“ସମଗ୍ର ବିଜ୍ଞାନ ହେଉଛି ଦୈନନ୍ଦିନ ଚିନ୍ତାଧାରାର ଏକ ପରିଷ୍କୃତି ମାତ୍ର।” - ଆଲବର୍ଟ ଆଇନଷ୍ଟାଇନ

5.1 ପରିଚୟ

ଏହି ଅଧ୍ୟାୟଟି ମୌଳିକ ଭାବେ କକ୍ଷା 11ରେ ଆମେ ଅଧ୍ୟୟନ କରିଥିବା ଫଳନର ଅବକଳନର ଏକ ଧାରାବାହିକତା। ଆମେ କେତେକ ଫଳନ ଯେପରିକି ବହୁପଦୀୟ ଫଳନ ଏବଂ ତ୍ରିକୋଣମିତୀୟ ଫଳନଗୁଡ଼ିକୁ ଅବକଳନ କରିବା ଶିଖିଥିଲୁ। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ସାତତ୍ୟ, ଅବକଳନୀୟତା ଏବଂ ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କର ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଧାରଣାଗୁଡ଼ିକୁ ପରିଚିତ କରାଉଛୁ। ଆମେ ବିପରୀତ ତ୍ରିକୋଣମିତୀୟ ଫଳନର ଅବକଳନ ମଧ୍ୟ ଶିଖିବା। ଆହୁରି, ଆମେ ଏକ ନୂତନ ଶ୍ରେଣୀର ଫଳନକୁ ପରିଚିତ କରାଉଛୁ ଯାହାକୁ ଘାତାଙ୍କୀୟ ଏବଂ ଲଘୁଗଣକୀୟ ଫଳନ କୁହାଯାଏ। ଏହି ଫଳନଗୁଡ଼ିକ ଅବକଳନର ଶକ୍ତିଶାଳୀ ପ୍ରଣାଳୀ ଆଡ଼କୁ ନେଇଯାଏ। ଆମେ ଅବକଳନୀୟ କଲକୁଲସ୍ ମାଧ୍ୟମରେ କେତେକ ଜ୍ୟାମିତିକ ଭାବରେ ସ୍ପଷ୍ଟ ଅବସ୍ଥାଗୁଡ଼ିକୁ ଦର୍ଶାଉଛୁ। ଏହି ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ, ଆମେ ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ କେତେକ ମୌଳିକ ପ୍ରମେୟ ଶିଖିବା।

5.2 ସାତତ୍ୟ

ଆମେ ଏହି ବିଭାଗକୁ ସାତତ୍ୟର ଅନୁଭୂତି ପାଇବା ପାଇଁ ଦୁଇଟି ଅନାବଶ୍ୟକୀୟ ଉଦାହରଣ ସହିତ ଆରମ୍ଭ କରୁଛୁ। ଫଳନଟି ବିଚାର କରନ୍ତୁ

$$ f(x)=\begin{cases} 1, \text{ if } x \leq 0 \\ 2, \text{ if } x>0 \end{cases}. $$

ଏହି ଫଳନଟି ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ବାସ୍ତବ ସରଳରେଖାର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁରେ ସଂଜ୍ଞାବଦ୍ଧ। ଏହି ଫଳନର ଗ୍ରାଫ୍ ଚିତ୍ର 5.1ରେ ଦିଆଯାଇଛି। ଗ୍ରାଫ୍ରୁ କେହି ଅନୁମାନ କରିପାରିବେ ଯେ $x$-ଅକ୍ଷ ଉପରେ ନିକଟବର୍ତ୍ତୀ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକରେ ଫଳନର ମୂଲ୍ୟ ପରସ୍ପର ନିକଟରେ ରହିଥାଏ, $x=0$ ବ୍ୟତୀତ। 0 ର ନିକଟବର୍ତ୍ତୀ ଏବଂ ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଥିବା ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକରେ, ଅର୍ଥାତ୍ $-0.1,-0.01,-0.001$ ପରି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକରେ, ଫଳନର ମୂଲ୍ୟ 1 ଅଟେ। 0 ର ନିକଟବର୍ତ୍ତୀ ଏବଂ ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ଵରେ ଥିବା ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକରେ, ଅର୍ଥାତ୍ $0.1,0.01$,

0.001, ଫଳନର ମୂଲ୍ୟ 2 ଅଟେ। ବାମ ଏବଂ ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ଵ ସୀମାର ଭାଷା ବ୍ୟବହାର କରି, ଆମେ କହିପାରିବା ଯେ $f$ ର 0 ରେ ବାମ (ଯଥାକ୍ରମେ ଡାହାଣ) ପାର୍ଶ୍ଵ ସୀମା 1 (ଯଥାକ୍ରମେ 2) ଅଟେ। ବିଶେଷ କରି ବାମ ଏବଂ ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ଵ ସୀମାଗୁଡ଼ିକ ମିଳିତ ହୁଏ ନାହିଁ। ଆମେ ଏହା ମଧ୍ୟ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛୁ ଯେ $x=0$ ରେ ଫଳନର ମୂଲ୍ୟ ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵ ସୀମା ସହିତ ମିଳିତ ହୁଏ। ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ ଯେ ଯେତେବେଳେ ଆମେ ଗ୍ରାଫ୍ ଅଙ୍କନ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରୁ, ଆମେ ଏହାକୁ ଗୋଟିଏ ଷ୍ଟ୍ରୋକରେ ଅଙ୍କନ କରିପାରିବା ନାହିଁ, ଅର୍ଥାତ୍, କାଗଜ ତଳରୁ କଲମ ଉଠାଇ ନ ନେଇ, ଆମେ ଏହି ଫଳନର ଗ୍ରାଫ୍ ଅଙ୍କନ କରିପାରିବା ନାହିଁ। ପ୍ରକୃତରେ, ଯେତେବେଳେ ଆମେ ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵରୁ 0 ରେ ଆସୁ, ସେତେବେଳେ ଆମକୁ କଲମ ଉଠାଇବାକୁ ପଡ଼େ। ଏହା ହେଉଛି ଫଳନଟି $x=0$ ରେ ସତତ ନ ଥିବାର ଏକ ଉଦାହରଣ।

ବର୍ତ୍ତମାନ, ଫଳନଟି ବିଚାର କରନ୍ତୁ ଯାହାକୁ ଏହିପରି ସଂଜ୍ଞାବଦ୍ଧ କରାଯାଇଛି

$$ f(x)=\begin{cases} & 1, \text{ if } x \neq 0 \\ & 2, \text{ if } x=0 \end{cases} $$

ଏହି ଫଳନଟି ମଧ୍ୟ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁରେ ସଂଜ୍ଞାବଦ୍ଧ। $x=0$ ରେ ବାମ ଏବଂ ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ଵ ସୀମା ଉଭୟ 1 ସହିତ ସମାନ। କିନ୍ତୁ $x=0$ ରେ ଫଳନର ମୂଲ୍ୟ 2 ସହିତ ସମାନ ହୁଏ ଯାହା ବାମ ଏବଂ ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ଵ ସୀମାର ସାଧାରଣ ମୂଲ୍ୟ ସହିତ ମିଳିତ ହୁଏ ନାହିଁ। ପୁନଶ୍ଚ, ଆମେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛୁ ଯେ ଆମେ କଲମ ଉଠାଇ ନ ନେଇ ଫଳନର ଗ୍ରାଫ୍ ଅଙ୍କନ କରିପାରିବା ନାହିଁ। ଏହା ହେଉଛି ଫଳନଟି $x=0$ ରେ ସତତ ନ ଥିବାର ଆଉ ଏକ ଉଦାହରଣ।

ସରଳ ଭାବରେ, ଆମେ କହିପାରିବା ଯେ ଏକ ଫଳନ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବିନ୍ଦୁରେ ସତତ ଅଟେ ଯଦି ଆମେ କାଗଜ ତଳରୁ କଲମ ଉଠାଇ ନ ନେଇ ସେହି ବିନ୍ଦୁର ଚାରିପାଖରେ ଫଳନର ଗ୍ରାଫ୍ ଅଙ୍କନ କରିପାରିବା।

ଗାଣିତିକ ଭାବରେ, ଏହାକୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ସଠିକ୍ ଭାବେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରେ:

ସଂଜ୍ଞା 1 ଧରାଯାଉ $f$ ହେଉଛି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଏକ ଉପସେଟ୍ ଉପରେ ଏକ ବାସ୍ତବ ଫଳନ ଏବଂ ମନେକର $c$ ହେଉଛି $f$ ର ପରିସରରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ। ତେବେ $f$, $c$ ରେ ସତତ ଅଟେ ଯଦି

$$ \lim _{x \to c} f(x)=f(c) $$

ଅଧିକ ବିସ୍ତୃତ ଭାବରେ, ଯଦି ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵ ସୀମା, ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ଵ ସୀମା ଏବଂ $x=c$ ରେ ଫଳନର ମୂଲ୍ୟ ବିଦ୍ୟମାନ ଥାଏ ଏବଂ ପରସ୍ପର ସହିତ ସମାନ ହୁଏ, ତେବେ $f$ କୁ $x=c$ ରେ ସତତ ବୋଲି କୁହାଯାଏ। ସ୍ମରଣ କରନ୍ତୁ ଯେ ଯଦି $x=c$ ରେ ଡାହାଣ ଏବଂ ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵ ସୀମାଗୁଡ଼ିକ ମିଳିତ ହୁଏ, ତେବେ ଆମେ କହୁ ଯେ ସାଧାରଣ ମୂଲ୍ୟଟି ହେଉଛି $x=c$ ରେ ଫଳନର ସୀମା। ତେଣୁ ଆମେ ସାତତ୍ୟର ସଂଜ୍ଞାକୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ମଧ୍ୟ ପୁନର୍ବ୍ୟକ୍ତ କରିପାରିବା: ଏକ ଫଳନ $x=c$ ରେ ସତତ ଅଟେ ଯଦି ଫଳନଟି $x=c$ ରେ ସଂଜ୍ଞାବଦ୍ଧ ହୁଏ ଏବଂ ଯଦି $x=c$ ରେ ଫଳନର ମୂଲ୍ୟ $x=c$ ରେ ଫଳନର ସୀମା ସହିତ ସମାନ ହୁଏ। ଯଦି $f$, $c$ ରେ ସତତ ନୁହେଁ, ତେବେ ଆମେ କହୁ ଯେ $f$, $c$ ରେ ଅସତତ ଅଟେ ଏବଂ $c$ କୁ $f$ ର ଏକ ଅସାତତ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ।

ଉଦାହରଣ 1 $f$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଥିବା ଫଳନ $f(x)=2 x+3$ ର ସାତତ୍ୟ $x=1$ ରେ ପରୀକ୍ଷା କରନ୍ତୁ।

ସମାଧାନ ପ୍ରଥମେ ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ ଯେ ଫଳନଟି ଦିଆଯାଇଥିବା ବିନ୍ଦୁ $x=1$ ରେ ସଂଜ୍ଞାବଦ୍ଧ ଏବଂ ଏହାର ମୂଲ୍ୟ 5 ଅଟେ। ତା’ପରେ $x=1$ ରେ ଫଳନର ସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ। ସ୍ପଷ୍ଟଭାବେ

$$ \lim _{x \to 1} f(x)=\lim _{x \to 1}(2 x+3)=2(1)+3=5 $$

ତେଣୁ $\qquad \lim _{x \to 1} f(x)=5=f(1)$

ତେଣୁ, $f$, $x=1$ ରେ ସତତ ଅଟେ।

ଉଦାହରଣ 2 ପରୀକ୍ଷା କରନ୍ତୁ ଯେ $f$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଥିବା ଫଳନ $f(x)=x^{2}$, $x=0$ ରେ ସତତ କି ନୁହେଁ।

ସମାଧାନ ପ୍ରଥମେ ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ ଯେ ଫଳନଟି ଦିଆଯାଇଥିବା ବିନ୍ଦୁ $x=0$ ରେ ସଂଜ୍ଞାବଦ୍ଧ ଏବଂ ଏହାର ମୂଲ୍ୟ 0 ଅଟେ। ତା’ପରେ $x=0$ ରେ ଫଳନର ସୀମା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ। ସ୍ପଷ୍ଟଭାବେ

$$ \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}=0^{2}=0 $$

ତେଣୁ $\qquad \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0=f(0)$

ତେଣୁ, $f$, $x=0$ ରେ ସତତ ଅଟେ।

ଉଦାହରଣ 3 $f$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଥିବା ଫଳନ $f(x)=|x|$ ର ସାତତ୍ୟ $x=0$ ରେ ଆଲୋଚନା କରନ୍ତୁ।

ସମାଧାନ ସଂଜ୍ଞା ଅନୁସାରେ

$$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ if } x<0 \\ x, & \text{ if } x \geq 0\end{cases} $$

ସ୍ପଷ୍ଟଭାବେ ଫଳନଟି 0 ରେ ସଂଜ୍ଞାବଦ୍ଧ ଏବଂ $f(0)=0$। 0 ରେ $f$ ର ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵ ସୀମା ହେଉଛି

$$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}}(-x)=0 $$

ସେହିପରି, 0 ରେ $f$ ର ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ଵ ସୀମା ହେଉଛି

$$ \lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} x=0 $$

ତେଣୁ, ବାମ ପାର୍ଶ୍ଵ ସୀମା, ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ଵ ସୀମା ଏବଂ ଫଳନର ମୂଲ୍ୟ $x=0$ ରେ ମିଳିତ ହୁଏ। ତେଣୁ, $f$, $x=0$ ରେ ସତତ ଅଟେ।

ଉଦାହରଣ 4 ଦର୍ଶାନ୍ତୁ ଯେ $f$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଥିବା ଫଳନ

$$ f(x)= \begin{cases}x^{3}+3, & \text{ if } x \neq 0 \\ 1, & \text{ if } x=0\end{cases} $$

$x=0$ ରେ ସତତ ନୁହେଁ।

ସମାଧାନ ଫଳନଟି $x=0$ ରେ ସଂଜ୍ଞାବଦ୍ଧ ଏବଂ $x=0$ ରେ ଏହାର ମୂଲ୍ୟ 1 ଅଟେ। ଯେତେବେଳେ $x \neq 0$, ଫଳନଟି ଏକ ବହୁପଦୀୟ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଥାଏ। ତେଣୁ,

$$ \lim _{x \to 0} f(x)=\lim _{x \to 0}(x^{3}+3)=0^{3}+3=3 $$

ଯେହେତୁ $f$ ର $x=0$ ରେ ସୀମା $f(0)$ ସହିତ ମିଳିତ ହୁଏ ନାହିଁ, ଫଳନଟି $x=0$ ରେ ସତତ ନୁହେଁ। ଏହା ଧ୍ୟାନ ଦେବାର ଯୋଗ୍ୟ ଯେ $x=0$ ହେଉଛି ଏହି ଫଳନ ପାଇଁ ଏକମାତ୍ର ଅସାତତ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ।

ଉଦାହରଣ 5 ଯେଉଁଠାରେ ଅଚଳ ଫଳନ $f(x)=k$ ସତତ ଅଟେ ସେହି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ପରୀକ୍ଷା କରନ୍ତୁ।

ସମାଧାନ ଫଳନଟି ସମସ୍ତ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାରେ ସଂଜ୍ଞାବଦ୍ଧ ଏବଂ ସଂଜ୍ଞା ଅନୁସାରେ, ଏହାର ମୂଲ୍ୟ ଯେକୌଣସି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାରେ $k$ ସହିତ ସମାନ ହୁଏ। ମନେକର $c$ ହେଉଛି ଯେକୌଣସି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା। ତେବେ

$$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} k=k $$

ଯେହେତୁ $f(c)=k=\lim _{x \to c} f(x)$ ଯେକୌଣସି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା $c$ ପାଇଁ, ଫଳନ $f$ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାରେ ସତତ ଅଟେ।

ଉଦାହରଣ 6 ପ୍ରମାଣ କରନ୍ତୁ ଯେ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଉପରେ ପରିଚୟ ଫଳନ $f(x)=x$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଥାଏ, ଏହା ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାରେ ସତତ ଅଟେ।

ସମାଧାନ ଫଳନଟି ସ୍ପଷ୍ଟଭାବେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁରେ ସଂଜ୍ଞାବଦ୍ଧ ଏବଂ $f(c)=c$ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା $c$ ପାଇଁ।

ଆହୁରି, $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c$

ତେଣୁ, $\lim _{x \to c} f(x)=c=f(c)$ ଏବଂ ତେଣୁ ଫଳନଟି ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାରେ ସତତ ଅଟେ।

ଏକ ଦିଆଯାଇଥିବା ବିନ୍ଦୁରେ ଏକ ଫଳନର ସାତତ୍ୟ ସଂଜ୍ଞାବଦ୍ଧ କରିବା ପରେ, ବର୍ତ୍ତମାନ ଆମେ ଏକ ଫଳନର ସାତତ୍ୟ ଆଲୋଚନା କରିବା ପାଇଁ ଏହି ସଂଜ୍ଞାର ଏକ ପ୍ରାକୃତିକ ବିସ୍ତାର କରୁଛୁ।

ସଂଜ୍ଞା 2 ଏକ ବାସ୍ତବ ଫଳନ $f$ କୁ ସତତ ବୋଲି କୁହାଯାଏ ଯଦି ଏହା $f$ ର ପରିସରର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁରେ ସତତ ଅଟେ। ଏହି ସଂଜ୍ଞାଟି କିଛି ବିସ୍ତୃତ ବ୍ୟାଖ୍ୟା ଆବଶ୍ୟକ କରେ। ଧରାଯାଉ $f$ ହେଉଛି ଏକ ସଂବୃତ ଅନ୍ତରାଳ $[a, b]$ ଉପରେ ସଂଜ୍ଞାବଦ୍ଧ ଏକ ଫଳନ, ତେବେ $f$ ପାଇଁ ସତତ ହେବା ପାଇଁ, ଏହାକୁ $[a, b]$ ରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁ ସହିତ $a$ ଏବଂ $b$ ପରି ଅନ୍ତିମ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ କରି ସତତ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ। $f$ ର $a$ ରେ ସାତତ୍ୟ ଅର୍ଥ କରେ ଏବଂ $f$ ର $b$ ରେ ସାତତ୍ୟ ଅର୍ଥ କରେ

$$ \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a) $$

$$ \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=f(b) $$

ଲକ୍ଷ୍ୟ କରନ୍ତୁ ଯେ $\lim _{x \to a^{-}} f(x)$ ଏବଂ $\lim _{x \to b^{+}} f(x)$ ଅର୍ଥପୂର୍ଣ୍ଣ ନୁହେଁ। ଏହି ସଂଜ୍ଞାର ଏକ ପରିଣାମ ଭାବରେ, f ଯଦି କେବଳ ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରେ ସଂଜ୍ଞାବଦ୍ଧ ହୁଏ, ତେବେ ଏହା ସେଠାରେ ସତତ ଅଟେ, ଅର୍ଥାତ୍, ଯଦି $f$ ର ପରିସର ଏକ ଏକକ ସେଟ୍ ଅଟେ, ତେବେ $f$ ଏକ ସତତ ଫଳନ ଅଟେ।

ଉଦାହରଣ 7 $f(x)=|x|$ ଦ୍ୱାରା ସଂଜ୍ଞାବଦ୍ଧ ଫଳନଟି ଏକ ସତତ ଫଳନ କି?

ସମାଧାନ ଆମେ $f$ କୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ପୁନର୍ଲେଖନ କରିପାରିବା:

$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ if } x<0 \\ x, & \text{ if } x \geq 0\end{cases} $

ଉଦାହରଣ 3 ଦ୍ୱାରା, ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $f$, $x=0$ ରେ ସତତ ଅଟେ।

ମନେକର $c$ ଏକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଯେପରିକି $c<0$। ତେବେ $f(c)=-c$।

ଆହୁରି $$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(-x)=-c$$

ଯେହେତୁ $\lim _{x \to c} f(x)=f(c), f$ ସମସ୍ତ ଋଣାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାରେ ସତତ ଅଟେ।

ବର୍ତ୍ତମାନ, ମନେକର $c$ ଏକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଯେପରିକି $c>0$। ତେବେ $f(c)=c$। ଆହୁରି

$$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c $$

ଯେହେତୁ $\lim _{x \to c} f(x)=f(c), f$ ସମସ୍ତ ଧନାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାରେ ସତତ ଅଟେ। ତେଣୁ, $f$ ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁରେ ସତତ ଅଟେ।

ଉଦାହରଣ 8 $f$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଥିବା ଫଳନ $f(x)=x^{3}+x^{2}-1$ ର ସାତତ୍ୟ ଆଲୋଚନା କରନ୍ତୁ।

ସମାଧାନ ସ୍ପଷ୍ଟଭାବେ $f$ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା $c$ ରେ ସଂଜ୍ଞାବଦ୍ଧ ଏବଂ $c$ ରେ ଏହାର ମୂଲ୍ୟ $c^{3}+c^{2}-1$ ଅଟେ। ଆମେ ଏହା ମଧ୍ୟ ଜାଣୁ ଯେ

$$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}\left(x^{3}+x^{2}-1\right)=c^{3}+c^{2}-1 $$

ତେଣୁ $\lim _{x \to c} f(x)=f(c)$, ଏବଂ ତେଣୁ $f$ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାରେ ସତତ ଅଟେ। ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି $f$ ଏକ ସତତ ଫଳନ।

ଉଦାହରଣ 9 $f$ ଦ୍ୱାରା ସଂଜ୍ଞାବଦ୍ଧ ଫଳନ $f(x)=\frac{1}{x}, x \neq 0$ ର ସାତତ୍ୟ ଆଲୋଚନା କରନ୍ତୁ।

ସମାଧାନ ଯେକୌଣସି ଅଶୂନ୍ୟ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା $c$ କୁ ସ୍ଥିର କରନ୍ତୁ, ଆମ ପାଖରେ ଅଛି

$$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c} \frac{1}{x}=\frac{1}{c} $$

ଆହୁରି, ଯେହେତୁ $c \neq 0, f(c)=\frac{1}{c}$ ପାଇଁ, ଆମ ପାଖରେ ଅଛି $\lim _{x \to c} f(x)=f(c)$ ଏବଂ ତେଣୁ, $f$, $f$ ର ପରିସରର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁରେ ସତତ ଅଟେ। ତେଣୁ $f$ ଏକ ସତତ ଫଳନ।

ଆମେ ଅନନ୍ତର ଧାରଣା ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରିବା ପାଇଁ ଏହି ସୁଯୋଗ ଗ୍ରହଣ କରୁଛୁ। ଆମେ ଏହା କରିବା ପାଇଁ $f(x)=\frac{1}{x}$ ଫଳନକୁ $x=0$ ନିକଟରେ ବିଶ୍ଳେଷଣ କରି। ଏହି ବିଶ୍ଳେଷଣ କରିବା ପାଇଁ ଆମେ 0 ର ନିକଟବର୍ତ୍ତୀ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକରେ ଫଳନର ମୂଲ୍ୟ ଖୋଜିବାର ସାଧାରଣ କୌଶଳ ଅନୁସରଣ କରୁ। ମୌଳିକ ଭାବରେ ଆମେ 0 ରେ $f$ ର ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ଵ ସୀମା ଖୋଜିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରୁଛୁ। ଆମେ ଏହାକୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ (ସାରଣୀ 5.1) ରେ ସାରଣୀବଦ୍ଧ କରୁଛୁ।

ସାରଣୀ