ପୂର୍ବ ବର୍ଷ NEET ପ୍ରଶ୍ନ - ଅସମାକ୍ଷୀକାରୀ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକ

NEET 2019: ଅସମାକ୍ଷୀକାରୀ ସମୀକରଣ $\dfrac{dy}{dx} + y = \cos x$ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ।

ସମାଧାନ:

ପ୍ରଦତ୍ତ ଅସମାକ୍ଷୀକାରୀ ସମୀକରଣ $\dfrac{dy}{dx} + Py = Q$ ଆକାରର ଏକ ସମୀକରଣ ଯେଉଁଠାରେ $P = 1$ ଏବଂ $Q = \cos x$। ସମିକରଣ ଫାକଟରକୁ $\mu(x) = e^{\int P dx} = e^x$ ବୋଲି କହାଯାଏ।

ଅସମାକ୍ଷୀକାରୀ ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାଦକୁ $\mu(x)$ ସହିତ ଗୁଣନ କରି, ଆମେ ପାଇପାରିବୁ

$$ e^x \dfrac{dy}{dx} + e^x y = e^x \cos x $$

ଅଥବା, $\dfrac{d}{dx}(e^x y) = e^x \cos x$

ଉଭୟ ପାଦକୁ ସମିକରଣ କରି, ଆମେ ପାଇପାରିବୁ

$$ e^x y = \int e^x \cos x dx + C $$

$$ e^x y = e^x \sin x + C $$

ଉଭୟ ପାଦକୁ $e^x$ ଭାଗ କରି, ଆମେ ପାଇପାରିବୁ

$$ y = \sin x + C e^{-x}