ଗଣିତ ପଢ଼ିବା ଉଚିତ୍ କାରଣ ଗଣିତ ମାଧ୍ୟମରେ ହିଁ ପ୍ରକୃତିକୁ ସୁସଙ୍ଗତ ରୂପରେ ଅନୁଭବ କରାଯାଇପାରେ। - ବିର୍ଖଫ୍

8.1 ପରିଚୟ

ଜ୍ୟାମିତିରେ, ଆମେ ତ୍ରିଭୁଜ, ଆୟତ, ଟ୍ରାପିଜିୟମ୍ ଏବଂ ବୃତ୍ତ ସହିତ ବିଭିନ୍ନ ଜ୍ୟାମିତିକ ଆକୃତିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଗଣନା କରିବା ପାଇଁ ସୂତ୍ର ଶିଖିଛୁ। ଏହିପରି ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ବାସ୍ତବ ଜୀବନର ଅନେକ ସମସ୍ୟାରେ ଗଣିତର ପ୍ରୟୋଗ ପାଇଁ ମୌଳିକ। ପ୍ରାଥମିକ ଜ୍ୟାମିତିର ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ଆମକୁ ଅନେକ ସରଳ ଆକୃତିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଗଣନା କରିବାରେ ସାହାଯ୍ୟ କରେ। ତଥାପି, ବକ୍ରରେଖାଦ୍ୱାରା ଆବଦ୍ଧ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଗଣନା କରିବା ପାଇଁ ସେଗୁଡ଼ିକ ଅପର୍ଯ୍ୟାପ୍ତ। ସେଥିପାଇଁ ଆମକୁ ସମାକଳନ କଲକୁଲସ୍ର କେତେକ ଧାରଣା ଆବଶ୍ୟକ ହେବ।

ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତୀ ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମାକଳନକୁ ଏକ ରାଶିର ସୀମା ଭାବରେ ଗଣନା କରିବା ସମୟରେ, ବକ୍ରରେଖା $y=f(x)$, କ୍ରମାଙ୍କ $x=a$, $x=b$ ଏବଂ $x$-ଅକ୍ଷ ଦ୍ୱାରା ସୀମିତ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କିପରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ ତାହା ଅଧ୍ୟୟନ କରିଛୁ। ଏଠାରେ, ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ସମାକଳନର ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ପ୍ରୟୋଗ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବା: ସରଳ ବକ୍ରରେଖା ତଳେ ଥିବା କ୍ଷେତ୍ରଫଳ, ରେଖା ଏବଂ ବୃତ୍ତ, ପାରାବୋଲା ଏବଂ

ଏ.ଏଲ୍. କୌଚି (୧୭୮୯-୧୮୫୭) ଦୀର୍ଘବୃତ୍ତ (କେବଳ ମାନକ ରୂପ) ମଧ୍ୟରେ ଥିବା କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଖୋଜିବା। ଆମେ ଉପରୋକ୍ତ ବକ୍ରରେଖାଦ୍ୱାରା ସୀମିତ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ସହିତ ମଧ୍ୟ ଜଡ଼ିତ ହେବା।

8.2 ସରଳ ବକ୍ରରେଖା ତଳେ ଥିବା କ୍ଷେତ୍ରଫଳ

ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତୀ ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମାକଳନକୁ ଏକ ରାଶିର ସୀମା ଭାବରେ ଏବଂ କଲକୁଲସ୍ର ମୌଳିକ ପ୍ରମେୟ ବ୍ୟବହାର କରି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମାକଳନ କିପରି ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରାଯାଏ ତାହା ଅଧ୍ୟୟନ କରିଛୁ। ବର୍ତ୍ତମାନ, ବକ୍ରରେଖା $y=f(x), x$-ଅକ୍ଷ ଏବଂ କ୍ରମାଙ୍କ $x=a$ ଏବଂ $x=b$ ଦ୍ୱାରା ସୀମିତ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଖୋଜିବାର ସହଜ ଏବଂ ସୁବୋଧ ଉପାୟ ଆମେ ବିଚାର କରିବା। ଚିତ୍ର 8.1ରୁ, ଆମେ ବକ୍ରରେଖା ତଳେ ଥିବା କ୍ଷେତ୍ରଫଳକୁ ଅତି ପତଳା ଅନେକ ଭୂଲମ୍ବ ପଟିର ସମାହାର ଭାବରେ ଚିନ୍ତା କରିପାରିବା। ଏକ ଅତି ପତଳା ପଟି ବିଚାର କର, ଯାହାର ଉଚ୍ଚତା $y$ ଏବଂ ପ୍ରସ୍ଥ $d x$, ତେବେ $d A$ (ମୌଳିକ ପଟିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ) $=y d x$, ଯେଉଁଠାରେ, $y=f(x)$।

ଏହି କ୍ଷେତ୍ରଫଳକୁ ମୌଳିକ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ କୁହାଯାଏ ଯାହା ଅଞ୍ଚଳ ମଧ୍ୟରେ ଏକ ଅନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସ୍ଥାନରେ ଅବସ୍ଥିତ, ଯାହା $x$ର କିଛି ମୂଲ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କରାଯାଇଥାଏ, ଯାହା $a$ ଏବଂ $b$ ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ। ଆମେ $x$-ଅକ୍ଷ, କ୍ରମାଙ୍କ $x=a, x=b$ ଏବଂ ବକ୍ରରେଖା $y=f(x)$ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଅଞ୍ଚଳର ସମୁଦାୟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ Aକୁ PQRSP ଅଞ୍ଚଳ ବ୍ୟାପି ଥିବା ପତଳା ପଟିଗୁଡ଼ିକର ମୌଳିକ କ୍ଷେତ୍ରଫଳଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗକରି ପ୍ରାପ୍ତ ଫଳାଫଳ ଭାବରେ ଚିନ୍ତା କରିପାରିବା। ସାଙ୍କେତିକ ଭାଷାରେ, ଆମେ ପ୍ରକାଶ କରୁ:

$$ \mathrm{A}=\int _{a}^{b} d \mathrm{~A}=\int _{a}^{b} y d x=\int _{a}^{b} f(x) d x $$

ବକ୍ରରେଖା $x=g(y), y$-ଅକ୍ଷ ଏବଂ ରେଖା $y=c$, $y=d$ ଦ୍ୱାରା ସୀମିତ ଅଞ୍ଚଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $A$ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସୂତ୍ର ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଏ:

$$ \mathrm{A}=\int _{c}^{d} x d y=\int _{c}^{d} g(y) d y $$

ଏଠାରେ, ଆମେ ଚିତ୍ର 8.2ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଥିବା ପରି ଭୂସମାନ୍ତର ପଟିଗୁଡ଼ିକୁ ବିଚାର କରୁ।

ଚିତ୍ର 8.2

ଟିପ୍ପଣୀ ଯଦି ବିଚାରାଧୀନ ବକ୍ରରେଖାର ସ୍ଥିତି $x$-ଅକ୍ଷର ତଳେ ଥାଏ, ତେବେ ଯେହେତୁ $f(x)<0$, $x=a$ରୁ $x=b$ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ, ଯେପରି ଚିତ୍ର 8.3ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି, ବକ୍ରରେଖା, $x$-ଅକ୍ଷ ଏବଂ କ୍ରମାଙ୍କ $x=a, x=b$ ଦ୍ୱାରା ସୀମିତ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଋଣାତ୍ମକ ହୋଇପଡ଼େ। କିନ୍ତୁ, କେବଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ସଂଖ୍ୟାତ୍ମକ ମୂଲ୍ୟକୁ ବିଚାରରେ ନିଆଯାଏ। ତେଣୁ, ଯଦି କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଋଣାତ୍ମକ ହୁଏ, ଆମେ ଏହାର ପରମ ମୂଲ୍ୟ ନେଉ, ଅର୍ଥାତ୍ $|\int_a^{b} f(x) d x|$।

ଚିତ୍ର 8.3

ସାଧାରଣତଃ, ଏହା ଘଟିପାରେ ଯେ ବକ୍ରରେଖାର କିଛି ଅଂଶ $x$-ଅକ୍ଷର ଉପରେ ଏବଂ କିଛି ଅଂଶ $x$-ଅକ୍ଷର ତଳେ ଅଛି, ଯେପରି ଚିତ୍ର 8.4ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି। ଏଠାରେ, $A_1<0$ ଏବଂ $A_2>0$। ତେଣୁ, ବକ୍ରରେଖା $y=f(x), x$-ଅକ୍ଷ ଏବଂ କ୍ରମାଙ୍କ $x=a$ ଏବଂ $x=b$ ଦ୍ୱାରା ସୀମିତ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ A ନିମ୍ନଲିଖିତ ସୂତ୍ର ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଏ: $A=|A_1|+A_2$।

ଚିତ୍ର 8.4

ଉଦାହରଣ 1 ବୃତ୍ତ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ଦ୍ୱାରା ଆବଦ୍ଧ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ ଚିତ୍ର 8.5ରୁ, ଦତ୍ତ ବୃତ୍ତ ଦ୍ୱାରା ଆବଦ୍ଧ ସମୁଦାୟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $=4$ (ବକ୍ରରେଖା, $x$-ଅକ୍ଷ ଏବଂ କ୍ରମାଙ୍କ $x=0$ ଏବଂ $x=a$ ଦ୍ୱାରା ସୀମିତ ଅଞ୍ଚଳ AOBAର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ) [ଯେହେତୁ ବୃତ୍ତଟି $x$-ଅକ୍ଷ ଏବଂ $y$-ଅକ୍ଷ ପ୍ରତି ସମମିତିକ]

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} y d x \text{ (taking vertical strips) } \\ & =4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \end{aligned} $$

ଯେହେତୁ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$, ତେଣୁ $\quad y= \pm \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ ଦିଏ

ଚିତ୍ର 8.5

ଅଞ୍ଚଳ AOBA ପ୍ରଥମ ଚରଣରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେତୁ, $y$କୁ ଧନାତ୍ମକ ରୂପେ ନିଆଯାଏ। ସମାକଳନ କରି, ଦତ୍ତ ବୃତ୍ତ ଦ୍ୱାରା ଆବଦ୍ଧ ସମୁଦାୟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ପାଇବା:

$ \begin{aligned} & =4[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0]=4(\frac{a^{2}}{2})(\frac{\pi}{2})=\pi a^{2} \end{aligned} $

ବିକଳ୍ପ ଭାବରେ, ଚିତ୍ର 8.6ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଥିବା ପରି ଭୂସମାନ୍ତର ପଟିଗୁଡ଼ିକୁ ବିଚାର କଲେ, ବୃତ୍ତ ଦ୍ୱାରା ଆବଦ୍ଧ ଅଞ୍ଚଳର ସମୁଦାୟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ:

$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} x d y=4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-y^{2}} d y \text{(କାହିଁକି?)} \\ & =4[\frac{y}{2} \sqrt{a^{2}-y^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =4 \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a^{2} \end{aligned} $

ଚିତ୍ର 8.6

ଉଦାହରଣ 2 ଦୀର୍ଘବୃତ୍ତ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ଦ୍ୱାରା ଆବଦ୍ଧ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ ଚିତ୍ର 8.7ରୁ, ଦୀର୍ଘବୃତ୍ତ $ABA^{\prime} B^{\prime} A$ ଦ୍ୱାରା ସୀମିତ ଅଞ୍ଚଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ

$=4(\begin{matrix} \text{ area of the region } A O B A \text{ in the first quadrant bounded } \\ \text{ by the curve, } x-\text{ axis and theordinates } x=0, x=a\end{matrix} )$

(ଯେହେତୁ ଦୀର୍ଘବୃତ୍ତଟି $x$-ଅକ୍ଷ ଏବଂ $y$-ଅକ୍ଷ ଉଭୟ ପ୍ରତି ସମମିତିକ)

$=4 \int_0^{a} y d x \quad$ (ଭୂଲମ୍ବ ପଟିଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ)

ବର୍ତ୍ତମାନ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ଦିଏ $y= \pm \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}$, କିନ୍ତୁ ଅଞ୍ଚଳ AOBA ପ୍ରଥମ ଚରଣରେ ଅବସ୍ଥିତ ହେତୁ, $y$କୁ ଧନାତ୍ମକ ରୂପେ ନିଆଯାଏ। ତେଣୁ, ଆବଶ୍ୟକୀୟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ:

$ \begin{aligned} & =4 \int _{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\right] _{0}^{a} \text { (କାହିଁକି?) } \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\left(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1\right)-0\right] \\ & =\frac{4 b}{a} \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \text { } \end{aligned} $

ଚିତ୍ର 8.7

ବିକଳ୍ପ ଭାବରେ, ଚିତ୍ର 8.8ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଥିବା ପରି ଭୂସମାନ୍ତର ପଟିଗୁଡ଼ିକୁ ବିଚାର କଲେ, ଦୀର୍ଘବୃତ୍ତର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ:

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{b} x d y=4 \frac{a}{b} \int_0^{b} \sqrt{b^{2}-y^{2}} d y \text{ (Why?) } \\ & =\frac{4 a}{b}[\frac{y}{2} \sqrt{b^{2}-y^{2}}+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{b}]_0^{b} \\ & =\frac{4 a}{b}[(\frac{b}{2} \times 0+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =\frac{4 a}{b} \frac{b^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \end{aligned} $$

ଚିତ୍ର 8.8

ବିବିଧ ଉଦାହରଣ

ଉଦାହରଣ 3 ରେଖା $y=3 x+2$, $x$-ଅକ୍ଷ ଏବଂ କ୍ରମାଙ୍କ $x=-1$ ଏବଂ $x=1$ ଦ୍ୱାରା ସୀମିତ ଅଞ୍ଚଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ ଚିତ୍ର 8.9ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଥିବା ପରି, ରେଖା $y=3 x+2$, $x$-ଅକ୍ଷକୁ $x=\frac{-2}{3}$ ବିନ୍ଦୁରେ ଛେଦ କରେ ଏବଂ ଏହାର ଆଲେଖ $x$-ଅକ୍ଷର ତଳେ ଅଛି ଯେତେବେଳେ $x \in(-1, \frac{-2}{3})$ ଏବଂ $x$-ଅକ୍ଷର ଉପରେ ଅଛି ଯେତେବେଳେ $x \in(\frac{-2}{3}, 1)$।

ଆବଶ୍ୟକୀୟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $=$ = ଅଞ୍ଚଳ ACBAର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + ଅଞ୍ଚଳ ADEAର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ

$ \begin{aligned} & =|\int _{-1}^{\frac{-2}{3}}(3 x+2) d x|+\int _{\frac{-2}{3}}^{1}(3 x+2) d x \\ & =|[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{-1}^{\frac{-2}{3}}|+[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{\frac{-2}{3}}^{1}=\frac{1}{6}+\frac{25}{6}=\frac{13}{3} \end{aligned} $

ଚିତ୍ର 8.9

ଉଦାହରଣ 4 ବକ୍ରରେଖା $y=\cos x$ ଦ୍ୱାରା $x=0$ ଏବଂ $x=2 \pi$ ମଧ୍ୟରେ ସୀମିତ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ ଚିତ୍ର 8.10ରୁ, ଆବଶ୍ୟକୀୟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $=$ = ଅଞ୍ଚଳ OABOର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + ଅଞ୍ଚଳ BCDBର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ + ଅଞ୍ଚଳ DEFDର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ।

ଚିତ୍ର 8.10

ତେଣୁ, ଆମେ ଆବଶ୍ୟକୀୟ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ପାଇବା:

$ \begin{aligned} & =\int_ 0^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x+|\int_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \cos x d x|+\int_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \cos x d x \\ & =[\sin x]_ 0^{\frac{\pi}{2}}+|[\sin x]_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}}|+[\sin x]_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \\ & =1+2+1=4 \end{aligned} $

ସାରାଂଶ

ବକ୍ରରେଖା $y=f(x), x$-ଅକ୍ଷ ଏବଂ ରେଖା $x=a$ ଏବଂ $x=b(b>a)$ ଦ୍ୱାରା ସୀମିତ ଅଞ୍ଚଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସୂତ୍ର ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଏ: କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $=\int_a^{b} y d x=\int_a^{b} f(x) d x$। ବକ୍ରରେଖା $x=\phi(y), y$-ଅକ୍ଷ ଏବଂ ରେଖା $y=c, y=d$ ଦ୍ୱାରା ସୀମିତ ଅଞ୍ଚଳର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସୂତ୍ର ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଏ: କ୍ଷେତ୍ରଫଳ $=\int_c^{d} x d y=\int_c^{d} \phi(y) d y$।

ଐତିହାସିକ ଟିପ୍ପଣୀ

ସମାକଳନ କଲକୁଲସ୍ର ଉତ୍ପତ୍ତି ଗଣିତର ବିକାଶର ପ୍ରାକ୍-ଇତିହାସକୁ ଫେରିଯାଏ ଏବଂ ଏହା ପ୍ରାଚୀନ ଗ୍ରୀସ୍ର ଗଣିତଜ୍ଞମାନଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ବିକଶିତ ବିନାଶ ପ୍ରଣାଳୀ ସହିତ ସମ୍ବନ୍ଧିତ। ଏହି ପ୍ରଣାଳୀ ସମତଳ ଆକୃତିର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ, ଘନ ପଦାର୍ଥର ପୃଷ୍ଠତଳ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଏବଂ ଆୟତନ ଆଦି ଗଣନା ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସମସ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସମାଧାନରେ ଉତ୍ପନ୍ନ ହୋଇଥିଲା। ଏହି ଅର୍ଥରେ, ବିନାଶ ପ୍ରଣାଳୀକୁ ସମାକଳନର ଏକ ପ୍ରାକ୍-ପ୍ରଣାଳୀ ଭାବରେ ଗ୍ରହଣ କରାଯାଇପାରେ। ପ୍ରାକ୍-ଇତିହାସରେ ବିନାଶ ପ୍ରଣାଳୀର ସର୍ବୋତ୍ତମ ବିକାଶ ୟୁଡୋକ୍ସସ (୪୪୦ ଖ୍ରୀଷ୍ଟପୂର୍ବ) ଏବଂ ଆର୍କିମିଡିସ୍ (୩୦୦ ଖ୍ରୀଷ୍ଟପୂର୍ବ)ଙ୍କ କାର୍ଯ୍ୟରେ ପ୍ରାପ୍ତ ହୋଇଥିଲା।

କଲକୁଲସ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ବ୍ୟବସ୍ଥିତ ଉପାୟ ୧୭ଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ ଆରମ୍ଭ ହୋଇଥିଲା। ୧୬୬୫ ମସିହାରେ, ନିଉଟନ୍ କଲକୁଲସ୍ ଉପରେ ନିଜର କାର୍ଯ୍ୟ ଆରମ୍ଭ କରିଥିଲେ, ଯାହାକୁ ସେ ଫ୍ଲକ୍ସିୟନ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଭାବରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରିଥିଲେ ଏବଂ ଏକ ବକ୍ରରେଖାର ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁରେ ସ୍ପର୍ଶକ ଏବଂ ବକ୍ରତା ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଖୋଜିବାରେ ତାଙ୍କ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ବ୍ୟବହାର କରିଥିଲେ। ନିଉଟନ୍ ବିପରୀତ ଫଳନର ମୌଳିକ ଧାରଣା ପ୍ରଚଳନ କରିଥିଲେ, ଯାହାକୁ ପ୍ରତିବଅବଚଳିତ (ଅନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମାକଳନ) ବା ସ୍ପର୍ଶକର ବିପରୀତ ପ୍ରଣାଳୀ କୁହାଯାଉଥିଲା।

୧୬୮୪-୮୬ ମଧ୍ୟରେ, ଲିବନିଜ୍ ଆକ୍ଟା ଏରୁଡିଟୋରମ୍ରେ ଏକ ପ୍ରବନ୍ଧ ପ୍ରକାଶ କରିଥିଲେ ଯାହାକୁ ସେ କ୍ୟାଲକୁଲସ୍ ସମାଟୋରିଅସ୍ ବୋଲି କହିଥିଲେ, କାରଣ ଏହା ଅନେକ ଅନନ୍ତ ସୂକ୍ଷ୍ମ କ୍ଷେତ୍ରଫଳର ସମଷ୍ଟି ସହିତ ସମ୍ବନ୍ଧିତ ଥିଲା, ଯାହାର ସମଷ୍ଟି ସେ ‘∫’ ଚିହ୍ନ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରିଥିଲେ। ୧୬୯୬ ମସିହାରେ, ସେ ଜେ. ବର୍ନୌଲି ଦ୍ୱାରା ପ୍ରଦତ୍ତ ଏକ ପରାମର୍ଶ ଅନୁସରଣ କରି ଏହି ପ୍ରବନ୍ଧର ନାମ ବଦଳାଇ କ୍ୟାଲକୁଲସ୍ ଇଣ୍ଟେଗ୍ରାଲି ରଖିଥିଲେ। ଏହା ନିଉଟନ୍ଙ୍କ ସ୍ପର୍ଶକର ବିପରୀତ ପ୍ରଣାଳୀ ସହିତ ସମାନ ଥିଲା।

ନିଉଟନ୍ ଏବଂ ଲିବନିଜ୍ ଉଭୟେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଭିନ୍ନ ଏବଂ ମୂଳଗାମୀ ଭାବରେ ପୃଥକ୍ ଉପାୟ ଅବଲମ୍ବନ କରିଥିଲେ। ତଥାପି, ଉଭୟଙ୍କ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ପ୍ରାୟତଃ ସମାନ ଫଳାଫଳ ଉତ୍ପନ୍ନ କରିଥିଲା। ଲିବନିଜ୍ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମାକଳନର ଧାରଣା ବ୍ୟବହାର କରିଥିଲେ ଏବଂ ଏହା ନିଶ୍ଚିତ ଯେ ସେ ପ୍ରଥମେ ପ୍ରତିବଅବଚଳିତ ଏବଂ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମାକଳନ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସମ୍ପର୍କକୁ ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବରେ ଅନୁଭବ କରିଥିଲେ।

ଶେଷରେ, ଏହା ନିଷ୍କର୍ଷରେ କହାଯାଇପାରେ ଯେ ସମାକଳନ କଲକୁଲସ୍ର ମୌଳିକ ଧାରଣା ଏବଂ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଏବଂ ପ୍ରାଥମିକ ଭାବରେ ଏହାର ଅବକଳନ କଲକୁଲସ୍ ସହିତ ସମ୍ପର୍କ ୧୭ଶ ଶତାବ୍ଦୀର ଶେଷ ଭାଗରେ ପି.ଡି. ଫର୍ମାଟ୍, ଆଇ. ନିଉଟନ୍ ଏବଂ ଜି. ଲ