଦାହରଣ 4 $x, y$ ଏବଂ $z$-ଅକ୍ଷର ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ $x$-ଅକ୍ଷ ଯଥାକ୍ରମେ $0^{\circ}, 90^{\circ}$ ଏବଂ $90^{\circ}$ କୋଣ $x, y$ ଏବଂ $z$-ଅକ୍ଷ ସହିତ କରେ। ତେଣୁ, $x$-ଅକ୍ଷର ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ହେଉଛନ୍ତି $\cos 0^{\circ}, \cos 90^{\circ}, \cos 90^{\circ}$ ଅର୍ଥାତ୍ $1,0,0$। ସେହିପରି, $y$-ଅକ୍ଷ ଏବଂ $z$-ଅକ୍ଷର ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍ ଯଥାକ୍ରମେ $0,1,0$ ଏବଂ $0,0,1$।

ଉଦାହରଣ 5 ପ୍ରମାଣ କର ଯେ ବିନ୍ଦୁ A $(2,3,-4), B(1,-2,3)$ ଏବଂ $C(3,8,-11)$ ସମରେଖୀୟ।

ସମାଧାନ A ଏବଂ B କୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ରେଖାର ଦିଗ୍ ଅନୁପାତ ହେଉଛନ୍ତି

$1-2,-2-3,3+4$ ଅର୍ଥାତ୍ $-1,-5,7$।

$B$ ଏବଂ $C$ କୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ରେଖାର ଦିଗ୍ ଅନୁପାତ ହେଉଛନ୍ତି $3-1,8+2,-11-3$, ଅର୍ଥାତ୍ $2,10,-14$।

ଏହା ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ $AB$ ଏବଂ $BC$ ର ଦିଗ୍ ଅନୁପାତ ସମାନୁପାତୀ, ତେଣୁ, $AB$ ସମାନ୍ତରାଳ ହେଉଛି $BC$ ର। କିନ୍ତୁ ବିନ୍ଦୁ $B$ ଉଭୟ $AB$ ଏବଂ $BC$ ପାଇଁ ସାଧାରଣ। ତେଣୁ, $A, B, C$ ସମରେଖୀୟ ବିନ୍ଦୁ।

11.3 ସ୍ପେସ୍ରେ ଏକ ରେଖାର ସମୀକରଣ

ଆମେ କ୍ଲାସ XI ରେ ଦ୍ୱିପରିମାଣରେ ରେଖାର ସମୀକରଣ ଅଧ୍ୟୟନ କରିଛୁ, ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ ସ୍ପେସ୍ରେ ଏକ ରେଖାର ଭେକ୍ଟର ଏବଂ କାର୍ଟେସିଆନ୍ ସମୀକରଣ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବୁ।

ଏକ ରେଖା ଅନନ୍ୟ ଭାବରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ ହୁଏ ଯଦି

(i) ଏହା ଏକ ଦିଆଯାଇଥିବା ବିନ୍ଦୁ ଦେଇ ଯାଏ ଏବଂ ଏକ ଦିଆଯାଇଥିବା ଦିଗ ଅଛି, କିମ୍ବା

(ii) ଏହା ଦୁଇଟି ଦିଆଯାଇଥିବା ବିନ୍ଦୁ ଦେଇ ଯାଏ।

11.3.1 ଏକ ଦିଆଯାଇଥିବା ବିନ୍ଦୁ ଦେଇ ଯାଉଥିବା ଏବଂ $\vec{a}$ ଦିଆଯାଇଥିବା ଭେକ୍ଟର $\vec{b}$ ସହିତ ସମାନ୍ତରାଳ ଏକ ରେଖାର ସମୀକରଣ

ମନେକର $\vec{a}$ ହେଉଛି ଆୟତାକାର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ପ୍ରଣାଳୀର ମୂଳବିନ୍ଦୁ $O$ ସହିତ ସମ୍ବନ୍ଧିତ ଦିଆଯାଇଥିବା ବିନ୍ଦୁ A ର ସ୍ଥିତି ଭେକ୍ଟର। ମନେକର $l$ ହେଉଛି ରେଖା ଯାହା ବିନ୍ଦୁ $A$ ଦେଇ ଯାଏ ଏବଂ ଏକ ଦିଆଯାଇଥିବା ଭେକ୍ଟର $\vec{b}$ ସହିତ ସମାନ୍ତରାଳ। ମନେକର $\vec{r}$ ହେଉଛି ରେଖା ଉପରେ ଥିବା ଏକ ଅବିଚାରିତ ବିନ୍ଦୁ $P$ ର ସ୍ଥିତି ଭେକ୍ଟର (ଚିତ୍ର 11.3)।

ତେବେ $\overrightarrow{{}AP}$ ଭେକ୍ଟର $\vec{b}$ ସହିତ ସମାନ୍ତରାଳ, ଅର୍ଥାତ୍ $\overrightarrow{{}AP}=\lambda \vec{b}$, ଯେଉଁଠାରେ $\lambda$ ହେଉଛି କିଛି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା।

କିନ୍ତୁ $$ \overrightarrow{{}AP}=\overrightarrow{{}OP}-\overrightarrow{{}OA} $$

ଅର୍ଥାତ୍ $$\lambda \vec{b}=\vec{r}-\vec{a}$$

ବିପରୀତତଃ, ପ୍ରାଚଳ $\lambda$ ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ, ଏହି ସମୀକରଣ ରେଖା ଉପରେ ଥିବା ଏକ ବିନ୍ଦୁ $P$ ର ସ୍ଥିତି ଭେକ୍ଟର ଦେଇଥାଏ। ତେଣୁ, ରେଖାର ଭେକ୍ଟର ସମୀକରଣ ଦିଆଯାଏ

$$ \begin{equation*} \vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b} \tag{1} \end{equation*} $$

ଟିପ୍ପଣୀ ଯଦି $\vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$, ତେବେ $a, b, c$ ହେଉଛନ୍ତି ରେଖାର ଦିଗ୍ ଅନୁପାତ ଏବଂ ବିପରୀତତଃ, ଯଦି $a, b, c$ ହେଉଛନ୍ତି ଏକ ରେଖାର ଦିଗ୍ ଅନୁପାତ, ତେବେ $\vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ ରେଖା ସହିତ ସମାନ୍ତରାଳ ହେବ। ଏଠାରେ, $b$ କୁ $|\vec{b}|$ ସହିତ ଦ୍ୱନ୍ଦ୍ୱ କରାଯିବା ଉଚିତ ନୁହେଁ। ଭେକ୍ଟର ରୂପରୁ କାର୍ଟେସିଆନ୍ ରୂପର ଉତ୍ପାଦନ

ମନେକର ଦିଆଯାଇଥିବା ବିନ୍ଦୁ $A$ ର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ହେଉଛି $(x_1, y_1, z_1)$ ଏବଂ ରେଖାର ଦିଗ୍ ଅନୁପାତ ହେଉଛି $a, b, c$। ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁ $P$ ର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ $(x, y, z)$ ହେଉଛି ବିଚାର କର। ତେବେ

$$ \overrightarrow{{}r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} ; \overrightarrow{{}a}=x_1 \hat{i}+y_1 \hat{j}+z_1 \hat{k} $$

ଏବଂ $$ \vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k} $$

ଏହି ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ (1) ରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରି ଏବଂ $\hat{i}, \hat{j}$ ଏବଂ $\hat{k}$ ର ଗୁଣାଙ୍କ ସମାନ କରି, ଆମେ ପାଇବା

$$ \begin{equation*} x=x _{1}+\lambda a ; \quad y=y _{1}+\lambda b ;\quad z=z _{1}+\lambda c \tag{2} \end{equation*} $$

ଏଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ରେଖାର ପାରାମିଟ୍ରିକ୍ ସମୀକରଣ। ପାରାମିଟର $\lambda$ କୁ (2) ରୁ ବାହାର କରି, ଆମେ ପାଇବା

$$ \begin{equation*} \frac{x-x _{1}}{a}=\frac{y-y _{1}}{b}=\frac{z-z _{1}}{c} \tag{3} \end{equation*} $$

ଏହା ହେଉଛି ରେଖାର କାର୍ଟେସିଆନ୍ ସମୀକରଣ।

ଟିପ୍ପଣୀ ଯଦି $l, m, n$ ହେଉଛନ୍ତି ରେଖାର ଦିଗ୍ କୋସାଇନ୍, ରେଖାର ସମୀକରଣ ହେଉଛି

$$ \frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n} $$

ଉଦାହରଣ 6 ବିନ୍ଦୁ $(5,2,-4)$ ଦେଇ ଯାଉଥିବା ଏବଂ ଭେକ୍ଟର $3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}$ ସହିତ ସମାନ୍ତରାଳ ରେଖାର ଭେକ୍ଟର ଏବଂ କାର୍ଟେସିଆନ୍ ସମୀକରଣ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ ଆମେ ପାଇଛୁ

$$ \vec{a}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k} \text{ and } \vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k} $$

ତେଣୁ, ରେଖାର ଭେକ୍ଟର ସମୀକରଣ ହେଉଛି

$$ \vec{r}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}) $$

ବର୍ତ୍ତମାନ, $\vec{r}$ ହେଉଛି ରେଖା ଉପରେ ଥିବା ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁ $P(x, y, z)$ ର ସ୍ଥିତି ଭେକ୍ଟର।

ତେଣୁ, $$\quad x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k})$$ $$ =(5+3 \lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(-4-8 \lambda) \hat{k} $$

$\lambda$ କୁ ବାହାର କରି, ଆମେ ପାଇବା

$$ \frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+4}{-8} $$

ଯାହା ହେଉଛି କାର୍ଟେସିଆନ୍ ରୂପରେ ରେଖାର ସମୀକରଣ।

11.4 ଦୁଇଟି ରେଖା ମଧ୍ୟରେ କୋଣ

ମନେକର $L_1$ ଏବଂ $L_2$ ହେଉଛନ୍ତି ଦୁଇଟି ରେଖା ଯାହା ମୂଳବିନ୍ଦୁ ଦେଇ ଯାଇଛି ଏବଂ ଯଥାକ୍ରମେ ଦିଗ୍ ଅନୁପାତ $a_1, b_1, c_1$ ଏବଂ $a_2, b_2, c_2$ ଅଛି। ମନେକର $P$ ହେଉଛି $L_1$ ଉପରେ ଥିବା ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଏବଂ $Q$ ହେଉଛି ⟦202