ପୂର୍ବବର୍ଷର NEET ପ୍ରଶ୍ନ- ଅଲକ୍ସରଣ L-6

ପ୍ରଶ୍ନ: ଯଦି ସମୁହଃ $\vec{A}=\cos \omega t \hat{i}+\sin \omega t \hat{j}$ ଏବଂ $\vec{B}=\cos \frac{\omega t}{2} \hat{i}+\sin \frac{\omega t}{2} \hat{j}$ ସମୟର ଅନୁକୂଳୀନ ଫଳନ ହୁଅନ୍ତି, ତେବେ ସେମାନେ ଏକକାର୍ଯ୍ୟ ଅନୁକୂଳୀନ ହେବା ପାଇଁ $t$ ଏହି ମୂଲର ମୂଲ୍ୟ କଣ?#

A) $t=\frac{\pi}{\omega}$

B) $t=0$

C) $t=\frac{\pi}{4 \omega}$

D) $t=\frac{\pi}{2 \omega}$

ଉତ୍ତର: $t=\frac{\pi}{\omega}$#

ସମାଧାନ:#

ଦୁଇ ସମୁହଃ $\bar{A}$ ଏବଂ $\bar{B}$ ଏକକାର୍ଯ୍ୟ ଅନୁକୂଳୀନ ହେବା ପାଇଁ ସେମାନଙ୍କର ସ୍କାଲର ପ୍ରସଙ୍ଗ ଶୂନ୍ୟ ହେବା ଉଚିତ ଯେପରି $\bar{A}$. $\bar{B}=0$.

ଏଠାରେ, $\bar{A}=\cos \omega t \hat{i}+\sin \omega t \hat{j}$ ଏବଂ $\bar{B}=\cos \frac{\omega t}{2} \hat{i}+\sin \frac{\omega t}{2} \hat{j}$ $$ \begin{aligned} \therefore & \bar{A} \cdot \bar{B}=(\cos \omega t \hat{i}+\sin \omega t \hat{j})\left(\cos \frac{\omega t}{2} \hat{i}+\sin \frac{\omega t}{2} \hat{j}\right) \ = & \cos \omega t \cos \frac{\omega t}{2}+\sin \omega t \sin \frac{\omega t}{2} \ & (\because \hat{i} \cdot \hat{i}=\hat{j} \cdot \hat{j}=1 \text { and } \hat{i} \cdot \hat{j}=\hat{j} \cdot \hat{i}=0) \ = & \cos \left(\omega t-\frac{\omega t}{2}\right) \ & (\because \cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B) \end{aligned} $$

କିନ୍ତୁ $\bar{A} \cdot \bar{B}=0$ (ଯେପରି $\bar{A}$ ଏବଂ $\bar{B}$ ଏକକାର୍ଯ୍ୟ ଅନୁକୂଳୀନ ହୁଅନ୍ତି) $$ \begin{aligned} & \therefore \cos \left(\omega t-\frac{\omega t}{2}\right)=0 \ & \cos \left(\omega t-\frac{\omega t}{2}\right)=\cos \frac{\pi}{2} \text { or } \omega t-\frac{\omega t}{2}=\frac{\pi}{2} \ & \frac{\omega t}{2}=\frac{\pi}{2} \text { or } t=\frac{\pi}{\omega} \end{aligned} $$