ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ#

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ହେଉଛି ଏକ ପ୍ରଯୁକ୍ତି ଯାହା ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଏବଂ ସାଂଖ୍ୟିକିରେ ଘଟଣାଗୁଡ଼ିକର ସମ୍ଭାବ୍ୟତାକୁ ସଂଶୋଧନ କରିବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ ଯାହା ଏହି କାରଣକୁ ଧ୍ୟାନରେ ରଖେ ଯେ କେତେକ ଘଟଣା ଅନ୍ୟମାନଙ୍କ ଅପେକ୍ଷା ଅଧିକ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ହୋଇପାରେ। ଏହାର ନାମକରଣ ଫରାସୀ ଗଣିତଜ୍ଞ ପିଏର-ସିମୋନ ଲାପ୍ଲାସଙ୍କ ନାମରେ କରାଯାଇଛି, ଯିଏ ପ୍ରଥମେ ୧୮ଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ ଏହି ଧାରଣାକୁ ପ୍ରସ୍ତାବ ଦେଇଥିଲେ।

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ସୂତ୍ର#

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ସୂତ୍ର ହେଉଛି ଏକ ପଦ୍ଧତି ଯାହା ଏକ ଘଟଣାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଆକଳନ ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ ଯେତେବେଳେ ନମୁନା ଆକାର ଛୋଟ ଥାଏ। ଏହାର ନାମକରଣ ଫରାସୀ ଗଣିତଜ୍ଞ ପିଏର-ସିମୋନ ଲାପ୍ଲାସଙ୍କ ନାମରେ କରାଯାଇଛି, ଯିଏ ପ୍ରଥମେ ୧୮ଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ ଏହାକୁ ପ୍ରସ୍ତାବ ଦେଇଥିଲେ।

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ସୂତ୍ରଟି ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି:

$$P(X = x) = \frac{x + 1}{n + 1}$$

ଯେଉଁଠାରେ:

$P(X = x)$ ହେଉଛି ଯାଦୃଚ୍ଛିକ ଚଳ $X$ ର ମୂଲ୍ୟ $x$ ନେବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା

• $x$ ହେଉଛି ନମୁନାରେ ଘଟଣା $X$ ଘଟିଥିବା ସଂଖ୍ୟା
• $n$ ହେଉଛି ନମୁନା ଆକାର

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ସୂତ୍ର କିପରି ବ୍ୟବହାର କରିବେ#

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପାଇଁ, କେବଳ $x$ ଏବଂ $n$ ର ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ସୂତ୍ରରେ ପ୍ରୟୋଗ କରି ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଗଣନା କରନ୍ତୁ।

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଧରାଯାଉ ଆପଣ ଏକ ଟଙ୍କା ଉଠାଇବା ସମୟରେ ମୁଣ୍ଡ ପାଇବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଆକଳନ କରିବାକୁ ଆଗ୍ରହୀ। ଆପଣ ଟଙ୍କାଟିକୁ ୧୦ ଥର ଉଠାନ୍ତି ଏବଂ ୫ଟି ମୁଣ୍ଡ ପାଆନ୍ତି। ଲାପ୍ଲାସ ସ୍ମୁଥିଙ୍ଗ ସୂତ୍ର ଆପଣଙ୍କୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଦେବ:

$$P(X = 5) = \frac{\binom{5}{5} \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^{10-5}}{\binom{10}{5}} = \frac{1 \cdot 0.5^{10}}{252} \approx 0.0009766$$

ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ଯେ ଏକ ଟଙ୍କା ଉଠାଇବା ସମୟରେ ମୁଣ୍ଡ ପାଇବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ୦.୫, କିମ୍ବା ୫୦% ବୋଲି ଆକଳନ କରାଯାଇଛି।

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନର ସୁବିଧା ଏବଂ ଅସୁବିଧା#

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ସୂତ୍ର ହେଉଛି ଏକ ସରଳ ଏବଂ ସହଜରେ ବ୍ୟବହାର ଯୋଗ୍ୟ ଏକ ପଦ୍ଧତି ଯେତେବେଳେ ନମୁନା ଆକାର ଛୋଟ ଥାଏ ସେତେବେଳେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଆକଳନ ପାଇଁ। ତଥାପି, ଏହାର କେତେକ ସୀମାବଦ୍ଧତା ରହିଛି।

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ସୂତ୍ରର ଏକ ସୀମାବଦ୍ଧତା ହେଉଛି ଯେ ଏହାକୁ କେବଳ ସେହି ଘଟଣାଗୁଡ଼ିକର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଆକଳନ ପାଇଁ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇପାରିବ ଯାହା ଏକ ସୀମିତ ସଂଖ୍ୟକ ଥର ଘଟିପାରେ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଆପଣ ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ସୂତ୍ରକୁ ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି ୧୦୦ ବର୍ଷ ବଞ୍ଚିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଆକଳନ ପାଇଁ ବ୍ୟବହାର କରିପାରିବେ ନାହିଁ, କାରଣ ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତି କେତେ ଦିନ ବଞ୍ଚିପାରିବେ ତାହାର କୌଣସି ସୀମା ନାହିଁ।

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ସୂତ୍ରର ଅନ୍ୟ ଏକ ସୀମାବଦ୍ଧତା ହେଉଛି ଯେ ଯେତେବେଳେ ନମୁନା ଆକାର ବହୁତ ଛୋଟ ଥାଏ ସେତେବେଳେ ଏହା ଅସଠିକ ହୋଇପାରେ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଯଦି ଆପଣ କେବଳ ଦୁଇଥର ଟଙ୍କା ଉଠାନ୍ତି ଏବଂ ଦୁଇଟି ମୁଣ୍ଡ ପାଆନ୍ତି, ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ସୂତ୍ର ଆପଣଙ୍କୁ ୧, କିମ୍ବା ୧୦୦% ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଦେବ, ଯାହା ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବରେ ସଠିକ୍ ନୁହେଁ।

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ସୂତ୍ର ହେଉଛି ଏକ ଉପଯୋଗୀ ସାଧନ ଯେତେବେଳେ ନମୁନା ଆକାର ଛୋଟ ଥାଏ ସେତେବେଳେ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଆକଳନ ପାଇଁ। ତଥାପି, ଏହାକୁ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପୂର୍ବରୁ ଏହାର ସୀମାବଦ୍ଧତାଗୁଡ଼ିକ ବିଷୟରେ ସଚେତନ ହେବା ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ।

ନିଉଟନ୍ଙ୍କ ସୂତ୍ର ପାଇଁ ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନର ଉତ୍ପାଦନ#

ପରିଚୟ

ଏକ ବହୁପଦୀୟ ସମୀକରଣର ମୂଳଗୁଡ଼ିକୁ ଆସନ୍ନ କରିବା ପାଇଁ ନିଉଟନ୍ଙ୍କ ପଦ୍ଧତି ସାଂଖ୍ୟିକ ବିଶ୍ଳେଷଣରେ ଏକ ଶକ୍ତିଶାଳୀ ସାଧନ। ତଥାପି, ଯେତେବେଳେ ମୂଳଗୁଡ଼ିକ ପରସ୍ପର ନିକଟରେ ଥାଆନ୍ତି ସେତେବେଳେ ଏହା ଅସଠିକ ହୋଇପାରେ। ନିଉଟନ-ରାଫସନ ପଦ୍ଧତି ହେଉଛି ନିଉଟନ୍ଙ୍କ ପଦ୍ଧତିର ଏକ ପରିବର୍ତ୍ତନ ଯାହା ଏହି କ୍ଷେତ୍ରଗୁଡ଼ିକରେ ଏହାର ସଠିକତାକୁ ଉନ୍ନତ କରେ।

ନିଉଟନ୍ଙ୍କ ସୂତ୍ର

ଏକ ବହୁପଦୀୟ ସମୀକରଣ $$p(x) = 0$$ ର ମୂଳଗୁଡ଼ିକୁ ଆସନ୍ନ କରିବା ପାଇଁ ନିଉଟନ୍ଙ୍କ ସୂତ୍ର ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)}$$

ଯେଉଁଠାରେ $x_n$ ହେଉଛି ମୂଳର n-ତମ ଆସନ୍ନ ଏବଂ $p’(x)$ ହେଉଛି $p(x)$ ର ଅବକଳନ।

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ

ନିଉଟନ୍ଙ୍କ ସୂତ୍ରରେ ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)} \left( 1 - \frac{p(x_n)p’’(x_n)}{2p’(x_n)^2} \right)$$

ଯେଉଁଠାରେ $p’’(x)$ ହେଉଛି $p(x)$ ର ଦ୍ୱିତୀୟ ଅବକଳନ।

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନର ଉତ୍ପାଦନ

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନକୁ ମୂଳ $x=r$ ଚାରିପାଖରେ $p(x)$ ର ଏକ ଟେଲର ଶ୍ରେଣୀ ବିସ୍ତାର ବ୍ୟବହାର କରି ଉତ୍ପାଦନ କରାଯାଇପାରିବ। ଆମ ପାଖରେ ଅଛି:

$$p(x) = p(r) + p’(r)(x - r) + \frac{p’’(r)}{2!}(x - r)^2 + \cdots$$

ଏହାକୁ ନିଉଟନ୍ଙ୍କ ସୂତ୍ରରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରି, ଆମେ ପାଇବା:

$$x_{n+1} = r - \frac{p(r) + p’(r)(x_n - r) + \frac{p’’(r)}{2!}(x_n - r)^2 + \cdots}{p’(r)}$$

ସରଳୀକରଣ କରି, ଆମେ ପାଇବା:

$$x_{n+1} = r - \left( x_n - r \right) - \frac{p’’(r)}{2p’(r)}(x_n - r)^2 + \cdots$$

ପୁନଃବିନ୍ୟାସ କରି, ଆମେ ପାଇବା:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)} \left( 1 - \frac{p’’(x_n)}{2p’(x_n)} (x_n - r) + \cdots \right)$$

ଯେହେତୁ $x_n$ ହେଉଛି ମୂଳ $r$ ର ଏକ ଆସନ୍ନ, ଆମେ ଧାରଣା କରିପାରିବା ଯେ $(x_n - r)$ ଛୋଟ। ତେଣୁ, ଆମେ ଟେଲର ଶ୍ରେଣୀ ବିସ୍ତାରରେ ଉଚ୍ଚତର କ୍ରମର ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଉପେକ୍ଷା କରିପାରିବା ଏବଂ ପାଇବା:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)} \left( 1 - \frac{p’’(x_n)}{2p’(x_n)^2} \right)$$

ଏହା ହେଉଛି ନିଉଟନ୍ଙ୍କ ସୂତ୍ରରେ ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ।

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ନିଉଟନ୍ଙ୍କ ସୂତ୍ରର ସଠିକତାକୁ ଉନ୍ନତ କରେ ଯେତେବେଳେ ଏକ ବହୁପଦୀୟ ସମୀକରଣର ମୂଳଗୁଡ଼ିକ ପରସ୍ପର ନିକଟରେ ଥାଆନ୍ତି। ଏହା ଏକ ସରଳ ପରିବର୍ତ୍ତନ ଯାହାକୁ ସାଂଖ୍ୟିକ ବିଶ୍ଳେଷଣ ସଫ୍ଟୱେରରେ ସହଜରେ କାର୍ଯ୍ୟକାରୀ କରାଯାଇପାରିବ।

ଧ୍ୱନିର ଗତି ପାଇଁ ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ#

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ହେଉଛି ଏକ ପଦ୍ଧତି ଯାହା ତାପୀୟ ପ୍ରସାରଣର ପ୍ରଭାବ ପାଇଁ ଏକ ଗ୍ୟାସରେ ଧ୍ୱନିର ଗତିକୁ ସଂଶୋଧନ କରିବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ। ଏହାର ନାମକରଣ ଫରାସୀ ଗଣିତଜ୍ଞ ପିଏର-ସିମୋନ ଲାପ୍ଲାସଙ୍କ ନାମରେ କରାଯାଇଛି, ଯିଏ ପ୍ରଥମେ ୧୮୧୬ ମସିହାରେ ଏହାକୁ ଉତ୍ପାଦନ କରିଥିଲେ।

ପୃଷ୍ଠଭୂମି#

ଏକ ତରଳରେ ଧ୍ୱନିର ଗତି ନିମ୍ନଲିଖିତ ସମୀକରଣ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି:

$$c = \sqrt{\frac{K}{\rho}}$$

ଯେଉଁଠାରେ:

• $c$ ହେଉଛି ମିଟର ପ୍ରତି ସେକେଣ୍ଡରେ (m/s) ଧ୍ୱନିର ଗତି
• $K$ ହେଉଛି ପାସ୍କାଲରେ (Pa) ତରଳର ବଲ୍କ ମଡ୍ୟୁଲସ
• $\rho$ ହେଉଛି କିଲୋଗ୍ରାମ ପ୍ରତି ଘନ ମିଟରରେ (kg/m³) ତରଳର ଘନତା

ବଲ୍କ ମଡ୍ୟୁଲସ ହେଉଛି ତରଳର ସଙ୍କୋଚନ ପ୍ରତି ପ୍ରତିରୋଧର ଏକ ମାପ। ଘନତା ହେଉଛି ପ୍ରତି ଏକକ ଆୟତନରେ ତରଳର ବସ୍ତୁତ୍ଵର ଏକ ମାପ।

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ#

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ଉପରୋକ୍ତ ସମୀକରଣକୁ ସଙ୍କୋଚନଶୀଳତା ଏବଂ ତାପୀୟ ପ୍ରସାରଣର ପ୍ରଭାବକୁ ଖାତିର କରିବା ପାଇଁ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରେ। ସଂଶୋଧିତ ସମୀକରଣ ହେଉଛି:

$$c = \sqrt{\frac{K}{\rho}\left(1 + \frac{4}{3}\frac{\mu}{\rho c}\right)}$$

ଯେଉଁଠାରେ:

$\mu$ ହେଉଛି ପାସ୍କାଲ-ସେକେଣ୍ଡରେ (Pa·s) ତରଳର ଗତିଶୀଳ ସାନ୍ଦ୍ରତା

ପଦ $\frac{4}{3}\frac{\mu}{\rho c}$ ହେଉଛି ସାନ୍ଦ୍ରତା ଏବଂ ତାପ ଚାଳନର ପ୍ରଭାବ ପାଇଁ ସଂଶୋଧନ। ଏହି ପଦଟି ସାଧାରଣତଃ ଛୋଟ, କିନ୍ତୁ ଏହା ଉଚ୍ଚ-ବେଗ ପ୍ରବାହ ପାଇଁ କିମ୍ବା ଯେଉଁ କ୍ଷେତ୍ରଗୁଡ଼ିକରେ ତାପୀୟ ଏବଂ ସାନ୍ଦ୍ର ପ୍ରଭାବ ଉପେକ୍ଷଣୀୟ ନୁହେଁ ସେହି କ୍ଷେତ୍ରଗୁଡ଼ିକରେ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ହୋଇପାରେ।

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ହେଉଛି ତରଳରେ ଧ୍ୱନିର ଗତିକୁ ବୁଝିବା ଏବଂ ପୂର୍ବାନୁମାନ କରିବା ପାଇଁ ଏକ ମୂଲ୍ୟବାନ ସାଧନ। ଏହା ଏକ ସରଳ ସଂଶୋଧନ ଯାହାକୁ ଧ୍ୱନିର ଗତି ପାଇଁ ମୌଳିକ ସମୀକରଣରେ ସହଜରେ ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଇପାରିବ।

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନର ପ୍ରୟୋଗ#

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ହେଉଛି ଏକ ପ୍ରଯୁକ୍ତି ଯାହା ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଏବଂ ସାଂଖ୍ୟିକିରେ ଘଟଣାଗୁଡ଼ିକର ସମ୍ଭାବ୍ୟତାକୁ ସଂଶୋଧନ କରିବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ ଯାହା ଏହି କାରଣକୁ ଧ୍ୟାନରେ ରଖେ ଯେ କେତେକ ଘଟଣା ଅନ୍ୟମାନଙ୍କ ଅପେକ୍ଷା ଅଧିକ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ହୋଇପାରେ। ଏହାର ନାମକରଣ ଫରାସୀ ଗଣିତଜ୍ଞ ପିଏର-ସିମୋନ ଲାପ୍ଲାସଙ୍କ ନାମରେ କରାଯାଇଛି, ଯିଏ ପ୍ରଥମେ ୧୮ଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ ଏହି ଧାରଣାକୁ ପ୍ରସ୍ତାବ ଦେଇଥିଲେ।

ଲାପ୍ଲାସଙ୍କ ସକ୍ସେସନ ନିୟମ#

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନର ସବୁଠାରୁ ସାଧାରଣ ପ୍ରୟୋଗଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ହେଉଛି ଲାପ୍ଲାସଙ୍କ ସକ୍ସେସନ ନିୟମର ପ୍ରସଙ୍ଗରେ। ଏହି ନିୟମ କହେ ଯେ ଭବିଷ୍ୟତରେ ଏକ ଘଟଣା ଘଟିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଅତୀତରେ ଘଟଣାଟି ଯେତେଥର ଘଟିଛି ତାହାର ସଂଖ୍ୟା, ମୋଟ ପରୀକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ଲସ୍ ଏକ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ ହୋଇଥାଏ।

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଯଦି ଏକ ଟଙ୍କା ୧୦ ଥର ଉଠାଯାଇଛି ଏବଂ ୫ ଥର ମୁଣ୍ଡ ଆସିଛି, ତେବେ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଉଠାଣରେ ଟଙ୍କା ମୁଣ୍ଡ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ତଥାପି ୦.୫ ଅଟେ।

ଛୋଟ ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଆକଳନ ପାଇଁ ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ#

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ବିଶେଷ ଭାବରେ ଉପଯୋଗୀ ଯେତେବେଳେ ନମୁନା ଆକାର ଛୋଟ ଥାଏ। ଏହା ଏହି କାରଣରୁ ଯେ ସକ୍ସେସନ ନିୟମ ପ୍ରତାରଣାକାରୀ ହୋଇପାରେ ଯେତେବେଳେ ନମୁନା ଆକାର ଛୋଟ ଥାଏ, କାରଣ ଏହା ଏହି କାରଣକୁ ଧ୍ୟାନରେ ରାଖେ ନାହିଁ ଯେ କେତେକ ଘଟଣା ଅନ୍ୟମାନଙ୍କ ଅପେକ୍ଷା ଅଧିକ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ହୋଇପାରେ।

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଯଦି ଏକ ଟଙ୍କା କେବଳ ଦୁଇଥର ଉଠାଯାଇଛି ଏବଂ ଉଭୟ ଥର ମୁଣ୍ଡ ଆସିଛି, ତେବେ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଉଠାଣରେ ଟଙ୍କା ମୁଣ୍ଡ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ୨/୨ = ୧ ନୁହେଁ। ତଥାପି, ଏହି ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ସଠିକ୍ ନୁହେଁ, କାରଣ ଏହା ଏହି କାରଣକୁ ଧ୍ୟାନରେ ରାଖେ ନାହିଁ ଯେ ଟଙ୍କା କାଟ ଆସିବା ସମାନ ସମ୍ଭାବ୍ୟ।

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ଅତୀତରେ ଘଟଣାଟି ଘଟିଥିବା ସଂଖ୍ୟାରେ ୧ ଯୋଗ କରି ଏବଂ ମୋଟ ପରୀକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟାରେ ୧ ଯୋଗ କରି ଭବିଷ୍ୟତରେ ଏକ ଘଟଣା ଘଟିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତାକୁ ସଂଶୋଧନ କରେ। ଏହି ସଂଶୋଧନ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାକୁ ଅଧିକ ସଠିକ୍ କରେ, କାରଣ ଏହା ଏହି କାରଣକୁ ଧ୍ୟାନରେ ରାଖେ ଯେ କେତେକ ଘଟଣା ଅନ୍ୟମାନଙ୍କ ଅପେକ୍ଷା ଅଧିକ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ହୋଇପାରେ।

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଯଦି ଏକ ଟଙ୍କା ଦୁଇଥର ଉଠାଯାଇଛି ଏବଂ ଉଭୟ ଥର ମୁଣ୍ଡ ଆସିଛି, ତେବେ ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଉଠାଣରେ ଟଙ୍କା ମୁଣ୍ଡ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବ୍ୟତାକୁ (୨ + ୧)/(୨ + ୨) = ୩/୪ କୁ ସଂଶୋଧନ କରିବ। ଏହି ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ୧ ର ସମ୍ଭାବ୍ୟତା ଅପେକ୍ଷା ଅଧିକ ସଠିକ୍, କାରଣ ଏହା ଏହି କାରଣକୁ ଧ୍ୟାନରେ ରାଖେ ଯେ ଟଙ୍କାଟି ଅବଶ୍ୟ ନ୍ୟାୟ୍ୟ ନୁହେଁ।

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନର ଅନ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗଗୁଡ଼ିକ#

ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ଅନ୍ୟ ପ୍ରୟୋଗଗୁଡ଼ିକରେ ମଧ୍ୟ ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇପାରେ, ଯେପରିକି:

• ବେଇଜିଆନ ସାଂଖ୍ୟିକି: ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ବେଇଜିଆନ ସାଂଖ୍ୟିକିରେ ଘଟଣାଗୁଡ଼ିକର ପୂର୍ବ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାକୁ ସଂଶୋଧନ କରିବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇପାରେ। ଯେତେବେଳେ ପୂର୍ବ ସମ୍ଭାବ୍ୟତାଗୁଡ଼ିକ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ଜଣା ନଥାଏ ସେତେବେଳେ ଏହା ଉପଯୋଗୀ ହୋଇପାରେ।
• ମେସିନ ଲର୍ଣ୍ଣିଂ: ଲାପ୍ଲାସ ସଂଶୋଧନ ମେସିନ ଲର୍ଣ୍ଣିଂ ମଡେଲଗୁଡ଼ିକୁ ନିୟ