• ਪੁਰਾਤਨ ਅਤੇ ਆਧੁਨਿਕ ਅਧਿਐਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਟਕਰਾਅ ਦੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਦਿਨਾਂ ਵਿੱਚ; ਇੱਕ ਅਧਿਐਨ ਲਈ ਜ਼ਰੂਰ ਕੁਝ ਕਹਿਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜੋ ਪਾਈਥਾਗੋਰਸ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਨਹੀਂ ਹੋਇਆ ਅਤੇ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਨਾਲ ਖਤਮ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗਾ; ਪਰ ਸਭ ਤੋਂ ਪੁਰਾਣਾ ਅਤੇ ਸਭ ਤੋਂ ਨੌਜਵਾਨ ਹੈ। - ਜੀ.ਐਚ. ਹਾਰਡੀ

1.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਸਮੂਹ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਅੱਜ ਦੇ ਗਣਿਤ ਦਾ ਇੱਕ ਮੂਲ ਭਾਗ ਹੈ। ਅੱਜ ਇਹ ਧਾਰਨਾ ਗਣਿਤ ਦੀ ਲਗਭਗ ਹਰ ਸ਼ਾਖਾ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ। ਸੰਬੰਧਾਂ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜਿਓਮੈਟਰੀ, ਅਨੁਕ੍ਰਮ, ਸੰਭਾਵਨਾ, ਆਦਿ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਲਈ ਸਮੂਹਾਂ ਦਾ ਗਿਆਨ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।

ਜਾਰਜ ਕੈਂਟਰ (1845-1918 ਈ.)

ਸਮੂਹ ਸਿਧਾਂਤ ਦਾ ਵਿਕਾਸ ਜਰਮਨ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਜਾਰਜ ਕੈਂਟਰ (1845-1918) ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਉਸਨੂੰ “ਟ੍ਰਾਈਗਨੋਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸੀਰੀਜ਼ ‘ਤੇ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ” ‘ਤੇ ਕੰਮ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਸਮੂਹਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਨਾ ਪਿਆ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਮੂਹਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕੁਝ ਬੁਨਿਆਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਅਤੇ ਕਾਰਜਾਂ ‘ਤੇ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

1.2 ਸਮੂਹ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਨਿਰੂਪਣ

ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਜੀਵਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਖਾਸ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਬਾਰੇ ਗੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ, ਤਾਸ਼ ਦੇ ਪੱਤਿਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਪੈਕ, ਲੋਕਾਂ ਦੀ ਭੀੜ, ਇੱਕ ਕ੍ਰਿਕਟ ਟੀਮ, ਆਦਿ। ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਵੀ, ਅਸੀਂ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ, ਬਿੰਦੂਆਂ, ਮੁੱਢਲੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ, ਆਦਿ ਦਾ। ਵਧੇਰੇ ਖਾਸ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

(i) 10 ਤੋਂ ਘੱਟ ਟਾਂਗ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ, ਯਾਨੀ, 1, 3, 5, 7, 9

(ii) ਭਾਰਤ ਦੀਆਂ ਨਦੀਆਂ

(iii) ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਰਣਮਾਲਾ ਵਿੱਚ ਸਵਰ, ਯਾਨੀ, $a, e, i, o, u$

(iv) ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੀਆਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ

(v) 210 ਦੇ ਮੁੱਢਲੇ ਗੁਣਨਖੰਡ, ਯਾਨੀ, 2,3,5 ਅਤੇ 7

(vi) ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ: $x^{2}-5 x+6=0$, ਯਾਨੀ, 2 ਅਤੇ 3।

ਅਸੀਂ ਧਿਆਨ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉਪਰੋਕਤ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੁਵਿਵਸਥਿਤ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਹੈ ਇਸ ਅਰਥ ਵਿੱਚ ਕਿ ਅਸੀਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਫੈਸਲਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਈ ਦਿੱਤੀ ਖਾਸ ਵਸਤੂ ਦਿੱਤੇ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਨੀਲ ਨਦੀ ਭਾਰਤ ਦੀਆਂ ਨਦੀਆਂ ਦੇ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਗੰਗਾ ਨਦੀ ਇਸ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਖਾਸ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਸਮੂਹਾਂ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਯਾਨੀ।

$\mathbf{N}$ : ਸਾਰੀਆਂ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ

$\mathbf{Z}$ : ਸਾਰੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ

$\mathbf{Q}$ : ਸਾਰੀਆਂ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ

$\mathbf{R}$ : ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ

$\mathbf{Z^{+}} $: ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ

$\mathbf{Q^{+}} $: ਧਨਾਤਮਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ, ਅਤੇ

$\mathbf{R^{+}} $: ਧਨਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ।

ਉਪਰੋਕਤ ਦਿੱਤੇ ਖਾਸ ਸਮੂਹਾਂ ਲਈ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਇਸ ਪਾਠ ਦੌਰਾਨ ਦਿੱਤਾ ਜਾਵੇਗਾ।

ਦੁਬਾਰਾ, ਦੁਨੀਆ ਦੇ ਪੰਜ ਸਭ ਤੋਂ ਮਸ਼ਹੂਰ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਦਾ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਸੁਵਿਵਸਥਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਭ ਤੋਂ ਮਸ਼ਹੂਰ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਦਾ ਮਾਪਦੰਡ ਵਿਅਕਤੀ ਤੋਂ ਵਿਅਕਤੀ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਇੱਕ ਸੁਵਿਵਸਥਿਤ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਕਹਾਂਗੇ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੁਵਿਵਸਥਿਤ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ‘ਤੇ ਧਿਆਨ ਦਿੱਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

(i) ਵਸਤੂਆਂ, ਤੱਤ ਅਤੇ ਸਮੂਹ ਦੇ ਮੈਂਬਰ ਸਮਾਨਾਰਥੀ ਸ਼ਬਦ ਹਨ।

(ii) ਸਮੂਹਾਂ ਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਵੱਡੇ ਅੱਖਰਾਂ A, B, C, X, Y, Z, ਆਦਿ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

(iii) ਸਮੂਹ ਦੇ ਤੱਤਾਂ ਨੂੰ ਛੋਟੇ ਅੱਖਰਾਂ $a, b, c, x, y, z$, ਆਦਿ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਜੇਕਰ $a$ ਸਮੂਹ A ਦਾ ਇੱਕ ਤੱਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ “$a$ A ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ” ਯੂਨਾਨੀ ਚਿੰਨ੍ਹ $\in$ (ਐਪਸੀਲੋਨ) ਦਾ ਪ੍ਰਯੋਗ ‘ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ’ ਵਾਕੰਸ਼ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ $a \in A$। ਜੇਕਰ ‘$b$’ ਸਮੂਹ $A$ ਦਾ ਤੱਤ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ $b \notin A$ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਪੜ੍ਹਦੇ ਹਾਂ “$b$ A ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ”।

ਇਸ ਲਈ, ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਰਣਮਾਲਾ ਵਿੱਚ ਸਵਰਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ $V$ ਵਿੱਚ, $a \in V$ ਪਰ $b \notin V$। ਸਮੂਹ $P$ ਵਿੱਚ 210 ਦੇ ਮੁੱਢਲੇ ਗੁਣਨਖੰਡਾਂ ਦਾ, $30,3 \in P$ ਪਰ $15 \notin P$।

ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦੀਆਂ ਦੋ ਵਿਧੀਆਂ ਹਨ:

(i) ਰੋਸਟਰ ਜਾਂ ਸਾਰਣੀ ਰੂਪ

(ii) ਸੈਟ-ਬਿਲਡਰ ਰੂਪ।

(i) ਰੋਸਟਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦੇ ਸਾਰੇ ਤੱਤਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤੱਤਾਂ ਨੂੰ ਕਾਮਿਆਂ ਨਾਲ ਵੱਖ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕੁੰਡਲੀ ਬਰੈਕਿਜ਼ { } ਵਿੱਚ ਬੰਦ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 7 ਤੋਂ ਘੱਟ ਸਾਰੇ ਜਿਸਤ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਰੋਸਟਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ $\{2,4,6\}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਰੋਸਟਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ:

(ਉ) ਸਾਰੀਆਂ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਜੋ 42 ਨੂੰ ਵੰਡਦੀਆਂ ਹਨ, $\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$ ਹੈ।

ਨੋਟ - ਰੋਸਟਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਜਿਸ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਤੱਤਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਉਹ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਉਪਰੋਕਤ ਸਮੂਹ ਨੂੰ $\{1,3,7,21,2,6,14,42\}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

(ਅ) ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਰਣਮਾਲਾ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਸਵਰਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ $\{a, e, i, o, u\}$ ਹੈ।

(ੲ) ਟਾਂਗ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਨੂੰ $\{1,3,5, \ldots\}$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਬਿੰਦੀਆਂ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀਆਂ ਹਨ ਕਿ ਟਾਂਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਾਲ ਤੱਕ ਜਾਰੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।

ਨੋਟ - ਇਹ ਧਿਆਨ ਦੇਣ ਯੋਗ ਹੈ ਕਿ ਰੋਸਟਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮੂਹ ਲਿਖਣ ਸਮੇਂ ਇੱਕ ਤੱਤ ਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਦੁਹਰਾਇਆ ਨਹੀਂ ਜਾਂਦਾ, ਯਾਨੀ, ਸਾਰੇ ਤੱਤਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖਰਾ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ‘SCHOOL’ ਸ਼ਬਦ ਬਣਾਉਣ ਵਾਲੇ ਅੱਖਰਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ $\{S, C, H, O, L\}$ ਜਾਂ $\{H, O, L, C, S\}$ ਹੈ। ਇੱਥੇ, ਤੱਤਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਨ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਕੋਈ ਮਹੱਤਵ ਨਹੀਂ ਹੈ।

(ii) ਸੈਟ-ਬਿਲਡਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਦੇ ਸਾਰੇ ਤੱਤਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਇਕਹਿਰੀ ਸਾਂਝੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਸਮੂਹ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤੱਤ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਮੂਹ $\{a, e, i, o, u\}$ ਵਿੱਚ, ਸਾਰੇ ਤੱਤਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਾਂਝੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ, ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਰਣਮਾਲਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਵਰ ਹੈ, ਅਤੇ ਕੋਈ ਹੋਰ ਅੱਖਰ ਇਸ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦਾ। ਇਸ ਸਮੂਹ ਨੂੰ $V$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ

$V=\{x: x$ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਰਣਮਾਲਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਵਰ ਹੈ $\}$

ਇਹ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਮੂਹ ਦੇ ਤੱਤ ਦਾ ਵਰਣਨ ਇੱਕ ਚਿੰਨ੍ਹ $x$ (ਕੋਈ ਹੋਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਜਿਵੇਂ ਅੱਖਰ $y, z$, ਆਦਿ ਵਰਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦੇ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਕੋਲਨ “:” ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕੋਲਨ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਸਮੂਹ ਦੇ ਤੱਤਾਂ ਦੁਆਰਾ ਰੱਖੀ ਗਈ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਫਿਰ ਪੂਰੇ ਵਰਣਨ ਨੂੰ ਕੁੰਡਲੀ ਬਰੈਕਿਜ਼ ਵਿੱਚ ਬੰਦ ਕਰ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ। ਸਮੂਹ $V$ ਦੇ ਉਪਰੋਕਤ ਵਰਣਨ ਨੂੰ “ਸਾਰੇ $x$ ਦਾ ਸਮੂਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ ਕਿ $x$ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਰਣਮਾਲਾ ਦਾ ਇੱਕ ਸਵਰ ਹੈ” ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਵਰਣਨ ਵਿੱਚ ਕੁੰਡਲੀ ਬਰੈਕਿਜ਼ “ਸਾਰਿਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ” ਲਈ ਖੜ੍ਹੇ ਹਨ, ਕੋਲਨ “ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ” ਲਈ ਖੜ੍ਹਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਮੂਹ

$A=\{x: x$ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਅਤੇ $3<x<10\}$ ਨੂੰ “ਸਾਰੇ $x$ ਦਾ ਸਮੂਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ ਕਿ $x$ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਅਤੇ $x$ 3 ਅਤੇ 10 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ” ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸੰਖਿਆਵਾਂ 4, 5, 6, 7,8 ਅਤੇ 9 ਸਮੂਹ $A$ ਦੇ ਤੱਤ ਹਨ।

ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਉਪਰੋਕਤ $(a),(b)$ ਅਤੇ $(c)$ ਵਿੱਚ ਵਰਣਿਤ ਸਮੂਹਾਂ ਨੂੰ ਰੋਸਟਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $A, B$, $C$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ $A, B, C$ ਨੂੰ ਸੈਟ-ਬਿਲਡਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

$A=\{x: x$ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ 42 ਨੂੰ ਵੰਡਦੀ ਹੈ $\}$

$B=\{y: y$ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਰਣਮਾਲਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਵਰ ਹੈ $\}$

$C=\{z: z$ ਇੱਕ ਟਾਂਗ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ $\}$

ਉਦਾਹਰਨ 1 ਸਮੀਕਰਨ $x^{2}+x-2=0$ ਦੇ ਹੱਲ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਰੋਸਟਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।

ਹੱਲ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

$$ (x-1)(x+2)=0 \text {, i. e., } x=1,-2 $$

ਇਸ ਲਈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਰੋਸਟਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ $\{1,-2\}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 2 ਸਮੂਹ $\{x: x$ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ ਅਤੇ $x^{2}<40\}$ ਨੂੰ ਰੋਸਟਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।

ਹੱਲ ਲੋੜੀਂਦੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $1,2,3,4,5,6$ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਰੋਸਟਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸਮੂਹ $\{1,2,3,4,5,6\}$ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 3 ਸਮੂਹ $A=\{1,4,9,16,25, \ldots\}$ ਨੂੰ ਸੈਟ-ਬਿਲਡਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।

ਹੱਲ ਅਸੀਂ ਸਮੂਹ A ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ

$$ A=\{x: x \text { is the square of a natural number }\} $$

ਵਿਕਲਪਿਕ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ

$$ A=\{x: x=n^{2}, \text { where } n \in \mathbf{N}\} $$

ਉਦਾਹਰਨ 4 ਸਮੂਹ $\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}\}$ ਨੂੰ ਸੈਟ-ਬਿਲਡਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖੋ।

ਹੱਲ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੂਹ ਦੇ ਹਰੇਕ ਮੈਂਬਰ ਦਾ ਅੰਸ਼ ਹਰ ਤੋਂ ਇੱਕ ਘੱਟ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅੰਸ਼ 1 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ 6 ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਹੀਂ ਜਾਂਦਾ। ਇਸ ਲਈ, ਸੈਟ-ਬਿਲਡਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸਮੂਹ ਹੈ

$$ \{ x: x=\frac{n}{n+1}, \text { where } n \text { is a natural number and } 1 \leq n \leq 6 \} $$

ਉਦਾਹਰਨ 5 ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਹਰੇਕ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਰੋਸਟਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਮੂਹ ਨਾਲ ਮਿਲਾਓ ਜੋ ਸੈਟ-ਬਿਲਡਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਰਣਿਤ ਹੈ:

$$ \begin{array}{ll} (i) \hspace{2 mm} \{P, R, I, N, C, A, L\} & (a) \hspace{2 mm} \{x: x \text{ is a positive integer and is a divisor of 18 } \} \\ (ii) \hspace{2 mm}\{0\} & (b)\hspace{2 mm} \{x: x \text{ is an integer and } x^{2}-9=0\} \\ (iii)\hspace{2 mm} \{1,2,3,6,9,18\} & (c)\hspace{2 mm} \{x: x \text { is a letter of the word PRINCIPAL }\} \\ (iv)\hspace{2 mm} \{{3,-3\}} & (d) \hspace{2 mm} \{x: x \text{ is an integer and } x+1=1\} \end{array} $$

ਹੱਲ ਕਿਉਂਕਿ (d) ਵਿੱਚ, ਸ਼ਬਦ PRINCIPAL ਵਿੱਚ 9 ਅੱਖਰ ਹਨ ਅਤੇ ਦੋ ਅੱਖਰ P ਅਤੇ I ਦੁਹਰਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ (i) (d) ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, (ii) (c) ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ $x+1=1$ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ $x=0$। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, 1, 2 ,3, 6, 9, 18 ਸਾਰੇ 18 ਦੇ ਭਾਜਕ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ (iii) (a) ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, $x^{2}-9=0$ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ $x=3,-3$ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ (iv) (b) ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ।

1.3 ਖਾਲੀ ਸਮੂਹ

ਸਮੂਹ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ

$A=\{x: x$ ਇੱਕ ਸਕੂਲ ਵਿੱਚ ਵਰਤਮਾਨ ਵਿੱਚ ਕਲਾਸ XI ਦਾ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਹੈ $\}$

ਅਸੀਂ ਸਕੂਲ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸਕੂਲ ਵਿੱਚ ਵਰਤਮਾਨ ਵਿੱਚ ਕਲਾਸ XI ਵਿੱਚ ਪੜ੍ਹ ਰਹੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਗਿਣ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੂਹ A ਵਿੱਚ ਸੀਮਿਤ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਤੱਤ ਹਨ।

ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸਮੂਹ $B$ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ:

$B = \{x: x$ ਵਰਤਮਾਨ ਵਿੱਚ ਕਲਾਸ X ਅਤੇ XI ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚ ਪੜ੍ਹ ਰਿਹਾ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਹੈ $\}$

ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਇਕੱਠੇ ਕਲਾਸ X ਅਤੇ XI ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਪੜ੍ਹ ਸਕਦਾ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੂਹ B ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਤੱਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 1 ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਤੱਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਉਸਨੂੰ ਖਾਲੀ ਸਮੂਹ ਜਾਂ ਨਲ ਸਮੂਹ ਜਾਂ ਰਿਕਤ ਸਮੂਹ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, B ਇੱਕ ਖਾਲੀ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਦਕਿ A ਖਾਲੀ ਸਮੂਹ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਖਾਲੀ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹ $\phi$ ਜਾਂ { } ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਖਾਲੀ ਸਮੂਹਾਂ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ।

(i) ਮੰਨ ਲਓ $A=\{x: 1<x<2, x$ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ $\}$। ਫਿਰ A ਖਾਲੀ ਸਮੂਹ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ 1 ਅਤੇ 2 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਈ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ।

(ii) $B=\{x: x^{2}-2=0$ ਅਤੇ $x$ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ $\}$। ਫਿਰ $B$ ਖਾਲੀ ਸਮੂਹ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਮੀਕਰਨ $x^{2}-2=0$ $x$ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਰਿਮੇਯ ਮੁੱਲ ਦੁਆਰਾ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ।

(iii) $C =$ $\{x: x$ 2 ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਇੱਕ ਜਿਸਤ ਮੁੱਢਲੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ $\}$। ਫਿਰ $C$ ਖਾਲੀ ਸਮੂਹ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ 2 ਇਕਲੌਤੀ ਜਿਸਤ ਮੁੱਢਲੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।

(iv) $D=\{x: x^{2}=4, x.$ ਟਾਂਗ ਹੈ $\}$। ਫਿਰ $D$ ਖਾਲੀ ਸਮੂਹ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਮੀਕਰਨ $x^{2}=4$ $x$ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਟਾਂਗ ਮੁੱਲ ਦੁਆਰਾ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ।

1.4 ਸੀਮਿਤ ਅਤੇ ਅਸੀਮਿਤ ਸਮੂਹ

ਮੰਨ ਲਓ $\quad A=\{1,2,3,4,5\}, \quad B=\{a, b, c, d, e, g\}$ ਅਤੇ $\quad C=\{$ ਵਿਅਕਤੀ ਵਰਤਮਾਨ ਵਿੱਚ ਦੁਨੀਆ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਰਹਿ ਰਹੇ ਹਨ $\}$

ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ A ਵਿੱਚ 5 ਤੱਤ ਹਨ ਅਤੇ B ਵਿੱਚ 6 ਤੱਤ ਹਨ। $C$ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਤੱਤ ਹਨ? ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੈ, ਅਸੀਂ $C$ ਵਿੱਚ ਤੱਤਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਜਾਣਦੇ, ਪਰ ਇਹ ਕੁਝ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜੋ ਕਾਫ਼ੀ ਵੱਡੀ ਸੰਖਿਆ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਸਮੂਹ $S$ ਦੇ ਤੱਤਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੁਆਰਾ, ਅਸੀਂ ਸਮੂਹ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤੱਤਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਅਰਥ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ $n$ (S) ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ $n$ (S) ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ $S$ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਖਾਲੀ ਸੀਮਿਤ ਸਮੂਹ ਹੈ।

ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਸਮੂਹ ਦੇ ਤੱਤਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਸੀਮਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਅਸੀਮਿਤ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਇੱਕ ਅਸੀਮਿਤ ਸਮੂਹ ਹੈ। ਉਪਰੋਕਤ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੂਹ A, B ਅਤੇ C ਸੀਮਿਤ ਸਮੂਹ ਹਨ ਅਤੇ $n(A)=5, n(B)=6$ ਅਤੇ $n(C)=$ ਕੁਝ ਸੀਮਿਤ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 2 ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਜੋ ਖਾਲੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਤੱਤਾਂ ਨਾਲ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਸੀਮਿਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਅਸੀਮਿਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ:

(i) ਮੰਨ ਲਓ $W$ ਹਫ਼ਤੇ ਦੇ ਦਿਨਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੋਵੇ। ਫਿਰ $W$ ਸੀਮਿਤ ਹੈ।

(ii) ਮੰਨ ਲਓ $S$ ਸਮੀਕਰਨ $x^{2}-16=0$ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੋਵੇ। ਫਿਰ $S$ ਸੀਮਿਤ ਹੈ।

(iii) ਮੰਨ ਲਓ $G$ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ‘ਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੋਵੇ। ਫਿਰ $G$ ਅਸੀਮਿਤ ਹੈ।

ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਰੋਸਟਰ ਰੂਪ