PYQ NEET- ଏକ ସମତଳରେ ଗତି L-4

ପ୍ରଶ୍ନ: ଏକ ବୃତ୍ତାକାର ପଥରେ ଗତି କରୁଥିବା ଏକ କଣିକା, ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $R$ ଏବଂ ସମାନ ଗତିରେ ଗୋଟିଏ ପରିକ୍ରମଣ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବାକୁ ସମୟ $T$ ନିଏ। ଯଦି ଏହି କଣିକାଟିକୁ ସମାନ ଗତିରେ କ୍ଷିତିଜ ସହିତ $\theta$ କୋଣରେ ପ୍ରକ୍ଷେପିତ କରାଯାଏ, ତେବେ ଏହା ଅଧିକତମ ଯେଉଁ ଉଚ୍ଚତା ପ୍ରାପ୍ତ କରେ ତାହା $4 R$ ସହ ସମାନ। ତେବେ ପ୍ରକ୍ଷେପଣ କୋଣ $\theta$ ହେବ#

A) $\theta=\cos ^{-1}\left(\frac{g T^2}{\pi^2 R}\right)^{\frac{1}{2}}$

B) $\theta=\cos ^{-1}\left(\frac{\pi^2 R}{g T^2}\right)^{\frac{1}{2}}$

C) $\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{\pi^2 R}{g T^2}\right)^{\frac{1}{2}}$

D) $\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{2 g T^2}{\pi^2 R}\right)^{\frac{1}{2}}$

ଉତ୍ତର: $\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{2 g T^2}{\pi^2 R}\right)^{\frac{1}{2}}$#

ସମାଧାନ:#

ଦିଆଯାଇଛି, ବୃତ୍ତାକାର ପଥର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $=R$

କଣିକାଟି ଗୋଟିଏ ପରିକ୍ରମଣ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବାକୁ ନେଉଥିବା ସମୟ $=T$

ଯେତେବେଳେ କଣିକାଟିକୁ ସମାନ ଗତିରେ (ଯେଉଁ ଗତିରେ ଏହା ବୃତ୍ତାକାର କକ୍ଷପଥରେ ଗତି କରୁଥିଲା) କ୍ଷିତିଜ ସହିତ $\theta$ କୋଣରେ ପ୍ରକ୍ଷେପିତ କରାଯାଏ, ଏହା ପ୍ରାପ୍ତ କରୁଥିବା ଅଧିକତମ ଉଚ୍ଚତା ହେବ

$$ \begin{aligned} & H_{\max }=\frac{u^2 \sin ^2 \theta}{2 g} \ & H_{\max }=4 R \end{aligned} $$ (ଦିଆଯାଇଛି) ଆମେ ଜାଣୁ, ବୃତ୍ତାକାର ପଥରେ କଣିକାର ଗତି, $$ u=\frac{2 \pi R}{T} $$

ସମୀକରଣ (i) ରେ ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ, ଆମେ ପାଇବା $$ \begin{aligned} & 4 R & =\frac{\left(\frac{2 \pi R}{T}\right)^2 \sin ^2 \theta}{2 g} \ \Rightarrow \quad & \sin \theta & =\left(\frac{2 g T^2}{\pi^2 R}\right)^{1 / 2} \ \Rightarrow \quad & \theta & =\sin ^{-1}\left(\frac{2 g T^2}{\pi^2 R}\right)^{1 / 2} \end{aligned} $$