10.1 ପରିଚୟ

1637 ମସିହାରେ ଡେକାର୍ଟ ଆଲୋକର କଣିକା ମଡେଲ ଦେଇଥିଲେ ଏବଂ ସ୍ନେଲ୍ଙ୍କ ନିୟମ ବ୍ୟୁତ୍ପନ୍ନ କରିଥିଲେ। ଏହା ଏକ ଅନ୍ତରାପୃଷ୍ଠରେ ଆଲୋକର ପ୍ରତିଫଳନ ଏବଂ ପ୍ରତିସରଣ ନିୟମଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରିଥିଲା। କଣିକା ମଡେଲ ଅନୁମାନ କରିଥିଲା ଯେ ଯଦି ଆଲୋକର ରଶ୍ମି (ପ୍ରତିସରଣରେ) ସାଧାରଣ ଆଡ଼କୁ ବଙ୍କା ହୁଏ, ତେବେ ଦ୍ୱିତୀୟ ମାଧ୍ୟମରେ ଆଲୋକର ଗତି ଅଧିକ ହେବ। ଆଲୋକର ଏହି କଣିକା ମଡେଲକୁ ଆଇଜାକ୍ ନିଉଟନ୍ ତାଙ୍କର ପ୍ରସିଦ୍ଧ ବହି “ଅପ୍ଟିକ୍ସ"ରେ ଆହୁରି ବିକଶିତ କରିଥିଲେ ଏବଂ ଏହି ବହିର ବିପୁଳ ଲୋକପ୍ରିୟତା ହେତୁ, କଣିକା ମଡେଲ ଅଧିକାଂଶ ସମୟରେ ନିଉଟନ୍ଙ୍କୁ ଆରୋପିତ ହୁଏ।

1678 ମସିହାରେ, ଡଚ୍ ଭୌତିକବିତ୍ କ୍ରିଷ୍ଟିଆନ୍ ହାଇଜେନ୍ସ୍ ଆଲୋକର ତରଙ୍ଗ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଉପସ୍ଥାପନ କରିଥିଲେ - ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ଆମେ ଆଲୋକର ଏହି ତରଙ୍ଗ ମଡେଲ ଆଲୋଚନା କରିବା। ଯେପରି ଆମେ ଦେଖିବୁ, ତରଙ୍ଗ ମଡେଲ ପ୍ରତିଫଳନ ଏବଂ ପ୍ରତିସରଣ ପରିଘଟନାକୁ ସନ୍ତୋଷଜନକ ଭାବରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରିପାରିଥାନ୍ତା; ତଥାପି, ଏହା ଅନୁମାନ କରିଥିଲା ଯେ ପ୍ରତିସରଣରେ ଯଦି ତରଙ୍ଗ ସାଧାରଣ ଆଡ଼କୁ ବଙ୍କା ହୁଏ, ତେବେ ଦ୍ୱିତୀୟ ମାଧ୍ୟମରେ ଆଲୋକର ଗତି କମ୍ ହେବ। ଏହା ଆଲୋକର କଣିକା ମଡେଲ ବ୍ୟବହାର କରି କରାଯାଇଥିବା ଅନୁମାନ ସହିତ ବିରୋଧାଭାସ ପ୍ରଦର୍ଶନ କରେ। ପରବର୍ତ୍ତୀ ସମୟରେ ପରୀକ୍ଷଣଦ୍ୱାରା ଏହା ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ପ୍ରମାଣିତ ହୋଇଥିଲା ଯେଉଁଥିରେ ଦେଖାଯାଇଥିଲା ଯେ ଜଳରେ ଆଲୋକର ଗତି ବାୟୁରେ ଥିବା ଗତି ଅପେକ୍ଷା କମ୍, ଯାହା ତରଙ୍ଗ ମଡେଲର ଅନୁମାନକୁ ନିଶ୍ଚିତ କରେ; ଫୋକୋ 1850 ମସିହାରେ ଏହି ପରୀକ୍ଷଣ କରିଥିଲେ।

ତରଙ୍ଗ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ସହଜରେ ଗ୍ରହଣ କରାଯାଇନଥିଲା ମୁଖ୍ୟତଃ ନିଉଟନ୍ଙ୍କ ପ୍ରାଧାନ୍ୟ ଏବଂ ଏହା ମଧ୍ୟ କାରଣ ଯେ ଆଲୋକ ଶୂନ୍ୟାବକାଶ ମାଧ୍ୟମରେ ଗତି କରିପାରେ ଏବଂ ଏହା ଅନୁଭବ କରାଯାଇଥିଲା ଯେ ଏକ ତରଙ୍ଗ ସର୍ବଦା ଗୋଟିଏ ବିନ୍ଦୁରୁ ଅନ୍ୟ ବିନ୍ଦୁକୁ ସଞ୍ଚାରିତ ହେବା ପାଇଁ ଏକ ମାଧ୍ୟମ ଆବଶ୍ୟକ କରେ। ତଥାପି, ଯେତେବେଳେ ଥୋମାସ୍ ୟଙ୍ଗ 1801 ମସିହାରେ ତାଙ୍କର ପ୍ରସିଦ୍ଧ ବାଧା ପରୀକ୍ଷଣ କରିଥିଲେ, ସେତେବେଳେ ଦୃଢ଼ ଭାବରେ ସ୍ଥାପିତ ହୋଇଥିଲା ଯେ ଆଲୋକ ପ୍ରକୃତରେ ଏକ ତରଙ୍ଗ ପରିଘଟନା। ଦୃଶ୍ୟମାନ ଆଲୋକର ତରଙ୍ଗଦୈର୍ଘ୍ୟ ମାପ କରାଯାଇଥିଲା ଏବଂ ଅତ୍ୟନ୍ତ ଛୋଟ ବୋଲି ଜଣାପଡ଼ିଥିଲା; ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ହଳଦିଆ ଆଲୋକର ତରଙ୍ଗଦୈର୍ଘ୍ୟ ପ୍ରାୟ $0.6 \mu \mathrm{m}$। ଦୃଶ୍ୟମାନ ଆଲୋକର ତରଙ୍ଗଦୈର୍ଘ୍ୟର କ୍ଷୁଦ୍ରତା ହେତୁ (ସାଧାରଣ ଦର୍ପଣ ଏବଂ ଲେନ୍ସର ମାପ ତୁଳନାରେ), ଆଲୋକ ପ୍ରାୟ ସିଧା ରେଖାରେ ଗତି କରୁଥିବା ବୋଲି ଧାରା କରାଯାଇପାରେ। ଏହା ହେଉଛି ଜ୍ୟାମିତିକ ପ୍ରକାଶିକାର କ୍ଷେତ୍ର, ଯାହା ଆମେ ପୂର୍ବ ଅଧ୍ୟାୟରେ ଆଲୋଚନା କରିଥିଲୁ। ପ୍ରକୃତରେ, ପ୍ରକାଶିକାର ସେହି ଶାଖା ଯେଉଁଥିରେ ତରଙ୍ଗଦୈର୍ଘ୍ୟର ସୀମିତତାକୁ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ରୂପେ ଅବହେଳା କରାଯାଏ, ତାହାକୁ ଜ୍ୟାମିତିକ ପ୍ରକାଶିକା କୁହାଯାଏ ଏବଂ ଏକ ରଶ୍ମିକୁ ଶକ୍ତି ସଞ୍ଚାରଣର ପଥ ଭାବରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଏ ଯେତେବେଳେ ତରଙ୍ଗଦୈର୍ଘ୍ୟ ଶୂନ୍ୟ ଆଡ଼କୁ ଯାଉଥାଏ।

1801 ମସିହାରେ ୟଙ୍ଗଙ୍କ ବାଧା ପରୀକ୍ଷଣ ପରେ, ପରବର୍ତ୍ତୀ 40 ବର୍ଷ ଧରି, ଆଲୋକ ତରଙ୍ଗର ବାଧା ଏବଂ ବିଚ୍ଛୁରଣ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଅନେକ ପରୀକ୍ଷଣ କରାଯାଇଥିଲା; ଏହି ପରୀକ୍ଷଣଗୁଡ଼ିକୁ କେବଳ ଆଲୋକର ଏକ ତରଙ୍ଗ ମଡେଲ ଧାରଣା କରି ସନ୍ତୋଷଜନକ ଭାବରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇପାରିଥିଲା। ଏହିପରି, ଊନବିଂଶ ଶତାବ୍ଦୀର ମଧ୍ୟଭାଗ ଆଡ଼କୁ, ତରଙ୍ଗ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ବହୁତ ଭଲ ଭାବରେ ସ୍ଥାପିତ ହୋଇଥିବା ପରି ଜଣାପଡ଼ୁଥିଲା। ଏକମାତ୍ର ପ୍ରମୁଖ ସମସ୍ୟା ଥିଲା ଯେ ଯେହେତୁ ଏହା ଚିନ୍ତା କରାଯାଉଥିଲା ଯେ ଏକ ତରଙ୍ଗ ତାହାର ସଞ୍ଚାରଣ ପାଇଁ ଏକ ମାଧ୍ୟମ ଆବଶ୍ୟକ କରେ, ଆଲୋକ ତରଙ୍ଗ କିପରି ଶୂନ୍ୟାବକାଶ ମାଧ୍ୟମରେ ସଞ୍ଚାରିତ ହୋଇପାରିବ। ମ୍ୟାକ୍ସବେଲ୍ ଆଲୋକର ତାଙ୍କର ପ୍ରସିଦ୍ଧ ବିଦ୍ୟୁତ୍-ଚୁମ୍ବକୀୟ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଉପସ୍ଥାପନା କଲାବେଳେ ଏହା ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇଥିଲା। ମ୍ୟାକ୍ସବେଲ୍ ବିଦ୍ୟୁତ୍ ଏବଂ ଚୁମ୍ବକତ୍ୱର ନିୟମ ବର୍ଣ୍ଣନା କରୁଥିବା ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକର ଏକ ସେଟ୍ ବିକଶିତ କରିଥିଲେ ଏବଂ ଏହି ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟବହାର କରି ସେ ତରଙ୍ଗ ସମୀକରଣ ବ୍ୟୁତ୍ପନ୍ନ କରିଥିଲେ ଯାହାକୁ ତରଙ୍ଗ ସମୀକରଣ କୁହାଯାଏ ଯେଉଁଥିରୁ ସେ ବିଦ୍ୟୁତ୍-ଚୁମ୍ବକୀୟ ତରଙ୍ଗର ଅସ୍ତିତ୍ୱ ଅନୁମାନ କରିଥିଲେ*। ତରଙ୍ଗ ସମୀକରଣରୁ, ମ୍ୟାକ୍ସବେଲ୍ ମୁକ୍ତ ଅବକାଶରେ ବିଦ୍ୟୁତ୍-ଚୁମ୍ବକୀୟ ତରଙ୍ଗର ଗତି ଗଣନା କରିପାରିଥିଲେ ଏବଂ ସେ ଦେଖିଲେ ଯେ ତାତ୍ତ୍ୱିକ ମୂଲ୍ୟ ଆଲୋକର ଗତିର ମାପିତ ମୂଲ୍ୟ ସହିତ ବହୁତ ନିକଟତର ଥିଲା। ଏଥିରୁ, ସେ ପ୍ରତିପାଦନ କରିଥିଲେ ଯେ ଆଲୋକ ଏକ ବିଦ୍ୟୁତ୍-ଚୁମ୍ବକୀୟ ତରଙ୍ଗ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ। ଏହିପରି, ମ୍ୟାକ୍ସବେଲ୍ଙ୍କ ଅନୁଯାୟୀ, ଆଲୋକ ତରଙ୍ଗ ପରିବର୍ତ୍ତନଶୀଳ ବିଦ୍ୟୁତ୍ ଏବଂ ଚୁମ୍ବକୀୟ କ୍ଷେତ୍ର ସହିତ ସମ୍ବନ୍ଧିତ; ପରିବର୍ତ୍ତନଶୀଳ ବିଦ୍ୟୁତ୍ କ୍ଷେତ୍ର ଏକ ସମୟ ଏବଂ ସ୍ଥାନ ପରିବର୍ତ୍ତନଶୀଳ ଚୁମ୍ବକୀୟ କ୍ଷେତ୍ର ସୃଷ୍ଟି କରେ ଏବଂ ଏକ ପରିବର୍ତ୍ତନଶୀଳ ଚୁମ୍ବକୀୟ କ୍ଷେତ୍ର ଏକ ସମୟ ଏବଂ ସ୍ଥାନ ପରିବର୍ତ୍ତନଶୀଳ ବିଦ୍ୟୁତ୍ କ୍ଷେତ୍ର ସୃଷ୍ଟି କରେ। ପରିବର୍ତ୍ତନଶୀଳ ବିଦ୍ୟୁତ୍ ଏବଂ ଚୁମ୍ବକୀୟ କ୍ଷେତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ବିଦ୍ୟୁତ୍-ଚୁମ୍ବକୀୟ ତରଙ୍ଗ (କିମ୍ବା ଆଲୋକ ତରଙ୍ଗ) ସଞ୍ଚାରଣରେ ଫଳପ୍ରଦ ହୁଏ, ଶୂନ୍ୟାବକାଶରେ ମଧ୍ୟ।

ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ଆମେ ପ୍ରଥମେ ହାଇଜେନ୍ସ୍ ସୂତ୍ରର ମୂଳ ରୂପାନ୍ତର ଆଲୋଚନା କରିବା ଏବଂ ପ୍ରତିଫଳନ ଏବଂ ପ୍ରତିସରଣ ନିୟମ ବ୍ୟୁତ୍ପନ୍ନ କରିବା। ଅନୁଚ୍ଛେଦ 10.4 ଏବଂ 10.5ରେ, ଆମେ ବାଧା ପରିଘଟନା ଆଲୋଚନା କରିବା ଯାହା ଅଧିଶୋପନ ସୂତ୍ର ଉପରେ ଆଧାରିତ। ଅନୁଚ୍ଛେଦ 10.6ରେ ଆମେ ବିଚ୍ଛୁରଣ ପରିଘଟନା ଆଲୋଚନା କରିବା ଯାହା ହାଇଜେନ୍ସ୍-ଫ୍ରେସନେଲ୍ ସୂତ୍ର ଉପରେ ଆଧାରିତ। ଶେଷରେ ଅନୁଚ୍ଛେଦ 10.7ରେ ଆମେ ଧ୍ରୁବୀକରଣ ପରିଘଟନା ଆଲୋଚନା କରିବା ଯାହା ଏହି ତଥ୍ୟ ଉପରେ ଆଧାରିତ ଯେ ଆଲୋକ ତରଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ଅନୁପ୍ରସ୍ଥ ବିଦ୍ୟୁତ୍-ଚୁମ୍ବକୀୟ ତରଙ୍ଗ।

• ମ୍ୟାକ୍ସବେଲ୍ 1855 ଆଡ଼କୁ ବିଦ୍ୟୁତ୍-ଚୁମ୍ବକୀୟ ତରଙ୍ଗର ଅସ୍ତିତ୍ୱ ଅନୁମାନ କରିଥିଲେ; ଏହା ବହୁତ ପରେ (1890 ଆଡ଼କୁ) ହେନ୍ରିକ୍ ହର୍ଟ୍ଜ୍ ପ୍ରୟୋଗଶାଳାରେ ରେଡିଓ ତରଙ୍ଗ ସୃଷ୍ଟି କରିଥିଲେ। ଜେ.ସି. ବୋଷ ଏବଂ ଜି. ମାର୍କୋନି ହର୍ଟ୍ଜିଆନ୍ ତରଙ୍ଗର ବ୍ୟବହାରିକ ପ୍ରୟୋଗ କରିଥିଲେ।

10.2 ହାଇଜେନ୍ସ୍ ସୂତ୍ର

ଆମେ ପ୍ରଥମେ ଏକ ତରଙ୍ଗାଗ୍ରକୁ ସଂଜ୍ଞାୟିତ କରିବୁ: ଯେତେବେଳେ ଆମେ ଜଳର ଏକ ଶାନ୍ତ ପୋଖରୀରେ ଏକ ଛୋଟ ପଥର ପକାଇଥାଉ, ପ୍ରଭାବ ବିନ୍ଦୁରୁ ତରଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ବିସ୍ତାରିତ ହୁଏ। ପୃଷ୍ଠର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁ ସମୟ ସହିତ ଦୋଳନ ଆରମ୍ଭ କରେ। ଯେକୌଣସି କ୍ଷଣରେ, ପୃଷ୍ଠର ଏକ ଫଟୋଗ୍ରାଫ୍ ବୃତ୍ତାକାର ରିଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକୁ ଦେଖାଇବ ଯେଉଁଥିରେ ବିଘ୍ନଟି ସର୍ବାଧିକ। ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବରେ, ଏହିପରି ଏକ ବୃତ୍ତ ଉପରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁ ସମାନ ଦଶାରେ ଦୋଳନ କରୁଛନ୍ତି କାରଣ ସେମାନେ ଉତ୍ସରୁ ସମାନ ଦୂରତାରେ ଅଛନ୍ତି। ଏହିପରି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକର ସ୍ଥାନ, ଯାହା ସମାନ ଦଶାରେ ଦୋଳନ କରେ, ତାହାକୁ ତରଙ୍ଗାଗ୍ର କୁହାଯାଏ; ଏହିପରି ଏକ ତରଙ୍ଗାଗ୍ରକୁ ସ୍ଥିର ଦଶାର ଏକ ପୃଷ୍ଠ ଭାବରେ ସଂଜ୍ଞାୟିତ କରାଯାଏ। ତରଙ୍ଗାଗ୍ର ଉତ୍ସରୁ ବାହାରକୁ ଗତି କରୁଥିବା ଗତିକୁ ତରଙ୍ଗର ଗତି କୁହାଯାଏ। ତରଙ୍ଗର ଶକ୍ତି ତରଙ୍ଗାଗ୍ର ସହିତ ଲମ୍ବ ଦିଗରେ ଗତି କରେ।

ଚିତ୍ର 10.1 (କ) ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଉତ୍ସରୁ ବାହାରୁଥିବା ଏକ ଅପସାରୀ ଗୋଲାକାର ତରଙ୍ଗ। ତରଙ୍ଗାଗ୍ରଗୁଡ଼ିକ ଗୋଲାକାର।

ଚିତ୍ର 10.1 (ଖ) ଉତ୍ସରୁ ଏକ ବଡ଼ ଦୂରତାରେ, ଗୋଲାକାର ତରଙ୍ଗର ଏକ ଛୋଟ ଅଂଶକୁ ଏକ ସମତଳ ତରଙ୍ଗ ଦ୍ୱାରା ଆନୁମାନିକ କରାଯାଇପାରେ।

ଯଦି ଆମର ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଉତ୍ସ ଅଛି ଯାହା ସମସ୍ତ ଦିଗରେ ସମାନ ଭାବରେ ତରଙ୍ଗ ଉତ୍ସର୍ଜନ କରୁଛି, ତେବେ ସେହି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକର ସ୍ଥାନ ଯାହାର ସମାନ ଆୟାମ ଏବଂ ସମାନ ଦଶାରେ କମ୍ପନ କରୁଛନ୍ତି, ସେଗୁଡ଼ିକ ଗୋଲକ ଅଟନ୍ତି ଏବଂ ଆମର ଗୋଲାକାର ତରଙ୍ଗ ନାମରେ ଜଣାଶୁଣା ଅଛି ଯାହା ଚିତ୍ର 10.1(କ)ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି। ଉତ୍ସରୁ ଏକ ବଡ଼ ଦୂରତାରେ, ଗୋଲକର ଏକ ଛୋଟ ଅଂଶକୁ ଏକ ସମତଳ ଭାବରେ ବିବେଚନା କରାଯାଇପାରେ ଏବଂ ଆମର ସମତଳ ତରଙ୍ଗ ନାମରେ ଜଣାଶୁଣା ଅଛି [ଚିତ୍ର 10.1(ଖ)]।

ବର୍ତ୍ତମାନ, ଯଦି ଆମେ $t=0$ ସମୟରେ ତରଙ୍ଗାଗ୍ରର ଆକୃତି ଜାଣିଥାଉ, ତେବେ ହାଇଜେନ୍ସ୍ ସୂତ୍ର ଆମକୁ ପରବର୍ତ୍ତୀ ସମୟ $\tau$ରେ ତରଙ୍ଗାଗ୍ରର ଆକୃତି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ ଅନୁମତି ଦିଏ। ଏହିପରି, ହାଇଜେନ୍ସ୍ ସୂତ୍ର ମୂଳତଃ ଏକ ଜ୍ୟାମିତିକ ନିର୍ମାଣ, ଯାହା ଯେକୌଣସି ସମୟରେ ତରଙ୍ଗାଗ୍ରର ଆକୃତି ଦେଲେ ଆମକୁ ପରବର୍ତ୍ତୀ ସମୟରେ ତରଙ୍ଗାଗ୍ରର ଆକୃତି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ ଅନୁମତି ଦିଏ। ଆସନ୍ତୁ ଆମେ ଏକ ଅପସାରୀ ତରଙ୍ଗ ବିବେଚନା କରିବା ଏବଂ $\mathrm{F_1} \mathrm{~F_2}$ କୁ $t=0$ ସମୟରେ ଗୋଲାକାର ତରଙ୍ଗାଗ୍ରର ଏକ ଅଂଶ ଭାବରେ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିବା (ଚିତ୍ର 10.2)। ବର୍ତ୍ତମାନ, ହାଇଜେନ୍ସ୍ ସୂତ୍ର ଅନୁଯାୟୀ, ତରଙ୍ଗାଗ୍ରର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁ ଏକ ଦ୍ୱିତୀୟକ ବିଘ୍ନର ଉତ୍ସ ଏବଂ ଏହି ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକରୁ ବାହାରୁଥିବା ଛୋଟ ତରଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ସମସ୍ତ ଦିଗରେ ତରଙ୍ଗର ଗତି ସହିତ ବିସ୍ତାରିତ ହୁଏ। ତରଙ୍ଗାଗ୍ରରୁ ବାହାରୁଥିବା ଏହି ଛୋଟ ତରଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକୁ ସାଧାରଣତଃ ଦ୍ୱିତୀୟକ ଛୋଟ ତରଙ୍ଗ ଭାବରେ ଉଲ୍ଲେଖ କରାଯାଏ ଏବଂ ଯଦି ଆମେ ଏହି ସମସ୍ତ ଗୋଲକକୁ ଏକ ସାଧାରଣ ସ୍ପର୍ଶକ ଅଙ୍କନ କରୁ, ଆମେ ପରବର୍ତ୍ତୀ ସମୟରେ ତରଙ୍ଗାଗ୍ରର ନୂତନ ସ୍ଥିତି ପାଇଥାଉ।

ଚିତ୍ର 10.2 $\mathrm{F_1} \mathrm{~F_2}$ $t=0$ ସମୟରେ ଗୋଲାକାର ତରଙ୍ଗାଗ୍ରକୁ ($\mathrm{O}$ କେନ୍ଦ୍ର ସହିତ) ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ। $F_{1} F_{2}$ରୁ ବାହାରୁଥିବା ଦ୍ୱିତୀୟକ ଛୋଟ ତରଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକର ଆବରଣ ଆଗକୁ ଗତି କରୁଥିବା ତରଙ୍ଗାଗ୍ର $G_{1} G_{2}$ ଉତ୍ପନ୍ନ କରେ। ପଛ ତରଙ୍ଗ $\mathrm{D_1} \mathrm{D_2}$ ବିଦ୍ୟମାନ ନାହିଁ।

ଏହିପରି, ଯଦି ଆମେ $t=\tau$ ସମୟରେ ତରଙ୍ଗାଗ୍ରର ଆକୃତି ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ ଚାହୁଁ, ଆମେ ଗୋଲାକାର ତରଙ୍ଗାଗ୍ରର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁରୁ $v \tau$ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଗୋଲକ ଅଙ୍କନ କରୁ, ଯେଉଁଠାରେ $v$ ମାଧ୍ୟମରେ ତରଙ୍ଗର ଗତିକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ। ଯଦି ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ ଏହି ସମସ୍ତ ଗୋଲକକୁ ଏକ ସାଧାରଣ ସ୍ପର୍ଶକ ଅଙ୍କନ କରୁ, ଆମେ $t=\tau$ ସମୟରେ ତରଙ୍ଗାଗ୍ରର ନୂତନ ସ୍ଥିତି ପାଇଥାଉ। ଚିତ୍ର 10.2ରେ $\mathrm{G_1} \mathrm{G_2}$ ଭାବରେ ଦର୍ଶାଯାଇଥିବା ନୂତନ ତରଙ୍ଗାଗ୍ର ପୁନର୍ବାର ଗୋଲାକାର ଅଟେ ଯାହାର କେନ୍ଦ୍ର ବିନ୍ଦୁ $\mathrm{O}$।

ଚିତ୍ର 10.3 ଡାହାଣକୁ ସଞ୍ଚାରିତ ହେଉଥିବା ଏକ ସମତଳ ତରଙ୍ଗ ପାଇଁ ହାଇଜେନ୍ସ୍ଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତିକ ନିର୍ମାଣ। $\mathrm{F_1} \mathrm{~F_2}$ ହେଉଛି $t=0$ ସମୟରେ ସମତଳ ତରଙ୍ଗାଗ୍ର ଏବଂ $\mathrm{G_1} \mathrm{G_2}$ ହେଉଛି ପରବର୍ତ୍ତୀ ସମୟ $\tau$ରେ ତରଙ୍ଗାଗ୍ର। ରେଖାଗୁଡ଼ିକ $\mathrm{A_1} \mathrm{~A_2}$, $\mathrm{B_1} \mathrm{~B_2} \ldots$ ଇତ୍ୟାଦି, $\mathrm{F_1} \mathrm{~F_2}$ ଏବଂ $\mathrm{G_1} \mathrm{G_2}$ ଉଭୟଙ୍କ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଏବଂ ରଶ୍ମିକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ।

ଉପରୋକ୍ତ ମଡେଲର ଗୋଟିଏ ତ୍ରୁଟି ଅଛି: ଆମର ଏକ ପଛ ତରଙ୍ଗ ମଧ୍ୟ ଅଛି ଯାହା ଚ