ପୃଥିବୀରେ କୁତ୍ସିତ ଗଣିତର କୌଣସି ସ୍ଥାୟୀ ସ୍ଥାନ ନାହିଁ … । ଗାଣିତିକ ସୌନ୍ଦର୍ଯ୍ୟକୁ ସଠିକ୍ ଭାବରେ ସଂଜ୍ଞା ଦେବା ବହୁତ କଷ୍ଟକର ହୋଇପାରେ, କିନ୍ତୁ ଯେକୌଣସି ପ୍ରକାର ସୌନ୍ଦର୍ଯ୍ୟ ପାଇଁ ଏହା ସମାନ ଭାବରେ ସତ୍ୟ, ଆମେ ଏକ ସୁନ୍ଦର କବିତା କହିଲେ କ’ଣ ବୁଝୁ ନା ଜାଣି ନପାରିବା, କିନ୍ତୁ ତାହା ଆମକୁ ଗୋଟିଏ ପଢ଼ିବା ସମୟରେ ଚିହ୍ନିବାରୁ ରୋକେ ନାହିଁ । - G. H. HARDY

1.1 ପରିଚୟ

ମନେ ରଖନ୍ତୁ ଯେ, ଶ୍ରେଣୀ XIରେ ସମ୍ପର୍କ ଏବଂ ଫଳନ, ପ୍ରଦେଶ, ସହପ୍ରଦେଶ ଏବଂ ପରିସରର ଧାରଣା ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବାସ୍ତବ ମୂଲ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ଫଳନ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ଲେଖଚିତ୍ର ସହିତ ପରିଚିତ କରାଯାଇଥିଲା । ଗଣିତରେ ‘ସମ୍ପର୍କ’ ଶବ୍ଦର ଧାରଣା ଇଂରାଜୀ ଭାଷାରେ ସମ୍ପର୍କର ଅର୍ଥରୁ ନିଆଯାଇଛି, ଯାହା ଅନୁସାରେ ଦୁଇଟି ବସ୍ତୁ ବା ପରିମାଣ ପରସ୍ପର ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ ହୋଇଥାନ୍ତି ଯଦି ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଏକ ଚିହ୍ନିବା ଯୋଗ୍ୟ ସଂଯୋଗ ବା ଲିଙ୍କ୍ ଥାଏ । ମନେକର A ଏକ ବିଦ୍ୟାଳୟର ଶ୍ରେଣୀ XIIର ସମସ୍ତ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀଙ୍କର ସେଟ୍ ହେଉ ଏବଂ B ସେହି ବିଦ୍ୟାଳୟର ଶ୍ରେଣୀ XIର ସମସ୍ତ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀଙ୍କର ସେଟ୍ ହେଉ । ତେବେ $A$ରୁ $B$ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମ୍ପର୍କର କେତେକ ଉଦାହରଣ ହେଉଛି

(i) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a is brother of b}\}$

(ii) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a is sister of b}\}$,

Lejeune Dirichlet (1805-1859)

(iii) $\{(a, b) \in A \times B : \text{age of a is greater than age of b}\}$,

(iv) $\{(a, b) \in A \times B$ : a ଦ୍ୱାରା ଅନ୍ତିମ ପରୀକ୍ଷାରେ ପ୍ରାପ୍ତ ସମୁଦାୟ ମାର୍କ b ଦ୍ୱାରା ଅନ୍ତିମ ପରୀକ୍ଷାରେ ପ୍ରାପ୍ତ ସମୁଦାୟ ମାର୍କଠାରୁ କମ୍ $\}$

(v) $\{(a, b) \in A \times B: a$, $b\}$ ସହିତ ସମାନ ଅଞ୍ଚଳରେ ରହେ । ତଥାପି, ଏଥିରୁ ଅମୂର୍ତ୍ତ ହୋଇ, ଆମେ ଗାଣିତିକ ଭାବରେ $A$ରୁ $B$ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏକ ସମ୍ପର୍କ $R$କୁ $A \times B$ର ଏକ ଇଚ୍ଛାଧୀନ ଉପସେଟ୍ ଭାବରେ ସଂଜ୍ଞା ଦେଉଛୁ ।

ଯଦି $(a, b) \in R$, ଆମେ କହୁଛୁ ଯେ $a$, ସମ୍ପର୍କ $R$ ଅଧୀନରେ $b$ ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ ଏବଂ ଆମେ $a R b$ ଭାବରେ ଲେଖୁଛୁ । ସାଧାରଣତଃ, $(a, b) \in R$, ଆମେ ଚିନ୍ତା କରୁ ନାହିଁ ଯେ $a$ ଏବଂ $b$ ମଧ୍ୟରେ ଏକ ଚିହ୍ନିବା ଯୋଗ୍ୟ ସଂଯୋଗ ବା ଲିଙ୍କ୍ ଅଛି କି ନାହିଁ । ଶ୍ରେଣୀ XIରେ ଦେଖାଯାଇଥିବା ଭାବରେ, ଫଳନଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ବିଶେଷ ପ୍ରକାରର ସମ୍ପର୍କ ।

ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ସମ୍ପର୍କ ଏବଂ ଫଳନ, ଫଳନର ସଂଯୋଜନ, ବିପରୀତତା ଫଳନ ଏବଂ ଦ୍ୱିଆଧାର କ୍ରିୟା ଅଧ୍ୟୟନ କରିବୁ ।

1.2 ସମ୍ପର୍କର ପ୍ରକାରଭେଦ

ଏହି ବିଭାଗରେ, ଆମେ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ସମ୍ପର୍କ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବାକୁ ଚାହୁଁଛୁ । ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ଏକ ସେଟ୍ $A$ରେ ଏକ ସମ୍ପର୍କ ହେଉଛି $A \times A$ର ଏକ ଉପସେଟ୍ । ତେଣୁ, ଖାଲି ସେଟ୍ $\phi$ ଏବଂ $A \times A$ ହେଉଛି ଦୁଇଟି ଚରମ ସମ୍ପର୍କ । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $A=\{1,2,3,4\}$ ସେଟ୍ରେ ଏକ ସମ୍ପର୍କ $R$କୁ ବିଚାର କର, ଯାହା $R=\{(a, b): a-b=10\}$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି । ଏହା ହେଉଛି ଖାଲି ସେଟ୍, କାରଣ କୌଣସି ଯୋଡ଼ା $(a, b)$ ଶର୍ତ୍ତ $a-b=10$କୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରେ ନାହିଁ । ସେହିପରି, $R^{\prime}=\{(a, b):|a-b| \geq 0\}$ ହେଉଛି ସମ୍ପୁର୍ଣ୍ଣ ସେଟ୍ $A \times A$, କାରଣ A $\times$ Aରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଯୋଡ଼ା $(a, b)$, $|a-b| \geq 0$କୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରେ । ଏହି ଦୁଇଟି ଚରମ ଉଦାହରଣ ଆମକୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଜ୍ଞାଗୁଡ଼ିକ ଆଡ଼କୁ ନେଇଥାଏ ।

ସଂଜ୍ଞା 1 ଏକ ସେଟ୍ $A$ରେ ଏକ ସମ୍ପର୍କ $R$କୁ ଖାଲି ସମ୍ପର୍କ କୁହାଯାଏ, ଯଦି $A$ର କୌଣସି ଉପାଦାନ $A$ର କୌଣସି ଉପାଦାନ ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ ନୁହେଁ, ଅର୍ଥାତ୍, $R=\phi \subset A \times A$ ।

ସଂଜ୍ଞା 2 ଏକ ସେଟ୍ $A$ରେ ଏକ ସମ୍ପର୍କ $R$କୁ ସାର୍ବଜନୀନ ସମ୍ପର୍କ କୁହାଯାଏ, ଯଦି $A$ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ $A$ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ, ଅର୍ଥାତ୍, $R=A \times A$ ।

ଖାଲି ସମ୍ପର୍କ ଏବଂ ସାର୍ବଜନୀନ ସମ୍ପର୍କ ଉଭୟକୁ ବେଳେବେଳେ ତୁଚ୍ଛ ସମ୍ପର୍କ କୁହାଯାଏ ।

ଉଦାହରଣ 1 ମନେକର $A$ ଏକ ବାଳକ ବିଦ୍ୟାଳୟର ସମସ୍ତ ଛାତ୍ରଙ୍କର ସେଟ୍ ହେଉ । ଦର୍ଶାଅ ଯେ $A$ରେ ସମ୍ପର୍କ $R$, ଯାହା $R=\{(a, b): a$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି, ହେଉଛି $b\}$ର ଭଉଣୀ, ଏହା ହେଉଛି ଖାଲି ସମ୍ପର୍କ ଏବଂ $R^{\prime}=\{(a, b):$, $a$ ଏବଂ $b$ର ଉଚ୍ଚତାର ପାର୍ଥକ୍ୟ 3 ମିଟରଠାରୁ କମ୍ $\}$, ଏହା ହେଉଛି ସାର୍ବଜନୀନ ସମ୍ପର୍କ ।

ସମାଧାନ ଯେହେତୁ ବିଦ୍ୟାଳୟଟି ଏକ ବାଳକ ବିଦ୍ୟାଳୟ, ବିଦ୍ୟାଳୟର କୌଣସି ଛାତ୍ର ବିଦ୍ୟାଳୟର କୌଣସି ଛାତ୍ରର ଭଉଣୀ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ । ତେଣୁ, $R=\phi$, ଯାହା ଦର୍ଶାଏ ଯେ $R$ ହେଉଛି ଖାଲି ସମ୍ପର୍କ । ଏହା ମଧ୍ୟ ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ ବିଦ୍ୟାଳୟର ଯେକୌଣସି ଦୁଇ ଛାତ୍ରର ଉଚ୍ଚତାର ପାର୍ଥକ୍ୟ 3 ମିଟରଠାରୁ କମ୍ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ । ଏହା ଦର୍ଶାଏ ଯେ $R^{\prime}=A \times A$ ହେଉଛି ସାର୍ବଜନୀନ ସମ୍ପର୍କ ।

ଟିପ୍ପଣୀ ଶ୍ରେଣୀ XIରେ, ଆମେ ଏକ ସମ୍ପର୍କକୁ ପ୍ରକାଶ କରିବାର ଦୁଇଟି ଉପାୟ ଦେଖିଛୁ, ଯଥା ରାଷ୍ଟର ପଦ୍ଧତି ଏବଂ ସେଟ୍ ବିଲ୍ଡର ପଦ୍ଧତି । ତଥାପି, $\{1,2,3,4\}$ ସେଟ୍ରେ ଏକ ସମ୍ପର୍କ $R$, ଯାହା $R$ $=\{(a, b): b=a+1\}$ ଦ୍ୱାରା ସଂଜ୍ଞା ଦିଆଯାଇଛି, ତାହା ଅନେକ ଲେଖକଙ୍କ ଦ୍ୱାରା $a R b$ ଯଦି ଏବଂ କେବଳ ଯଦି $b=a+1$ ଭାବରେ ମଧ୍ୟ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ । ଆମେ ମଧ୍ୟ ସୁବିଧା ଅନୁଯାୟୀ ଏହି ସଙ୍କେତ ବ୍ୟବହାର କରିପାରିବା ।

ଯଦି $(a, b) \in R$, ଆମେ କହୁଛୁ ଯେ $a$, $b$ ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ ଏବଂ ଆମେ ଏହାକୁ $a R b$ ଭାବରେ ସୂଚିତ କରୁଛୁ ।

ଗଣିତରେ ଏକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଭୂମିକା ଖେଳୁଥିବା ସବୁଠାରୁ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ସମ୍ପର୍କଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ହେଉଛି ଏକ ସମାନତା ସମ୍ପର୍କ । ସମାନତା ସମ୍ପର୍କ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବା ପାଇଁ, ଆମେ ପ୍ରଥମେ ତିନି ପ୍ରକାରର ସମ୍ପର୍କ, ଯଥା ପ୍ରତିବିମ୍ବିତ, ସମମିତିକ ଏବଂ ସଂକ୍ରମକକୁ ବିଚାର କରୁ ।

ସଂଜ୍ଞା 3 ଏକ ସେଟ୍ $A$ରେ ଏକ ସମ୍ପର୍କ $R$କୁ କୁହାଯାଏ

(i) ପ୍ରତିବିମ୍ବିତ, ଯଦି $(a, a) \in R$, ପ୍ରତ୍ୟେକ $a \in A$ ପାଇଁ,

(ii) ସମମିତିକ, ଯଦି $(a_{1}, a_{2}) \in R$ ସୂଚାଏ ଯେ $(a_{2}, a_{1}) \in R$, ସମସ୍ତ $a_{1}, a_{2} \in A$ ପାଇଁ ।

(iii) ସଂକ୍ରମକ, ଯଦି $(a_{1}, a_{2}) \in R$ ଏବଂ $(a_{2}, a_{3}) \in R$ ସୂଚାଏ ଯେ $(a_{1}, a_{3}) \in R$, ସମସ୍ତ $a_{1}, a_{2}$, $a_{3} \in A$ ପାଇଁ ।

ସଂଜ୍ଞା 4 ଏକ ସେଟ୍ $A$ରେ ଏକ ସମ୍ପର୍କ $R$କୁ ଏକ ସମାନତା ସମ୍ପର୍କ କୁହାଯାଏ ଯଦି $R$ ପ୍ରତିବିମ୍ବିତ, ସମମିତିକ ଏବଂ ସଂକ୍ରମକ ଅଟେ ।

ଉଦାହରଣ 2 ମନେକର $T$ ଏକ ସମତଳରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ତ୍ରିଭୁଜର ସେଟ୍ ହେଉ ଏବଂ $T$ରେ ଏକ ସମ୍ପର୍କ $R$, ଯାହା $R=\{(T_{1}, T_{2}): T_{1}.$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି, ହେଉଛି $.T_{2}\}$ ସହିତ ସର୍ବସମ । ଦର୍ଶାଅ ଯେ $R$ ଏକ ସମାନତା ସମ୍ପର୍କ ।

ସମାଧାନ $R$ ପ୍ରତିବିମ୍ବିତ, କାରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ତ୍ରିଭୁଜ ନିଜ ସହିତ ସର୍ବସମ । ଆହୁରି, $(T_{1}, T_{2}) \in R \Rightarrow T_{1}$, $T_{2} \Rightarrow T_{2}$ ସହିତ ସର୍ବସମ ହେଲେ $T_{1} \Rightarrow(T_{2}, T_{1}) \in R$, $R$ ସହିତ ସର୍ବସମ ହୁଏ । ତେଣୁ, $(T_{1}, T_{2}),(T_{2}, T_{3}) \in R \Rightarrow T_{1}$ ସମମିତିକ । ଏପରିକି, $T_{2}$, $T_{2}$ ସହିତ ସର୍ବସମ ଏବଂ $T_{3} \Rightarrow T_{1}$, $T_{3} \Rightarrow(T_{1}, T_{3}) \in R$ ସହିତ ସର୍ବସମ ହେଲେ $R$, $ Let L$ ସହିତ ସର୍ବସମ ହୁଏ । ତେଣୁ, $R$ ଏକ ସମାନତା ସମ୍ପର୍କ ।

ଉଦାହରଣ 3 ମନେକର $L$ ଏକ ସମତଳରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ରେଖାର ସେଟ୍ ହେଉ ଏବଂ $.L_{2}\}$ରେ ସମ୍ପର୍କ $R=\{(L_{1}, L_{2}): L_{1}.$, ଯାହା $R$ ଦ୍ୱାରା ସଂଜ୍ଞା ଦିଆଯାଇଛି, ହେଉଛି $R$ ସହିତ ଲମ୍ବ । ଦର୍ଶାଅ ଯେ $L_{1}$ ସମମିତିକ କିନ୍ତୁ ନ ତ ପ୍ରତିବିମ୍ବିତ ନ ତ ସଂକ୍ରମକ ।

ସମାଧାନ $(L_{1}, L_{1})$ ପ୍ରତିବିମ୍ବିତ ନୁହେଁ, କାରଣ ଏକ ରେଖା $\notin R$ ନିଜ ସହିତ ଲମ୍ବ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ, ଅର୍ଥାତ୍, $(L_{1}, L_{2}) \in R$ $R$ । R ସମମିତିକ କାରଣ $L_{1}$

$$ \begin{array}{ll} \Rightarrow & L_{1} \text { is perpendicular to } L_{2} \\ \Rightarrow & L_{2} \text { is perpendicular to } L_{1} \\ \Rightarrow & (L_{2}, L_{1}) \in R . \end{array} $$

$L_{2}$ ସଂକ୍ରମକ ନୁହେଁ । ପ୍ରକୃତରେ, ଯଦି $L_{2}$, $L_{3}$ ସହିତ ଲମ୍ବ ଏବଂ $L_{1}$, $L_{3}$ ସହିତ ଲମ୍ବ, ତେବେ $L_{1}$ କେବେବି $L_{3}$ ସହିତ ଲମ୍ବ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ । ବାସ୍ତବରେ, $(L_{1}, L_{2}) \in R,(L_{2}, L_{3}) \in R$, $(L_{1}, L_{3}) \notin R$ ସହିତ ସମାନ୍ତରାଳ, ଅର୍ଥାତ୍, $R$ କିନ୍ତୁ $\{1,2,3\}$ ।

ଚିତ୍ର 1.1

ଉଦାହରଣ 4 ଦର୍ଶାଅ ଯେ $\{(1,1),(2,2), (3,3),(1,2),(2,3)\}$ ସେଟ୍ରେ ସମ୍ପର୍କ $R$, ଯାହା R=$(1,1),(2,2)$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି, ପ୍ରତିବିମ୍ବିତ କିନ୍ତୁ ନ ତ ସମମିତିକ ନ ତ ସଂକ୍ରମକ ।

ସମାଧାନ $(3,3)$ ପ୍ରତିବିମ୍ବିତ, କାରଣ $R$ ଏବଂ $R$, $(1,2) \in R$ରେ ଅଛି । ଆହୁରି, $(2,1) \notin R$ ସମମିତିକ ନୁହେଁ, କାରଣ $R$ କିନ୍ତୁ $(1,2) \in R$ । ସେହିପରି, $(2,3) \in R$ ସଂକ୍ରମକ ନୁହେଁ, କାରଣ $(1,3) \notin R$ ଏବଂ $R$ କିନ୍ତୁ $\mathbf{Z}$ ।

ଉଦାହରଣ 5 ଦର୍ଶାଅ ଯେ $R=\{(a, b): 2 \text { divides } a-b\}$ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ $R$ରେ ସମ୍ପର୍କ $(a-a)$, ଯାହା $a \in \mathbf{Z}$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି, ଏକ ସମାନତା ସମ୍ପର୍କ ।

ସମାଧାନ $(a, b) \in R$ ପ୍ରତିବିମ୍ବିତ, କାରଣ 2, $a-b$କୁ ଭାଗକରେ ସମସ୍ତ $b-a$ ପାଇଁ । ଆହୁରି, ଯଦି $(b, a) \in R$, ତେବେ 2, $R$କୁ ଭାଗକରେ । ତେଣୁ, 2, $(a, b) \in R$କୁ ଭାଗକରେ । ତେଣୁ, $(b, c) \in R$, ଯାହା ଦର୍ଶାଏ ଯେ $a-b$ ସମମିତିକ । ସେହିପରି, ଯଦି $b-c$ ଏବଂ $a-c=(a-b)+(b-c)$, ତେବେ $(a-c)$ ଏବଂ $R$ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ । ବର୍ତ୍ତମାନ, $R$ ଯୁଗ୍ମ (କାହିଁକି?) । ତେଣୁ, $\mathbf{Z}$ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜ୍ୟ । ଏହା ଦର୍ଶାଏ ଯେ $(0, \pm 2),(0, \pm 4)$ ସଂକ୍ରମକ । ତେଣୁ, $R$, $(0, \pm 1),(0, \pm 3)$ରେ ଏକ ସମାନତା ସମ୍ପର୍କ ।

ଉଦାହରଣ 5ରେ, ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ ଯେ ସମସ୍ତ ଯୁଗ୍ମ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ଶୂନ୍ୟ ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ, କାରଣ $R$ ଇତ୍ୟାଦି, $E$ରେ ଅଛି ଏବଂ କୌଣସି ଅଯୁଗ୍ମ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା 0 ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ ନୁହେଁ, କାରଣ $O$ ଇତ୍ୟାଦି, $\mathbf{Z}$ରେ ନାହିଁ । ସେହିପରି, ସମସ୍ତ ଅଯୁଗ୍ମ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ଏକ ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ ଏବଂ କୌଣସି ଯୁଗ୍ମ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ଏକ ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ ନୁହେଁ । ତେଣୁ, ସମସ୍ତ ଯୁଗ୍ମ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍ $E$ ଏବଂ ସମସ୍ତ ଅଯୁଗ୍ମ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍ $O$ ହେଉଛି $E$ର ଉପସେଟ୍, ଯାହା ନିମ୍ନଲିଖିତ ଶର୍ତ୍ତଗୁଡ଼ିକୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରେ:

(i) $O$ର ସମସ୍ତ ଉପାଦାନ ପରସ୍ପର ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ ଏବଂ $E$ର ସମସ୍ତ ଉପାଦାନ ପରସ୍ପର ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ ।

(ii) $O$ର କୌଣସି ଉପାଦାନ $\mathbf{Z}=E \cup O$ର କୌଣସି ଉପାଦାନ ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ ନୁହେଁ ଏବଂ ବିପରୀତଟି ମଧ୍ୟ ସତ୍ୟ ।

(iii) $E$ ଏବଂ $O$ ପରସ୍ପରଠାରୁ ଅସଂଯୁକ୍ତ ଏବଂ $[0] \neq[1],[0]=[2 r]$ ।

ଉପସେଟ୍ $[1]=[2 r+1], r \in \mathbf{Z}$କୁ ଶୂନ୍ୟ ଧାରଣ କରୁଥିବା ସମାନତା ଶ୍ରେଣୀ କୁହାଯାଏ ଏବଂ ଏହାକୁ [0] ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ । ସେହିପରି, $R$ ହେଉଛି 1 ଧାରଣ କରୁଥିବା ସମାନତା ଶ୍ରେଣୀ ଏବଂ ଏହାକୁ [1] ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ । ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ ଯେ $X$ ଏବଂ $R$ । ବାସ୍ତବରେ, ଆମେ ଉପରେ ଯାହା ଦେଖିଲୁ ତାହା ଏକ ସେଟ୍ $X, R$ରେ ଏକ ଇଚ୍ଛାଧୀନ ସମାନତା ସମ୍ପର୍କ $X$ ପାଇଁ ସତ୍ୟ । ଏକ ଇଚ୍ଛାଧୀନ ସେଟ୍ $A_{i}$ରେ ଏକ ଇଚ୍ଛାଧୀନ ସମାନତା ସମ୍ପର୍କ $X$ ଦିଆଯାଇଥିଲେ, ଏହା $A_{i}$କୁ ପରସ୍ପରଠାରୁ ଅସଂଯୁକ୍ତ ଉପସେଟ୍ $i$ରେ ବିଭକ୍ତ କରେ, ଯାହାକୁ $A_{i}$ର ବିଭାଜନ ବା ଉପବିଭାଜନ କୁହାଯାଏ, ଯାହା ନିମ୍ନଲିଖିତ ଶର୍ତ୍ତଗୁଡ଼ିକୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରେ:

(i) $A_{j}, i \neq j$ର ସମସ୍ତ ଉପାଦାନ ପରସ୍ପର ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ, ସମସ୍ତ $\cup A_{j}=X$ ପାଇଁ ।

(ii) $A_{i} \cap A_{j}=\phi, i \neq j$ର କୌଣସି ଉପାଦାନ $A_{i}$ର କୌଣସି ଉପାଦାନ ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ ନୁହେଁ ।

(iii) $\mathbf{Z}$ ଏବଂ $A_{1}, A_{2}$ ।

ଉପସେଟ୍ $A_{3}$ଗୁଡ଼ିକୁ ସମାନତା ଶ୍ରେଣୀ କୁହାଯାଏ । ପରିସ୍ଥିତିର ଆକର୍ଷଣୀୟ ଅଂଶ ହେଉଛି ଯେ ଆମେ ବିପରୀତ ଦିଗରେ ମଧ୍ୟ ଯାଇପାରିବା । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $\mathbf{Z}$ ସେଟ୍ର ଏକ ଉପବିଭାଜନକୁ ବିଚାର କର, ଯାହା ତିନୋଟି ପରସ୍ପରଠାରୁ ଅସଂଯୁକ୍ତ ଉପସେଟ୍ $R$, $\mathbf{Z}$ ଏବଂ $R=\{(a, b): 3$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି, ଯାହାର ସଂଯୋଗ ହେଉଛି $a-b\}$, ସହିତ

$$ \begin{aligned} & A_{1}=\{x \in \mathbf{Z}: x \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-6,-3,0,3,6, \ldots\} \\ & A_{2}=\{x \in \mathbf{Z}: x-1 \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-5,-2,1,4,7, \ldots\} \\ & A_{3}=\{x \in \mathbf{Z}: x-2 \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-4,-1,2,5,8, \ldots\} \end{aligned} $$

$R$ ସେଟ୍ରେ ଏକ ସମ୍ପର୍କ $A_{1}$କୁ ସଂଜ୍ଞା ଦିଅ, ଯାହା $\mathbf{Z}$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି, ହେଉଛି $A_{2}$ ଭାଗକରେ $A_{3}$ । ଉଦାହରଣ 5ରେ ବ୍ୟବହୃତ ଯୁକ୍ତି ସହିତ ସମାନ ଯୁକ୍ତି ଅନୁସରଣ କରି, ଆମେ ଦର୍ଶାଇପାରିବା ଯେ $\mathbf{Z}$ ଏକ ସମାନତା ସମ୍ପର୍କ । ଆହୁରି, $A_{1}=[0], A_{2}=[1]$, $A_{3}=[2]$ରେ ଥିବ