ଗଣିତର ସାରମର୍ମ ନିହିତ ରହିଛି ଏହାର ସ୍ୱାଧୀନତାରେ। - କାଣ୍ଟର

3.1 ପରିଚୟ

ଗଣିତର ବିଭିନ୍ନ ଶାଖାରେ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଜ୍ଞାନ ଆବଶ୍ୟକ। ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି ଗଣିତର ସବୁଠାରୁ ଶକ୍ତିଶାଳୀ ଉପକରଣଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ। ଅନ୍ୟ ସରଳ ପଦ୍ଧତିଗୁଡ଼ିକ ସହିତ ତୁଳନା କଲେ, ଏହି ଗାଣିତିକ ଉପକରଣ ଆମ କାର୍ଯ୍ୟକୁ ବହୁଳ ପରିମାଣରେ ସରଳ କରିଥାଏ। ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଧାରଣାର ବିକାଶ ହେଉଛି ରେଖୀୟ ସମୀକରଣ ପ୍ରଣାଳୀ ସମାଧାନ କରିବାର ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଏବଂ ସରଳ ପଦ୍ଧତି ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାର ଏକ ପ୍ରୟାସର ଫଳ। ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ କେବଳ ରେଖୀୟ ସମୀକରଣ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଗୁଣାଙ୍କଗୁଡ଼ିକର ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ ଭାବରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏନାହିଁ, ବରଂ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉପଯୋଗିତା ସେହି ବ୍ୟବହାରକୁ ଅତିକ୍ରମ କରିଥାଏ। ବ୍ୟକ୍ତିଗତ କମ୍ପ୍ୟୁଟର ପାଇଁ ଇଲେକ୍ଟ୍ରୋନିକ୍ ସ୍ପ୍ରେଡସିଟ୍ ପ୍ରୋଗ୍ରାମରେ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସଙ୍କେତ ଏବଂ କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ, ଯାହା ପରବର୍ତ୍ତୀ ସମୟରେ ବ୍ୟବସାୟ ଏବଂ ବିଜ୍ଞାନର ବିଭିନ୍ନ କ୍ଷେତ୍ର ଯେପରିକି ବଜେଟ୍ ପ୍ରସ୍ତୁତି, ବିକ୍ରୟ ପ୍ରକ୍ଷେପଣ, ମୂଲ୍ୟ ଆକଳନ, ଏକ ପରୀକ୍ଷାର ଫଳାଫଳ ବିଶ୍ଳେଷଣ ଆଦିରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ। ଆହୁରି ମଧ୍ୟ, ଅନେକ ଭୌତିକ କାର୍ଯ୍ୟ ଯେପରିକି ଆବର୍ଦ୍ଧନ, ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ଏବଂ ଏକ ସମତଳ ଦେଇ ପ୍ରତିଫଳନକୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ଗାଣିତିକ ଭାବରେ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରାଯାଇପାରେ। ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ କ୍ରିପ୍ଟୋଗ୍ରାଫିରେ ମଧ୍ୟ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ। ଏହି ଗାଣିତିକ ଉପକରଣ କେବଳ ବିଜ୍ଞାନର କେତେକ ଶାଖାରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏନାହିଁ, ବରଂ ଜେନେଟିକ୍ସ, ଅର୍ଥନୀତି, ସାମାଜିକତା, ଆଧୁନିକ ମନୋବିଜ୍ଞାନ ଏବଂ ଶିଳ୍ପ ପରିଚାଳନାରେ ମଧ୍ୟ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ।

ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଏବଂ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ବୀଜଗଣିତର ମୌଳିକ ତଥ୍ୟ ସହିତ ପରିଚିତ ହେବାକୁ ଆଗ୍ରହୀ ହେବୁ।

3.2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ

ଧରାଯାଉ ଆମେ ରାଧାର 15ଟି ନୋଟବୁକ୍ ଅଛି ବୋଲି ସୂଚନା ପ୍ରକାଶ କରିବାକୁ ଚାହୁଁ। ଆମେ ଏହାକୁ [15] ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା ଏହି ବୁଝାମଣାରେ ଯେ [ ] ଭିତରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି ରାଧାର ନୋଟବୁକ୍ ସଂଖ୍ୟା। ବର୍ତ୍ତମାନ, ଯଦି ଆମକୁ ପ୍ରକାଶ କରିବାକୁ ହୁଏ ଯେ ରାଧାର 15ଟି ନୋଟବୁକ୍ ଏବଂ 6ଟି କଲମ୍ ଅଛି। ଆମେ ଏହାକୁ $\begin{bmatrix}15 & 6\end{bmatrix}$ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା ଏହି ବୁଝାମଣାରେ ଯେ [ ] ଭିତରେ ଥିବା ପ୍ରଥମ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି ନୋଟବୁକ୍ ସଂଖ୍ୟା ଯେତେବେଳେ ଅନ୍ୟଟି ହେଉଛି ରାଧାର କଲମ୍ ସଂଖ୍ୟା। ଆସନ୍ତୁ ବର୍ତ୍ତମାନ ଧରାଯାଉ ଆମେ ରାଧା ଏବଂ ତାଙ୍କର ଦୁଇ ବନ୍ଧୁ ଫୌଜିଆ ଏବଂ ସିମ୍ରାନଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ନୋଟବୁକ୍ ଏବଂ କଲମ୍ ଅଧିକାରର ସୂଚନା ପ୍ରକାଶ କରିବାକୁ ଚାହୁଁ ଯାହା ନିମ୍ନରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି:

$$ \begin{array}{llllll} \text { Radha } & \text { has } & 15 & \text { notebooks } & \text { and } & 6 \text { pens, } \\ \text { Fauzia } & \text { has } & 10 & \text { notebooks } & \text { and } & 2 \text { pens, } \\ \text { Simran } & \text { has } & 13 & \text { notebooks } & \text { and } & 5 \text { pens. } \end{array} $$

ବର୍ତ୍ତମାନ ଏହାକୁ ନିମ୍ନରେ ଦର୍ଶାଯାଇଥିବା ପ୍ରକାରେ ସାରଣୀ ଆକାରରେ ସଜ୍ଜିତ କରାଯାଇପାରିବ:

$$ \begin{array}{lcc} & \text { Notebooks } & \text { Pens } \\ \text { Radha } & 15 & 6 \\ \text { Fauzia } & 10 & 2 \\ \text { Simran } & 13 & 5 \end{array} $$

କିମ୍ବା

ଯାହାକୁ ଏହିପରି ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ:

ପ୍ରଥମ ସଜ୍ଜାରେ ପ୍ରଥମ ସ୍ତମ୍ଭରେ ଥିବା ଭରଣଗୁଡ଼ିକ ଯଥାକ୍ରମେ ରାଧା, ଫୌଜିଆ ଏବଂ ସିମ୍ରାନଙ୍କ ନିକଟରେ ଥିବା ନୋଟବୁକ୍ ସଂଖ୍ୟାକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସ୍ତମ୍ଭରେ ଥିବା ଭରଣଗୁଡ଼ିକ ଯଥାକ୍ରମେ ରାଧା, ଫୌଜିଆ ଏବଂ ସିମ୍ରାନଙ୍କ ନିକଟରେ ଥିବା କଲମ୍ ସଂଖ୍ୟାକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ। ସେହିପରି, ଦ୍ୱିତୀୟ ସଜ୍ଜାରେ, ପ୍ରଥମ ଧାଡ଼ିରେ ଥିବା ଭରଣଗୁଡ଼ିକ ଯଥାକ୍ରମେ ରାଧା, ଫୌଜିଆ ଏବଂ ସିମ୍ରାନଙ୍କ ନିକଟରେ ଥିବା ନୋଟବୁକ୍ ସଂଖ୍ୟାକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ। ଦ୍ୱିତୀୟ ଧାଡ଼ିରେ ଥିବା ଭରଣଗୁଡ଼ିକ ଯଥାକ୍ରମେ ରାଧା, ଫୌଜିଆ ଏବଂ ସିମ୍ରାନଙ୍କ ନିକଟରେ ଥିବା କଲମ୍ ସଂଖ୍ୟାକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ। ଉପରୋକ୍ତ ପ୍ରକାରର ଏକ ସଜ୍ଜା କିମ୍ବା ପ୍ରଦର୍ଶନକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ କୁହାଯାଏ। ଆନୁଷ୍ଠାନିକ ଭାବରେ, ଆମେ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସକୁ ଏହିପରି ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରୁ:

ସଂଜ୍ଞା 1 ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି ସଂଖ୍ୟା କିମ୍ବା ଫଳନର ଏକ କ୍ରମିକ ଆୟତାକାର bmatrix। ସଂଖ୍ୟା କିମ୍ବା ଫଳନଗୁଡ଼ିକୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉପାଦାନ କିମ୍ବା ଭରଣ କୁହାଯାଏ।

ଆମେ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡ଼ିକୁ ବଡ଼ ଅକ୍ଷରରେ ସୂଚିତ କରୁ। ନିମ୍ନଲିଖିତ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର କେତେକ ଉଦାହରଣ:

$$ A=\begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 0 & \sqrt{5} \\ 3 & 6 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 2+i & 3 & -\frac{1}{2} \\ 3.5 & -1 & 2 \\ \sqrt{3} & 5 & \frac{5}{7} \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 1+x & x^{3} & 3 \\ \cos x & \sin x+2 & \tan x \end{bmatrix} $$

ଉପରୋକ୍ତ ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକରେ, ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକର କ୍ଷିତିଜ ସରଳରେଖାଗୁଡ଼ିକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଧାଡ଼ିଗୁଡ଼ିକୁ ଗଠନ କରିଥାଏ ବୋଲି କୁହାଯାଏ ଏବଂ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକର ଭୂଲମ୍ବ ସରଳରେଖାଗୁଡ଼ିକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ସ୍ତମ୍ଭଗୁଡ଼ିକୁ ଗଠନ କରିଥାଏ ବୋଲି କୁହାଯାଏ। ତେଣୁ $A$ ରେ 3ଟି ଧାଡ଼ି ଏବଂ 2ଟି ସ୍ତମ୍ଭ ଅଛି, $B$ ରେ 3ଟି ଧାଡ଼ି ଏବଂ 3ଟି ସ୍ତମ୍ଭ ଅଛି ଯେତେବେଳେ $C$ ରେ 2ଟି ଧାଡ଼ି ଏବଂ 3ଟି ସ୍ତମ୍ଭ ଅଛି।

3.2.1 ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର କ୍ରମ

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସରେ ଯଦି $m$ ଟି ଧାଡ଼ି ଏବଂ $n$ ଟି ସ୍ତମ୍ଭ ଥାଏ, ତାହାକୁ ଏକ $m \times n$ କ୍ରମର ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ କିମ୍ବା ସରଳ ଭାବରେ $m \times n$ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ କୁହାଯାଏ (ଏକ $m$ ଦ୍ୱାରା $n$ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଭାବରେ ପଢ଼ନ୍ତୁ)। ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉପରୋକ୍ତ ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକୁ ଦୃଷ୍ଟିରେ ରଖି, ଆମର $A$ ହେଉଛି $3 \times 2$ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ, $B$ ହେଉଛି $3 \times 3$ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଏବଂ $C$ ହେଉଛି $2 \times 3$ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ। ଆମେ ଦେଖୁଛୁ ଯେ $A$ ରେ $3 \times 2=6$ ଟି ଉପାଦାନ ଅଛି, $B$ ଏବଂ $C$ ରେ ଯଥାକ୍ରମେ 9 ଏବଂ 6 ଟି ଉପାଦାନ ଅଛି।

ସାଧାରଣତଃ, ଏକ $m \times n$ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ନିମ୍ନଲିଖିତ ଆୟତାକାର bmatrix ଅଛି:

$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} _{m \times n} $

କିମ୍ବା $ A=[a_{i j}]_{m \times n}, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \quad i, j \in N $

ତେଣୁ $i^{\text {th }}$ ତମ ଧାଡ଼ିରେ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ $a_{i 1}, a_{i 2}, a_{i 3}, \ldots, a_{i n}$ ନେଇ ଗଠିତ, ଯେତେବେଳେ $j^{\text {th }}$ ତମ ସ୍ତମ୍ଭରେ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ $a_{1 j}, a_{2 j}, a_{3 j}, \ldots, a_{m j}$ ନେଇ ଗଠିତ,

ସାଧାରଣତଃ $a_{i j}$, ହେଉଛି $i^{\text {th }}$ ତମ ଧାଡ଼ି ଏବଂ $j^{\text {th }}$ ତମ ସ୍ତମ୍ଭରେ ଅବସ୍ଥିତ ଏକ ଉପାଦାନ। ଆମେ ଏହାକୁ $A$ ର $(i, j)^{\text {th }}$ ତମ ଉପାଦାନ ଭାବରେ ମଧ୍ୟ କହିପାରିବା। ଏକ $m \times n$ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସରେ ଥିବା ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା $m n$ ସହ ସମାନ ହେବ।

ଟିପ୍ପଣୀ ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ

1. ଆମେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଙ୍କେତ ଅନୁସରଣ କରିବୁ, ଅର୍ଥାତ୍ $A=[a_{i j}]_{m \times n}$ ଏହି ସୂଚନା ପାଇଁ ଯେ $A$ ହେଉଛି ଏକ $m \times n$ କ୍ରମର ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ।

2. ଆମେ କେବଳ ସେହି ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡ଼ିକୁ ବିଚାର କରିବୁ ଯାହାର ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା କିମ୍ବା ବାସ୍ତବ ମୂଲ୍ୟ ନେଉଥିବା ଫଳନ।

ଆମେ ଏକ ସମତଳରେ ଥିବା ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁ $(x, y)$ କୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ (ସ୍ତମ୍ଭ କିମ୍ବା ଧାଡ଼ି) ଭାବରେ $\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$ (କିମ୍ବା $.[x, y]$) ଭାବରେ ମଧ୍ୟ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିପାରିବା। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ ବିନ୍ଦୁ $P(0,1)$ କୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ ଭାବରେ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇପାରେ:

$$ \mathbf{P}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \text { or }\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} $$

ଲକ୍ଷ୍ୟ କରନ୍ତୁ ଯେ ଏହି ପଦ୍ଧତିରେ ଆମେ ଏକ ସମତଳରେ ଥିବା ଏକ ସଂବହିତ ରେଖାକୃତି ଆକୃତିର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ମଧ୍ୟ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଆକାରରେ ପ୍ରକାଶ କରିପାରିବା। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଏକ ଚତୁର୍ଭୁଜ $A B C D$ କୁ ବିଚାର କରନ୍ତୁ ଯାହାର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ A $(1,0), B(3,2), C(1,3), D(-1,2)$।

ବର୍ତ୍ତମାନ, ଚତୁର୍ଭୁଜ $ABCD$ କୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଆକାରରେ, ନିମ୍ନରେ ଦର୍ଶାଯାଇଥିବା ପ୍ରକାରେ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରାଯାଇପାରିବ:

ଏହିପରି, ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡ଼ିକ ଏକ ସମତଳରେ ଥିବା ଜ୍ୟାମିତିକ ଆକୃତିଗୁଡ଼ିକର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକର ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ ଭାବରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇପାରେ।

ବର୍ତ୍ତମାନ, ଆସନ୍ତୁ କେତେକ ଉଦାହରଣ ବିଚାର କରିବା।

ଉଦାହରଣ 1 ତିନୋଟି କାରଖାନା I, II ଏବଂ III ରେ ପୁରୁଷ ଏବଂ ମହିଳା ଶ୍ରମିକଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ସମ୍ବନ୍ଧରେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସୂଚନାକୁ ବିଚାର କରନ୍ତୁ:

ଉପରୋକ୍ତ ସୂଚନାକୁ ଏକ $3 \times 2$ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଆକାରରେ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରନ୍ତୁ। ତୃତୀୟ ଧାଡ଼ି ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସ୍ତମ୍ଭରେ ଥିବା ଭରଣଟି କ’ଣ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ?

ସମାଧାନ ସୂଚନାଟି ଏକ $3 \times 2$ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଆକାରରେ ନିମ୍ନରେ ଦର୍ଶାଯାଇଥିବା ପ୍ରକାରେ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରାଯାଇଛି:

$$ A=\begin{bmatrix} 30 & 25 \\ 25 & 31 \\ 27 & 26 \end{bmatrix} $$

ତୃତୀୟ ଧାଡ଼ି ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସ୍ତମ୍ଭରେ ଥିବା ଭରଣଟି କାରଖାନା III ରେ ଥିବା ମହିଳା ଶ୍ରମିକଙ୍କ ସଂଖ୍ୟାକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ।

ଉଦାହରଣ 2 ଯଦି ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସରେ 8ଟି ଉପାଦାନ ଅଛି, ତେବେ ଏହାର ସମ୍ଭାବ୍ୟ କ୍ରମଗୁଡ଼ିକ କ’ଣ?

ସମାଧାନ ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ଯଦି ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ $m \times n$ କ୍ରମର ହୁଏ, ତାହାର $m n$ ଟି ଉପାଦାନ ଅଛି। ତେଣୁ, 8ଟି ଉପାଦାନ ଥିବା ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ସମସ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ କ୍ରମ ପାଇବା ପାଇଁ, ଆମେ ସେହି ସମସ୍ତ କ୍ରମିକ ଯୁଗ୍ମ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା ଖୋଜିବୁ, ଯାହାର ଗୁଣଫଳ 8 ।

ତେଣୁ, ସମସ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ କ୍ରମିକ ଯୁଗ୍ମ ହେଉଛି $(1,8),(8,1),(4,2),(2,4)$ ତେଣୁ, ସମ୍ଭାବ୍ୟ କ୍ରମଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି $1 \times 8,8 \times 1,4 \times 2,2 \times 4$

ଉଦାହରଣ 3 ଏକ $3 \times 2$ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗଠନ କରନ୍ତୁ ଯାହାର ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|$ ଦ୍ୱାରା ପ୍ରଦତ୍ତ।

ସମାଧାନ ସାଧାରଣତଃ ଏକ $3 \times 2$ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{bmatrix}$ ଦ୍ୱାରା ପ୍ରଦତ୍ତ।

ବର୍ତ୍ତମାନ $\quad$ $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|, i=1,2,3 \text { and } j=1,2$

ତେଣୁ $\quad a_{11}=\frac{1}{2}|1-3 \times 1|=1 \quad a_{12}=\frac{1}{2}|1-3 \times 2|=\frac{5}{2}$

$$ \begin{matrix} a_{21}= \frac{1}{2}|2-3 \times 1|=\frac{1}{2} & a_{22}=\frac{1}{2}|2-3 \times 2|=2 \\ \\ a_{31} =\frac{1}{2}|3-3 \times 1|=0 & a_{32} =\frac{1}{2}|3-3 \times 2|=\frac{3}{2} \end{matrix} $$

ତେଣୁ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଟି $A=\begin{bmatrix}1 & \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{3}{2}\end{bmatrix}$ ଦ୍ୱାରା ପ୍ରଦତ୍ତ।

3.3 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ପ୍ରକାରଭେଦ

ଏହି ଅନୁଚ୍ଛେଦରେ, ଆମେ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଆଲୋଚନା କରିବୁ।

(i) ସ୍ତମ୍ଭ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସକୁ ସ୍ତମ୍ଭ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ କୁହାଯାଏ ଯଦି ଏହାର କେବଳ ଗୋଟିଏ ସ୍ତମ୍ଭ ଥାଏ।

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $A=\begin{bmatrix}{c}0 \\ \sqrt{3} \\ -1 \\ 1 / 2\end{bmatrix}$ ହେଉଛି ଏକ $4 \times 1$ କ୍ରମର ସ୍ତମ୍ଭ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ।

ସାଧାରଣତଃ, $A=[a_{i j}]_{m \times 1}$ ହେଉଛି ଏକ $m \times 1$ କ୍ରମର ସ୍ତମ୍ଭ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ।

(ii) ଧାଡ଼ି ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସକୁ ଧାଡ଼ି ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ କୁହାଯାଏ ଯଦି ଏହାର କେବଳ ଗୋଟିଏ ଧାଡ଼ି ଥାଏ।

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $B=[\begin{bmatrix}-\frac{1}{2} & \sqrt{5} & 2 & 3\end{bmatrix}]_{1 \times 4}$ ହେଉଛି ଏକ ଧାଡ଼ି ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ।

ସାଧାରଣତଃ, $B=[b_{i j}]_{1 \times n}$ ହେଉଛି ଏକ $1 \times n$ କ୍ରମର ଧାଡ଼ି ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ।

(iii) ବର୍ଗ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସରେ ଯଦି ଧାଡ଼ି ସଂଖ୍ୟା ସ୍ତମ୍ଭ ସଂଖ୍ୟା ସହ ସମାନ ହୁଏ, ତାହାକୁ ଏକ ବର୍ଗ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ କୁହାଯାଏ। ତେଣୁ ଏକ $m \times n$ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସକୁ ବର୍ଗ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ କୁହାଯାଏ ଯଦି $m=n$ ଏବଂ ଏହାକୁ ‘$n$’ କ୍ରମର ଏକ ବର୍ଗ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଭାବରେ ଜଣାଶୁଣା।

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ $A=\begin{bmatrix}3 & -1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 3 \sqrt{2} & 1 \\ 4 & 3 & -1\end{bmatrix}$ ହେଉଛି 3 କ୍ରମର ଏକ ବର୍ଗ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ।

ସାଧାରଣତଃ, $A=[a_{i j}]_{m \times m}$ ହେଉଛି $m$ କ୍ରମର ଏକ ବର୍ଗ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ।

ଟିପ୍ପଣୀ ଯଦି $A=[a_{i j}]$ ହେଉଛି $n$ କ୍ରମର ଏକ ବର୍ଗ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ, ତେବେ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ (ଭରଣଗୁଡ଼ିକ) $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{n n}$

କୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ Aର କର୍ଣ୍ଣ ଗଠନ କରିଥାଏ ବୋଲି କୁହାଯାଏ। ତେଣୁ, ଯଦି $A=\begin{bmatrix}1 & -3 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 3 & 5 & 6\end{bmatrix}$।

ତେବେ Aର କର୍ଣ୍ଣର ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 1, 4, 6 ।

(iv) କର୍ଣ୍ଣ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ

ଏକ ବର୍ଗ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ $B=[b_{ij}]_ {m\times m} $ କୁ ଏକ କର୍ଣ୍ଣ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ କୁହାଯାଏ ଯଦି ଏହାର ସମସ୍ତ ଅକର୍ଣ୍ଣୀୟ ଉପାଦାନ ଶୂନ୍ୟ ହୁଏ, ଅର୍ଥାତ୍ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ର