ଗଣିତ, ସାଧାରଣତଃ, ମୌଳିକ ଭାବେ ପ୍ରଣାଳୀ ଏବଂ ସମ୍ପର୍କର ବିଜ୍ଞାନ ଅଟେ | — ଫେଲିକ୍ସ କ୍ଲାଇନ୍

2.1 ପରିଚୟ

ଅଧ୍ୟାୟ 1 ରେ, ଆମେ ଅଧ୍ୟୟନ କରିଛୁ ଯେ ଏକ ଫଳନ $f$ର ପ୍ରତିଲୋମ, ଯାହାକୁ $f^{-1}$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ, ବିଦ୍ୟମାନ ରହେ ଯଦି $f$ ଏକ-ଏକ ଏବଂ ଉପରିସ୍ଥ ହୁଏ | ଅନେକ ଫଳନ ଅଛନ୍ତି ଯାହା ଏକ-ଏକ, ଉପରିସ୍ଥ କିମ୍ବା ଉଭୟ ନୁହଁନ୍ତି ଏବଂ ତେଣୁ ଆମେ ସେମାନଙ୍କ ପ୍ରତିଲୋମ ବିଷୟରେ କଥା ହେବା ପାରିବା ନାହିଁ | ଶ୍ରେଣୀ XI ରେ, ଆମେ ଅଧ୍ୟୟନ କରିଥିଲୁ ଯେ ତ୍ରିକୋଣମିତୀୟ ଫଳନଗୁଡ଼ିକ ସେମାନଙ୍କର ପ୍ରାକୃତିକ ପ୍ରଦେଶ ଏବଂ ପରିସର ଉପରେ ଏକ-ଏକ ଏବଂ ଉପରିସ୍ଥ ନୁହଁନ୍ତି ଏବଂ ତେଣୁ ସେମାନଙ୍କର ପ୍ରତିଲୋମଗୁଡ଼ିକ ବିଦ୍ୟମାନ ନୁହଁନ୍ତି | ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ତ୍ରିକୋଣମିତୀୟ ଫଳନଗୁଡ଼ିକର ପ୍ରଦେଶ ଏବଂ ପରିସର ଉପରେ ଥିବା ନିର୍ବନ୍ଧନା ବିଷୟରେ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବା ଯାହା ସେମାନଙ୍କ ପ୍ରତିଲୋମର ଅସ୍ତିତ୍ୱକୁ ସୁନିଶ୍ଚିତ କରେ ଏବଂ ଚିତ୍ରାତ୍ମକ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ ମାଧ୍ୟମରେ ସେମାନଙ୍କର ଆଚରଣ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ କରିବା | ଏହା ଛଡା, କେତେକ ପ୍ରାଥମିକ ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ ଆଲୋଚନା କରାଯିବ | ପ୍ରତିଲୋମ ତ୍ରିକୋଣମିତୀୟ ଫଳନଗୁଡ଼ିକ କ୍ୟାଲକୁଲସରେ ଏକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଭୂମିକା ଗ୍ରହଣ କରନ୍ତି କାରଣ ସେଗୁଡ଼ିକ ଅନେକ ସମାକଳନକୁ ସଂଜ୍ଞା ଦେବା ପାଇଁ କାର୍ଯ୍ୟ କରନ୍ତି | ପ୍ରତିଲୋମ ତ୍ରିକୋଣମିତୀୟ ଫଳନର ଧାରଣାଗୁଡ଼ିକ ବିଜ୍ଞାନ ଏବଂ ଯାନ୍ତ୍ରିକ ବିଦ୍ୟାରେ ମଧ୍ୟ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ |

ଆର୍ଯ୍ୟଭଟ୍ଟ

($476-550$ ଖ୍ରୀଷ୍ଟାବ୍ଦ)

2.2 ମୌଳିକ ଧାରଣା

ଶ୍ରେଣୀ XI ରେ, ଆମେ ତ୍ରିକୋଣମିତୀୟ ଫଳନଗୁଡ଼ିକ ଅଧ୍ୟୟନ କରିଛୁ, ଯାହାକୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ସଂଜ୍ଞା ଦିଆଯାଇଛି:

ସାଇନ୍ ଫଳନ, ଅର୍ଥାତ୍, ସାଇନ୍ : $\mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

କୋସାଇନ୍ ଫଳନ, ଅର୍ଥାତ୍, $\cos : \mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

ଟାଞ୍ଜେଣ୍ଟ ଫଳନ, ଅର୍ଥାତ୍, $\tan : \mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

କୋଟାଞ୍ଜେଣ୍ଟ ଫଳନ, ଅର୍ଥାତ୍, $\cot : \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

ସେକାଣ୍ଟ ଫଳନ, ଅର୍ଥାତ୍, ସେକ୍ : $\mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

କୋସେକାଣ୍ଟ ଫଳନ, ଅର୍ଥାତ୍, $cosec: \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

ଆମେ ଅଧ୍ୟାୟ 1 ରେ ମଧ୍ୟ ଶିଖିଛୁ ଯେ ଯଦି $f: X \rightarrow Y$ ଏପରି ଯେ $f(x)=y$ ଏକ-ଏକ ଏବଂ ଉପରିସ୍ଥ ହୁଏ, ତେବେ ଆମେ ଏକ ଅନନ୍ୟ ଫଳନ $g: Y \rightarrow X$କୁ ସଂଜ୍ଞା ଦେଇପାରିବା ଯେପରିକି $g(y)=x$, ଯେଉଁଠାରେ $x \in X$ ଏବଂ $y=f(x), y \in$ Y ଅଟେ | ଏଠାରେ, $g=$ର ପ୍ରଦେଶ ହେଉଛି $f$ର ପରିସର ଏବଂ $g=$ର ପରିସର ହେଉଛି $f$ର ପ୍ରଦେଶ | ଫଳନ $g$କୁ $f$ର ପ୍ରତିଲୋମ କୁହାଯାଏ ଏବଂ ଏହାକୁ $f^{-1}$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ | ଆହୁରି, $g$ ମଧ୍ୟ ଏକ-ଏକ ଏବଂ ଉପରିସ୍ଥ ଅଟେ ଏବଂ $g$ର ପ୍ରତିଲୋମ ହେଉଛି $f$ | ତେଣୁ, $g^{-1}=(f^{-1})^{-1}=f$ | ଆମର ମଧ୍ୟ ଅଛି

ଏବଂ $$ (f^{-1} \circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x $$ $$ (f \circ f^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=f(x)=y $$

ଯେହେତୁ ସାଇନ୍ ଫଳନର ପ୍ରଦେଶ ହେଉଛି ସମସ୍ତ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍ ଏବଂ ପରିସର ହେଉଛି ସଂବୃତ ଅନ୍ତରାଳ $[-1,1]$ | ଯଦି ଆମେ ଏହାର ପ୍ରଦେଶକୁ $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସୀମିତ କରିବା, ତେବେ ଏହା ଏକ-ଏକ ଏବଂ ଉପରିସ୍ଥ ହୋଇଯାଏ ଏବଂ ପରିସର $[-1,1]$ ହୁଏ | ପ୍ରକୃତରେ, ସାଇନ୍ ଫଳନ ଯେକୌଣସି ଅନ୍ତରାଳ $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}], [\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], [\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$ ଇତ୍ୟାଦି ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସୀମିତ ହେଲେ, ଏକ-ଏକ ହୁଏ ଏବଂ ଏହାର ପରିସର $[-1,1]$ ହୁଏ | ତେଣୁ, ଆମେ ଏହି ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତରାଳରେ ସାଇନ୍ ଫଳନର ପ୍ରତିଲୋମକୁ ସଂଜ୍ଞା ଦେଇପାରିବା | ଆମେ ସାଇନ୍ ଫଳନର ପ୍ରତିଲୋମକୁ $\sin ^{-1}$ (ଆର୍କ ସାଇନ୍ ଫଳନ) ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରୁ | ତେଣୁ, $\sin ^{-1}$ ଏକ ଫଳନ ଯାହାର ପ୍ରଦେଶ $[-1,1]$ ଅଟେ ଏବଂ ପରିସର $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}],[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ କିମ୍ବା $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$, ଇତ୍ୟାଦି ହୋଇପାରେ | ପ୍ରତ୍ୟେକ ଏପରି ଅନ୍ତରାଳ ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ ହୋଇ, ଆମେ $\sin ^{-1}$ ଫଳନର ଏକ ଶାଖା ପାଇଥାଉ | ପରିସର $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ସହିତ ଥିବା ଶାଖାକୁ ମୁଖ୍ୟ ମୂଲ୍ୟ ଶାଖା କୁହାଯାଏ, ଯେତେବେଳେ ଅନ୍ୟ ଅନ୍ତରାଳଗୁଡ଼ିକ ପରିସର ଭାବରେ $\sin ^{-1}$ର ବିଭିନ୍ନ ଶାଖା ଦେଇଥାଏ | ଯେତେବେଳେ ଆମେ $\sin ^{-1}$ ଫଳନକୁ ଉଲ୍ଲେଖ କରୁ, ଆମେ ଏହାକୁ ସେହି ଫଳନ ଭାବରେ ନେଉଛୁ ଯାହାର ପ୍ରଦେଶ $[-1,1]$ ଏବଂ ପରିସର $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ଅଟେ | ଆମେ ଲେଖୁ $\sin ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

ପ୍ରତିଲୋମ ଫଳନର ସଂଜ୍ଞାରୁ, ଏହା ଅନୁସରଣ କରେ ଯେ $\sin (\sin ^{-1} x)=x$ ଯଦି $-1 \leq x \leq 1$ ଏବଂ $\sin ^{-1}(\sin x)=x$ ଯଦି $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ | ଅନ୍ୟ ଅର୍ଥରେ, ଯଦି $y=\sin ^{-1} x$, ତେବେ $\sin y=x$ |

ଟିପ୍ପଣୀ

(i) ଆମେ ଅଧ୍ୟାୟ 1ରୁ ଜାଣୁ ଯେ, ଯଦି $y=f(x)$ ଏକ ବିପରୀତତା ଯୋଗ୍ୟ ଫଳନ ହୁଏ, ତେବେ $x=f^{-1}(y)$ | ତେଣୁ, $\sin^{-1}$ ଫଳନର ଗ୍ରାଫ୍ ମୂଳ ଫଳନର ଗ୍ରାଫ୍ରୁ $x$ ଏବଂ $y$ ଅକ୍ଷଗୁଡ଼ିକୁ ବିନିମୟ କରି ପ୍ରାପ୍ତ କରାଯାଇପାରିବ, ଅର୍ଥାତ୍, ଯଦି $(a, b)$ ସାଇନ୍ ଫଳନର ଗ୍ରାଫ୍ ଉପରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ହୁଏ, ତେବେ $(b, a)$ ସାଇନ୍ ଫଳନର ପ୍ରତିଲୋମର ଗ୍ରାଫ୍ ଉପରେ ସମ୍ବନ୍ଧିତ ବିନ୍ଦୁ ହୋଇଯାଏ | ତେଣୁ, $y=\sin ^{-1} x$ ଫଳନର ଗ୍ରାଫ୍ $y=\sin x$ର ଗ୍ରାଫ୍ରୁ $x$ ଏବଂ $y$ ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ବିନିମୟ କରି ପ୍ରାପ୍ତ କରାଯାଇପାରିବ | $y=\sin x$ ଏବଂ $y=\sin ^{-1} x$ର ଗ୍ରାଫ୍ ଚିତ୍ର 2.1 (i), (ii), (iii)ରେ ଦିଆଯାଇଛି | $y=\sin ^{-1} x$ର ଗ୍ରାଫ୍ର ଗାଢ଼ ଅଂଶ ମୁଖ୍ୟ ମୂଲ୍ୟ ଶାଖାକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ |

(ii) ଦେଖାଯାଇପାରେ ଯେ ଏକ ପ୍ରତିଲୋମ ଫଳନର ଗ୍ରାଫ୍ ମୂଳ ଫଳନର ସମ୍ବନ୍ଧିତ ଗ୍ରାଫ୍ରୁ ରେଖା $y=x$ ସହିତ ଏକ ଦର୍ପଣ ପ୍ରତିବିମ୍ବ (ଅର୍ଥାତ୍, ପ୍ରତିଫଳନ) ଭାବରେ ପ୍ରାପ୍ତ କରାଯାଇପାରିବ | ଏହାକୁ $y=\sin x$ ଏବଂ $y=\sin ^{-1} x$ର ଗ୍ରାଫ୍କୁ ସମାନ ଅକ୍ଷରେ (ଚିତ୍ର 2.1 (iii)) ଦେଖି କଳ୍ପନା କରାଯାଇପାରିବ |

ସାଇନ୍ ଫଳନ ପରି, କୋସାଇନ୍ ଫଳନ ହେଉଛି ଏକ ଫଳନ ଯାହାର ପ୍ରଦେଶ ହେଉଛି ସମସ୍ତ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍ ଏବଂ ପରିସର ହେଉଛି ସେଟ୍ $[-1,1]$ | ଯଦି ଆମେ କୋସାଇନ୍ ଫଳନର ପ୍ରଦେଶକୁ $[0, \pi]$ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସୀମିତ କରିବା, ତେବେ ଏହା ଏକ-ଏକ ଏବଂ ଉପରିସ୍ଥ ହୋଇଯାଏ ଏବଂ ପରିସର $[-1,1]$ ହୁଏ | ପ୍ରକୃତରେ, କୋସାଇନ୍ ଫଳନ ଯେକୌଣସି ଅନ୍ତରାଳ $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ ଇତ୍ୟାଦି ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସୀମିତ ହେଲେ, ଦ୍ୱିମୁଖୀ ହୁଏ ଏବଂ ପରିସର $[-1,1]$ ହୁଏ | ତେଣୁ, ଆମେ ଏହି ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତରାଳରେ କୋସାଇନ୍ ଫଳନର ପ୍ରତିଲୋମକୁ ସଂଜ୍ଞା ଦେଇପାରିବା | ଆମେ କୋସାଇନ୍ ଫଳନର ପ୍ରତିଲୋମକୁ $\cos ^{-1}$ (ଆର୍କ କୋସାଇନ୍ ଫଳନ) ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରୁ | ତେଣୁ, $\cos ^{-1}$ ଏକ ଫଳନ ଯାହାର ପ୍ରଦେଶ $[-1,1]$ ଅଟେ ଏବଂ ପରିସର $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ ଇତ୍ୟାଦି ହୋଇପାରେ | ପ୍ରତ୍ୟେକ ଏପରି ଅନ୍ତରାଳ ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ ହୋଇ, ଆମେ $\cos ^{-1}$ ଫଳନର ଏକ ଶାଖା ପାଇଥାଉ | ପରିସର $[0, \pi]$ ସହିତ ଥିବା ଶାଖାକୁ $\cos ^{-1}$ ଫଳନର ମୁଖ୍ୟ ମୂଲ୍ୟ ଶାଖା କୁହାଯାଏ | ଆମେ ଲେଖୁ

$$ \cos ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[0, \pi] . $$

$y=\cos ^{-1} x$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଥିବା ଫଳନର ଗ୍ରାଫ୍ $y=\sin ^{-1} x$ ବିଷୟରେ ଆଲୋଚନା କରାଯାଇଥିବା ପରି ସମାନ ଉପାୟରେ ଅଙ୍କନ କରାଯାଇପାରିବ | $y=\sin x$ ଏବଂ $y=\cos ^{-1} x$ର ଗ୍ରାଫ୍ ଚିତ୍ର 2.2 (i) ଏବଂ (ii)ରେ ଦିଆଯାଇଛି |

ଚିତ୍ର. 2.2 (i)

ଚିତ୍ର 2.2 (ii)

ଆସନ୍ତୁ ବର୍ତ୍ତମାନ $\csc^{-1} x$ ଏବଂ $\sec^{-1} x$ ବିଷୟରେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ଆଲୋଚନା କରିବା:

ଯେହେତୁ, $cosec x=\frac{1}{\sin x}$, କୋସେକ୍ ଫଳନର ପ୍ରଦେଶ ହେଉଛି ସେଟ୍ $\{x: x \in \mathbf{R}$ ଏବଂ $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ ଏବଂ ପରିସର ହେଉଛି ସେଟ୍ $\{y: y \in \mathbf{R}, y \geq 1$ କିମ୍ବା $y \leq -1\}$ ଅର୍ଥାତ୍, ସେଟ୍ $\mathbf{R}-(-1,1)$ | ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ଯେ $y=cosec x$ $-1<y<1$ ବ୍ୟତୀତ ସମସ୍ତ ବାସ୍ତବ ମୂଲ୍ୟ ଗ୍ରହଣ କରେ ଏବଂ $\pi$ର ପୂର୍ଣ୍ଣାଙ୍କ ଗୁଣିତ ପାଇଁ ସଂଜ୍ଞା ଦିଆଯାଇନାହିଁ | ଯଦି ଆମେ କୋସେକ୍ ଫଳନର ପ୍ରଦେଶକୁ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସୀମିତ କରିବା, ତେବେ ଏହା ଏକ-ଏକ ଏବଂ ଉପରିସ୍ଥ ହୁଏ ଏବଂ ଏହାର ପରିସର ସେଟ୍ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ହୁଏ | ପ୍ରକୃତରେ, କୋସେକ୍ ଫଳନ ଯେକୌଣସି ଅନ୍ତରାଳ $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}]-\{-\pi\},[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$, $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-\{\pi\}$ ଇତ୍ୟାଦି ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସୀମିତ ହେଲେ, ଦ୍ୱିମୁଖୀ ହୁଏ ଏବଂ ଏହାର ପରିସର ସମସ୍ତ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ହୁଏ | ତେଣୁ $cosec^{-1}$କୁ ଏକ ଫଳନ ଭାବରେ ସଂଜ୍ଞା ଦିଆଯାଇପାରିବ ଯାହାର ପ୍ରଦେଶ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ଅଟେ ଏବଂ ପରିସର $[-\frac{3 \pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]-{-\pi}, [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}, [\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-{\pi}$ ଇତ୍ୟାଦି ହୋଇପାରେ | ପରିସର $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}$ ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ ଫଳନକୁ $cosec^{-1}$ର ମୁଖ୍ୟ ମୂଲ୍ୟ ଶାଖା କୁହାଯାଏ | ଆମର ତେଣୁ ମୁଖ୍ୟ ଶାଖା ରହିଛି

$$ cosec^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0} $$

$y=\csc x$ ଏବଂ $y=\csc^{-1} x$ର ଗ୍ରାଫ୍ ଚିତ୍ର 2.3 (i), (ii)ରେ ଦିଆଯାଇଛି |

ଆହୁରି, ଯେହେତୁ $\sec x=\frac{1}{\cos x}$, $y=\sec x$ର ପ୍ରଦେଶ ହେଉଛି ସେଟ୍ $\mathbf{R}-\left{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}\right}$, $n \in \mathbf{Z}$ ଏବଂ ପରିସର ହେଉଛି ସେଟ୍ $\mathbf{R}-(-1,1)$ | ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ଯେ ସେକ୍ (ସେକାଣ୍ଟ ଫଳନ) $-1<y<1$ ବ୍ୟତୀତ ସମସ୍ତ ବାସ୍ତବ ମୂଲ୍ୟ ଗ୍ରହଣ କରେ ଏବଂ $\frac{\pi}{2}$ର ଅଯୁଗ୍ମ ଗୁଣିତ ପାଇଁ ସଂଜ୍ଞା ଦିଆଯାଇନାହିଁ | ଯଦି ଆମେ ସେକାଣ୍ଟ ଫଳନର ପ୍ରଦେଶକୁ $[0, \pi]-\left{\frac{\pi}{2}\right}$ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସୀମିତ କରିବା, ତେବେ ଏହା ଏକ-ଏକ ଏବଂ ଉପରିସ୍ଥ ହୁଏ ଏବଂ ଏହାର ପରିସର ସେଟ୍ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ହୁଏ | ପ୍ରକୃତରେ, ସେକାଣ୍ଟ ଫଳନ ଯେକୌଣସି ଅନ୍ତରାଳ $[-\pi, 0]-{\frac{-\pi}{2}},[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}},[\pi, 2 \pi]-{\frac{3 \pi}{2}}$ ଇତ୍ୟାଦି ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସୀମିତ ହେଲେ, ଦ୍ୱିମୁଖୀ ହୁଏ ଏବଂ ଏହାର ପରିସର $\mathbf{R}-{-1,1}$ ହୁଏ | ତେଣୁ $\sec ^{-1}$କୁ ଏକ ଫଳନ ଭାବରେ ସଂଜ୍ଞା ଦିଆଯାଇପାରିବ ଯାହାର ପ୍ରଦେଶ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ଅଟେ ଏବଂ ପରିସର $[-\pi, 0]-{\frac{-\pi}{2}},[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}},[\pi, 2 \pi]-{\frac{3 \pi}{2}}$ ଇତ୍ୟାଦି ହୋଇପାରେ | ଏହି ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନ୍ତରାଳ ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ ହୋଇ, ଆମେ $sec^{-1}$ ଫଳନର ବିଭିନ୍ନ ଶାଖା ପାଇଥାଉ | ପରିସର $[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}}$ ସହିତ ଥିବା ଶାଖାକୁ $sec^{-1}$ ଫଳନର ମୁଖ୍ୟ ମୂଲ୍ୟ ଶାଖା କୁହାଯାଏ | ଆମର ତେଣୁ ଅଛି

$$ \sec ^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[0, \pi]-\{\frac{\pi}{2}\} $$

$y=\sec x$ ଏବଂ $y=\sec^{-1} x$ ଫଳନର ଗ୍ରାଫ୍ ଚିତ୍ର 2.4 (i), (ii)ରେ ଦିଆଯାଇଛି |

ଶେଷରେ, ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ $\tan ^{-1}$ ଏବଂ $\cot ^{-1}$ ବିଷୟରେ ଆଲୋଚନା କରିବା

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ଟାନ୍ ଫଳନର (ଟାଞ୍ଜେଣ୍ଟ ଫଳନ) ପ୍ରଦେଶ ହେଉଛି ସେଟ୍ $\{x: x \in \mathbf{R}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ ଏବଂ ପରିସର ହେଉଛି $\mathbf{R}$ | ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ଯେ ଫଳନଟି $\frac{\pi}{2}$ର ଅଯୁଗ୍ମ ଗୁଣିତ ପାଇଁ ସଂଜ୍ଞା ଦିଆଯାଇନାହିଁ | ଯଦି ଆମେ ଟାଞ୍ଜେଣ୍ଟ ଫଳନର ପ୍ରଦେଶକୁ $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସୀମିତ କରିବା, ତେବେ ଏହା ଏକ-ଏକ ଏବଂ ଉପରିସ୍ଥ ହୁଏ ଏବଂ ଏହାର ପରିସର $\mathbf{R}$ ହୁଏ | ପ୍ରକୃତରେ, ଟାଞ୍ଜେଣ୍ଟ ଫଳନ ଯେକୌଣସି ଅନ୍ତରାଳ $(\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}),(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ ଇତ୍ୟାଦି ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସୀମିତ ହେଲେ, ଦ୍ୱିମୁଖୀ ହୁଏ ଏବଂ ଏହାର ପରିସର $\mathbf{R}$ ହୁଏ | ତେଣୁ $\tan ^{-1}$କୁ ଏକ ଫଳନ ଭାବରେ ସଂଜ୍ଞା ଦିଆଯାଇପାରିବ ଯାହାର ପ୍ରଦେଶ $\mathbf{R}$ ଅଟେ ଏବଂ ପରିସର $(\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}),(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ ଇତ୍ୟାଦି ହୋଇପାରେ | ଏହି ଅନ୍ତରାଳଗୁଡ଼ିକ $\tan ^{-1}$ ଫଳନର ବିଭିନ୍ନ ଶାଖା ଦେଇଥାଏ | ପରିସର $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ ସହିତ ଥିବା ଶାଖାକୁ $\tan ^{-1}$ ଫଳନର ମୁଖ୍ୟ ମୂଲ୍ୟ ଶାଖା କୁହାଯାଏ | ଆମର ତେଣୁ ଅଛି

$$ \tan ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $$

$y=\tan x$ ଏବଂ $y=\arctan x$ ଫଳନର ଗ୍ରାଫ୍ ଚିତ୍ର 2.5 (i), (ii)ରେ ଦିଆଯାଇଛି |

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ କୋଟ୍ ଫଳନର (କୋଟାଞ୍ଜେଣ୍ଟ ଫଳନ) ପ୍ରଦେଶ ହେଉଛି ସେଟ୍ $\{x: x \in \mathbf{R}$ ଏବଂ $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ ଏବଂ ପରିସର ହେଉଛି $\mathbf{R}$ | ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ଯେ କୋଟାଞ୍ଜେଣ୍ଟ ଫଳନ $\pi$ର ପୂର୍ଣ୍ଣାଙ୍କ ଗୁଣିତ ପାଇଁ ସଂଜ୍ଞା ଦିଆଯାଇନାହିଁ | ଯଦି ଆମେ କୋଟାଞ୍ଜେଣ୍ଟ ଫଳନର ପ୍ରଦେଶକୁ $(0, \pi)$ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସୀମିତ କରିବା, ତେବେ ଏହା ଦ୍ୱିମୁଖୀ ହୁଏ ଏବଂ ପରିସର $\mathbf{R}$ ହୁଏ | ପ୍ରକୃତରେ, କୋଟାଞ୍ଜେଣ୍ଟ ଫଳନ ଯେକୌଣସି ଅନ୍ତରାଳ $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ ଇତ୍ୟାଦି ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସୀମିତ ହେଲେ, ଦ୍ୱିମୁଖୀ ହୁଏ ଏବଂ ଏହାର ପରିସର $\mathbf{R}$ ହୁଏ | ତେଣୁ $\cot ^{-1}$କୁ ଏକ ଫଳନ ଭାବରେ ସଂଜ୍ଞା ଦିଆଯାଇପାରିବ ଯାହାର ପ୍ରଦେଶ $\mathbf{R}$ ଅଟେ ଏବଂ ପରିସର $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ ଇତ୍ୟାଦି ହୋଇପାରେ | ଏହି ଅନ୍ତରାଳଗୁଡ଼ିକ $\cot ^{-1}$ ଫଳନର ବିଭିନ୍ନ ଶାଖା ଦେଇଥାଏ | ପରିସର $(0, \pi)$ ସହିତ ଥିବା ଫଳନକୁ $\cot ^{-1}$ ଫଳନର ମୁଖ୍ୟ ମୂଲ୍ୟ ଶାଖା କୁହାଯାଏ | ଆମର ତେଣ