ଆଲୋକର ପ୍ରତିସରଣ ରଶ୍ମି ପ୍ରକାଶିକା ଓ ଆପ୍ଟିକାଲ ଯନ୍ତ୍ର

ପ୍ରଶ୍ନ 1:

ଏକ ଏକବର୍ଣ୍ଣ ଆଲୋକ ରଶ୍ମି $60^\circ$ କୋଣରେ ଏକ କାଚ ସ୍ଲାବର ପୃଷ୍ଠଭାଗରେ ଆପତିତ ହୁଏ, ଯାହାର ପ୍ରତିସରଣାଙ୍କ $\sqrt{3}$। କାଚ ସ୍ଲାବ ଭିତରେ ପ୍ରତିସରଣ କୋଣ $r$। $r$ର ମୂଲ୍ୟ କ’ଣ?

(1) $30^\circ$ (2) $45^\circ$ (3) $60^\circ$ (4) $\sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$

ସମାଧାନ:

ସ୍ନେଲ୍ଙ୍କ ନିୟମ ଅନୁଯାୟୀ, ଆପତନ କୋଣ ($i$), ପ୍ରତିସରଣ କୋଣ ($r$), ଏବଂ ଦୁଇଟି ମାଧ୍ୟମର ପ୍ରତିସରଣାଙ୍କ ($n_1$ ଏବଂ $n_2$) ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି:

$$n_1 \sin i = n_2 \sin r$$

ଏଠାରେ, ଆଲୋକ ରଶ୍ମି ବାୟୁରୁ ଆପତିତ ହେଉଛି, ତେଣୁ $n_1 = 1$। କାଚ ସ୍ଲାବର ପ୍ରତିସରଣାଙ୍କ $n_2 = \sqrt{3}$, ଏବଂ ଆପତନ କୋଣ $i = 60^\circ$। ସ୍ନେଲ୍ଙ୍କ ନିୟମରେ ଏହି ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରୟୋଗ କଲେ:

$$1 \cdot \sin 60^\circ = \sqrt{3} \sin r$$$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin r$$$$\sin r = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = \frac{1}{2}$$ $$r = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ$$

ତେଣୁ, ସଠିକ୍ ଉତ୍ତର ହେଉଛି (1) $30^\circ$।

---

ପ୍ରଶ୍ନ 2:

ଏକ ସଂଯୁକ୍ତ ସୂକ୍ଷ୍ମଦର୍ଶୀରେ ଏକ ବସ୍ତୁ ଲେନ୍ସ ଅଛି ଯାହାର ଫୋକସ୍ ଦୈର୍ଘ୍ୟ 2.0 ସେ.ମି. ଏବଂ ଏକ ଆଖି ଲେନ୍ସ ଅଛି ଯାହାର ଫୋକସ୍ ଦୈର୍ଘ୍ୟ 5.0 ସେ.ମି.। ଏକ ବସ୍ତୁକୁ ବସ୍ତୁ ଲେନ୍ସରୁ 2.5 ସେ.ମି. ଦୂରରେ ରଖାଯାଇଛି। ଯଦି ଅନ୍ତିମ ପ୍ରତିବିମ୍ବ ସ୍ପଷ୍ଟ ଦର୍ଶନର ନ୍ୟୁନତମ ଦୂରତା (D = 25 ସେ.ମି.)ରେ ଗଠିତ ହୁଏ, ତେବେ ସୂକ୍ଷ୍ମଦର୍ଶୀର ଆବର୍ଦ୍ଧନ କ୍ଷମତା କେତେ?

(1) 12.5 (2) 25 (3) 100 (4) 250

ସମାଧାନ:

ପ୍ରଥମେ, ଲେନ୍ସ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରି ବସ୍ତୁ ଲେନ୍ସ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ପ୍ରତିବିମ୍ବ ଦୂରତା ($v_o$) ବାହାର କରିବା:

$$\frac{1}{f_o} = \frac{1}{v_o} - \frac{1}{u_o}$$

ଦିଆଯାଇଛି $f_o = 2.0$ ସେ.ମି. ଏବଂ $u_o = -2.5$ ସେ.ମି. (ପାରମ୍ପରିକ ରୀତିରେ ବସ୍ତୁ ଦୂରତା ଋଣାତ୍ମକ):

$$\frac{1}{2.0} = \frac{1}{v_o} - \frac{1}{-2.5}$$$$\frac{1}{2.0} = \frac{1}{v_o} + \frac{1}{2.5}$$$$\frac{1}{v_o} = \frac{1}{2.0} - \frac{1}{2.5} = \frac{2.5 - 2.0}{2.0 \times 2.5} = \frac{0.5}{5.0} = \frac{1}{10}$$ $$v_o = 10 \text{ cm}$$

ବସ୍ତୁ ଲେନ୍ସ ଦ୍ୱାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ଆବର୍ଦ୍ଧନ ($m_o$) ହେଉଛି:

$$m_o = \frac{v_o}{u_o} = \frac{10}{-2.5} = -4$$

ବର୍ତ୍ତମାନ, ଆଖି ଲେନ୍ସ ପାଇଁ, ଅନ୍ତିମ ପ୍ରତିବିମ୍ବ ସ୍ପଷ୍ଟ ଦର୍ଶନର ନ୍ୟୁନତମ ଦୂରତା ($D = 25$ ସେ.ମି.)ରେ ଗଠିତ ହୁଏ। ବସ୍ତୁ ଲେନ୍ସ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ପ୍ରତିବିମ୍ବ ଆଖି ଲେନ୍ସ ପାଇଁ ବସ୍ତୁ ଭାବରେ କାର୍ଯ୍ୟ କରେ। ଆଖି ଲେନ୍ସ ପାଇଁ ବସ୍ତୁ ଦୂରତା $u_e$ ଏବଂ ପ୍ରତିବିମ୍ବ ଦୂରତା $v_e = -D = -25$ ସେ.ମି. ହେଉ। ଆଖି ଲେନ୍ସର ଫୋକସ୍ ଦୈର୍ଘ୍ୟ $f_e = 5.0$ ସେ.ମି.। ଆଖି ଲେନ୍ସ ପାଇଁ ଲେନ୍ସ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କଲେ:

$$\frac{1}{f_e} = \frac{1}{v_e} - \frac{1}{u_e}$$$$\frac{1}{5.0} = \frac{1}{-25} - \frac{1}{u_e}$$$$\frac{1}{u_e} = -\frac{1}{25} - \frac{1}{5.0} = -\frac{1}{25} - \frac{5}{25} = -\frac{6}{25}$$ $$u_e = -\frac{25}{6} \text{ cm}$$

ଆଖି ଲେନ୍ସ ଦ୍ୱାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ଆବର୍ଦ୍ଧନ ($m_e$) ଯେତେବେଳେ ଅନ୍ତିମ ପ୍ରତିବିମ୍ବ D ରେ ଥାଏ:

$$m_e = 1 + \frac{D}{f_e} = 1 + \frac{25}{5.0} = 1 + 5 = 6$$

ସଂଯୁକ୍ତ ସୂକ୍ଷ୍ମଦର୍ଶୀର ସମୁଦାୟ ଆବର୍ଦ୍ଧନ କ୍ଷମତା ($M$) ହେଉଛି ବସ୍ତୁ ଲେନ୍ସ ଏବଂ ଆଖି ଲେନ୍ସର ଆବର୍ଦ୍ଧନର ଗୁଣଫଳ:

$$M = m_o \times m_e = (-4) \times 6 = -24$$

ତଥାପି, ପ୍ରଦତ୍ତ ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକ ପରିମାଣରେ ଅଛି। ଆସନ୍ତୁ ଆଖି ଲେନ୍ସ ଆବର୍ଦ୍ଧନ ସୂତ୍ରକୁ ପୁନର୍ବାର ଯାଞ୍ଚ କରିବା ଯେତେବେଳେ ପ୍ରତିବିମ୍ବ D ରେ ଥାଏ। ଏହା ପ୍ରକୃତରେ $1 + \frac{D}{f_e}$।

ଆସନ୍ତୁ ଗଣନାଗୁଡ଼ିକୁ ଦୁଇଥର ଯାଞ୍ଚ କରିବା।

ବସ୍ତୁ ଲେନ୍ସ: $u_o = -2.5$ ସେ.ମି., $f_o = 2.0$ ସେ.ମି. $\frac{1}{v_o} = \frac{1}{f_o} + \frac{1}{u_o} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2.5} = \frac{2.5 - 2}{5} = \frac{0.5}{5} = 0.1$ $v_o = 10$ ସେ.ମି. $m_o = \frac{v_o}{|u_o|} = \frac{10}{2.5} = 4$ (ପରିମାଣ)

ଆଖି ଲେନ୍ସ: $f_e = 5$ ସେ.ମି., $D = 25$ ସେ.ମି. ଆଖି ଲେନ୍ସର ଆବର୍ଦ୍ଧନ ଯେତେବେଳେ ଅନ୍ତିମ ପ୍ରତିବିମ୍ବ D ରେ ଥାଏ: $m_e = 1 + \frac{D}{f_e} = 1 + \frac{25}{5} = 1 + 5 = 6$

ସମୁଦାୟ ଆବର୍ଦ୍ଧନ କ୍ଷମତା $M = m_o \times m_e = 4 \times 6 = 24$।

ପ୍ରଦତ୍ତ ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକ ସହିତ ଏକ ଛୋଟ ଅସଙ୍ଗତି ଦେଖାଯାଉଛି। ଆସନ୍ତୁ ପ୍ରଶ୍ନ ବିବୃତି ଏବଂ ମୋର ଗଣନାକୁ ପୁନର୍ବାର ସମୀକ୍ଷା କରିବା।

ଆହା, ମୁଁ ଏକ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ ଦେଖୁଛି। ବସ୍ତୁ ଲେନ୍ସ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ପ୍ରତିବିମ୍ବ ଏବଂ ଆଖି ଲେନ୍ସ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଦୂରତା ବିଚାର କରିବା ଆବଶ୍ୟକ ଯଦି ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବରେ କୁହାନଥାଏ ଯେ ସାଧାରଣ ସଜ୍ଜା ପାଇଁ ବସ୍ତୁ ଲେନ୍ସ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ପ୍ରତିବିମ୍ବ ଆଖି ଲେନ୍ସର ଫୋକସ୍ ବିନ୍ଦୁରେ ଅଛି। ତଥାପି, ପ୍ରଶ୍ନରେ କୁହାଯାଇଛି ଯେ ଅନ୍ତିମ ପ୍ରତିବିମ୍ବ ସ୍ପଷ୍ଟ ଦର୍ଶନର ନ୍ୟୁନତମ ଦୂରତାରେ ଅଛି, ଯାହା ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସେଟଅପ୍ ସୂଚିତ କରେ।

ଆସନ୍ତୁ ଆଖି ଲେନ୍ସ ପାଇଁ $u_e$ ପୁନର୍ବାର ଗଣନା କରିବା: $\frac{1}{f_e} = \frac{1}{v_e} - \frac{1}{u_e}$ $\frac{1}{5} = \frac{1}{-25} - \frac{1}{u_e}$ $\frac{1}{u_e} = -\frac{1}{25} - \frac{1}{5} = -\frac{1 + 5}{25} = -\frac{6}{25}$ $u_e = -\frac{25}{6}$ ସେ.ମି.

ଆଖି ଲେନ୍ସର ଆବର୍ଦ୍ଧନ $m_e = \frac{v_e}{u_e} = \frac{-25}{-25/6} = 6$।

ବସ୍ତୁ ଲେନ୍ସର ଆବର୍ଦ୍ଧନ $m_o = \frac{v_o}{u_o} = \frac{10}{-2.5} = -4$।

ସମୁଦାୟ ଆବର୍ଦ୍ଧନ $M = m_o \times m_e = (-4) \times 6 = -24$। ପରିମାଣ 24, ଯାହା ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ନାହିଁ।

ଆସନ୍ତୁ ଏହି କେଶ୍ ବିଚାର କରିବା ଯେଉଁଠାରେ ବସ୍ତୁ ଲେନ୍ସ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ପ୍ରତିବିମ୍ବ ଆଖି ଲେନ୍ସର ଫୋକସ୍ ବିନ୍ଦୁର ଅତି ନିକଟରେ ଥାଏ, ଯାହା ଫଳରେ ଆଖି ଲେନ୍ସ ଦ୍ୱାରା ଏକ ବଡ଼ କୋଣୀୟ ଆବର୍ଦ୍ଧନ ହୁଏ, ପ୍ରାୟ $\frac{D}{f_e}$।

ଯଦି ଆମେ $M \approx -\frac{v_o}{u_o} \left(1 + \frac{D}{f_e}\right)$ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା, ଆମେ $M \approx -\frac{10}{-2.5} \left(1 + \frac{25}{5}\right) = 4 \times 6 = 24$ ପାଇବା।

ଏହା ଜଣାପଡ଼ୁଛି ଯେ ପ୍ରଦତ୍ତ ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକରେ କିମ୍ବା ମୁଁ ଅଣଦେଖା କରୁଥିବା ଏକ ସୂକ୍ଷ୍ମ ଦିଗରେ ଏକ ସମସ୍ୟା ଥାଇପାରେ। ଏହିପରି ସମସ୍ୟାଗୁଡ଼ିକରେ ବ୍ୟବହୃତ ବିକଳ୍ପ ପଦ୍ଧତି କିମ୍ବା ସାଧାରଣ ଆନୁମାନିକ ମୂଲ୍ୟ ବିଷୟରେ ଚିନ୍ତା କରିବା।

ଯେତେବେଳେ ଅନ୍ତିମ ପ୍ରତିବିମ୍ବ D ରେ ଥାଏ, ସଂଯୁକ୍ତ ସୂକ୍ଷ୍ମଦର୍ଶୀର ଆବର୍ଦ୍ଧନ କ୍ଷମତା ପାଇଁ ଏକ ସାଧାରଣ ଆନୁମାନିକ ସୂତ୍ର ହେଉଛି $M \approx -\frac{L}{f_o} \left(1 + \frac{D}{f_e}\right)$, ଯେଉଁଠାରେ $L$ ହେଉଛି ଟ୍ୟୁବ୍ ଦୈର୍ଘ୍ୟ (ବସ୍ତୁ ଲେନ୍ସର ଦ୍ୱିତୀୟ ଫୋକସ୍ ବିନ୍ଦୁ ଏବଂ ଆଖି ଲେନ୍ସର ପ୍ରଥମ ଫୋକସ୍ ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଦୂରତା)। ଆମ ପାଖରେ $L$ ନାହିଁ।

ଆସନ୍ତୁ ଆନୁମାନିକ ମୂଲ୍ୟ ବିନା ମୌଳିକ ସଂଜ୍ଞାଗୁଡ଼ିକ ପାଖକୁ ଫେରିବା।

$m_o = \frac{v_o}{u_o} = \frac{10}{-2.5} = -4$

ଆଖି ଲେନ୍ସ ପାଇଁ, ବସ୍ତୁ ଦୂରତା $u_e = -\frac{25}{6}$ ସେ.ମି., ଏବଂ $f_e = 5$ ସେ.ମି.। ଆଖି ଲେନ୍ସର କୋଣୀୟ ଆବର୍ଦ୍ଧନ $m_e = \frac{D}{|u_e|} = \frac{25}{25/6} = 6$।

ସମୁଦାୟ ଆବର୍ଦ୍ଧନ କ୍ଷମତା $M = m_o \times m_e = -4 \times 6 = -24$। ପରିମାଣ 24।

ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକ ଦେଖିଲେ, ଆବର୍ଦ୍ଧନ କ୍ଷମତା କିପରି ସଂଜ୍ଞାୟିତ ହୋଇଛି (କେତେବେଳେ ପରିମାଣ ବିଚାର କରାଯାଏ) ତାହାରେ ଏକ ଛୋଟ ପାର୍ଥକ୍ୟ ଥାଇପାରେ। ଯଦି ଆମେ ପରିମାଣ ବିଚାର କରିବା, ନିକଟତମ ମୂଲ୍ୟ ସିଧାସଳଖ ଉପସ୍ଥିତ ନାହିଁ।

ପ୍ରଶ୍ନକୁ ସତର୍କତାର ସହିତ ପୁନର୍ବାର ପଢ଼ିବା ଯେପରିକି କୌଣସି ବିବରଣୀ ଛାଡ଼ି ହୋଇନଥାଏ। ସେଟଅପ୍ ସାଧାରଣ ପରି ଦେଖାଯାଉଛି।

ଏକ ଗଣନା ତ୍ରୁଟି ଥାଇପାରେ କି? $\frac{1}{v_o} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2.5} = 0.5 - 0.4 = 0.1 \implies v_o = 10$ ସେ.ମି.। ସଠିକ୍। $m_o = -\frac{10}{2.5} = -4$। ସଠିକ୍। $\frac{1}{u_e} = \frac{1}{f_e} - \frac{1}{v_e} = \frac{1}{5} - \frac{1}{-25} = \frac{1}{5} + \frac{1}{25} = \frac{5+1}{25} = \frac{6}{25} \implies u_e = -\frac{25}{6}$ ସେ.ମି.। ସଠିକ୍। $m_e = \frac{v_e}{u_e} = \frac{-25}{-25/6} = 6$। ସଠିକ୍। $M = m_o \times m_e = -4 \times 6 = -24$।

ଯଦି ଆମେ ପରିମାଣ ବିଚାର କରିବା, ଏହା 24, ଯାହା ଏକ ବିକଳ୍ପ ନୁହେଁ। ଆସନ୍ତୁ ଏକ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଆନୁମାନିକ ମୂଲ୍ୟ ବିଚାର କରିବା ଯେଉଁଠାରେ ବସ୍ତୁ ଲେନ୍ସ ଦ୍ୱାରା ଗଠିତ ପ୍ରତିବିମ୍ବ ଅତି ଦୂରରେ ବୋଲି ଧରାଯାଏ, ଏବଂ ଆଖି ଲେନ୍ସ ଏକ ସରଳ ଆବର୍ଦ୍ଧକ ଭାବରେ କାର୍ଯ୍ୟ କରେ।

ଯଦି ଅନ୍ତିମ ପ୍ରତିବିମ୍ବ ଅନନ୍ତରେ ଥାଏ (ସାଧାରଣ ସଜ୍ଜା), $m_e = \frac{D}{f_e} = \frac{25}{5} = 5$। ତାପରେ $M = m_o \times m_e = -4 \times 5 = -20$ (ପରିମାଣ 20, ଏକ ବିକଳ୍ପ ନୁହେଁ)।

ଧରାଯାଉ ଯେ ଏକ ପ୍ରକୃତ ପରୀକ୍ଷା ପରିସ୍ଥିତିରେ ପ୍ରଦତ୍ତ ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକରେ ଏକ ତ୍ରୁଟି ଥାଇପାରେ, କିମ୍ବା ଅନୁସରଣ କରାଯାଉଥିବା ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ରୀତି ଅଛି। ଯଦି ଆମକୁ 24ର ଆମର ବିସ୍ତୃତ ଗଣନା ଉପରେ ଆଧାର କରି ନିକଟତମ ବିକଳ୍ପ ବାଛିବାକୁ ହୁଏ, ବିକଳ୍ପ (2) 25 ନିକଟତମ ହେବ। ତଥାପି, ଏହା ଅନୁମାନିକ।

ଆସନ୍ତୁ ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକରୁ ପଛକୁ କାମ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରିବା ଯେପରିକି କୌଣସି ଏକ ସୁସ୍ଥିର ପରିସ୍ଥିତି ଆଣେ କି ନାହିଁ। ଏହା ସାଧାରଣତଃ ଉପଯୁକ୍ତ ନୁହେଁ କିନ୍ତୁ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଭ୍ରାନ୍ତିଧାରଣା ଚିହ୍ନଟ କରିବାରେ ସାହାଯ୍ୟ କରିପାରେ।

ଯଦି $M = 25$, ଏବଂ $m_e = 1 + \frac{25}{5} = 6$, ତାପରେ $m_o = \frac{25}{6} = \frac{v_o}{2.5} \implies v_o = \frac{25 \times 2.5}{6} \approx 10.4$ ସେ.ମି.। ବସ୍ତୁ ଲେନ୍ସ ପାଇଁ ଲେନ୍ସ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରି: $\frac{1}{2} = \frac{1}{10.4} - \frac{1}{-2.5} = \frac{1}{10.4} + \frac{1}{2.5} \approx 0.096 + 0.4 = 0.496$, ଯାହା $0.5$ ସହିତ ନିକଟବର୍ତ୍ତୀ। ଏହା ସୂଚିତ କରେ ଯେ ବିକଳ୍ପ (2) ଉଦ୍ଦିଷ୍ଟ ହୋଇଥାଇପାରେ, ସମ୍ଭବତଃ ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକରେ ଛୋଟ ରାଉଣ୍ଡିଂ ସହିତ।

ବିଶ୍ଳେଷଣ ଦେଖି, ଏବଂ ବିକଳ୍ପଗୁଡ଼ିକ ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ ଏକ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଅସଙ୍ଗତି କିମ୍ବା ଆନୁମାନିକ ମୂଲ୍ୟର ଆବଶ୍ୟକତାକୁ ସ୍ୱୀକାର କରି, ଆମର ବିସ୍ତୃତ ଗଣନା ଉପରେ ଆଧାରିତ ନିକଟତମ ଉତ୍ତର ହେଉଛି (2) 25।

ତେଣୁ, ନିକଟତମ ଉତ୍ତର ହେଉଛି (2) 25।