ସମସ୍ତ ଗାଣିତିକ ସତ୍ୟ ଆପେକ୍ଷିକ ଏବଂ ଶର୍ତ୍ତମୂଳକ - ସି.ପି. ଷ୍ଟେଇନମେଟ୍ଜ

4.1 ପରିଚୟ

ପୂର୍ବ ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ସାରଣିକ ଏବଂ ସାରଣିକର ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରକ୍ରିୟା ବିଷୟରେ ଅଧ୍ୟୟନ କରିଛୁ। ଆମେ ଏହା ମଧ୍ୟ ଶିଖିଛୁ ଯେ ବୀଜଗାଣିତିକ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକର ଏକ ପ୍ରଣାଳୀକୁ ସାରଣିକ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରେ। ଏହାର ଅର୍ଥ, ଏପରି ଏକ ରୈଖିକ ସମୀକରଣ ପ୍ରଣାଳୀ

$$ \begin{aligned} & a _{1} x+b _{1} y=c _{1} \\ & a _{2} x+b _{2} y=c _{2} \end{aligned} $$

କୁ $\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x \\ y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}c_1 \\ c_2\end{vmatrix}$ ରୂପରେ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରାଯାଇପାରେ। ଏବେ, ଏହି ସମୀକରଣ ପ୍ରଣାଳୀର ଏକ ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ଅଛି କି ନାହିଁ, ତାହା $a_1 b_2-a_2 b_1$ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ନିର୍ଣ୍ଣୟ ହୁଏ। (ମନେରଖ ଯେ ଯଦି $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ କିମ୍ବା, $a_1 b_2-a_2 b_1 \neq 0$, ତେବେ ରୈଖିକ

ପି.ଏସ. ଲାପ୍ଲାସ $(1749-1827)$ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକର ଏକ ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ଅଛି)। $a_1 b_2-a_2 b_1$ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା ସମାଧାନର ଅନନ୍ୟତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରେ, ତାହା $A=\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}$ ସାରଣିକ ସହିତ ସମ୍ବନ୍ଧିତ ଏବଂ ଏହାକୁ Aର ସାରଣିକ କିମ୍ବା det A କୁହାଯାଏ। ସାରଣିକଗୁଡ଼ିକର ଇଞ୍ଜିନିୟରିଂ, ବିଜ୍ଞାନ, ଅର୍ଥନୀତି, ସାମାଜିକ ବିଜ୍ଞାନ, ଇତ୍ୟାଦିରେ ବିସ୍ତୃତ ପ୍ରୟୋଗ ଅଛି।

ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ କେବଳ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ବିଶିଷ୍ଟ ତିନି କ୍ରମ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସାରଣିକ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବୁ। ଆହୁରି ମଧ୍ୟ, ଆମେ ସାରଣିକର ବିଭିନ୍ନ ଧର୍ମ, ଗୌଣ ସାରଣିକ, ସହଗୁଣକ ଏବଂ ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ, ଏକ ବର୍ଗ ସାରଣିକର ସଂଲଗ୍ନକ ଏବଂ ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମ, ରୈଖିକ ସମୀକରଣ ପ୍ରଣାଳୀର ସଙ୍ଗତି ଏବଂ ଅସଙ୍ଗତି ଏବଂ ଦୁଇ କିମ୍ବା ତିନି ଚଳରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ରୈଖିକ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ କରିବାରେ ସାରଣିକର ପ୍ରୟୋଗ ବିଷୟରେ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବୁ।

4.2 ସାରଣିକ

ପ୍ରତ୍ୟେକ ବର୍ଗ ସାରଣିକ $A=[a _{i j}]$ ଯାହାର କ୍ରମ $n$, ସେଥିରେ ଆମେ ଏକ ସଂଖ୍ୟା (ବାସ୍ତବ କିମ୍ବା ଜଟିଳ) ସଂଯୋଗ କରିପାରିବା ଯାହାକୁ A ବର୍ଗ ସାରଣିକର ସାରଣିକ କୁହାଯାଏ, ଯେଉଁଠାରେ $a _{i j}=(i, j)^{\text{th }}$ Aର ଉପାଦାନ।

ଏହାକୁ ଏକ ଫଳନ ଭାବରେ ଚିନ୍ତା କରାଯାଇପାରେ ଯାହା ପ୍ରତ୍ୟେକ ବର୍ଗ ସାରଣିକକୁ ଏକ ଅନନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା (ବାସ୍ତବ କିମ୍ବା ଜଟିଳ) ସହିତ ସଂଯୋଗ କରେ। ଯଦି $M$ ବର୍ଗ ସାରଣିକଗୁଡ଼ିକର ସେଟ୍, $K$ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସେଟ୍ (ବାସ୍ତବ କିମ୍ବା ଜଟିଳ) ଏବଂ $f: M \to K$ ଦ୍ୱାରା $f(A)=k$ ରୂପେ ସଂଜ୍ଞିତ, ଯେଉଁଠାରେ $A \in M$ ଏବଂ $k \in K$, ତେବେ $f(A)$ କୁ $A$ର ସାରଣିକ କୁହାଯାଏ। ଏହାକୁ $|A|$ କିମ୍ବା $det A$ କିମ୍ବା $\Delta$ ଦ୍ୱାରା ମଧ୍ୟ ସୂଚିତ କରାଯାଏ।

ଯଦି $A=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$ , ତେବେ Aର ସାରଣିକକୁ $|A|=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=det(A) $ ରୂପେ ଲେଖାଯାଏ।

ଟିପ୍ପଣୀ

(i) ସାରଣିକ A ପାଇଁ, $|A|$ କୁ $A$ର ସାରଣିକ ଭାବରେ ପଢ଼ାଯାଏ ଏବଂ $A$ର ମୋଡ୍ୟୁଲସ୍ ଭାବରେ ନୁହେଁ।

(ii) କେବଳ ବର୍ଗ ସାରଣିକଗୁଡ଼ିକର ସାରଣିକ ଅଛି।

4.2.1 ଏକ କ୍ରମ 1 ବିଶିଷ୍ଟ ସାରଣିକର ସାରଣିକ

ମନେକର $A=[a]$ କ୍ରମ 1 ବିଶିଷ୍ଟ ସାରଣିକ ହେଉ, ତେବେ $A$ର ସାରଣିକକୁ $a$ ସହ ସମାନ ହେବା ପାଇଁ ସଂଜ୍ଞିତ କରାଯାଏ।

4.2.2 ଏକ କ୍ରମ ଦୁଇ ବିଶିଷ୍ଟ ସାରଣିକର ସାରଣିକ

$\text{ମନେକର}\qquad A=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22} \end{vmatrix} \text{ ଏକ } 2 \times 2 \text{ କ୍ରମ ବିଶିଷ୍ଟ ସାରଣିକ ହେଉ}, $

ତେବେ $A$ର ସାରଣିକକୁ ଏହିପରି ସଂଜ୍ଞିତ କରାଯାଏ:

$ det(A)=|A|=\Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & & a _{12} \\ a _{21} & & a _{22} \end{vmatrix}=a _{11} a _{22}-a _{21} a _{12} $

ଉଦାହରଣ 1 $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}$ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କର।

ସମାଧାନ ଆମ ପାଖରେ $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}=2(2)-4(-1)=4+4=8$ ଅଛି।

ଉଦାହରଣ 2 $\begin{vmatrix}x & x+1 \\ x-1 & x\end{vmatrix}$ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କର

ସମାଧାନ ଆମ ପାଖରେ ଅଛି

$ \begin{vmatrix} x & x+1 \\ x-1 & x \end{vmatrix}=x(x)-(x+1)(x-1)=x^{2}-(x^{2}-1)=x^{2}-x^{2}+1=1 $

4.2.3 ଏକ କ୍ରମ $3 \times 3$ ବିଶିଷ୍ଟ ସାରଣିକର ସାରଣିକ

ଏକ କ୍ରମ ତିନି ବିଶିଷ୍ଟ ସାରଣିକର ସାରଣିକକୁ ଏହାକୁ ଦ୍ୱିତୀୟ କ୍ରମ ସାରଣିକ ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଇପାରେ। ଏହାକୁ ଏକ ଧାଡ଼ି (କିମ୍ବା ଏକ ସ୍ତମ୍ଭ) ବ୍ୟାପୀ ସାରଣିକର ପ୍ରସାରଣ ଭାବରେ ଜଣାଶୁଣା। ଏକ କ୍ରମ 3 ବିଶିଷ୍ଟ ସାରଣିକର ପ୍ରସାରଣ କରିବାର ଛଅଟି ଉପାୟ ଅଛି

ଯାହା ତିନୋଟି ଧାଡ଼ି $(R_1, R_2.$ ଏବଂ $.R_3)$ ଏବଂ ତିନୋଟି ସ୍ତମ୍ଭ $(C_1, C_2.$ ଏବଂ $C_3)$ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସହିତ ସମ୍ବନ୍ଧିତ ଏବଂ ନିମ୍ନରେ ଦର୍ଶାଯାଇଥିବା ପରି ସମାନ ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରଦାନ କରେ।

ବର୍ଗ ସାରଣିକ $A=[a _{i j}] _{3 \times 3}$ର ସାରଣିକ ବିଚାର କର

$\text{ଅର୍ଥାତ୍}\qquad |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $

ପ୍ରଥମ ଧାଡ଼ି ବ୍ୟାପୀ ପ୍ରସାରଣ $(\mathbf{R} _1)$

ପଦକ୍ଷେପ 1 $\mathbf{R} _ {1}$ର ପ୍ରଥମ ଉପାଦାନ $ a _ {11}$କୁ $(-1)^{(1+1)}[(-1)^{.\text{sum of suffixes in } a _ {11}}.$ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କର ଏବଂ ପ୍ରଥମ ଧାଡ଼ି $(R_1)$ ଏବଂ ପ୍ରଥମ ସ୍ତମ୍ଭ $(C _ {1})$ର ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକୁ ବିଲୋପ କରି ପ୍ରାପ୍ତ ଦ୍ୱିତୀୟ କ୍ରମ ସାରଣିକ ସହିତ ଯୋଡ଼, କାରଣ $|A|$ ରେ $a _ {11}$ ଅବସ୍ଥିତ ଯାହା $ R _ {1} $ ଏବଂ $ C _ {1} $ ରେ ଅଛି,

$\text{ଅର୍ଥାତ୍,}\qquad (-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right| $

ପଦକ୍ଷେପ 2 $R_1$ର ଦ୍ୱିତୀୟ ଉପାଦାନ $a _{12}$କୁ $(-1)^{1+2}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{12}}]$ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କର ଏବଂ ପ୍ରଥମ ଧାଡ଼ି $(R_1)$ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସ୍ତମ୍ଭ $(C_2)$ର ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକୁ ବିଲୋପ କରି ପ୍ରାପ୍ତ ଦ୍ୱିତୀୟ କ୍ରମ ସାରଣିକ ସହିତ ଯୋଡ଼, କାରଣ $|A|$ ରେ $a _{12}$ ଅବସ୍ଥିତ ଯାହା $R_1$ ଏବଂ $C_2$ ରେ ଅଛି,

ଅର୍ଥାତ୍, $\quad(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33}\end{vmatrix}$

ପଦକ୍ଷେପ 3 $R_1$ର ତୃତୀୟ ଉପାଦାନ $a _{13}$କୁ $(-1)^{1+3}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{13}}]$ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କର ଏବଂ ପ୍ରଥମ ଧାଡ଼ି $(R_1)$ ଏବଂ ତୃତୀୟ ସ୍ତମ୍ଭ $(C_3)$ର ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକୁ ବିଲୋପ କରି ପ୍ରାପ୍ତ ଦ୍ୱିତୀୟ କ୍ରମ ସାରଣିକ ସହିତ ଯୋଡ଼, କାରଣ $|A|$ ରେ $a _{13}$ ଅବସ୍ଥିତ ଯାହା $R_1$ ଏବଂ $C_3$ ରେ ଅଛି,

ଅର୍ଥାତ୍, $\quad(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32}\end{vmatrix}$

ପଦକ୍ଷେପ 4 ଏବେ Aର ସାରଣିକର ପ୍ରସାରଣ, ଅର୍ଥାତ୍, $|A|$ ଉପରୋକ୍ତ ପଦକ୍ଷେପ 1,2 ଏବଂ 3ରେ ପ୍ରାପ୍ତ ସମସ୍ତ ତିନୋଟି ପଦର ସମଷ୍ଟି ରୂପେ ଲେଖାଯାଇଛି ଯାହା ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଏ

$$ \begin{aligned} & \operatorname{det} \mathrm{A}=|\mathrm{A}|=(-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right|+(-1)^{1+2} \quad a _{12}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{array}\right| \\ & +(-1)^{1+3} a _{13}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{array}\right| \end{aligned} $$

$ \begin{align*} \text{କିମ୍ବା} \qquad |\mathrm{A}|= & a _{11}\left(a _{22} a _{33}-a _{32} a _{23}\right)-a _{12}\left(a _{21} a _{33}-a _{31} a _{23}\right) \\ & +a _{13}\left(a _{21} a _{32}-a _{31} a _{22}\right) \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{32} a _{23}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{31} a _{23}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \tag{1} \end{align*} $

ଟିପ୍ପଣୀ ଆମେ ସମସ୍ତ ଚାରୋଟି ପଦକ୍ଷେପକୁ ଏକତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରିବୁ।

ଦ୍ୱିତୀୟ ଧାଡ଼ି ବ୍ୟାପୀ ପ୍ରସାରଣ $(\mathbf{R} _2)$

$$ |A|=\begin{vmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \end{vmatrix} $$

$R_2$ ବ୍ୟାପୀ ପ୍ରସାରଣ କରି, ଆମେ ପାଇବା

$ \begin{aligned} |A|= & (-1)^{2+1} a _{21}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{2+2} a _{22}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +(-1)^{2+3} a _{23}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ = & -a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{32} a _{13})+a _{22}(a _{11} a _{33}-a _{31} a _{13}) \\ & -a _{23}(a _{11} a _{32}-a _{31} a _{12}) \\ |A|= & -a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{32} a _{13}+a _{22} a _{11} a _{33}-a _{22} a _{31} a _{13}-a _{23} a _{11} a _{32} \\ & +a _{23} a _{31} a _{12} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

ପ୍ରଥମ ସ୍ତମ୍ଭ ବ୍ୟାପୀ ପ୍ରସାରଣ $(C_1)$

$$ |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $$

$C_1$ ବ୍ୟାପୀ ପ୍ରସାରଣ କରି, ଆମେ ପାଇବା

$ \begin{aligned} |A|= & a _{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{21}(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +a _{31}(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{22} & a _{23} \end{vmatrix} \\ = & a _{11}(a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32})-a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})+a _{31}(a _{12} a _{23}-a _{13} a _{22}) \end{aligned} $ $ \begin{aligned} |A|= & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{13} a _{32}+a _{31} a _{12} a _{23} \\ & -a _{31} a _{13} a _{22} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବରେ, (1), (2) ଏବଂ (3)ରେ $|A|$ର ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ସମାନ। $|A|$ର ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକ $R_3, C_2$ ଏବଂ $C_3$ ବ୍ୟାପୀ ପ୍ରସାରଣ କରି ଯାଞ୍ଚ କରିବା ପାଠକଙ୍କ ପାଇଁ ଏକ ଅଭ୍ୟାସ ଭାବରେ ଛାଡ଼ି ଦିଆଯାଇଛି ଯେ ସେଗୁଡ଼ିକ (1), (2) କିମ୍ବା (3)ରେ ପ୍ରାପ୍ତ $|A|$ର ମୂଲ୍ୟ ସହିତ ସମାନ।

ତେଣୁ, କୌଣସି ଧାଡ଼ି କିମ୍ବା ସ୍ତମ୍ଭ ବ୍ୟାପୀ ଏକ ସାରଣିକର ପ୍ରସାରଣ କଲେ ସମାନ ମୂଲ୍ୟ ମିଳେ।

ଟିପ୍ପଣୀ

(i) ସହଜ ଗଣନା ପାଇଁ, ଆମେ ସେହି ଧାଡ଼ି କିମ୍ବା ସ୍ତମ୍ଭ ବ୍ୟାପୀ ସାରଣିକର ପ୍ରସାରଣ କରିବୁ ଯେଉଁଥିରେ ସର୍ବାଧିକ ସଂଖ୍ୟକ ଶୂନ୍ୟ ଅଛି।

(ii) ପ୍ରସାରଣ ସମୟରେ, $(-1)^{i+j}$ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପରିବର୍ତ୍ତେ, ଆମେ +1 କିମ୍ବା -1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିପାରିବା ଯାହା ଦ୍ୱାରା $(i+j)$ ଯୁଗ୍ମ କିମ୍ବା ଅଯୁଗ୍ମ ହେଉଛି।

(iii) ମନେକର $A=\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 4 & 0\end{vmatrix}$ ଏବଂ $B=\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{vmatrix}$। ତେବେ, ଏହା ଯାଞ୍ଚ କରିବା ସହଜ ଯେ $A=2 B$। ଆହୁରି ମଧ୍ୟ $|A|=0-8=-8$ ଏବଂ $|B|=0-2=-2$।

ଲକ୍ଷ୍ୟ କର, $|A|=4(-2)=2^{2}|B|$ କିମ୍ବା $|A|=2^{n}|B|$, ଯେଉଁଠାରେ $n=2$ ହେଉଛି ବର୍ଗ ସାରଣିକ $A$ ଏବଂ $B$ର କ୍ରମ।

ସାଧାରଣତଃ, ଯଦି $A=k B$ ଯେଉଁଠାରେ $A$ ଏବଂ $B$ ହେଉଛି କ୍ରମ $n$ ବିଶିଷ୍ଟ ବର୍ଗ ସାରଣିକ, ତେବେ $|A|=k^{n}$ $|B|$, ଯେଉଁଠାରେ $n=1,2,3$

ଉଦାହରଣ 3 ସାରଣିକ $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0\end{vmatrix}$ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କର।

ସମାଧାନ ଧ୍ୟାନ ଦିଅ ଯେ ତୃତୀୟ ସ୍ତମ୍ଭରେ, ଦୁଇଟି ପ୍ରବେଶ ଶୂନ୍ୟ। ତେଣୁ ତୃତୀୟ ସ୍ତମ୍ଭ $(C_3)$ ବ୍ୟାପୀ ପ୍ରସାରଣ କରି, ଆମେ ପାଇବା

$$ \begin{aligned} \Delta & =4\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}-0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \\ & =4(-1-12)-0+0=-52 \end{aligned} $$

ଉଦାହରଣ 4 $\Delta=\begin{vmatrix}0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \\ -\sin \alpha & 0 & \sin \beta \\ \cos \alpha & -\sin \beta & 0\end{vmatrix}$ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କର

ସମାଧାନ $R_1$ ବ୍ୟାପୀ ପ୍ରସାରଣ କରି, ଆମେ ପାଇବା

$ \begin{aligned} \Delta & =0\begin{vmatrix} 0 & \sin \beta \\ -\sin \beta & 0 \end{vmatrix}-\sin \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & \sin \beta \\ \cos \alpha & 0 \end{vmatrix}-\cos \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & 0 \\ \cos \alpha & -\sin \beta \end{vmatrix} \\ & =0-\sin \alpha(0-\sin \beta \cos \alpha)-\cos \alpha(\sin \alpha \sin \beta-0) \\ & =\sin \alpha \sin \beta \cos \alpha-\cos \alpha \sin \alpha \sin \beta=0 \end{aligned} $

ଉଦାହରଣ 5 $x$ର ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ଖୋଜ ଯେପରିକି $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$।

ସମାଧାନ ଆମ ପାଖରେ ଅଛି $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$

ଅର୍ଥାତ୍ $\qquad 3-x^{2}=3-8$

$\text{ଅର୍ଥାତ୍}\qquad \begin{aligned} x^{2} & =8 \\ \end{aligned} $

ତେଣୁ $\qquad\ x= \pm 2 \sqrt{2}$

4.3 ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ

ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀଗୁଡ଼ିକରେ, ଆମେ ଅଧ୍ୟୟନ କରିଛୁ ଯେ ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଯାହାର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ $(x_1, y_1),(x_2, y_2)$ ଏବଂ $(x_3, y_3)$, ତାହା ପ୍ରଦତ୍ତ ହୁଏ ପ୍ରକାଶନ $\frac{1}{2}[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+.$ $.x_3(y_1-y_2)]$ ଦ୍ୱାରା। ଏବେ ଏହି ପ୍ରକାଶନକୁ ଏକ ସାରଣିକ ରୂପରେ ଏହିପରି ଲେଖାଯାଇପାରେ

$$ \Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} x _{1} & y _{1} & 1 \tag{1}\\ x _{2} & y _{2} & 1 \\ x _{3} & y _{3} & 1 \end{array}\right| $$

ଟିପ୍ପଣୀ

(i) ଯେହେତୁ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଏକ ଧନାତ୍ମକ ପରିମାଣ, ଆମେ ସର୍ବଦା (1)ରେ ସାରଣିକର ପରମ ମୂଲ୍ୟ ନେଇଥାଉ।

(ii) ଯଦି କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଦିଆଯାଇଛି, ଗଣନା ପାଇଁ ସାରଣିକର ଧନାତ୍ମକ ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ ଉଭୟ ମୂଲ୍ୟ ବ୍ୟବହାର କର।

(iii) ତିନୋଟି ସରଳରେଖୀୟ ବିନ୍ଦୁଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଶୂନ୍ୟ।

ଉଦାହରଣ 6 ସେହି ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଖୋଜ ଯାହାର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ $(3,8),(-4,2)$ ଏବଂ $(5,1)$।

ସମାଧାନ ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଦିଆଯାଏ

$$ \begin{aligned} \Delta & =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{rrr} 3 & 8 & 1 \\ -4 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \end{array}\right|=\frac{1}{2}[3(2-1)-8(-4-5)+1(-4-10)] \\ & =\frac{1}{2}(3+72-14)=\frac{61}{2} \end{aligned} $$

ଉଦାହରଣ 7 $A(1,3)$ ଏବଂ $B(0,0)$ ଯୋଗକାରୀ ରେଖାର ସମୀକରଣ ସାରଣିକ ବ୍ୟବହାର କରି ଖୋଜ ଏବଂ $k$ ଖୋଜ ଯଦି $D(k, 0)$ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଯେପରିକି ABD ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 3 ବର୍ଗ ଏକକ।

ସମାଧାନ ମନେକର $P(x, y)$ $AB$ ଉପରେ ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁ ହେଉ। ତେବେ, ABP ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଶୂନ୍ୟ (କାହିଁକି?)।

$\text{ତେଣୁ}\qquad \frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ x & y & 1 \end{array}\right|=0 $

$\text{ଏହା ଦେଇଥାଏ}\qquad \frac{1}{2}(y-3 x)=0 \text { କିମ୍ବା } y=3 x $

ଯାହା ଆବଶ୍ୟକୀୟ ରେଖା $AB$ର ସମୀକରଣ।

ଆହୁରି ମଧ୍ୟ, ଯେହେତୁ ABD ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ 3 ବର୍ଗ ଏକକ, ଆମ ପାଖରେ ଅଛି

$ \frac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ k & 0 & 1 \end{vmatrix}= \pm 3 $ ଏହା ଦେଇଥାଏ, $\frac{-3 k}{2}= \pm 3$, ଅର୍ଥାତ୍, $k=\mp 2$।

4.4 ଗୌଣ ସାରଣିକ ଏବଂ ସହଗୁଣକ

ଏହି ଅନୁଚ୍ଛେଦରେ, ଆମେ ଗୌଣ ସାରଣିକ ଏବଂ ସହଗୁଣକ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ସ