ଯେପରି ଜଣେ ପର୍ବତାରୋହୀ ପର୍ବତ ଆରୋହଣ କରନ୍ତି - କାରଣ ତାହା ସେଠାରେ ଅଛି, ସେହିପରି ଜଣେ ଭଲ ଗଣିତ ଛାତ୍ର ନୂତନ ବିଷୟ ଅଧ୍ୟୟନ କରନ୍ତି କାରଣ ତାହା ସେଠାରେ ଅଛି। - ଜେମ୍ସ ବି. ବ୍ରିଷ୍ଟଲ

7.1 ପରିଚୟ

ଅବକଳନ କଳନ (Differential Calculus) ଅବକଳଜ (derivative) ଧାରଣା ଉପରେ କେନ୍ଦ୍ରିତ। ଅବକଳଜର ମୂଳ ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ଥିଲା ଫଳନର ଗ୍ରାଫର ସ୍ପର୍ଶକ ରେଖା ସଂଜ୍ଞା ଦେବା ଏବଂ ଏହିପରି ରେଖାର ଢାଳ ଗଣନା କରିବା। ସମାକଳନ କଳନ (Integral Calculus) ଫଳନର ଗ୍ରାଫ ଦ୍ୱାରା ସୀମାବଦ୍ଧ ଅଞ୍ଚଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସଂଜ୍ଞା ଦେବା ଏବଂ ଗଣନା କରିବାର ସମସ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ପ୍ରେରିତ।

ଯଦି ଏକ ଫଳନ $f$ ଏକ ଅନ୍ତରାଳ $I$ ରେ ଅବକଳନୀୟ (differentiable) ଅଟେ, ଅର୍ଥାତ୍, ଏହାର ଅବକଳଜ $f$ ’ $I$ ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁରେ ବିଦ୍ୟମାନ, ତେବେ ଏକ ସ୍ୱାଭାବିକ ପ୍ରଶ୍ନ ଉଠେ ଯେ I ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁରେ $f^{\prime}$ ଦିଆଯାଇଥିଲେ, ଆମେ ଫଳନଟି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିପାରିବା କି? ଯେଉଁ ଫଳନଗୁଡ଼ିକ ଏକ ଫଳନକୁ ଅବକଳଜ ଭାବରେ ଦେଇପାରନ୍ତି ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଫଳନର ପ୍ରତିଅବକଳଜ (anti derivatives) (କିମ୍ବା ପ୍ରାକୃତିକ (primitive)) କୁହାଯାଏ। ଆହୁରି, ସୂତ୍ର ଯାହା ଦେଇଥାଏ

ଜି.ଡବ୍ଲୁ. ଲିବନିଜ୍ (1646 - 1716)

ଏହି ସମସ୍ତ ପ୍ରତିଅବକଳଜକୁ ଫଳନର ଅନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମାକଳନ (indefinite integral) କୁହାଯାଏ ଏବଂ ପ୍ରତିଅବକଳଜ ଖୋଜିବାର ଏହି ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ସମାକଳନ (integration) କୁହାଯାଏ। ଏହି ପ୍ରକାରର ସମସ୍ୟା ଅନେକ ବ୍ୟବହାରିକ ପରିସ୍ଥିତିରେ ଉଠେ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଯଦି ଆମେ କୌଣସି ବସ୍ତୁର କ୍ଷଣିକ ବେଗ (instantaneous velocity) କୌଣସି ସମୟରେ ଜାଣିଥାଉ, ତେବେ ଏକ ସ୍ୱାଭାବିକ ପ୍ରଶ୍ନ ଉଠେ, ଅର୍ଥାତ୍, ଆମେ କୌଣସି ସମୟରେ ବସ୍ତୁର ସ୍ଥିତି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିପାରିବା କି? ଅନେକ ଏହିପରି ବ୍ୟବହାରିକ ଏବଂ ତାତ୍ତ୍ୱିକ ପରିସ୍ଥିତି ରହିଛି ଯେଉଁଠାରେ ସମାକଳନ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଜଡିତ। ସମାକଳନ କଳନର ବିକାଶ ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରକାରର ସମସ୍ୟା ସମାଧାନ ପାଇଁ ପ୍ରୟାସରୁ ଉତ୍ପନ୍ନ ହୋଇଛି:

(କ) ଯେତେବେଳେ ଏହାର ଅବକଳଜ ଦିଆଯାଇଥାଏ, ଏକ ଫଳନ ଖୋଜିବାର ସମସ୍ୟା,

(ଖ) କେତେକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଶର୍ତ୍ତ ଅଧୀନରେ ଏକ ଫଳନର ଗ୍ରାଫ ଦ୍ୱାରା ସୀମାବଦ୍ଧ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଖୋଜିବାର ସମସ୍ୟା।

ଏହି ଦୁଇଟି ସମସ୍ୟା ଦୁଇ ପ୍ରକାରର ସମାକଳନ ଆଡକୁ ନେଇଥାଏ, ଯେପରିକି, ଅନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଏବଂ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମାକଳନ, ଯାହା ମିଳିତ ଭାବରେ ସମାକଳନ କଳନ ଗଠନ କରେ।

ଅନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମାକଳନ ଏବଂ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମାକଳନ ମଧ୍ୟରେ ଏକ ସମ୍ପର୍କ ରହିଛି, ଯାହାକୁ କଳନର ମୌଳିକ ଉପପାଦ୍ୟ (Fundamental Theorem of Calculus) ଭାବରେ ଜାଣିବା, ଯାହା ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମାକଳନକୁ ବିଜ୍ଞାନ ଏବଂ ଇଞ୍ଜିନିୟରିଂ ପାଇଁ ଏକ ବ୍ୟବହାରିକ ସାଧନ ଭାବରେ ଗଢିଥାଏ। ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମାକଳନ ଅର୍ଥନୀତି, ଅର୍ଥ ଏବଂ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଭଳି ବିଭିନ୍ନ ବିଷୟରୁ ଆସୁଥିବା ଅନେକ ଆକର୍ଷଣୀୟ ସମସ୍ୟା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମଧ୍ୟ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ।

ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ଅନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଏବଂ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମାକଳନ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ମୌଳିକ ଗୁଣଧର୍ମ ସହିତ ସମାକଳନର କେତେକ କୌଶଳ ଅଧ୍ୟୟନ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସୀମିତ ରହିବୁ।

7.2 ଅବକଳନର ବିପରୀତ ପ୍ରକ୍ରିୟା ଭାବରେ ସମାକଳନ

ସମାକଳନ ହେଉଛି ଅବକଳନର ବିପରୀତ ପ୍ରକ୍ରିୟା। ଏକ ଫଳନକୁ ଅବକଳନ କରିବା ପରିବର୍ତ୍ତେ, ଆମକୁ ଏକ ଫଳନର ଅବକଳଜ ଦିଆଯାଇଥାଏ ଏବଂ ଏହାର ପ୍ରାକୃତିକ (primitive), ଅର୍ଥାତ୍, ମୂଳ ଫଳନ ଖୋଜିବାକୁ କୁହାଯାଏ। ଏହିପରି ଏକ ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ସମାକଳନ କିମ୍ବା ପ୍ରତି-ଅବକଳନ (anti differentiation) କୁହାଯାଏ। ଆସନ୍ତୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକୁ ବିଚାର କରିବା:

$\text{ ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ }\quad \begin{equation*} \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x \tag{1} \end{equation*} $

$$ \begin{equation*} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2} \tag{2} \end{equation*} $$

$\text{ ଏବଂ }\quad \begin{equation*} \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} \tag{3} \end{equation*} $

ଆମେ ଦେଖୁଛୁ ଯେ (1) ରେ, ଫଳନ $\cos x$ ହେଉଛି $\sin x$ ର ଅବକଳିତ ଫଳନ (derived function)। ଆମେ କହୁଛୁ ଯେ $\sin x$ ହେଉଛି $\cos x$ ର ଏକ ପ୍ରତିଅବକଳଜ (କିମ୍ବା ଏକ ସମାକଳନ)। ସେହିପରି, (2) ଏବଂ (3) ରେ, $\frac{x^{3}}{3}$ ଏବଂ $e^{x}$ ଯଥାକ୍ରମେ $x^{2}$ ଏବଂ $e^{x}$ ର ପ୍ରତିଅବକଳଜ (କିମ୍ବା ସମାକଳନ)। ପୁନଶ୍ଚ, ଆମେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛୁ ଯେ କୌଣସି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା $C$ ପାଇଁ, ଏକ ସ୍ଥିର ଫଳନ ଭାବରେ ବିବେଚନା କରାଯାଇଥିଲେ, ଏହାର ଅବକଳଜ ଶୂନ୍ୟ ଏବଂ ତେଣୁ, ଆମେ (1), (2) ଏବଂ (3) କୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ଲେଖିପାରିବା:

$$ \frac{d}{d x}(\sin x+C)=\cos x, \frac{d}{d x}(\frac{x^{3}}{3}+C)=x^{2} \text{ and } \frac{d}{d x}(e^{x}+C)=e^{x} $$

ତେଣୁ, ଉପରୋକ୍ତ ଉଲ୍ଲେଖିତ ଫଳନଗୁଡ଼ିକର ପ୍ରତିଅବକଳଜ (କିମ୍ବା ସମାକଳନ) ଅନନ୍ୟ ନୁହେଁ। ପ୍ରକୃତରେ, ଏହି ପ୍ରତ୍ୟେକ ଫଳନର ଅସଂଖ୍ୟ ପ୍ରତିଅବକଳଜ ରହିଛି ଯାହା ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ ରୁ $C$ କୁ ଇଚ୍ଛାଧୀନ ଭାବରେ ବାଛି ପ୍ରାପ୍ତ କରାଯାଇପାରିବ। ଏହି କାରଣରୁ $C$ କୁ ସାଧାରଣତଃ ଇଚ୍ଛାଧୀନ ସ୍ଥିରାଙ୍କ (arbitrary constant) ଭାବରେ ଉଲ୍ଲେଖ କରାଯାଏ। ପ୍ରକୃତରେ, $C$ ହେଉଛି ଏକ ପରାମିଟର ଯାହାକୁ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରି ଦିଆଯାଇଥିବା ଫଳନର ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରତିଅବକଳଜ (କିମ୍ବା ସମାକଳନ) ପ୍ରାପ୍ତ ହୁଏ।

ଅଧିକ ସାଧାରଣ ଭାବରେ, ଯଦି ଏକ ଫଳନ $F$ ଥାଏ ଯେପରିକି $\frac{d}{d x} F(x)=f(x), \forall x \in I$ (ଅନ୍ତରାଳ), ତେବେ କୌଣସି ଇଚ୍ଛାଧୀନ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା $C$ ପାଇଁ, (ସମାକଳନର ସ୍ଥିରାଙ୍କ ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ)

$ \frac{d}{d x}[F(x)+C]=f(x), x \in I $

ତେଣୁ, $\qquad\{F+C, C \in \mathbf{R}\} \text{ denotes a family of anti derivatives of } f \text{. }$

ଟିପ୍ପଣୀ ସମାନ ଅବକଳଜ ଥିବା ଫଳନଗୁଡ଼ିକ ଏକ ସ୍ଥିରାଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ପୃଥକ୍ ହୁଅନ୍ତି। ଏହା ଦେଖାଇବା ପାଇଁ, ମନେକର $g$ ଏବଂ $h$ ହେଉଛି ଦୁଇଟି ଫଳନ ଯାହାର ଏକ ଅନ୍ତରାଳ I ରେ ସମାନ ଅବକଳଜ ଅଛି।

ଫଳନ $f=g-h$ ବିଚାର କର ଯାହା $f(x)=g(x)-h(x), \forall x \in I$ ଦ୍ୱାରା ସଂଜ୍ଞା ଦିଆଯାଇଛି

ତାପରେ $\qquad \frac{d f}{d x}=f^{\prime}=g^{\prime}-h^{\prime} \text{ giving } f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)-h^{\prime}(x) \forall x \in I$

କିମ୍ବା $\qquad f^{\prime}(x)=0, \forall x \in I \text{ by hypothesis, }$

ଅର୍ଥାତ୍, $f$ ର ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାର $x$ ସହିତ $I$ ରେ ଶୂନ୍ୟ ଏବଂ ତେଣୁ $f$ ସ୍ଥିରାଙ୍କ।

ଉପରୋକ୍ତ ଟିପ୍ପଣୀ ଦୃଷ୍ଟିରେ, ଏହି ସିଦ୍ଧାନ୍ତ କରିବା ଯଥାର୍ଥ ଯେ ପରିବାର $\{F+C, C \in \mathbf{R}\}$ $f$ ର ସମସ୍ତ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ପ୍ରତିଅବକଳଜ ପ୍ରଦାନ କରେ।

ଆମେ ଏକ ନୂତନ ପ୍ରତୀକ ପରିଚୟ ଦେଉଛୁ, ଯଥା, $\int f(x) d x$ ଯାହା ପ୍ରତିଅବକଳଜର ସମ୍ପୁର୍ଣ୍ଣ ଶ୍ରେଣୀକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିବ, $f$ ର ଅନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମାକଳନ ଭାବରେ ପଢ଼ାଯାଏ $x$ ସହିତ।

ପ୍ରତୀକାତ୍ମକ ଭାବରେ, ଆମେ ଲେଖୁ $\int f(x) d x=F(x)+C$।

ସଂକେତ $\frac{d y}{d x}=f(x)$ ଦିଆଯାଇଥିଲେ, ଆମେ ଲେଖୁ $y=\int f(x) d x$।

ସୁବିଧା ପାଇଁ, ଆମେ ନିମ୍ନରେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତୀକ/ପଦ/ବାକ୍ୟାଂଶ ଉଲ୍ଲେଖ କରୁଛୁ

ସାରଣୀ 7.1

ଆମେ ପୂର୍ବରୁ ଅନେକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଫଳନର ଅବକଳଜ ପାଇଁ ସୂତ୍ର ଜାଣୁ। ଏହି ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକରୁ, ଆମେ ତୁରନ୍ତ ଏହି ଫଳନଗୁଡ଼ିକର ସମାକଳନ ପାଇଁ ସଂଗତ ସୂତ୍ର (ମାନକ ସୂତ୍ର ଭାବରେ ଉଲ୍ଲେଖିତ) ଲେଖିପାରିବା, ଯେପରି ନିମ୍ନରେ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରାଯାଇଛି ଯାହା ଅନ୍ୟ ଫଳନର ସମାକଳନ ଖୋଜିବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ହେବ।

$ \begin{array}{ll} \text{ଅବକଳଜ} & \text{ସମାକଳନ (ପ୍ରତିଅବକଳଜ)} \\ \\ \text{(i)} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^{n} & \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathrm{C}, n \neq-1 \\ \\ \text{ବିଶେଷ ଭାବରେ, ଆମେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛୁ} & \\ \\ \frac{d}{d x}(x)=1 & \int d x=x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(ii)} \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x & \int \cos x d x=\sin x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(iii)} \frac{d}{d x}(-\cos x)=\sin x & \int \sin x d x=-\cos x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(iv)} \frac{d}{d x}(\tan x)=\sec ^{2} x & \int \sec ^{2} x d x=\tan x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(v)} \frac{d}{d x}(-\cot x)=\operatorname{cosec}^{2} x & \int \operatorname{cosec}^{2} x d x=-\cot x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(vi)} \frac{d}{d x}(\sec x)=\sec x \tan x & \int \operatorname{cosec} x \cot x d x=-\operatorname{cosec} x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(vii)} \frac{d}{d x}(-\operatorname{cosec} x)=\operatorname{cosec} x \cot x & \int \sec x \tan x d x=\sec x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (viii) } \frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sin ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (ix) } \frac{d}{d x}\left(-\cos ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\cos ^{-1} x+\mathrm{C} \end{array} $

$ \begin{array}{ll} \text { (x) } \frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\tan ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xi) } \frac{d}{d x}\left(-\cot ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=-\cot ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xii) } \frac{d}{d x}\left(\sec ^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=\sec ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xiii) } \frac{d}{d x}\left(-\operatorname{cosec}^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=-\operatorname{cosec}^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xiv) } \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} & \int e^{x} d x=e^{x}+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xv) } \frac{d}{d x}(\log |x|)=\frac{1}{x} & \int \frac{1}{x} d x=\log |x|+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xvi) } \frac{d}{d x}\left(\frac{a^{x}}{\log a}\right)=a^{x} & \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\log a}+\mathrm{C} \end{array} $

ଟିପ୍ପଣୀ ବ୍ୟବହାରରେ, ଆମେ ସାଧାରଣତଃ ଉଲ୍ଲେଖ କରୁନାହୁଁ ଯେ ବିଭିନ୍ନ ଫଳନଗୁଡ଼ିକ କେଉଁ ଅନ୍ତରାଳ ଉପରେ ସଂଜ୍ଞା ଦିଆଯାଇଛି। ତଥାପି, କୌଣସି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମସ୍ୟାରେ ଏକଜଣକୁ ଏହା ମନେ ରଖିବାକୁ ପଡିବ।

7.2.1 ଅନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମାକଳନର କେତେକ ଗୁଣଧର୍ମ

ଏହି ଉପ-ବିଭାଗରେ, ଆମେ ଅନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମାକଳନର କେତେକ ଗୁଣଧର୍ମ ବାହାର କରିବୁ।

(I) ଅବକଳନ ଏବଂ ସମାକଳନ ପ୍ରକ୍ରିୟା ପରସ୍ପରର ବିପରୀତ ଅଟେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଫଳାଫଳର ଅର୍ଥରେ:

$$ \frac{d}{d x} \int f(x) d x=f(x) $$

ଏବଂ $\qquad \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C \text{, where } C \text{ is any arbitrary constant. }$

ପ୍ରମାଣ ମନେକର $F$ ହେଉ $f$ ର କୌଣସି ପ୍ରତିଅବକଳଜ, ଅର୍ଥାତ୍,

$$ \frac{d}{d x} F(x)=f(x) $$

$$ \text{ }\qquad \int f(x) d x=F(x)+C $$

$ \text{ ତେଣୁ }\qquad \begin{aligned} \frac{d}{d x} \int f(x) d x & =\frac{d}{d x}(F(x)+C) \\ & =\frac{d}{d x} F(x)=f(x) \end{aligned} $

ସେହିପରି, ଆମେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁଛୁ ଯେ

$$ f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} f(x) $$

ଏବଂ ତେଣୁ$\qquad \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C$

ଯେଉଁଠାରେ $C$ ହେଉଛି ଇଚ୍ଛାଧୀନ ସ୍ଥିରାଙ୍କ ଯାହାକୁ ସମାକଳନର ସ୍ଥିରାଙ୍କ କୁହାଯାଏ।

(II) ସମାନ ଅବକଳଜ ଥିବା ଦୁଇଟି ଅନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମାକଳନ ସମାନ ବକ୍ରର ପରିବାର ଆଡକୁ ନେଇଥାଏ ଏବଂ ସେଥିପାଇଁ ସେଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ଅଟେ।

ପ୍ରମାଣ ମନେକର $f$ ଏବଂ $g$ ହେଉ ଦୁଇଟି ଫଳନ ଯେପରିକି

$$\frac{d}{d x} \int f(x) d x=\frac{d}{d x} \int g(x) d x$$

କିମ୍ବା $\qquad \frac{d}{d x}[\int f(x) d x-\int g(x) d x]=0$

ତେଣୁ $\quad \int f(x) d x-\int g(x) d x=C$, ଯେଉଁଠାରେ $C$ ହେଉଛି କୌଣସି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା

କିମ୍ବା $\qquad \int f(x) d x=\int g(x) d x+C$

ତେଣୁ, ବକ୍ରର ପରିବାର $\{\int f(x) d x+C_1, C_1 \in R\}$

ଏବଂ $\qquad\{\int g(x) d x+C_2, C_2 \in R\} \text{ are identical. }$

ତେଣୁ, ଏହି ଅର୍ଥରେ, $\int f(x) d x$ ଏବଂ $\int g(x) d x$ ସମାନ ଅଟେ।

ଟିପ୍ପଣୀ ପରିବାର $\{\int f(x) d x+C_1, C_1 \in \mathbf{R}\}$ ଏବଂ $\{\int g(x) d x+\mathbf{C} _2, \mathbf{C} _2 \in \mathbf{R}\}$ ର ସମାନତା ସାଧାରଣତଃ $\int f(x) d x=\int g(x) d x$ ଲେଖି ପ୍ରକାଶ କରାଯାଏ, ପରାମିଟର ଉଲ୍ଲେଖ ନ କରି।

(III) $\int[f(x)+g(x)] d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x$

ପ୍ରମାଣ ଗୁଣଧର୍ମ (I) ଦ୍ୱାରା, ଆମେ ପାଇବା

$ \frac{d}{d x}[\int[f(x)+g(x)] d x]=f(x)+g(x) $

ଅନ୍ୟ ପକ୍ଷରେ, ଆମେ ପାଇବା

$ \begin{aligned} \frac{d}{d x}[\int f(x) d x+\int g(x) d x] & =\frac{d}{d x} \int f(x) d x+\frac{d}{d x} \int g(x) d x \\ & =f(x)+g(x) \end{aligned} $

ତେଣୁ, ଗୁଣଧର୍ମ (II) ଦୃଷ୍ଟିରେ, ଏହା (1) ଏବଂ (2) ଦ୍ୱାରା ଅନୁସରଣ କରେ

$$ \int(f(x)+g(x)) d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x . $$

(IV) କୌଣସି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା $k, \int k f(x) d x=k \int f(x) d x$ ପାଇଁ

ପ୍ରମାଣ ଗୁଣଧର୍ମ (I) ଦ୍ୱାରା, $\frac{d}{d x} \int k f(x) d x=k f(x)$.

ଆହୁରି $\quad \frac{d}{d x}[k \int f(x) d x]=k \frac{d}{d x} \int f(x) d x=k f(x)$

ତେଣୁ, ଗୁଣଧର୍ମ (II) ବ୍ୟବହାର କରି, ଆମେ ପାଇବା $\int k f(x) d x=k \int f(x) d x$.

(V) ଗୁଣଧର୍ମ (III) ଏବଂ (IV) କୁ ଏକ ସୀମିତ ସଂଖ୍ୟକ ଫଳନ $f_1, f_2, \ldots, f_n$ ଏବଂ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା, $k_1, k_2, \ldots, k_n$ ପାଇଁ ସାଧାରଣୀକୃତ କରାଯାଇପାରେ

$$ \begin{aligned} & \int[k_1 f_1(x)+k_2 f_2(x)+\ldots+k_n f_n(x)] d x \\ & =k_1 \int f_1(x) d x+k_2 \int f_2(x) d x+\ldots+k_n \int f_n(x) d x . \end{aligned} $$

ଏକ ଦିଆଯାଇଥିବା ଫଳନର ଏକ ପ୍ରତିଅବକଳଜ ଖୋଜିବା ପାଇଁ, ଆମେ ସହଜ ଭାବରେ ଏକ ଫଳନ ଖୋଜୁ ଯାହାର ଅବକଳଜ ଦିଆଯାଇଥିବା ଫଳନ। ଏକ ପ୍ରତିଅବକଳଜ ପାଇଁ ଆବଶ୍ୟକୀୟ ଫଳନ ଖୋଜିବାକୁ ପରୀକ୍ଷଣ ପଦ୍ଧତି ଦ୍ୱାରା ସମାକଳନ (integration by the method of inspection) ଭାବରେ ଜାଣିବା। ଆମେ ଏହାକୁ କେତେକ ଉଦାହରଣ ମାଧ୍ୟମରେ ଦର୍ଶାଇବୁ।

ଉଦାହରଣ 1 ପରୀକ୍ଷଣ ପଦ୍ଧତି ବ୍ୟବହାର କରି ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଫଳନ ପାଇଁ ଏକ ପ୍ରତିଅବକଳଜ ଲେଖ:

(i) $\cos 2 x$

(ii) $3 x^{2}+4 x^{3}$

(iii) $\frac{1}{x}, x \neq 0$

ସମାଧାନ