“କ୍ୟାଲକୁଲସ୍କୁ ଚାବି ଭାବରେ ବ୍ୟବହାର କରି, ଗଣିତକୁ ପ୍ରକୃତିର ଗତିପଥ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରିବାରେ ସଫଳତାର ସହିତ ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଇପାରେ।” - ୱାଇଟହେଡ୍

6.1 ପରିଚୟ

ଅଧ୍ୟାୟ 5ରେ, ଆମେ କମ୍ପୋଜିଟ ଫଳନ, ବିପରୀତ ତ୍ରିକୋଣମିତୀୟ ଫଳନ, ଇମ୍ପ୍ଲିସିଟ ଫଳନ, ଏକ୍ସପୋନେନ୍ସିଆଲ ଫଳନ ଏବଂ ଲଘୁଗଣକୀୟ ଫଳନର ଅବକଳଜ କିପରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ତାହା ଶିଖିଛୁ। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ବିଭିନ୍ନ ଶାସ୍ତ୍ରରେ ଅବକଳଜର ପ୍ରୟୋଗ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବା, ଯେପରିକି ଯାନ୍ତ୍ରିକ ବିଜ୍ଞାନ, ବିଜ୍ଞାନ, ସାମାଜିକ ବିଜ୍ଞାନ ଏବଂ ଅନ୍ୟାନ୍ୟ କ୍ଷେତ୍ରରେ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଆମେ ଶିଖିବା କିପରି ଅବକଳଜକୁ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇପାରେ (i) ପରିମାଣର ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ପାଇଁ, (ii) ଏକ ବକ୍ରର ଏକ ବିନ୍ଦୁରେ ସ୍ପର୍ଶକ ଏବଂ ଅଭିଲମ୍ବର ସମୀକରଣ ଖୋଜିବା ପାଇଁ, (iii) ଏକ ଫଳନର ଗ୍ରାଫରେ ବଳୟ ବିନ୍ଦୁ ଖୋଜିବା ପାଇଁ ଯାହା ପରେ ଆମକୁ ସେହି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନଟ କରିବାରେ ସାହାଯ୍ୟ କରିବ ଯେଉଁଠାରେ ଏକ ଫଳନର ସର୍ବାଧିକ କିମ୍ବା ସର୍ବନିମ୍ନ ମୂଲ୍ୟ (ସ୍ଥାନୀୟ ଭାବରେ) ଘଟେ। ଆମେ ଏକ ଫଳନ କେଉଁ ବ୍ୟବଧାନରେ ବୃଦ୍ଧି ପାଉଛି କିମ୍ବା ହ୍ରାସ ପାଉଛି ତାହା ଖୋଜିବା ପାଇଁ ମଧ୍ୟ ଅବକଳଜ ବ୍ୟବହାର କରିବା। ଶେଷରେ, ଆମେ କେତେକ ପରିମାଣର ଆନୁମାନିକ ମୂଲ୍ୟ ଖୋଜିବା ପାଇଁ ଅବକଳଜ ବ୍ୟବହାର କରିବା।

6.2 ପରିମାଣର ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାର

ମନେରଖ ଯେ ଅବକଳଜ $\\ \frac{ds}{dt} $ ଦ୍ୱାରା, ଆମେ ଦୂରତା $s$ର ସମୟ $t$ ସହିତ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାରକୁ ବୁଝାଉ। ସେହିପରି, ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ପରିମାଣ $y$ ଅନ୍ୟ ଏକ ପରିମାଣ $x$ ସହିତ ପରିବର୍ତ୍ତିତ ହୁଏ, କେତେକ ନିୟମ $y=f(x)$କୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରି, ତାପରେ $\frac{d y}{d x}$ (କିମ୍ବା $f^{\prime}(x)$) $y$ର $x$ ସହିତ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାରକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ ଏବଂ $\frac{d y}{d x} _{x=x_0}(.$ କିମ୍ବା $.f^{\prime}(x_0))$ $x=x_0$ରେ $y$ର $x$ ସହିତ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାରକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ।

ଆହୁରି, ଯଦି ଦୁଇଟି ଚଳରାଶି $x$ ଏବଂ $y$ ଅନ୍ୟ ଏକ ଚଳରାଶି $t$ ସହିତ ପରିବର୍ତ୍ତିତ ହେଉଛନ୍ତି, ଅର୍ଥାତ୍, ଯଦି $x=f(t)$ ଏବଂ $y=g(t)$, ତାପରେ ଶୃଙ୍ଖଳା ନିୟମ ଦ୍ୱାରା

$$ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d t} / \frac{d x}{d t}, \text{ if } \frac{d x}{d t} \neq 0 $$

ତେଣୁ, $y$ର $x$ ସହିତ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାର $y$ ଏବଂ $x$ ଉଭୟର $t$ ସହିତ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାର ବ୍ୟବହାର କରି ଗଣନା କରାଯାଇପାରିବ।

ଆସନ୍ତୁ କେତେକ ଉଦାହରଣ ବିଚାର କରିବା।

ଉଦାହରଣ 1 ଏକ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ପ୍ରତି ସେକେଣ୍ଡ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାର ଏହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r$ ସହିତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯେତେବେଳେ $r=5 cm$।

ସମାଧାନ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r$ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ A ଦ୍ୱାରା $A=\pi r^{2}$ ଦିଆଯାଇଛି। ତେଣୁ, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ Aର ଏହାର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r$ ସହିତ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାର ଦିଆଯାଏ $\frac{d A}{d r}=\frac{d}{d r}(\pi r^{2})=2 \pi r$ ଦ୍ୱାରା। ଯେତେବେଳେ $r=5 cm, \frac{d A}{d r}=10 \pi$। ଏହିପରି, ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $10 \pi cm^{2} / s$ ହାରରେ ପରିବର୍ତ୍ତିତ ହେଉଛି।

ଉଦାହରଣ 2 ଏକ ଘନକର ଆୟତନ ପ୍ରତି ସେକେଣ୍ଡରେ 9 ଘନ ସେଣ୍ଟିମିଟର ହାରରେ ବୃଦ୍ଧି ପାଉଛି। ଯେତେବେଳେ ଏକ ଧାରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ 10 ସେଣ୍ଟିମିଟର, ପୃଷ୍ଠତଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ଦ୍ରୁତ ଗତିରେ ବୃଦ୍ଧି ପାଉଛି?

ସମାଧାନ ମନେକର $x$ ହେଉଛି ଏକ ପାର୍ଶ୍ୱର ଦୈର୍ଘ୍ୟ, $V$ ହେଉଛି ଆୟତନ ଏବଂ $S$ ହେଉଛି ଘନକର ପୃଷ୍ଠତଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ। ତାପରେ, $V=x^{3}$ ଏବଂ $S=6 x^{2}$, ଯେଉଁଠାରେ $x$ ହେଉଛି ସମୟ $t$ର ଏକ ଫଳନ।

ବର୍ତ୍ତମାନ $ \qquad \frac{d V}{d t}=9 cm^{3} / s$ (ଦିଆଯାଇଛି)

ତେଣୁ $ \qquad 9=\frac{d V}{d t}=\frac{d}{d t}(x^{3})=\frac{d}{d x}(x^{3}) \cdot \frac{d x}{d t} \quad(\text{ By Chain Rule })$

କିମ୍ବା $ \qquad =3 x^{2} \cdot \frac{d x}{d t} $

ବର୍ତ୍ତମାନ $ \qquad \frac{d x}{d t}=\frac{3}{x^{2}} \tag{1}$

$$ \begin{array}{rlr} \frac{d S}{d t} & =\frac{d}{d t}\left(6 x^{2}\right)=\frac{d}{d x}\left(6 x^{2}\right) \cdot \frac{d x}{d t} & \text { (By Chain Rule) } \\ & =12 x \cdot\left(\frac{3}{x^{2}}\right)=\frac{36}{x} & \text { (Using (1) ) } \end{array} $$

ତେଣୁ, ଯେତେବେଳେ $ x=10 \mathrm{~cm}, \frac{d S}{d t}=3.6 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} $

ଉଦାହରଣ 3 ଏକ ପଥର ଏକ ଶାନ୍ତ ହ୍ରଦରେ ପକାଯାଇଛି ଏବଂ ତରଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ବୃତ୍ତାକାରରେ $4 cm$ ପ୍ରତି ସେକେଣ୍ଡ ବେଗରେ ଗତି କରେ। ସେହି କ୍ଷଣି, ଯେତେବେଳେ ବୃତ୍ତାକାର ତରଙ୍ଗର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $10 cm$, ଘେରା କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କେତେ ଦ୍ରୁତ ଗତିରେ ବୃଦ୍ଧି ପାଉଛି?

ସମାଧାନ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r$ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $A$ ଦ୍ୱାରା $A=\pi r^{2}$ ଦିଆଯାଇଛି। ତେଣୁ, କ୍ଷେତ୍ରଫଳ Aର ସମୟ $t$ ସହିତ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାର ହେଉଛି

$$ \frac{d \mathrm{~A}}{d t}=\frac{d}{d t}\left(\pi r^{2}\right)=\frac{d}{d r}\left(\pi r^{2}\right) \cdot \frac{d r}{d t}=2 \pi r \frac{d r}{d t} $$

ଏହା ଦିଆଯାଇଛି ଯେ $\frac{d r}{d t}=4 \mathrm{~cm}$

ତେଣୁ, $ r=10 \mathrm{~cm} $ $ \frac{d \mathrm{~A}}{d t}=2 \pi(10)(4)=80 \pi $

ଏହିପରି, ଘେରା କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $80 \pi cm^{2} / s$ ହାରରେ ବୃଦ୍ଧି ପାଉଛି, ଯେତେବେଳେ $r=10 cm$।

ଟିପ୍ପଣୀ $\frac{d y}{d x}$ ଧନାତ୍ମକ ଯଦି $y$ ବୃଦ୍ଧି ପାଏ ଯେତେବେଳେ $x$ ବୃଦ୍ଧି ପାଏ ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ ଯଦି $y$ ହ୍ରାସ ପାଏ ଯେତେବେଳେ $x$ ବୃଦ୍ଧି ପାଏ।

ଉଦାହରଣ 4 ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ଦୈର୍ଘ୍ୟ $x$ $3 cm /$ ପ୍ରତି ମିନିଟ ହାରରେ ହ୍ରାସ ପାଉଛି ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ $y$ $2 cm /$ ପ୍ରତି ମିନିଟ ହାରରେ ବୃଦ୍ଧି ପାଉଛି। ଯେତେବେଳେ $x=10 cm$ ଏବଂ $y=6 cm$, (କ) ପରିସୀମା ଏବଂ (ଖ) ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାର ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ ଯେହେତୁ ଦୈର୍ଘ୍ୟ $x$ ସମୟ ସହିତ ହ୍ରାସ ପାଉଛି ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ $y$ ବୃଦ୍ଧି ପାଉଛି, ଆମର ଅଛି

$$ \frac{d x}{d t}=-3 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} \text { or } \frac{d y}{d t}=2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} $$

(କ) ଏକ ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର ପରିସୀମା $P$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି

$$ \mathrm{P}=2(x+y) $$

ତେଣୁ $ \frac{d \mathrm{P}}{d t}=2\left(\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}\right)=2(-3+2)=-2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} $

(ଖ) ଆୟତକ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $A$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି

$ A=x \cdot y $

ତେଣୁ $ \begin{aligned} \frac{d \mathrm{~A}}{d t} & =\frac{d x}{d t} \cdot y+x \cdot \frac{d y}{d t} \\ & =-3(6)+10(2)(\text { କାରଣ } x=10 \mathrm{~cm} \text { ଏବଂ } y=6 \mathrm{~cm}) \\ & =2 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{min} \end{aligned} $

ଉଦାହରଣ 5 $x$ ଏକାଂଶ ବସ୍ତୁର ଉତ୍ପାଦନ ସହିତ ଜଡ଼ିତ ସମୁଦାୟ ମୂଲ୍ୟ $C(x)$ ଟଙ୍କାରେ, ଦିଆଯାଇଛି

$$ C(x)=0.005 x^{3}-0.02 x^{2}+30 x+5000 $$

3 ଏକାଂଶ ଉତ୍ପାଦିତ ହେବା ସମୟରେ ସୀମାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର, ଯେଉଁଠାରେ ସୀମାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ଆମେ କୌଣସି ଉତ୍ପାଦନ ସ୍ତରରେ ସମୁଦାୟ ମୂଲ୍ୟର �କ୍ଷଣିକ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାରକୁ ବୁଝାଉ।

ସମାଧାନ ଯେହେତୁ ସୀମାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି ଉତ୍ପାଦନ ସହିତ ସମୁଦାୟ ମୂଲ୍ୟର ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାର, ଆମର ଅଛି

$ \begin{aligned} \text{ ସୀମାନ୍ତ } \qquad \mathrm{MC} & =\frac{d \mathrm{C}}{d x}=0.005\left(3 x^{2}\right)-0.02(2 x)+30 \\ \text{ ଯେତେବେଳେ } \qquad \mathrm{MC} & =0.015\left(3^{2}\right)-0.04(3)+30 \\ & =0.135-0.12+30=30.015 \end{aligned} $

ତେଣୁ, ଆବଶ୍ୟକ ସୀମାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ହେଉଛି ₹ 30.02 (ପ୍ରାୟ)।

ଉଦାହରଣ 6 $x$ ଏକାଂଶ ଉତ୍ପାଦନର ବିକ୍ରୟରୁ ପ୍ରାପ୍ତ ସମୁଦାୟ ଆୟ ଟଙ୍କାରେ, ଦିଆଯାଇଛି $R(x)=3 x^{2}+36 x+5$ ଦ୍ୱାରା। ସୀମାନ୍ତ ଆୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର, ଯେତେବେଳେ $x=5$, ଯେଉଁଠାରେ ସୀମାନ୍ତ ଆୟ ଦ୍ୱାରା ଆମେ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମୟରେ ବିକ୍ରିତ ବସ୍ତୁ ସଂଖ୍ୟା ସହିତ ସମୁଦାୟ ଆୟର ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାରକୁ ବୁଝାଉ।

ସମାଧାନ ଯେହେତୁ ସୀମାନ୍ତ ଆୟ ହେଉଛି ବିକ୍ରିତ ଏକାଂଶ ସଂଖ୍ୟା ସହିତ ସମୁଦାୟ ଆୟର ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାର, ଆମର ଅଛି

$ \begin{aligned} \text{ ସୀମାନ୍ତ ଆୟ } \qquad (MR) & =\frac{d R}{d x}=6 x+36 \end{aligned} $ $ \begin{aligned} \text{ ଯେତେବେଳେ } \qquad x & =5, MR=6(5)+36=66 \end{aligned} $

ତେଣୁ, ଆବଶ୍ୟକ ସୀମାନ୍ତ ଆୟ ହେଉଛି ₹ 66 ।

6.3 ବର୍ଦ୍ଧିଷ୍ଣୁ ଏବଂ ହ୍ରାସମାଣ ଫଳନ

ଏହି ବିଭାଗରେ, ଆମେ ଏକ ଫଳନ ବୃଦ୍ଧି ପାଉଛି କି ହ୍ରାସ ପାଉଛି କିମ୍ବା କିଛି ନୁହେଁ ତାହା ଖୋଜିବା ପାଇଁ ଅବକଳନ ବ୍ୟବହାର କରିବା।

$f(x)=x^{2}, x \in \mathbf{R}$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଥିବା ଫଳନ $f$ ବିଚାର କର। ଏହି ଫଳନର ଗ୍ରାଫ ହେଉଛି ଏକ ପାରାବୋଲା ଯାହା ଚିତ୍ର 6.1ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି।

ମୂଳବିନ୍ଦୁର ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱର ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକ

ଯେହେତୁ ଆମେ ବାମରୁ ଡାହାଣକୁ ଗତି କରୁ, ଗ୍ରାଫର ଉଚ୍ଚତା ହ୍ରାସ ପାଏ

ଯେହେତୁ ଆମେ ବାମରୁ ଡାହାଣକୁ ଗତି କରୁ, ଗ୍ରାଫର ଉଚ୍ଚତା ବୃଦ୍ଧି ପାଏ ମୂଳବିନ୍ଦୁର ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱର ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକ

ପ୍ରଥମେ ମୂଳବିନ୍ଦୁର ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱର ଗ୍ରାଫ (ଚିତ୍ର 6.1) ବିଚାର କର। ଲକ୍ଷ୍ୟ କର ଯେ ଆମେ ଗ୍ରାଫ ଉପରେ ବାମରୁ ଡାହାଣକୁ ଗତି କଲାବେଳେ, ଗ୍ରାଫର ଉଚ୍ଚତା ଅବିରତ ଭାବରେ ବୃଦ୍ଧି ପାଏ। ଏହି କାରଣରୁ, ଫଳନଟି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା $x>0$ ପାଇଁ ବୃଦ୍ଧି ପାଉଥିବା କୁହାଯାଏ।

ବର୍ତ୍ତମାନ ମୂଳବିନ୍ଦୁର ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱର ଗ୍ରାଫ ବିଚାର କର ଏବଂ ଏଠାରେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର ଯେ ଆମେ ଗ୍ରାଫ ଉପରେ ବାମରୁ ଡାହାଣକୁ ଗତି କଲାବେଳେ, ଗ୍ରାଫର ଉଚ୍ଚତା ଅବିରତ ଭାବରେ ହ୍ରାସ ପାଏ। ଫଳସ୍ୱରୂପ, ଫଳନଟି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା $x<0$ ପାଇଁ ହ୍ରାସମାଣ କୁହାଯାଏ।

ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ ଏକ ଫଳନ ପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ବିଶ୍ଳେଷଣାତ୍ମକ ସଂଜ୍ଞା ଦେବା ଯାହା ଏକ ବ୍ୟବଧାନରେ ବୃଦ୍ଧି ପାଉଛି କିମ୍ବା ହ୍ରାସ ପାଉଛି।

ସଂଜ୍ଞା 1 ମନେକର I ହେଉଛି ଏକ ବାସ୍ତବ ମୂଲ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ଫଳନ $f$ର ପ୍ରାଦେଶିକତାରେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ଏକ ବ୍ୟବଧାନ। ତାପରେ $f$କୁ କୁହାଯାଏ

(i) I ଉପରେ ବର୍ଦ୍ଧିଷ୍ଣୁ ଯଦି $x_1<x_2$ $I \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ରେ ସମସ୍ତ $x_1, x_2 \in I$ ପାଇଁ।

(ii) $I$ ଉପରେ ହ୍ରାସମାଣ ଯଦି $x_1, x_2$ $I \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ରେ ସମସ୍ତ $x_1, x_2 \in I$ ପାଇଁ।

(iii) $I$ ଉପରେ ସ୍ଥିରାଙ୍କ ଯଦି $f(x)=c$ ସମସ୍ତ $x \in I$ ପାଇଁ, ଯେଉଁଠାରେ $c$ ଏକ ସ୍ଥିରାଙ୍କ।

(iv) I ଉପରେ ହ୍ରାସମାଣ ଯଦି $x_1<x_2$ $I \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$ରେ ସମସ୍ତ $x_1, x_2 \in I$ ପାଇଁ।

(v) I ଉପରେ ସଂକୀର୍ଣ୍ଣ ଭାବରେ ହ୍ରାସମାଣ ଯଦି $x_1<x_2$ $I \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ରେ ସମସ୍ତ $x_1, x_2 \in I$ ପାଇଁ।

ଏହିପରି ଫଳନର ଗ୍ରାଫିକାଲ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ ପାଇଁ ଚିତ୍ର 6.2 ଦେଖ।

ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ ସଂଜ୍ଞା ଦେବା ଯେତେବେଳେ ଏକ ଫଳନ ଏକ ବିନ୍ଦୁରେ ବୃଦ୍ଧି ପାଉଛି କିମ୍ବା ହ୍ରାସ ପାଉଛି।

ସଂଜ୍ଞା 2 ମନେକର $x_0$ ହେଉଛି ଏକ ବାସ୍ତବ ମୂଲ୍ୟବିଶିଷ୍ଟ ଫଳନ $f$ର ସଂଜ୍ଞାର ପ୍ରାଦେଶିକତାରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ। ତାପରେ $f$କୁ $x_0$ରେ ବର୍ଦ୍ଧିଷ୍ଣୁ, ହ୍ରାସମାଣ କୁହାଯାଏ ଯଦି ଏଠାରେ $x_0$କୁ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ କରୁଥିବା ଏକ ଖୋଲା ବ୍ୟବଧାନ I ଅଛି ଯେପରି $f$ ଯଥାକ୍ରମେ I ରେ ବର୍ଦ୍ଧିଷ୍ଣୁ, ହ୍ରାସମାଣ।

ବର୍ଦ୍ଧିଷ୍ଣୁ ଫଳନର କ୍ଷେତ୍ର ପାଇଁ ଏହି ସଂଜ୍ଞାକୁ ସ୍ପଷ୍ଟ କରିବା।

ଉଦାହରଣ 7 ଦର୍ଶାଅ ଯେ $f(x)=7 x-3$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଥିବା ଫଳନଟି $\mathbf{R}$ ଉପରେ ବର୍ଦ୍ଧିଷ୍ଣୁ।

ସମାଧାନ ମନେକର $x_1$ ଏବଂ $x_2$ ହେଉଛନ୍ତି $\mathbf{R}$ରେ ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା। ତାପରେ

$$ \begin{aligned} x _{1}<x _{2} & \Rightarrow 7 x _{1}<7 x _{2} \\ & \Rightarrow 7 x _{1}-3<7 x _{2}-3 \\ & \Rightarrow f\left(x _{1}\right)<f\left(x _{2}\right) \end{aligned} $$

ଏହିପରି, ସଂଜ୍ଞା 1 ଦ୍ୱାରା, ଏହା ଅନୁସରଣ କରେ ଯେ $f$ $\mathbf{R}$ ଉପରେ ସଂକୀର୍ଣ୍ଣ ଭାବରେ ବର୍ଦ୍ଧିଷ୍ଣୁ।

ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ ବର୍ଦ୍ଧିଷ୍ଣୁ ଏବଂ ହ୍ରାସମାଣ ଫଳନ ପାଇଁ ପ୍ରଥମ ଅବକଳଜ ପରୀକ୍ଷା ଦେବା। ଏହି ପରୀକ୍ଷାର ପ୍ରମାଣ ଅଧ୍ୟାୟ 5ରେ ଅଧ୍ୟୟନ କରାଯାଇଥିବା ମଧ୍ୟମାନ ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରମେୟ ଆବଶ୍ୟକ କରେ।

ପ୍ରମେୟ 1 ମନେକର $f$ $[a, b]$ ଉପରେ ସନ୍ତତ ଏବଂ ଖୋଲା ବ୍ୟବଧାନ $(a, b)$ ଉପରେ ଅବକଳନୀୟ। ତାପରେ

(କ) $f$ $[a, b]$ରେ ବର୍ଦ୍ଧିଷ୍ଣୁ ଯଦି $f^{\prime}(x)>0$ ପ୍ରତ୍ୟେକ $x \in(a, b)$ ପାଇଁ

(ଖ) $f$ $[a, b]$ରେ ହ୍ରାସମାଣ ଯଦି $f^{\prime}(x)<0$ ପ୍ରତ୍ୟେକ $x \in(a, b)$ ପାଇଁ

(ଗ) $f$ $[a, b]$ରେ ଏକ ସ୍ଥିରାଙ୍କ ଫଳନ ଯଦି $f^{\prime}(x)=0$ ପ୍ରତ୍ୟେକ $x \in(a, b)$ ପାଇଁ

ପ୍ରମାଣ (କ) ମନେକର $x_1, x_2 \in[a, b]$ ସେପରି ଯେ $x_1<x_2$।

ତାପରେ, ମଧ୍ୟମାନ ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରମେୟ ଦ୍ୱାରା (ଅଧ୍ୟାୟ 5ରେ ପ୍ରମେୟ 8), ଏଠାରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ $c$ ଅଛି ଯାହା $x_1$ ଏବଂ $x_2$ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ

$$ f\left(x _{2}\right)-f\left(x _{1}\right)=f^{\prime}(c)\left(x _{2}-x _{1}\right) $$

ଅର୍ଥାତ୍ $\begin{array}{ll} f\left(x _{2}\right)-f\left(x _{1}\right)>0 & \left(\text { given } f^{\prime}(c)>0\right) \end{array}$

ଅର୍ଥାତ୍ $f(x_2)>f(x_1)$

ଏହିପରି, ଆମର ଅଛି $x_1<x_2 \quad f(x_1) \quad f(x_2), \text{ for all } x_1, x_2 \quad[a, b]$

ତେଣୁ, $f$ $[a, b]$ରେ ଏକ ବର୍ଦ୍ଧିଷ୍ଣୁ ଫଳନ।

ଖଣ୍ଡ (ଖ) ଏବଂ (ଗ)ର ପ୍ରମାଣ ସମାନ। ଏହା ପାଠକଙ୍କ ପାଇଁ ଏକ ଅଭ୍ୟାସ ଭାବରେ ଛାଡ଼ିଦିଆଯାଇଛି।

ଟିପ୍ପଣୀ

ଏଠାରେ ଏକ ଅଧିକ ସାଧାର