ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ହେଉଛି କେବଳ ତର୍କର ବିଜ୍ଞାନକୁ ପରିମାଣାତ୍ମକ ଭାବେ ବିବେଚନା କରାଯାଇଛି - C.S. PEIRCE

13.1 ପରିଚୟ

ପିଏରେ ଡି ଫର୍ମାଟ $(1601-1665)$

ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀଗୁଡ଼ିକରେ, ଆମେ ଏକ ଯାଦୁଚ୍ଛିକ ପରୀକ୍ଷଣରେ ଘଟଣାଗୁଡ଼ିକର ଅନିଶ୍ଚିତତାର ମାପ ଭାବରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଅଧ୍ୟୟନ କରିଛୁ। ଆମେ ରୁଷିଆଁ ଗଣିତଜ୍ଞ A.N. କୋଲ୍ମୋଗୋରୋଭ (1903-1987) ଦ୍ୱାରା ପ୍ରଣୀତ ସ୍ଵସିଦ୍ଧ ଉପାୟ ଆଲୋଚନା କରିଛୁ ଏବଂ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାକୁ ପରୀକ୍ଷଣର ଫଳାଫଳର ଏକ ଫଳନ ଭାବରେ ବିବେଚନା କରିଛୁ। ସମାନ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଫଳାଫଳ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଆମେ ସ୍ଵସିଦ୍ଧ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଏବଂ ଶାସ୍ତ୍ରୀୟ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ମଧ୍ୟରେ ସମାନତା ସ୍ଥାପନ କରିଛୁ। ଏହି ସମ୍ପର୍କ ଉପରେ ଆଧାର କରି, ଆମେ ବିଚ୍ଛିନ୍ନ ନମୁନା ସ୍ଥାନ ସହିତ ଜଡ଼ିତ ଘଟଣାଗୁଡ଼ିକର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ପାଇଛୁ। ଆମେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ଯୋଗ ନିୟମ ମଧ୍ୟ ଅଧ୍ୟୟନ କରିଛୁ। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ଏକ ଘଟଣାର ଶର୍ତ୍ତମୂଳକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ଗୁରୁତ୍ଵପୂର୍ଣ୍ଣ ଧାରଣା ଆଲୋଚନା କରିବା, ଯେଉଁଥିରେ ଅନ୍ୟ ଏକ ଘଟଣା ଘଟିଛି, ଯାହା ବାୟେସ୍ ପ୍ରମେୟ, ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ଗୁଣନ ନିୟମ ଏବଂ ଘଟଣାଗୁଡ଼ିକର ସ୍ଵାଧୀନତା ବୁଝିବାରେ ସାହାଯ୍ୟକାରୀ ହେବ। ଆମେ ଯାଦୁଚ୍ଛିକ ଚଳରାଶି ଏବଂ ଏହାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ବିତରଣ ଏବଂ ଏକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ବିତରଣର ମାଧ୍ୟ ଏବଂ ପ୍ରସରଣ ମଧ୍ୟ ଶିଖିବା। ଅଧ୍ୟାୟର ଶେଷ ଭାଗରେ, ଆମେ ଦ୍ଵିପଦ ବିତରଣ ନାମକ ଏକ ଗୁରୁତ୍ଵପୂର୍ଣ୍ଣ ବିଚ୍ଛିନ୍ନ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ବିତରଣ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବା। ସମଗ୍ର ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ସମାନ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଫଳାଫଳ ଥିବା ପରୀକ୍ଷଣଗୁଡ଼ିକୁ ନେବା, ଅନ୍ୟଥା ନକହିଲେ।

13.2 ଶର୍ତ୍ତମୂଳକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା

ଏଯାବତ୍ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାରେ, ଆମେ ଘଟଣାଗୁଡ଼ିକର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଖୋଜିବାର ପଦ୍ଧତି ଆଲୋଚନା କରିଛୁ। ଯଦି ଆମର ଏକା ନମୁନା ସ୍ଥାନରୁ ଦୁଇଟି ଘଟଣା ଅଛି, ତେବେ ଗୋଟିଏ ଘଟଣାର ଘଟଣା ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସୂଚନା ଅନ୍ୟ ଘଟଣାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତାକୁ ପ୍ରଭାବିତ କରେ କି? ଆସନ୍ତୁ ଏକ ଯାଦୁଚ୍ଛିକ ପରୀକ୍ଷଣ ନେଇ ଏହି ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ଦେବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରିବା ଯେଉଁଥିରେ ଫଳାଫଳଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ଭାବରେ ଘଟିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଅଛି।

ତିନୋଟି ସମଭାଗ୍ୟ ମୁଦ୍ରାକୁ ଟସ୍ କରିବାର ପରୀକ୍ଷଣ ବିଚାର କର। ପରୀକ୍ଷଣର ନମୁନା ସ୍ଥାନ ହେଉଛି

$$ \mathrm{S}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{TTT}\} $$

ମୁଦ୍ରାଗୁଡ଼ିକ ସମଭାଗ୍ୟ ହୋଇଥିବାରୁ, ଆମେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ନମୁନା ବିନ୍ଦୁକୁ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା $\frac{1}{8}$ ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରିପାରିବା। ମନେକର $E$ ହେଉଛି ‘ଅତି କମରେ ଦୁଇଟି ମୁଣ୍ଡ ଦେଖାଯାଏ’ ଏବଂ $F$ ହେଉଛି ‘ପ୍ରଥମ ମୁଦ୍ରା ଲାଞ୍ଜ ଦେଖାଏ’ ଘଟଣା। ତେବେ

$\mathrm{E}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\}$

କିମ୍ବା $\mathrm{F}=\{ \mathrm{THH, THT, TTH, TTT} \}$

ତେଣୁ $$ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\mathrm{P}(\{\mathrm{HHH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{HHT}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{HTH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\}) $$

$$ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} \text { (क्यों ?) } $$

କିମ୍ବା $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{THT}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{TTH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{TTT}\}) $$

$$ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} $$

$\mathrm{E} \cap \mathrm{F}=\{\mathrm{THH}\}$ ସହିତ

ତେଣୁ $\quad \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\})=\frac{1}{8}$

ବର୍ତ୍ତମାନ, ଧରାଯାଉ ଆମକୁ ଦିଆଯାଇଛି ଯେ ପ୍ରଥମ ମୁଦ୍ରା ଲାଞ୍ଜ ଦେଖାଏ, ଅର୍ଥାତ୍ F ଘଟେ, ତେବେ $E$ ର ଘଟଣାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କ’ଣ? $F$ ର ଘଟଣା ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସୂଚନା ସହିତ, ଆମେ ନିଶ୍ଚିତ ଯେ ଯେଉଁ କ୍ଷେତ୍ରଗୁଡ଼ିକରେ ପ୍ରଥମ ମୁଦ୍ରା ଲାଞ୍ଜରେ ପରିଣତ ହୁଏ ନାହିଁ ସେଗୁଡ଼ିକୁ $E$ ର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଖୋଜିବା ସମୟରେ ବିଚାର କରାଯିବା ଉଚିତ ନୁହେଁ। ଏହି ସୂଚନା ଆମର ନମୁନା ସ୍ଥାନକୁ $S$ ସେଟ୍ ରୁ ଏହାର ଉପସେଟ୍ $F$ କୁ ଘଟଣା $E$ ପାଇଁ ହ୍ରାସ କରେ। ଅନ୍ୟ ଅର୍ଥରେ, ଅତିରିକ୍ତ ସୂଚନା ପ୍ରକୃତରେ ଆମକୁ କହୁଛି ଯେ ପରିସ୍ଥିତିକୁ ଏକ ନୂତନ ଯାଦୁଚ୍ଛିକ ପରୀକ୍ଷଣର ଭାବରେ ବିବେଚନା କରାଯାଇପାରେ ଯାହାର ନମୁନା ସ୍ଥାନ କେବଳ ସେହି ସମସ୍ତ ଫଳାଫଳକୁ ନେଇ ଗଠିତ ଯାହା ଘଟଣା $F$ ର ଘଟଣାକୁ ଅନୁକୂଳ କରେ।

ବର୍ତ୍ତମାନ, $F$ ର ନମୁନା ବିନ୍ଦୁ ଯାହା ଘଟଣା $E$ କୁ ଅନୁକୂଳ କରେ ତାହା ହେଉଛି THH।

ଏହିପରି, $E$ ର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା $F$ କୁ ନମୁନା ସ୍ଥାନ $=\frac{1}{4}$ ଭାବରେ ବିବେଚନା କରି,

କିମ୍ବା $\quad$ $E$ ର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଦିଆଯାଇଛି ଯେ ଘଟଣା $F$ ଘଟିଛି $=\frac{1}{4}$

ଘଟଣା $E$ ର ଏହି ସମ୍ଭାବ୍ୟତାକୁ $E$ ର ଶର୍ତ୍ତମୂଳକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କୁହାଯାଏ ଯାହା ଦିଆଯାଇଛି ଯେ $F$ ପୂର୍ବରୁ ଘଟିଛି, ଏବଂ ଏହାକୁ $P(E \mid F)$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ।

ଏହିପରି $\quad P(E \mid F)=\frac{1}{4}$

ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ ଯେ $F$ ର ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ଯାହା ଘଟଣା $E$ କୁ ଅନୁକୂଳ କରେ ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି $E$ ଏବଂ $F$ ର ସାଧାରଣ ଉପାଦାନ, ଅର୍ଥାତ୍ $E \cap F$ ର ନମୁନା ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ।

ଏହିପରି, ଆମେ ମଧ୍ୟ $E$ ର ଶର୍ତ୍ତମୂଳକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଲେଖିପାରିବା ଯାହା ଦିଆଯାଇଛି ଯେ $F$ ଘଟିଛି

$$ \begin{aligned} P(E \mid F) & =\frac{\text{ Number of elementary events favourable to } E \cap F}{\text{ Number of elementary events which are favourable to } F} \\ & =\frac{n(E \cap F)}{n(F)} \end{aligned} $$

ଅଂଶ ଏବଂ ହାରକୁ ନମୁନା ସ୍ଥାନର ସମୁଦାୟ ମୌଳିକ ଘଟଣା ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରି, ଆମେ ଦେଖୁଛୁ ଯେ $P(EIF)$ ମଧ୍ୟ ଏହିପରି ଲେଖାଯାଇପାରେ

$$ P(E \mid F)=\frac{\frac{n(E \cap F)}{n(S)}}{\frac{n(F)}{n(S)}}=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \tag{1} $$

ଟିପ୍ପଣୀ ଯେ (1) କେବଳ ଯେତେବେଳେ $P(F) \neq 0$ ଅର୍ଥାତ୍, $F \neq \phi$ (କାହିଁକି?) ବୈଧ ଅଟେ। ଏହିପରି, ଆମେ ଶର୍ତ୍ତମୂଳକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାକୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ସଂଜ୍ଞାୟିତ କରିପାରିବା:

ସଂଜ୍ଞା 1 ଯଦି $E$ ଏବଂ $F$ ହେଉଛନ୍ତି ଏକ ଯାଦୁଚ୍ଛିକ ପରୀକ୍ଷଣର ସମାନ ନମୁନା ସ୍ଥାନ ସହିତ ଜଡ଼ିତ ଦୁଇଟି ଘଟଣା, ଘଟଣା $E$ ର ଶର୍ତ୍ତମୂଳକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଯାହା ଦିଆଯାଇଛି ଯେ $F$ ଘଟିଛି, ଅର୍ଥାତ୍ $P(E \mid F)$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଏ

$$ P(EIF)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \text{ provided } P(F) \neq 0 $$

13.2.1 ଶର୍ତ୍ତମୂଳକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ଗୁଣଧର୍ମ

ମନେକର $E$ ଏବଂ $F$ ହେଉଛନ୍ତି ଏକ ପରୀକ୍ଷଣର ନମୁନା ସ୍ଥାନ $S$ ର ଘଟଣା, ତେବେ ଆମର ଅଛି

ଗୁଣଧର୍ମ $1 P(S \mid F)=P(F \mid F)=1$

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $$ \mathrm{P}(\mathrm{S} \mid \mathrm{F})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{S} \cap \mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}=1 $$

ଏହିପରି $$ P(F \mid F)=\frac{P(F \cap F)}{P(F)}=\frac{P(F)}{P(F)}=1 $$

କିମ୍ବା $$ \mathrm{P}(\mathrm{S} \mid \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{F})=1 $$

ଗୁଣଧର୍ମ 2 ଯଦି $A$ ଏବଂ $B$ ହେଉଛନ୍ତି ଏକ ନମୁନା ସ୍ଥାନ $S$ ର ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ଘଟଣା ଏବଂ $F$ ହେଉଛି $S$ ର ଏକ ଘଟଣା ଯେପରି ଯେ $P(F) \neq 0$, ତେବେ

$$ P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F)-P((A \cap B) \mid F) $$

ବିଶେଷ କରି, ଯଦି $A$ ଏବଂ $B$ ହେଉଛନ୍ତି ଅସଂଯୁକ୍ତ ଘଟଣା, ତେବେ

ଆମର ଅଛି $$ P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F) $$

ଆମେ ଜାଣୁ $$ \begin{aligned} P((A \cup B) \mid F) & =\frac{P[(A \cup B) \cap F]}{P(F)} \\ & =\frac{P[(A \cap F) \cup(B \cap F)]}{P(F)} \end{aligned} $$

(ସେଟ୍ ଗୁଡ଼ିକର ସଂଯୋଗର ଛେଦ ଉପରେ ବିତରଣ ନିୟମ ଦ୍ୱାରା)

$$ \begin{aligned} & =\frac{P(A \cap F)+P(B \cap F)-P(A \cap B \cap F)}{P(F)} \\ & =\frac{P(A \cap F)}{P(F)}+\frac{P(B \cap F)}{P(F)}-\frac{P[(A \cap B) \cap F]}{P(F)} \\ & =P(A \mid F)+P(B \mid F)-P((A \cap B) \mid F) \end{aligned} $$

ଯେତେବେଳେ $A$ ଏବଂ $B$ ହେଉଛନ୍ତି ଅସଂଯୁକ୍ତ ଘଟଣା, ତେବେ

$$ \begin{matrix}
& P((A \cap B) \mid F)=0 \\ \Rightarrow \quad & P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F) \end{matrix} $$

ଯେତେବେଳେ $\mathrm{A}$ ଏବଂ $\mathrm{B}$ ହେଉଛନ୍ତି ଅସଂଯୁକ୍ତ ଘଟଣା, ତେବେ $\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \mid F)+\mathrm{P}(\mathrm{B} \mid \mathrm{F})$

ଗୁଣଧର୍ମ $3 P(E^{\prime} \mid F)=1-P(E \mid F)$

ଗୁଣଧର୍ମ 1 ରୁ, ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $P(SIF)=1$

$$ \begin{matrix} \Rightarrow & P(E \cup E^{\prime} \mid F)=1 & \text{ since } S=E \cup E^{\prime} \\ \Rightarrow & P(E \mid F)+P(E^{\prime} \mid F)=1 & \text{ since } E \text{ and } E^{\prime} \text{ are disjoint events } \\ \text{ Thus, } & P(E^{\prime} \mid F)=1-P(E \mid F) & \end{matrix} $$

ଆସନ୍ତୁ ବର୍ତ୍ତମାନ କିଛି ଉଦାହରଣ ନେବା।

ଉଦାହରଣ 1 ଯଦି $P(A)=\frac{7}{13}, P(B)=\frac{9}{13}$ ଏବଂ $P(A \cap B)=\frac{4}{13}$, ତେବେ $P(A \mid B)$ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କର।

ସମାଧାନ ଆମର ଅଛି $P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{13}}{\frac{9}{13}}=\frac{4}{9}$

ଉଦାହରଣ 2 ଏକ ପରିବାରରେ ଦୁଇଟି ସନ୍ତାନ ଅଛି। ଯଦି ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ଅତି କମରେ ଜଣେ ପୁଅ ଅଟେ, ତେବେ ଉଭୟ ସନ୍ତାନ ପୁଅ ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କ’ଣ?

ସମାଧାନ ମନେକର $b$ ପୁଅ ପାଇଁ ଏବଂ $g$ ଝିଅ ପାଇଁ ଠିଆ ହୁଏ। ପରୀକ୍ଷଣର ନମୁନା ସ୍ଥାନ ହେଉଛି

$$ S=\{(b, b),(g, b),(b, g),(g, g)\} $$

ମନେକର $E$ ଏବଂ $F$ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଘଟଣାଗୁଡ଼ିକୁ ସୂଚିତ କରେ:

E : ‘ଉଭୟ ସନ୍ତାନ ପୁଅ’

$F$ : ‘ଅତି କମରେ ଜଣେ ସନ୍ତାନ ପୁଅ’

ତେବେ $$E=\{(b, b)\} and F=\{(b, b),(g, b),(b, g)\}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ $$E \cap F=\{(b, b)\}$$

ଏହିପରି $$ P(F)=\frac{3}{4} \text{ and } P(E \cap F)=\frac{1}{4} $$

ତେଣୁ $$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3} $$

ଉଦାହରଣ 3 1 ରୁ 10 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ଥିବା ଦଶଟି କାର୍ଡ଼ ଏକ ବାକ୍ସରେ ରଖାଯାଇଛି, ଭଲ ଭାବରେ ମିଶ୍ରିତ ହୋଇଛି ଏବଂ ତା’ପରେ ଗୋଟିଏ କାର୍ଡ଼ ଯାଦୁଚ୍ଛିକ ଭାବରେ ଟାଣାଯାଇଛି। ଯଦି ଜଣାଯାଏ ଯେ ଟାଣାଯାଇଥିବା କାର୍ଡ଼ର ସଂଖ୍ୟା 3 ରୁ ଅଧିକ, ତେବେ ଏହା ଏକ ଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟା ହେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କ’ଣ?

ସମାଧାନ ମନେକର A ହେଉଛି ଘଟଣା ‘ଟାଣାଯାଇଥିବା କାର୍ଡ଼ର ସଂଖ୍ୟା ଯୁଗ୍ମ’ ଏବଂ B ହେଉଛି ଘଟଣା ‘ଟାଣାଯାଇଥିବା କାର୍ଡ଼ର ସଂଖ୍ୟା 3 ରୁ ଅଧିକ’। ଆମକୁ $P(AlB)$ ଖୋଜିବାକୁ ପଡ଼ିବ।

ବର୍ତ୍ତମାନ, ପରୀକ୍ଷଣର ନମୁନା ସ୍ଥାନ ହେଉଛି $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$

ତେବେ $$ A=\{2,4,6,8,10\}, B=\{4,5,6,7,8,9,10\} $$

ଏବଂ $$ A \cap B=\{4,6,8,10\} $$

ଆଉ $$ P(A)=\frac{5}{10}, P(B)=\frac{7}{10} \text{ and } P(A \cap B)=\frac{4}{10} $$

$$ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{10}}{\frac{7}{10}}=\frac{4}{7} $$

ଉଦାହରଣ 4 ଏକ ବିଦ୍ୟାଳୟରେ 1000 ଜଣ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀ ଅଛନ୍ତି, ଯେଉଁଥିରୁ 430 ଜଣ ଝିଅ। ଜଣାଯାଏ ଯେ $430,10 \%$ ଝିଅମାନେ ଦ୍ୱାଦଶ ଶ୍ରେଣୀରେ ପଢ଼ନ୍ତି। ଯାଦୁଚ୍ଛିକ ଭାବରେ ଚୟନ କରାଯାଇଥିବା ଛାତ୍ରଟି ଦ୍ୱାଦଶ ଶ୍ରେଣୀରେ ପଢ଼ୁଥିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କ’ଣ ଯଦି ଚୟନ କରାଯାଇଥିବା ଛାତ୍ରଟି ଜଣେ ଝିଅ?

ସମାଧାନ ମନେକର E ଘଟଣାଟି ସୂଚିତ କରେ ଯେ ଯାଦୁଚ୍ଛିକ ଭାବରେ ଚୟନ କରାଯାଇଥିବା ଛାତ୍ରଟି ଦ୍ୱାଦଶ ଶ୍ରେଣୀରେ ପଢ଼େ ଏବଂ $F$ ହେଉଛି ଘଟଣା ଯେ ଯାଦୁଚ୍ଛିକ ଭାବରେ ଚୟନ କରାଯାଇଥିବା ଛାତ୍ରଟି ଜଣେ ଝିଅ। ଆମକୁ $P(EIF)$ ଖୋଜିବାକୁ ପଡ଼ିବ।

ବର୍ତ୍ତମାନ $\quad P(F)=\frac{430}{1000}=0.43$ ଏବଂ $P(E \cap F)=\frac{43}{1000}=0.043$(କାହିଁକି?)

ତେବେ $$\quad P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{0.043}{0.43}=0.1$$

ଉଦାହରଣ 5 ଏକ ପାସାକୁ ତିନିଥର ଫୋପାଡ଼ା ଯାଏ। ଘଟଣା A ଏବଂ B ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ସଂଜ୍ଞାୟିତ:

A : ତୃତୀୟ ଥରରେ 4

B : ପ୍ରଥମ ଥରରେ 6 ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଥରରେ 5

B ପୂର୍ବରୁ ଘଟିସାରିଛି ଦିଆଯାଇ A ର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଖୋଜ।

ସମାଧାନ ନମୁନା ସ୍ଥାନରେ 216 ଟି ଫଳାଫଳ ଅଛି।

ବର୍ତ୍ତମାନ

$\mathrm{A} =\left\lbrace \begin{array}{ccccccc} (1,1,4) & (1,2,4) & \ldots & (1,6,4) & (2,1,4)& (2,2,4)& \ldots & (2,6,4) \\
(3,1,4) & (3,2,4) &\ldots & (3,6,4)& (4,1,4)& (4,2,4) &\ldots &(4,6,4) \\ (5,1,4) & (5,2,4) & \ldots & (5,6,4)& (6,1,4)&(6,2,4)& \ldots &(6,6,4) \\ \end{array}\right\rbrace $

$$ \begin{aligned} & B=\{(6,5,1),(6,5,2),(6,5,3),(6,5,4),(6,5,5),(6,5,6)\} \end{aligned} $$

ଏବଂ $$ A \cap B=\{(6,5,4)\} . $$

ବର୍ତ୍ତମାନ $$ P(B)=\frac{6}{216} \text{ and } P(A \cap B)=\frac{1}{216} $$

ତେବେ $$ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{216}}{\frac{6}{216}}=\frac{1}{6} $$

ଉଦାହରଣ 6 ଏକ ପାସାକୁ ଦୁଇଥର ଫୋପାଡ଼ା ଯାଏ ଏବଂ ଦେଖାଯାଉଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ 6 ହେବା ଦେଖାଯାଏ। ଶର୍ତ୍ତମୂଳକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା କ’ଣ ଯେ ସଂଖ୍ୟା 4 ଅତି କମରେ ଥରେ ଦେଖାଯାଇଛି?

ସମାଧାନ ମନେକର $E$ ହେଉଛି ଘଟଣା ‘ସଂଖ୍ୟା 4 ଅତି କମରେ ଥରେ ଦେଖାଯାଏ’ ଏବଂ $F$ ହେଉଛି ଘଟଣା ‘ଦେଖାଯାଉଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ 6’।

ତେବେ, $$ \begin{aligned} & E=\{(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(1,4),(2,4),(3,4),(5,4),(6,4)\} \\ & F=\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\} \end{aligned} $$

ଏବଂ ଆମର ଅଛି $$ P(E)=\frac{11}{36} \text{ and } P(F)=\frac{5}{36} $$

ଆଉ $$ E \cap F=\{(2,4),(4,2)\} $$

ତେଣୁ $$ P(E \cap F)=\frac{2}{36} $$

ତେଣୁ, ଆବଶ୍ୟକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା $$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{2}{36}}{\frac{5}{36}}=\frac{2}{5} $$

ଉପରୋକ୍ତ ଆଲୋଚିତ ଶର୍ତ୍ତମୂଳକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ପାଇଁ, ଆମେ ପରୀକ୍ଷଣର ମୌଳିକ ଘଟଣାଗୁଡ଼ିକୁ ସମାନ ଭାବରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ବିବେଚନା କରିଛୁ ଏବଂ ଏକ ଘଟଣାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତାର ସଂଗତ ସଂଜ୍ଞା ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇଛି। ତଥାପି, ସମାନ ସଂଜ୍ଞାଟି ସାଧାରଣ କ୍ଷେତ୍ରରେ ମଧ୍ୟ ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇପାରେ ଯେଉଁଠାରେ ନମୁନା ସ୍ଥାନର ମୌଳିକ ଘଟଣାଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ଭାବରେ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ନୁହଁନ୍ତି, ସମ୍ଭାବ୍ୟତା $P(E \cap F)$ ଏବଂ $P(F)$ ଅନୁଯାୟୀ ଗଣନା କରାଯାଇଛି। ଆସନ୍ତୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉଦାହରଣ ନେବା।

ଉଦାହରଣ 7 ଏକ ମୁଦ୍ରା ଟସ୍ କରିବାର ପରୀକ୍ଷଣ ବିଚାର କର। ଯଦି ମୁଦ୍ରା ମୁଣ୍ଡ ଦେଖାଏ, ତାକୁ ପୁଣି ଥରେ ଟସ୍ କର କିନ୍ତୁ ଯଦି ଏହା ଲାଞ୍ଜ ଦେଖାଏ, ତେବେ ଏକ ପାସା ଫୋପାଡ଼। ଘଟଣାର ଶର୍ତ୍ତମୂଳକ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଖୋଜ ଯେ ‘ପାସା 4 ରୁ ଅଧିକ ସଂଖ୍ୟା ଦେଖାଏ’ ଦିଆଯାଇଛି ଯେ ‘ଅତି କମରେ ଗୋଟିଏ ଲାଞ୍ଜ ଅଛି’।

ସମାଧାନ ପରୀକ୍ଷଣର ଫଳାଫଳଗୁଡ଼ିକୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଚିତ୍ରାତ୍ମକ ପଦ୍ଧତିରେ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ଵ କରାଯାଇପାରେ ଯାହାକୁ ‘ଟ୍ରି ଡାଏଗ୍ରାମ’ କୁହାଯାଏ।

ପରୀକ୍ଷଣର ନମୁନା ସ୍ଥାନ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇପାରେ

$ S=\{(H, H),(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3),(T, 4),(T, 5),(T, 6)\} $

ଯେଉଁଠାରେ $(H, H)$ ସୂଚିତ କରେ ଯେ ଉଭୟ ଟସ୍ ମୁଣ୍ଡରେ ପରିଣତ ହୁଏ ଏବଂ $(T, i)$ ପ୍ରଥମ ଟସ୍ ଲାଞ୍ଜରେ ପରିଣତ ହୁଏ ଏବଂ ସଂଖ୍ୟା $i$ ପାସାରେ $i=1,2,3,4,5,6$ ପାଇଁ ଦେଖାଯାଏ। ଏହିପରି, 8 ଟି ମୌଳିକ ଘଟଣାକୁ ନିର୍ଦ୍ଧାର