ଯଦି ଛାତ୍ର କେବେ ନିଜେ ଉଦ୍ଭାବିତ ଏକ ସମସ୍ୟାର ସମାଧାନ କରିବାର ସୁଯୋଗ ପାଇନଥାଏ, ତେବେ ତାଙ୍କର ଗାଣିତିକ ଅନୁଭବ ଅସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ରହେ। - ଜି. ପୋଲିଆ

12.1 ପରିଚୟ

ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀଗୁଡ଼ିକରେ, ଆମେ ରେଖୀୟ ସମୀକରଣର ପ୍ରଣାଳୀ ଏବଂ ଦୈନନ୍ଦିନ ସମସ୍ୟାରେ ସେମାନଙ୍କର ପ୍ରୟୋଗ ବିଷୟରେ ଆଲୋଚନା କରିଛୁ। ଶ୍ରେଣୀ XIରେ, ଆମେ ଦୁଇଟି ଚଳରାଶିରେ ରେଖୀୟ ଅସମୀକରଣ ଏବଂ ରେଖୀୟ ଅସମୀକରଣର ପ୍ରଣାଳୀ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ସମାଧାନ ଗ୍ରାଫିକାଲ ପଦ୍ଧତିରେ ଅଧ୍ୟୟନ କରିଛୁ। ଗଣିତରେ ଅନେକ ପ୍ରୟୋଗ ଅସମୀକରଣ/ସମୀକରଣର ପ୍ରଣାଳୀକୁ ନେଇ ଗଠିତ। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରକାରର କିଛି ବାସ୍ତବ ଜୀବନ ସମସ୍ୟା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ରେଖୀୟ ଅସମୀକରଣ/ସମୀକରଣର ପ୍ରଣାଳୀ ପ୍ରୟୋଗ କରିବୁ:

ଜଣେ ଆସବାବପତ୍ର ବ୍ୟବସାୟୀ କେବଳ ଦୁଇଟି ଜିନିଷରେ ବ୍ୟବସାୟ କରନ୍ତି - ଟେବୁଲ ଏବଂ ଚେୟାର। ତାଙ୍କ ପାଖରେ ବିନିଯୋଗ କରିବାକୁ 50,000 ଟଙ୍କା ଅଛି ଏବଂ ସର୍ବାଧିକ 60ଟି ଜିନିଷ ରଖିବାର ସ୍ଥାନ ଅଛି। ଏକ ଟେବୁଲର ମୂଲ୍ୟ 2500 ଟଙ୍କା ଏବଂ ଏକ ଚେୟାରର ମୂଲ୍ୟ 500 ଟଙ୍କା। ସେ ଆକଳନ କରନ୍ତି ଯେ ଗୋଟିଏ ଟେବୁଲ ବିକ୍ରୟରୁ, ସେ 250 ଟଙ୍କା ଲାଭ କରିପାରିବେ ଏବଂ ଗୋଟିଏ

ଏଲ. କାଣ୍ଟୋରୋଭିଚ୍ ଚେୟାର ବିକ୍ରୟରୁ 75 ଟଙ୍କା ଲାଭ କରିପାରିବେ। ସେ ଜାଣିବାକୁ ଚାହାଁନ୍ତି ଯେ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଟଙ୍କାରୁ ସେ କେତେ ଟେବୁଲ ଏବଂ ଚେୟାର କିଣିବା ଉଚିତ ଯାହା ଦ୍ୱାରା ତାଙ୍କର ସମୁଦାୟ ଲାଭ ସର୍ବାଧିକ ହେବ, ଏହା ଧାରଣା କରି ଯେ ସେ ଯାହା କିଣନ୍ତି ସମସ୍ତ ଜିନିଷ ବିକ୍ରୟ କରିପାରିବେ। ଏହି ପ୍ରକାରର ସମସ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଯାହା ଲାଭ (କିମ୍ବା, ମୂଲ୍ୟ) ସର୍ବାଧିକ (କିମ୍ବା, ସର୍ବନିମ୍ନ) କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରେ, ସେଗୁଡ଼ିକ ଅପ୍ଟିମାଇଜେସନ୍ ସମସ୍ୟା ନାମକ ସାଧାରଣ ଶ୍ରେଣୀର ସମସ୍ୟା ଗଠନ କରେ। ତେଣୁ, ଏକ ଅପ୍ଟିମାଇଜେସନ୍ ସମସ୍ୟା ସର୍ବାଧିକ ଲାଭ, ସର୍ବନିମ୍ନ ମୂଲ୍ୟ, କିମ୍ବା ସମ୍ପତ୍ତିର ସର୍ବନିମ୍ନ ବ୍ୟବହାର ଆଦି ଖୋଜିବାକୁ ନେଇ ଗଠିତ ହୋଇପାରେ।

ଅପ୍ଟିମାଇଜେସନ୍ ସମସ୍ୟାର ଏକ ବିଶେଷ କିନ୍ତୁ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଶ୍ରେଣୀ ହେଉଛି ରେଖୀୟ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ସମସ୍ୟା। ଉପରୋକ୍ତ ଉଲ୍ଲେଖିତ ଅପ୍ଟିମାଇଜେସନ୍ ସମସ୍ୟା ହେଉଛି ରେଖୀୟ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ସମସ୍ୟାର ଏକ ଉଦାହରଣ। ରେଖୀୟ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ସମସ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଶିଳ୍ପ, ବାଣିଜ୍ୟ, ପରିଚାଳନା ବିଜ୍ଞାନ ଆଦିରେ ସେମାନଙ୍କର ବ୍ୟାପକ ପ୍ରୟୋଗିତା ହେତୁ ବହୁତ ଆକର୍ଷଣୀୟ।

ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ କେତେକ ରେଖୀୟ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ସମସ୍ୟା ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ସମାଧାନ କେବଳ ଗ୍ରାଫିକାଲ ପଦ୍ଧତିରେ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବୁ, ଯଦିଓ ଏହିପରି ସମସ୍ୟା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଅନେକ ଅନ୍ୟ ପଦ୍ଧତି ମଧ୍ୟ ଅଛି।

12.2 ରେଖୀୟ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ସମସ୍ୟା ଏବଂ ଏହାର ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ରୀକରଣ

ଆମେ ଆମର ଆଲୋଚନା ଉପରୋକ୍ତ ଆସବାବପତ୍ର ବ୍ୟବସାୟୀର ଉଦାହରଣ ସହିତ ଆରମ୍ଭ କରୁ, ଯାହା ଦୁଇଟି ଚଳରାଶିରେ ସମସ୍ୟାର ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ରୀକରଣ ଆଡକୁ ଆଗକୁ ନେଇଯିବ। ଏହି ଉଦାହରଣରେ, ଆମେ ଦେଖୁ

(i) ବ୍ୟବସାୟୀ ତାଙ୍କର ଟଙ୍କା ଟେବୁଲ କିମ୍ବା ଚେୟାର କିମ୍ବା ଉଭୟର ମିଶ୍ରଣ କିଣିବାରେ ବିନିଯୋଗ କରିପାରିବେ। ଆହୁରି, ସେ ବିଭିନ୍ନ ବିନିଯୋଗ କୌଶଳ ଅନୁସରଣ କରି ବିଭିନ୍ନ ଲାଭ ଅର୍ଜନ କରିବେ।

(ii) କିଛି ପ୍ରମୁଖ ଶର୍ତ୍ତ କିମ୍ବା ସୀମାବଦ୍ଧତା ଅଛି, ଯଥା, ତାଙ୍କର ବିନିଯୋଗ ସର୍ବାଧିକ 50,000 ଟଙ୍କା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସୀମିତ ଏବଂ ତାଙ୍କର ସଂରକ୍ଷଣ ସ୍ଥାନ ମଧ୍ୟ ସର୍ବାଧିକ 60ଟି ଜିନିଷ ପାଇଁ।

ଧରାଯାଉ ସେ କେବଳ ଟେବୁଲ କିଣିବାକୁ ସ୍ଥିର କଲେ ଏବଂ କୌଣସି ଚେୟାର ନୁହେଁ, ତେଣୁ ସେ $50000 \div 2500$, ଅର୍ଥାତ୍ 20ଟି ଟେବୁଲ କିଣିପାରିବେ। ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ତାଙ୍କର ଲାଭ ହେବ $(250 \times 20)$ ଟଙ୍କା, ଅର୍ଥାତ୍ $\mathbf{5 0 0 0}$ ଟଙ୍କା।

ଧରାଯାଉ ସେ କେବଳ ଚେୟାର କିଣିବାକୁ ବାଛନ୍ତି ଏବଂ କୌଣସି ଟେବୁଲ ନୁହେଁ। ତାଙ୍କର 50,000 ଟଙ୍କା ପୁଞ୍ଜି ସହିତ, ସେ $50000 \div 500$, ଅର୍ଥାତ୍ 100ଟି ଚେୟାର କିଣିପାରିବେ। କିନ୍ତୁ ସେ କେବଳ 60ଟି ଜିନିଷ ସଂରକ୍ଷଣ କରିପାରିବେ। ତେଣୁ, ସେ କେବଳ 60ଟି ଚେୟାର କିଣିବାକୁ ବାଧ୍ୟ ହେବେ ଯାହା ତାଙ୍କୁ ସମୁଦାୟ $(60 \times 75)$ ଟଙ୍କା ଲାଭ ଦେବ, ଅର୍ଥାତ୍ 4500 ଟଙ୍କା।

ଅନେକ ଅନ୍ୟ ସମ୍ଭାବନା ଅଛି, ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ସେ 10ଟି ଟେବୁଲ ଏବଂ 50ଟି ଚେୟାର କିଣିବାକୁ ବାଛିପାରନ୍ତି, ଯେହେତୁ ସେ କେବଳ 60ଟି ଜିନିଷ ସଂରକ୍ଷଣ କରିପାରିବେ। ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମୁଦାୟ ଲାଭ ହେବ $(10 \times 250+50 \times 75)$ ଟଙ୍କା, ଅର୍ଥାତ୍ $\mathbf{6 2 5 0}$ ଟଙ୍କା ଇତ୍ୟାଦି।

ଆମେ ଏହିପରି ଦେଖୁ ଯେ ବ୍ୟବସାୟୀ ତାଙ୍କର ଟଙ୍କା ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ବିନିଯୋଗ କରିପାରିବେ ଏବଂ ସେ ବିଭିନ୍ନ ବିନିଯୋଗ କୌଶଳ ଅନୁସରଣ କରି ବିଭିନ୍ନ ଲାଭ ଅର୍ଜନ କରିବେ।

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମସ୍ୟା ହେଉଛି: ସର୍ବାଧିକ ଲାଭ ପାଇବା ପାଇଁ ସେ ତାଙ୍କର ଟଙ୍କା କିପରି ବିନିଯୋଗ କରିବା ଉଚିତ? ଏହି ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ଦେବା ପାଇଁ, ଆସନ୍ତୁ ସମସ୍ୟାଟିକୁ ଗାଣିତିକ ଭାବରେ ସୂତ୍ରୀକରଣ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରିବା।

12.2.1 ସମସ୍ୟାର ଗାଣିତିକ ସୂତ୍ରୀକରଣ

ଧରାଯାଉ $x$ ହେଉଛି ଟେବୁଲର ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ $y$ ହେଉଛି ଚେୟାରର ସଂଖ୍ୟା ଯାହା ବ୍ୟବସାୟୀ କିଣନ୍ତି। ସ୍ପଷ୍ଟଭାବେ, $x$ ଏବଂ $y$ ଅଣ-ନକାରାତ୍ମକ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ, ଅର୍ଥାତ୍,

$$ \begin{align*} & x \geq 0 \tag{1}\\ & y \geq 0 \tag{2} \end{align*} \text { (Non-negative constraints) } $$

ବ୍ୟବସାୟୀ ସର୍ବାଧିକ ପରିମାଣର ଟଙ୍କା ଯାହା ସେ ବିନିଯୋଗ କରିପାରିବେ (ଏଠାରେ ଏହା 50,000 ଟଙ୍କା) ଏବଂ ସର୍ବାଧିକ ଜିନିଷ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା ସେ ସଂରକ୍ଷଣ କରିପାରିବେ (ଏଠାରେ ଏହା 60) ଦ୍ୱାରା ସୀମିତ।

ଗାଣିତିକ ଭାବରେ କହିଲେ,

କିମ୍ବା $$ \begin{array}{rlrl} 2500 x+500 y & \leq 50,000 & \text { (investment constraint ) } \\ 5 x+y & \leq 100 & & \\ x+y & \leq 60 & & \text { (storage constraint) } \tag{4} \end{array} $$

ବ୍ୟବସାୟୀ ଏପରି ଭାବରେ ବିନିଯୋଗ କରିବାକୁ ଚାହାଁନ୍ତି ଯାହା ଦ୍ୱାରା ତାଙ୍କର ଲାଭ, ଧରାଯାଉ, $Z$ ସର୍ବାଧିକ ହେବ, ଯାହା $x$ ଏବଂ $y$ ର ଏକ ଫଳନ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶିତ ହେଉଛି

$Z=250 x+75 y$ (ଲକ୍ଷ୍ୟ ଫଳନ କୁହାଯାଏ)

ଗାଣିତିକ ଭାବରେ, ଦିଆଯାଇଥିବା ସମସ୍ୟା ବର୍ତ୍ତମାନ ହ୍ରାସ ପାଇଛି:

$Z=250 x+75 y$ ସର୍ବାଧିକ କର

ନିମ୍ନଲିଖିତ ସୀମାବଦ୍ଧତାଗୁଡ଼ିକୁ ବିଷୟ କରି:

$$ \begin{aligned} 5 x+y & \leq 100 \\ x+y & \leq 60 \\ x \geq 0, y & \geq 0 \end{aligned} $$

ତେଣୁ, ଆମକୁ ରେଖୀୟ ଫଳନ $Z$କୁ କିଛି ଶର୍ତ୍ତ ଦ୍ୱାରା ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ କିଛି ଶର୍ତ୍ତ ଅଧୀନରେ ସର୍ବାଧିକ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ, ଯାହା ଚଳରାଶିଗୁଡ଼ିକ ଅଣ-ନକାରାତ୍ମକ ହୋଇଥିବା ଏକ ସେଟ୍ ରେଖୀୟ ଅସମୀକରଣ ଦ୍ୱାରା ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ। ଆଉ କିଛି ସମସ୍ୟା ମଧ୍ୟ ଅଛି ଯେଉଁଠାରେ ଆମକୁ ଏକ ରେଖୀୟ ଫଳନକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ ଯାହା ଚଳରାଶିଗୁଡ଼ିକ ଅଣ-ନକାରାତ୍ମକ ହୋଇଥିବା ଏକ ସେଟ୍ ରେଖୀୟ ଅସମୀକରଣ ଦ୍ୱାରା ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ କିଛି ଶର୍ତ୍ତ ଅଧୀନରେ। ଏହିପରି ସମସ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ରେଖୀୟ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ସମସ୍ୟା କୁହାଯାଏ।

ତେଣୁ, ଏକ ରେଖୀୟ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ସମସ୍ୟା ହେଉଛି ଏକ ଯାହା ଅନେକ ଚଳରାଶି (ଧରାଯାଉ $x$ ଏବଂ $y$)ର ଏକ ରେଖୀୟ ଫଳନ (ଲକ୍ଷ୍ୟ ଫଳନ କୁହାଯାଏ)ର ଉତ୍ତମ ମୂଲ୍ୟ (ସର୍ବାଧିକ କିମ୍ବା ସର୍ବନିମ୍ନ ମୂଲ୍ୟ) ଖୋଜିବା ସହିତ ଜଡ଼ିତ, ଏହି ଶର୍ତ୍ତରେ ଯେ ଚଳରାଶିଗୁଡ଼ିକ ଅଣ-ନକାରାତ୍ମକ ଏବଂ ଏକ ସେଟ୍ ରେଖୀୟ ଅସମୀକରଣ (ରେଖୀୟ ସୀମାବଦ୍ଧତା କୁହାଯାଏ)କୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରେ। ରେଖୀୟ ଶବ୍ଦଟି ସୂଚାଏ ଯେ ସମସ୍ୟାରେ ବ୍ୟବହୃତ ସମସ୍ତ ଗାଣିତିକ ସମ୍ପର୍କ ହେଉଛି ରେଖୀୟ ସମ୍ପର୍କ ଯେତେବେଳେ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ଶବ୍ଦଟି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ରମ କିମ୍ବା କାର୍ଯ୍ୟପନ୍ଥା ନିର୍ଧାରଣ ପଦ୍ଧତିକୁ ସୂଚାଏ।

ଆମେ ଆଗକୁ ବଢ଼ିବା ପୂର୍ବରୁ, ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ କିଛି ପାରିଭାଷିକ ଶବ୍ଦ (ଯାହା ଉପରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇଛି) ସାଧାରଣତଃ ସଂଜ୍ଞା ଦେଉଛୁ ଯାହାକୁ ଆମେ ରେଖୀୟ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ସମସ୍ୟାରେ ବ୍ୟବହାର କରିବୁ:

ଲକ୍ଷ୍ୟ ଫଳନ ରେଖୀୟ ଫଳନ $Z=a x+b y$, ଯେଉଁଠାରେ $a, b$ ସ୍ଥିରାଙ୍କ, ଯାହାକୁ ସର୍ବାଧିକ କିମ୍ବା ସର୍ବନିମ୍ନ କରାଯିବା ଉଚିତ, ତାହାକୁ ଏକ ରେଖୀୟ ଲକ୍ଷ୍ୟ ଫଳନ କୁହାଯାଏ।

ଉପରୋକ୍ତ ଉଦାହରଣରେ, $Z=250 x+75 y$ ହେଉଛି ଏକ ରେଖୀୟ ଲକ୍ଷ୍ୟ ଫଳନ। ଚଳରାଶି $x$ ଏବଂ $y$କୁ ନିଷ୍ପତ୍ତି ଚଳରାଶି କୁହାଯାଏ।

ସୀମାବଦ୍ଧତା ଏକ ରେଖୀୟ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ସମସ୍ୟାର ଚଳରାଶିଗୁଡ଼ିକ ଉପରେ ଥିବା ରେଖୀୟ ଅସମୀକରଣ କିମ୍ବା ସମୀକରଣ କିମ୍ବା ପ୍ରତିବନ୍ଧକଗୁଡ଼ିକୁ ସୀମାବଦ୍ଧତା କୁହାଯାଏ। ଶର୍ତ୍ତ $x \geq 0, y \geq 0$କୁ ଅଣ-ନକାରାତ୍ମକ ପ୍ରତିବନ୍ଧକ କୁହାଯାଏ। ଉପରୋକ୍ତ ଉଦାହରଣରେ, ଅସମୀକରଣ (1)ରୁ (4)ର ସେଟ୍ ହେଉଛି ସୀମାବଦ୍ଧତା।

ଅପ୍ଟିମାଇଜେସନ୍ ସମସ୍ୟା ଏକ ସମସ୍ୟା ଯାହା ଏକ ରେଖୀୟ ଫଳନ (ଧରାଯାଉ ଦୁଇଟି ଚଳରାଶି $x$ ଏବଂ $y$ର)କୁ ସର୍ବାଧିକ କିମ୍ବା ସର୍ବନିମ୍ନ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରେ ଯାହା ଏକ ସେଟ୍ ରେଖୀୟ ଅସମୀକରଣ ଦ୍ୱାରା ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ କିଛି ସୀମାବଦ୍ଧତା ଅଧୀନରେ, ତାହାକୁ ଏକ ଅପ୍ଟିମାଇଜେସନ୍ ସମସ୍ୟା କୁହାଯାଏ। ରେଖୀୟ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ସମସ୍ୟା ହେଉଛି ଅପ୍ଟିମାଇଜେସନ୍ ସମସ୍ୟାର ଏକ ବିଶେଷ ପ୍ରକାର। ଚେୟାର ଏବଂ ଟେବୁଲ କ୍ରୟରେ ବ୍ୟବସାୟୀ ଦ୍ୱାରା ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ରାଶି ବିନିଯୋଗ କରିବାର ଉପରୋକ୍ତ ସମସ୍ୟା ଏକ ଅପ୍ଟିମାଇଜେସନ୍ ସମସ୍ୟା ଏବଂ ଏକ ରେଖୀୟ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ସମସ୍ୟାର ଏକ ଉଦାହରଣ।

ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ ଆଲୋଚନା କରିବୁ ଯେ କିପରି ଏକ ରେଖୀୟ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ସମସ୍ୟାର ସମାଧାନ ଖୋଜିବା। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ କେବଳ ଗ୍ରାଫିକାଲ ପଦ୍ଧତି ସହିତ ଜଡ଼ିତ ରହିବୁ।

12.2.2 ରେଖୀୟ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ସମସ୍ୟା ସମାଧାନର ଗ୍ରାଫିକାଲ ପଦ୍ଧତି

ଶ୍ରେଣୀ XIରେ, ଆମେ ଶିଖିଛୁ କିପରି ଦୁଇଟି ଚଳରାଶି $x$ ଏବଂ $y$କୁ ନେଇ ଗଠିତ ଏକ ରେଖୀୟ ଅସମୀକରଣର ପ୍ରଣାଳୀର ଗ୍ରାଫ୍ ଅଙ୍କନ କରିବେ ଏବଂ ଏହାର ସମାଧାନଗୁଡ଼ିକୁ ଗ୍ରାଫିକାଲ ଭାବରେ ଖୋଜିବା। ଆସନ୍ତୁ ଆମେ ଅଧ୍ୟାୟ 12.2ରେ ଆଲୋଚିତ ଟେବୁଲ ଏବଂ ଚେୟାରରେ ବିନିଯୋଗ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସମସ୍ୟାକୁ ଦେଖିବା। ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ ଏହି ସମସ୍ୟାଟିକୁ ଗ୍ରାଫିକାଲ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିବା। ଆସନ୍ତୁ ଆମେ ରେଖୀୟ ଅସମୀକରଣ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶିତ ସୀମାବଦ୍ଧତାଗୁଡ଼ିକର ଗ୍ରାଫ୍ ଅଙ୍କନ କରିବା:

$$ \begin{align*} 5 x+y & \leq 100 \tag{1} \\ x+y & \leq 60 \tag{2} \\ x & \geq 0 \tag{3} \\ y & \geq 0 \tag{4} \end{align*} $$

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ଗ୍ରାଫ୍ (ଛାୟାଚ୍ଛନ୍ନ ଅଞ୍ଚଳ) ଅସମୀକରଣ (1)ରୁ (4) ଦ୍ୱାରା ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ସମସ୍ତ ଅର୍ଦ୍ଧ-ତଳ ସହିତ ସାଧାରଣ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ ଗଠିତ (ଚିତ୍ର 12.1)। ଏହି ଅଞ୍ଚଳର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁ ଟେବୁଲ ଏବଂ ଚେୟାରରେ ବିନିଯୋଗ କରିବା ପାଇଁ ବ୍ୟବସାୟୀ ପାଇଁ ଏକ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ବିକଳ୍ପକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ। ତେଣୁ, ଅଞ୍ଚଳଟିକୁ ସମସ୍ୟା ପାଇଁ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଅଞ୍ଚଳ କୁହାଯାଏ। ଏହି ଅଞ୍ଚଳର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁକୁ ସମସ୍ୟାର ଏକ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ସମାଧାନ କୁହାଯାଏ। ଏହିପରି ଭାବରେ, ଆମର ଅଛି,

ଚିତ୍ର 12.1

ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଅଞ୍ଚଳ ଏକ ରେଖୀୟ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ସମସ୍ୟାର ସମସ୍ତ ସୀମାବଦ୍ଧତା ସହିତ ଅଣ-ନକାରାତ୍ମକ ସୀମାବଦ୍ଧତା $x, y \geq 0$ ଦ୍ୱାରା ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ସାଧାରଣ ଅଞ୍ଚଳକୁ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଅଞ୍ଚଳ (କିମ୍ବା ସମାଧାନ ଅଞ୍ଚଳ) କୁହାଯାଏ। ଚିତ୍ର 12.1ରେ, ଅଞ୍ଚଳ OABC (ଛାୟାଚ୍ଛନ୍ନ) ହେଉଛି ସମସ୍ୟା ପାଇଁ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଅଞ୍ଚଳ। ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଅଞ୍ଚଳ ବ୍ୟତୀତ ଅଞ୍ଚଳକୁ ଏକ ଅସମ୍ଭବ ଅଞ୍ଚଳ କୁହାଯାଏ।

ସମ୍ଭାବ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଅଞ୍ଚଳର ଭିତରେ ଏବଂ ସୀମାରେ ଥିବା ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ ସୀମାବଦ୍ଧତାର ସମ୍ଭାବ୍ୟ ସମାଧାନକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ। ଚିତ୍ର 12.1ରେ, ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଅଞ୍ଚଳ $OABC$ ଭିତରେ