ଯେ ବ୍ୟକ୍ତି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମସ୍ୟା ମନରେ ରଖି ନ ଥାଇ ପଦ୍ଧତି ଖୋଜେ, ସେ ଅଧିକାଂଶ ସମୟରେ ବିଫଳ ହୁଏ। - D. HILBERT

9.1 ପରିଚୟ

କ୍ଲାସ XI ଏବଂ ବର୍ତ୍ତମାନର ପୁସ୍ତକର ଅଧ୍ୟାୟ 5ରେ, ଆମେ ଆଲୋଚନା କରିଥିଲୁ କିପରି ଏକ ଦିଆଯାଇଥିବା ଫଳନ $f$କୁ ଏକ ସ୍ୱାଧୀନ ଚଳ ସପେକ୍ଷରେ ଅବକଳନ କରାଯାଏ, ଅର୍ଥାତ୍, ଏକ ଦିଆଯାଇଥିବା ଫଳନ $f$ ପାଇଁ ପ୍ରତ୍ୟେକ $x$ରେ $f^{\prime}(x)$ କିପରି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ। ଆହୁରି, ସମାକଳନ କଲକୁଲସ୍ ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ଆଲୋଚନା କରିଥିଲୁ କିପରି ଏକ ଫଳନ $f$ ଖୋଜିବା ଯାହାର ଅବକଳଜ ଫଳନ $g$ ଅଟେ, ଯାହାକୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ମଧ୍ୟ ଗଠନ କରାଯାଇପାରେ:

ଏକ ଦିଆଯାଇଥିବା ଫଳନ $g$ ପାଇଁ, ଏକ ଫଳନ $f$ ଖୋଜ ଯେପରି

$$ \frac{d y}{d x}=g(x) \text { where } y=f(x) $$

ହେନ୍ରି ପୋଏଙ୍କାରେ $(1854-1912)$

ଏକ ସମୀକରଣ ଯାହାର ରୂପ (1) ହେଉଛି, ତାହାକୁ ଏକ ଅବକଳନ ସମୀକରଣ ଭାବରେ ଜଣାଶୁଣା। ଏକ ଆନୁଷ୍ଠାନିକ ସଂଜ୍ଞା ପରେ ଦିଆଯିବ।

ଏହି ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରୟୋଗରେ ଉତ୍ପନ୍ନ ହୁଏ, ତାହା ପଦାର୍ଥ ବିଜ୍ଞାନ, ରସାୟନ ବିଜ୍ଞାନ, ଜୀବ ବିଜ୍ଞାନ, ନୃତତ୍ତ୍ୱ, ଭୂବିଜ୍ଞାନ, ଅର୍ଥନୀତି ଆଦିରେ ହେଉ। ତେଣୁ, ଅବକଳନ ସମୀକରଣର ଏକ ଗଭୀର ଅଧ୍ୟୟନ ସମସ୍ତ ଆଧୁନିକ ବୈଜ୍ଞାନିକ ଅନୁସନ୍ଧାନରେ ପ୍ରାଥମିକ ଗୁରୁତ୍ୱ ଧାରଣ କରିଛି।

ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ଅବକଳନ ସମୀକରଣ ସହିତ ଜଡ଼ିତ କେତେକ ମୌଳିକ ଧାରଣା, ଏକ ଅବକଳନ ସମୀକରଣର ସାଧାରଣ ଏବଂ ବିଶେଷ ସମାଧାନ, ଅବକଳନ ସମୀକରଣର ଗଠନ, ପ୍ରଥମ କ୍ରମ - ପ୍ରଥମ ଘାତ ଅବକଳନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାର କେତେକ ପଦ୍ଧତି ଏବଂ ଅବକଳନ ସମୀକରଣର ବିଭିନ୍ନ କ୍ଷେତ୍ରରେ କେତେକ ପ୍ରୟୋଗ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବୁ।

9.2 ମୌଳିକ ଧାରଣାଗୁଡ଼ିକ

ଆମେ ପୂର୍ବରୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରକାରର ସମୀକରଣ ସହିତ ପରିଚିତ:

$$ \begin{align*} x^{2}-3 x+3=0 \tag{1} \\ \sin x+\cos x=0 \tag{2} \\ x+y=7 \tag{3} \end{align*} $$

ଆସନ୍ତୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସମୀକରଣ ବିଚାର କରିବା:

$$ \begin{equation*} x \frac{d y}{d x}+y=0 \tag{4} \end{equation*} $$

ଆମେ ଦେଖୁଛୁ ଯେ ସମୀକରଣ (1), (2) ଏବଂ (3) କେବଳ ସ୍ୱାଧୀନ ଏବଂ/କିମ୍ବା ଆଶ୍ରିତ ଚଳ (ଚଳଗୁଡ଼ିକ) ଜଡ଼ିତ କରେ କିନ୍ତୁ ସମୀକରଣ (4) ଚଳଗୁଡ଼ିକ ସହିତ ସ୍ୱାଧୀନ ଚଳ $x$ ସପେକ୍ଷରେ ଆଶ୍ରିତ ଚଳ $y$ର ଅବକଳଜ ମଧ୍ୟ ଜଡ଼ିତ କରେ। ଏପରି ଏକ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ଅବକଳନ ସମୀକରଣ କୁହାଯାଏ।

ସାଧାରଣତଃ, ସ୍ୱାଧୀନ ଚଳ (ଚଳଗୁଡ଼ିକ) ସପେକ୍ଷରେ ଆଶ୍ରିତ ଚଳର ଅବକଳଜ (ଅବକଳଜଗୁଡ଼ିକ) ଜଡ଼ିତ ଏକ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ଅବକଳନ ସମୀକରଣ କୁହାଯାଏ।

ଏକ ଅବକଳନ ସମୀକରଣ ଯାହା କେବଳ ଗୋଟିଏ ସ୍ୱାଧୀନ ଚଳ ସପେକ୍ଷରେ ଆଶ୍ରିତ ଚଳର ଅବକଳଜଗୁଡ଼ିକୁ ଜଡ଼ିତ କରେ, ତାହାକୁ ସାଧାରଣ ଅବକଳନ ସମୀକରଣ କୁହାଯାଏ, ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ,

$ 2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+(\frac{d y}{d x})^{3}=0 \text{ ଏକ ସାଧାରଣ ଅବକଳନ ସମୀକରଣ ଅଟେ। } $

ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ, ଏକାଧିକ ସ୍ୱାଧୀନ ଚଳ ସପେକ୍ଷରେ ଅବକଳଜ ଜଡ଼ିତ ଅବକଳନ ସମୀକରଣ ଅଛି, ଯାହାକୁ ଆଂଶିକ ଅବକଳନ ସମୀକରଣ କୁହାଯାଏ କିନ୍ତୁ ଏହି ପର୍ଯ୍ୟାୟରେ ଆମେ କେବଳ ସାଧାରଣ ଅବକଳନ ସମୀକରଣର ଅଧ୍ୟୟନ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସୀମିତ ରହିବୁ। ଏବେଠାରୁ, ଆମେ ‘ସାଧାରଣ ଅବକଳନ ସମୀକରଣ’ ପାଇଁ ‘ଅବକଳନ ସମୀକରଣ’ ଶବ୍ଦଟି ବ୍ୟବହାର କରିବୁ।

ଟିପ୍ପଣୀ

1. ଆମେ ଅବକଳଜ ପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂକେତଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟବହାର କରିବାକୁ ପସନ୍ଦ କରିବୁ:

$$ \frac{d y}{d x}=y^{\prime}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=y^{\prime \prime}, \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=y^{\prime \prime \prime} $$

2. ଉଚ୍ଚତର କ୍ରମର ଅବକଳଜ ପାଇଁ, ଅନେକ ଡ୍ୟାସ୍ କୁ ସୁପରସଫିକ୍ସ ଭାବରେ ବ୍ୟବହାର କରିବା ଅସୁବିଧାଜନକ ହେବ, ତେଣୁ ଆମେ $\frac{d^{n} y}{d x^{n}}$ ପାଇଁ $n$ତମ କ୍ରମ ଅବକଳଜ ପାଇଁ $y_n$ ସଂକେତ ବ୍ୟବହାର କରୁ।

9.2.1 ଏକ ଅବକଳନ ସମୀକରଣର କ୍ରମ

ଏକ ଅବକଳନ ସମୀକରଣର କ୍ରମକୁ ଦିଆଯାଇଥିବା ଅବକଳନ ସମୀକରଣରେ ଜଡ଼ିତ ସ୍ୱାଧୀନ ଚଳ ସପେକ୍ଷରେ ଆଶ୍ରିତ ଚଳର ସର୍ବୋଚ୍ଚ କ୍ରମ ଅବକଳଜର କ୍ରମ ଭାବରେ ସଂଜ୍ଞାୟିତ କରାଯାଏ।

ନିମ୍ନଲିଖିତ ଅବକଳନ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକ ବିଚାର କର:

$$ \begin{align*} & \frac{d y}{d x}=e^{x} \tag{6}\\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0 \tag{7}\\ & \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+x^{2}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}=0 \tag{8} \end{align*} $$

ସମୀକରଣ (6), (7) ଏବଂ (8) ଯଥାକ୍ରମେ ପ୍ରଥମ, ଦ୍ୱିତୀୟ ଏବଂ ତୃତୀୟ କ୍ରମର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଅବକଳଜକୁ ଜଡ଼ିତ କରେ। ତେଣୁ, ଏହି ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକର କ୍ରମ ଯଥାକ୍ରମେ 1,2 ଏବଂ 3 ଅଟେ।

9.2.2 ଏକ ଅବକଳନ ସମୀକରଣର ଘାତ

ଏକ ଅବକଳନ ସମୀକରଣର ଘାତ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବା ପାଇଁ, ମୁଖ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ ହେଉଛି ଯେ ଅବକଳନ ସମୀକରଣଟି ଅବକଳଜଗୁଡ଼ିକରେ ଏକ ବହୁପଦୀୟ ସମୀକରଣ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ, ଅର୍ଥାତ୍, $y^{\prime}, y^{\prime \prime}, y^{\prime \prime \prime}$ ଇତ୍ୟାଦି। ନିମ୍ନଲିଖିତ ଅବକଳନ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକ ବିଚାର କର:

$ \begin{aligned} \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+2(\frac{d^{2} y}{d x^{2}})^{2}-\frac{d y}{d x}+y & =0 \\ (\frac{d y}{d x})^{2}+(\frac{d y}{d x})-\sin ^{2} y & =0 \\ \frac{d y}{d x}+\sin (\frac{d y}{d x}) & =0 \end{aligned} $

ଆମେ ଦେଖୁଛୁ ଯେ ସମୀକରଣ (9) ହେଉଛି $y^{\prime \prime \prime}, y^{\prime \prime}$ ଏବଂ $y^{\prime}$ରେ ଏକ ବହୁପଦୀୟ ସମୀକରଣ, ସମୀକରଣ (10) ହେଉଛି $y^{\prime}$ରେ ଏକ ବହୁପଦୀୟ ସମୀକରଣ (ଯଦିଓ $y$ରେ ଏକ ବହୁପଦୀୟ ନୁହେଁ)। ଏପରି ଅବକଳନ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକର ଘାତ ସଂଜ୍ଞାୟିତ ହୋଇପାରେ। କିନ୍ତୁ ସମୀକରଣ (11) ହେଉଛି $y^{\prime}$ରେ ଏକ ବହୁପଦୀୟ ସମୀକରଣ ନୁହେଁ ଏବଂ ଏପରି ଏକ ଅବକଳନ ସମୀକରଣର ଘାତ ସଂଜ୍ଞାୟିତ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ।

ଏକ ଅବକଳନ ସମୀକରଣର ଘାତ ଦ୍ୱାରା, ଯେତେବେଳେ ଏହା ଅବକଳଜଗୁଡ଼ିକରେ ଏକ ବହୁପଦୀୟ ସମୀକରଣ ଅଟେ, ଆମେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଅବକଳନ ସମୀକରଣରେ ଜଡ଼ିତ ସର୍ବୋଚ୍ଚ କ୍ରମ ଅବକଳଜର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ (ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ସୂଚକ)କୁ ବୁଝୁ।

ଉପରୋକ୍ତ ସଂଜ୍ଞା ଆଲୋକରେ, ଜଣେ ଦେଖିପାରିବେ ଯେ ଅବକଳନ ସମୀକରଣ (6), (7), (8) ଏବଂ (9) ପ୍ରତ୍ୟେକର ଘାତ ଗୋଟିଏ, ସମୀକରଣ (10)ର ଘାତ ଦୁଇ ଯେତେବେଳେ ଅବକଳନ ସମୀକରଣ (11)ର ଘାତ ସଂଜ୍ଞାୟିତ ନୁହେଁ।

ଟିପ୍ପଣୀ ଏକ ଅବକଳନ ସମୀକରଣର କ୍ରମ ଏବଂ ଘାତ (ଯଦି ସଂଜ୍ଞାୟିତ) ସର୍ବଦା ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ଅଟେ।

ଉଦାହରଣ 1 ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅବକଳନ ସମୀକରଣର କ୍ରମ ଏବଂ ଘାତ (ଯଦି ସଂଜ୍ଞାୟିତ) ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର:

(i) $\frac{d y}{d x}-\cos x=0$

(ii) $x y \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x(\frac{d y}{d x})^{2}-y \frac{d y}{d x}=0$

(iii) $y^{\prime \prime \prime}+y^{2}+e^{y^{\prime}}=0$

ସମାଧାନ

(i) ଅବକଳନ ସମୀକରଣରେ ଉପସ୍ଥିତ ସର୍ବୋଚ୍ଚ କ୍ରମ ଅବକଳଜ ହେଉଛି $\frac{d y}{d x}$, ତେଣୁ ଏହାର କ୍ରମ ଗୋଟିଏ। ଏହା $y^{\prime}$ରେ ଏକ ବହୁପଦୀୟ ସମୀକରଣ ଏବଂ $\frac{d y}{d x}$କୁ ଉତ୍ତୋଳିତ ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ ଗୋଟିଏ, ତେଣୁ ଏହାର ଘାତ ଗୋଟିଏ।

(ii) ଦିଆଯାଇଥିବା ଅବକଳନ ସମୀକରଣରେ ଉପସ୍ଥିତ ସର୍ବୋଚ୍ଚ କ୍ରମ ଅବକଳଜ ହେଉଛି $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$, ତେଣୁ ଏହାର କ୍ରମ ଦୁଇ। ଏହା $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ଏବଂ $\frac{d y}{d x}$ରେ ଏକ ବହୁପଦୀୟ ସମୀକରଣ ଏବଂ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$କୁ ଉତ୍ତୋଳିତ ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଘାତ ଗୋଟିଏ, ତେଣୁ ଏହାର ଘାତ ଗୋଟିଏ।

(iii) ଅବକଳନ ସମୀକରଣରେ ଉପସ୍ଥିତ ସର୍ବୋଚ୍ଚ କ୍ରମ ଅବକଳଜ ହେଉଛି $y^{\prime \prime \prime}$, ତେଣୁ ଏହାର କ୍ରମ ତିନି। ଦିଆଯାଇଥିବା ଅବକଳନ ସମୀକରଣଟି ଏହାର ଅବକଳଜଗୁଡ଼ିକରେ ଏକ ବହୁପଦୀୟ ସମୀକରଣ ନୁହେଁ ଏବଂ ତେଣୁ ଏହାର ଘାତ ସଂଜ୍ଞାୟିତ ନୁହେଁ।

9.3 ଏକ ଅବକଳନ ସମୀକରଣର ସାଧାରଣ ଏବଂ ବିଶେଷ ସମାଧାନ

ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀଗୁଡ଼ିକରେ, ଆମେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରକାରର ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିଛୁ:

$$ \begin{align*} x^{2}+1=0 \tag{1} \\ \sin ^{2} x-\cos x=0 \tag{2} \end{align*} $$

ସମୀକରଣ (1) ଏବଂ (2)ର ସମାଧାନ ହେଉଛି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ, ବାସ୍ତବ କିମ୍ବା ଜଟିଳ, ଯାହା ଦିଆଯାଇଥିବା ସମୀକରଣକୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରିବ, ଅର୍ଥାତ୍, ଯେତେବେଳେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାଟି ଦିଆଯାଇଥିବା ସମୀକରଣରେ ଅଜ୍ଞାତ $x$ ପାଇଁ ପ୍ରତିସ୍ଥାପିତ ହୁଏ, L.H.S. R.H.S. ସହ ସମାନ ହୁଏ।

ବର୍ତ୍ତମାନ ଅବକଳନ ସମୀକରଣଟି ବିଚାର କର

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$

ପ୍ରଥମ ଦୁଇଟି ସମୀକରଣ ସହିତ ବିପରୀତ ଭାବରେ, ଏହି ଅବକଳନ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ହେଉଛି ଏକ ଫଳନ $\phi$ ଯାହା ଏହାକୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରିବ, ଅର୍ଥାତ୍, ଯେତେବେଳେ ଫଳନ $\phi$ ଦିଆଯାଇଥିବା ଅବକଳନ ସମୀକରଣରେ ଅଜ୍ଞାତ $y$ (ଆଶ୍ରିତ ଚଳ) ପାଇଁ ପ୍ରତିସ୍ଥାପିତ ହୁଏ, L.H.S. R.H.S. ସହ ସମାନ ହୁଏ।

ବକ୍ର $y=\phi(x)$କୁ ଦିଆଯାଇଥିବା ଅବକଳନ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ବକ୍ର (ସମାକଳନ ବକ୍ର) କୁହାଯାଏ। ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଫଳନଟି ବିଚାର କର:

$$ \begin{equation*} y=\phi(x)=a \sin (x+b) \tag{4} \end{equation*} $$

ଯେଉଁଠାରେ $a, b \in \mathbf{R}$। ଯେତେବେଳେ ଏହି ଫଳନ ଏବଂ ଏହାର ଅବକଳଜ ସମୀକରଣ (3)ରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପିତ ହୁଏ, L.H.S. = R.H.S.। ତେଣୁ ଏହା ଅବକଳନ ସମୀକରଣ (3)ର ଏକ ସମାଧାନ।

ମନେକର $a$ ଏବଂ $b$କୁ କିଛି ବିଶେଷ ମୂଲ୍ୟ ଦିଆଯାଉ, ଯେପରିକି $a=2$ ଏବଂ $b=\frac{\pi}{4}$, ତାପରେ ଆମେ ଏକ ଫଳନ ପାଇବୁ

$$ \begin{equation*} y=\phi _{1}(x)=2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \tag{5} \end{equation*} $$

ଯେତେବେଳେ ଏହି ଫଳନ ଏବଂ ଏହାର ଅବକଳଜ ସମୀକରଣ (3)ରେ ପୁନର୍ବାର ପ୍ରତିସ୍ଥାପିତ ହୁଏ, L.H.S. = R.H.S.। ତେଣୁ $\phi_1$ ମଧ୍ୟ ସମୀକରଣ (3)ର ଏକ ସମାଧାନ।

ଫଳନ $\phi$ରେ ଦୁଇଟି ଅନିୟତ ସ୍ଥିରାଙ୍କ (ପାରାମିଟର) $a, b$ ଅଛି ଏବଂ ଏହାକୁ ଦିଆଯାଇଥିବା ଅବକଳନ ସମୀକରଣର ସାଧାରଣ ସମାଧାନ କୁହାଯାଏ। ଯେତେବେଳେ ଫଳନ $\phi_1$ରେ କୌଣସି ଅନିୟତ ସ୍ଥିରାଙ୍କ ନାହିଁ କିନ୍ତୁ କେବଳ ପାରାମିଟର $a$ ଏବଂ $b$ର ବିଶେଷ ମୂଲ୍ୟ ଅଛି ଏବଂ ତେଣୁ ଏହାକୁ ଦିଆଯାଇଥିବା ଅବକଳନ ସମୀକରଣର ଏକ ବିଶେଷ ସମାଧାନ କୁହାଯାଏ। ଯେଉଁ ସମାଧାନରେ ଅନିୟତ ସ୍ଥିରାଙ୍କ ଅଛି, ତାହାକୁ ଅବକଳନ ସମୀକରଣର ସାଧାରଣ ସମାଧାନ (ପ୍ରିମିଟିଭ୍) କୁହାଯାଏ।

ଅନିୟତ ସ୍ଥିରାଙ୍କମୁକ୍ତ ସମାଧାନ, ଅର୍ଥାତ୍, ସାଧାରଣ ସମାଧାନରୁ ଅନିୟତ ସ୍ଥିରାଙ୍କଗୁଡ଼ିକୁ ବିଶେଷ ମୂଲ୍ୟ ଦେଇ ପ୍ରାପ୍ତ ସମାଧାନକୁ ଅବକଳନ ସମୀକରଣର ଏକ ବିଶେଷ ସମାଧାନ କୁହାଯାଏ।

ଉଦାହରଣ 2 ଯାଞ୍ଚ କର ଯେ ଫଳନ $y=e^{-3 x}$ ଅବକଳନ ସମୀକରଣ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}-6 y=0$ର ଏକ ସମାଧାନ ଅଟେ

ସମାଧାନ ଦିଆଯାଇଥିବା ଫଳନ ହେଉଛି $y=e^{-3 x}$। ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ $x$ ସପେକ୍ଷରେ ଅବକଳନ କରି, ଆମେ ପାଇବୁ

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=3 e^{-3 x} \tag{1} \end{equation*} $$

ବର୍ତ୍ତମାନ, (1)କୁ $x$ ସପେକ୍ଷରେ ଅବକଳନ କରି, ଆମେ ପାଇବୁ

$$ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=9 e^{-3 x} $$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d y}{d x}$ ଏବଂ $y$ର ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ଦିଆଯାଇଥିବା ଅବକଳନ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପିତ କରି, ଆମେ ପାଇବୁ

L.H.S. $=9 e^{-3 x}+(-3 e^{-3 x})-6 . e^{-3 x}=9 e^{-3 x}-9 e^{-3 x}=0=$ R.H.S.।

ତେଣୁ, ଦିଆଯାଇଥିବା ଫଳନଟି ଦିଆଯାଇଥିବା ଅବକଳନ ସମୀକରଣର ଏକ ସମାଧାନ ଅଟେ।

ଉଦାହରଣ 3 ଯାଞ୍ଚ କର ଯେ ଫଳନ $y=a \cos x+b \sin x$, ଯେଉଁଠାରେ, $a, b \in \mathbf{R}$ ଅବକଳନ ସମୀକରଣ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$ର ଏକ ସମାଧାନ ଅଟେ

ସମାଧାନ ଦିଆଯାଇଥିବା ଫଳନ ହେଉଛି

$$ \begin{equation*} y=a \cos x+b \sin x \tag{1} \end{equation*} $$

ସମୀକରଣ (1)ର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ $x$ ସପେକ୍ଷରେ କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ ଅବକଳନ କରି, ଆମେ ପାଇବୁ

$$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =-a \sin x+b \cos x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-a \cos x-b \sin x \end{aligned} $$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ଏବଂ $y$ର ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ଦିଆଯାଇଥିବା ଅବକଳନ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପିତ କରି, ଆମେ ପାଇବୁ

L.H.S. $=(-a \cos x-b \sin x)+(a \cos x+b \sin x)=0=$ R.H.S.

ତେଣୁ, ଦିଆଯାଇଥିବା ଫଳନଟି ଦିଆଯାଇଥିବା ଅବକଳନ ସମୀକରଣର ଏକ ସମାଧାନ ଅଟେ।

9.4 ପ୍ରଥମ କ୍ରମ, ପ୍ରଥମ ଘାତ ଅବକଳନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ପଦ୍ଧତି

ଏହି ବିଭାଗରେ ଆମେ ପ୍ରଥମ କ୍ରମ ପ୍ରଥମ ଘାତ ଅବକଳନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନର ତିନୋଟି ପଦ୍ଧତି ଆଲୋଚନା କରିବୁ।

9.4.1 ଚଳ ପୃଥକୀକରଣଯୋଗ୍ୟ ଅବକଳନ ସମୀକରଣ

ଏକ ପ୍ରଥମ କ୍ରମ-ପ୍ରଥମ ଘାତ ଅବକଳନ ସମୀକରଣର ରୂପ ହେଉଛି

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\mathrm{F}(x, y) \tag{1} \end{equation*} $$

ଯଦି $F(x, y)$କୁ ଏକ ଗୁଣଫଳ $g(x) h(y)$ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରେ, ଯେଉଁଠାରେ, $g(x)$ ହେଉଛି $x$ର ଏକ ଫଳନ ଏବଂ $h(y)$ ହେଉଛି $y$ର ଏକ ଫଳନ, ତାପରେ ଅବକଳନ ସମୀକରଣ (1)କୁ ଚଳ ପୃଥକୀକରଣଯୋଗ୍ୟ ପ୍ରକାରର କୁହାଯାଏ। ଅବକଳନ ସମୀକରଣ (1)ର ତାପରେ ରୂପ ଅଛି