ਆਪਣੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਲਈ ਗਿਆਨ ਅਤੇ ਅਸਲ ਜੀਵਨ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਾਓ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਗਿਆਨ ਦੁਆਰਾ ਦੁਨੀਆ ਨੂੰ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। - ਬਰਟਰੈਂਡ ਰਸਲ

10.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਏ 10 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਇਸ ਅਧਿਆਏ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਹੋਰ ਵਕਰਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚੱਕਰ, ਦੀਰਘਵ੍ਰਤ, ਪਰਾਵਲਯ ਅਤੇ ਅਤਿਪਰਵਲਯ ਬਾਰੇ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ। ਪਰਾਵਲਯ ਅਤੇ ਅਤਿਪਰਵਲਯ ਦੇ ਨਾਮ ਅਪੋਲੋਨੀਅਸ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਇਹ ਵਕਰ ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਸ਼ੰਕੂ ਖੰਡ ਜਾਂ ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਸ਼ੰਕਵੀ ਖੰਡ ਵਜੋਂ ਜਾਣੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਦੋਹਰੇ ਨੈਪ ਵਾਲੇ ਸੱਜੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸ਼ੰਕੂ ਨਾਲ ਕੱਟਣ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਵਕਰਾਂ ਦੀਆਂ ਗ੍ਰਹਿਆਂ ਦੀ ਗਤੀ, ਟੈਲੀਸਕੋਪਾਂ ਅਤੇ ਐਂਟੀਨਾਵਾਂ ਦੇ ਡਿਜ਼ਾਈਨ, ਫਲੈਸ਼ਲਾਈਟਾਂ ਅਤੇ ਆਟੋਮੋਬਾਈਲ ਹੈੱਡਲਾਈਟਾਂ ਵਿੱਚ ਪਰਾਵਰਤਕਾਂ, ਆਦਿ ਵਰਗੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਵਿਆਪਕ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਹਨ।

ਅਪੋਲੋਨੀਅਸ (262 ਬੀ.ਸੀ. -190 ਬੀ.ਸੀ.)

ਹੁਣ, ਅਗਲੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਦਾ ਇੱਕ ਦੋਹਰੇ ਨੈਪ ਵਾਲੇ ਸੱਜੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸ਼ੰਕੂ ਨਾਲ ਕੱਟਣ ਨਾਲ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਵਕਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

10.2 ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਖੰਡ

ਮੰਨ ਲਓ $l$ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਲੰਬਵਤ ਰੇਖਾ ਹੈ ਅਤੇ $m$ ਇੱਕ ਹੋਰ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜੋ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਬਿੰਦੂ $V$ ‘ਤੇ ਕੱਟਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਨਾਲ $\alpha$ ਕੋਣ ‘ਤੇ ਝੁਕੀ ਹੋਈ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 10.1)।

ਚਿੱਤਰ 10.1

ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਰੇਖਾ $m$ ਨੂੰ ਰੇਖਾ $l$ ਦੁਆਲੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਘੁਮਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਣ $\alpha$ ਸਥਿਰ ਰਹੇ। ਫਿਰ ਉਤਪੰਨ ਹੋਈ ਸਤਹ ਇੱਕ ਦੋਹਰੇ-ਨੈਪ ਵਾਲਾ ਸੱਜਾ ਗੋਲਾਕਾਰ ਖੋਖਲਾ ਸ਼ੰਕੂ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਇੱਥੇ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਸ਼ੰਕੂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਦੋਵਾਂ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਅਨੰਤ ਦੂਰੀ ਤੱਕ ਫੈਲਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 10.2)।

ਚਿੱਤਰ 10.2

ਬਿੰਦੂ $V$ ਨੂੰ ਸਿਖਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਰੇਖਾ $l$ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਧੁਰੀ ਹੈ। ਘੁੰਮ ਰਹੀ ਰੇਖਾ $m$ ਨੂੰ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਜਨਰੇਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਿਖਰ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਦੋ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਨੈਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਦਾ ਇੱਕ ਸ਼ੰਕੂ ਨਾਲ ਕੱਟਣਾ ਲਵਾਂ, ਤਾਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਏ ਖੰਡ ਨੂੰ ਸ਼ੰਕੂ ਖੰਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸ਼ੰਕੂ ਖੰਡ ਉਹ ਵਕਰ ਹਨ ਜੋ ਇੱਕ ਸੱਜੇ ਗੋਲਾਕਾਰ ਸ਼ੰਕੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਦੁਆਰਾ ਕੱਟਣ ਨਾਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।

ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਕੱਟਣ ਵਾਲੇ ਸਮਤਲ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਅਤੇ ਇਸਦੁਆਰਾ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਲੰਬਵਤ ਧੁਰੀ ਨਾਲ ਬਣਾਏ ਗਏ ਕੋਣ ‘ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਸ਼ੰਕੂ ਖੰਡ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ $\beta$ ਕੱਟਣ ਵਾਲੇ ਸਮਤਲ ਦੁਆਰਾ ਸ਼ੰਕੂ ਦੀ ਲੰਬਵਤ ਧੁਰੀ ਨਾਲ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਕੋਣ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 10.3)।

ਚਿੱਤਰ 10.3

ਸਮਤਲ ਦਾ ਸ਼ੰਕੂ ਨਾਲ ਕੱਟਣਾ ਜਾਂ ਤਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਸਿਖਰ ‘ਤੇ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਨੈਪ ਦੇ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਹਿੱਸੇ ‘ਤੇ, ਸਿਖਰ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਜਾਂ ਉੱਪਰ।

10.2.1 ਚੱਕਰ, ਦੀਰਘਵ੍ਰਤ, ਪਰਾਵਲਯ ਅਤੇ ਅਤਿਪਰਵਲਯ

ਜਦੋਂ ਸਮਤਲ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਨੈਪ (ਸਿਖਰ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ) ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ:

(ਉ) ਜਦੋਂ $\beta=90^{\circ}$, ਖੰਡ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 10.4)।

ਚਿੱਤਰ 10.4

(ਅ) ਜਦੋਂ $\alpha<\beta<90^{\circ}$, ਖੰਡ ਇੱਕ ਦੀਰਘਵ੍ਰਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 10.5)।

ਚਿੱਤਰ 10.5

(ੲ) ਜਦੋਂ $\beta=\alpha$; ਖੰਡ ਇੱਕ ਪਰਾਵਲਯ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 10.6)।

ਚਿੱਤਰ 10.6

(ਉੱਪਰ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨਾਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਵਿੱਚ, ਸਮਤਲ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਇੱਕ ਨੈਪ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਾਰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ)।

(ਸ) ਜਦੋਂ $0 \leq \beta<\alpha$; ਸਮਤਲ ਦੋਵਾਂ ਨੈਪਾਂ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕੱਟਣ ਦਾ ਵਕਰ ਇੱਕ ਅਤਿਪਰਵਲਯ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 10.7)।

ਚਿੱਤਰ 10.7

10.2.2 ਅਪਭ੍ਰਿਸ਼ਟ ਸ਼ੰਕੂ ਖੰਡ

ਜਦੋਂ ਸਮਤਲ ਸ਼ੰਕੂ ਦੇ ਸਿਖਰ ‘ਤੇ ਕੱਟਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕੇਸ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:

(ਉ) ਜਦੋਂ $\alpha<\beta \leq 90^{\circ}$, ਤਾਂ ਖੰਡ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 10.8)।

ਚਿੱਤਰ 10.8

(ਅ) ਜਦੋਂ $\beta=\alpha$, ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸ਼ੰਕੂ ਦਾ ਇੱਕ ਜਨਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਖੰਡ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 10.9)।

ਚਿੱਤਰ 10.9

ਇਹ ਪਰਾਵਲਯ ਦਾ ਅਪਭ੍ਰਿਸ਼ਟ ਕੇਸ ਹੈ।

(ੲ) ਜਦੋਂ $0 \leq \beta<\alpha$, ਖੰਡ ਸਿੱਧੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 10.10)। ਇਹ ਅਤਿਪਰਵਲਯ ਦਾ ਅਪਭ੍ਰਿਸ਼ਟ ਕੇਸ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 10.8 (ਉ)

ਚਿੱਤਰ 10.8 (ਅ)

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸ਼ੰਕੂ ਖੰਡਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ‘ਤੇ ਆਧਾਰਿਤ ਕਰਕੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਾਂਗੇ।

10.3 ਚੱਕਰ

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 1 ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਸਥਿਰ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕੇਂਦਰ ਤੋਂ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 10.11)।

ਚਿੱਤਰ 10.11

ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਹੋਵੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ (ਚਿੱਤਰ 10.12)।

ਚਿੱਤਰ 10.12

ਮੰਨ ਲਓ $C(h, k)$ ਕੇਂਦਰ ਹੋਵੇ ਅਤੇ $r$ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਹੋਵੇ। ਮੰਨ ਲਓ $P(x, y)$ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਹੋਵੇ (ਚਿੱਤਰ 10.12)। ਫਿਰ, ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, $|CP|=r$। ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

ਭਾਵ

$ \begin{aligned} & \sqrt{(x-h)^{2}+-k)^{2}}=r \\ & (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} \end{aligned} $

ਇਹ ਕੇਂਦਰ $(h, k)$ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $r$ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਲੋੜੀਂਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 1 ਕੇਂਦਰ $(0,0)$ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $r$ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ ਇੱਥੇ $h=k=0$। ਇਸ ਲਈ, ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 2 ਕੇਂਦਰ $(-3,2)$ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ 4 ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ ਇੱਥੇ $h=-3, k=2$ ਅਤੇ $r=4$। ਇਸ ਲਈ, ਲੋੜੀਂਦੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ

$$ (x+3)^{2}+(y-2)^{2}=16 $$

ਉਦਾਹਰਨ 3 ਚੱਕਰ $x^{2}+y^{2}+8 x+10 y-8=0$ ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਲੱਭੋ

ਹੱਲ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ

$$ (x^{2}+8 x)+(y^{2}+10 y)=8 $$

ਹੁਣ, ਕੋਸ਼ਠਕਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਵਰਗ ਪੂਰੇ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ

$ (x^{2}+8 x+16)+(y^{2}+10 y+25)=8+16+25 $

ਭਾਵ

$ (x+4)^{2}+(y+5)^{2}=49 $

ਭਾਵ

$[x-(-4)]^2 + [y-(-5)]^2 = 7^2$

ਇਸ ਲਈ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕੇਂਦਰ $(-4,-5)$ ‘ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ 7 ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 4 ਉਸ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ $(2,-2)$, ਅਤੇ $(3,4)$ ਤੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸਦਾ ਕੇਂਦਰ ਰੇਖਾ $x+y=2$ ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ।

ਹੱਲ ਮੰਨ ਲਓ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ ਹੈ।

ਕਿਉਂਕਿ ਚੱਕਰ $(2,-2)$ ਅਤੇ $(3,4)$ ਤੋਂ ਲੰਘਦਾ ਹੈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ \begin{equation*} (2-h)^{2}+(-2-k)^{2}=r^{2} \tag{1} \end{equation*} $$

ਅਤੇ $$ \begin{equation*} (3-h)^{2}+(4-k)^{2}=r^{2} \tag{2} \end{equation*} $$

ਇਹ ਵੀ ਕਿਉਂਕਿ ਕੇਂਦਰ ਰੇਖਾ $x+y=2$ ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ \begin{equation*} h+k=2 \tag{3} \end{equation*} $$

ਸਮੀਕਰਨ (1), (2) ਅਤੇ (3) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ

$ h=0.7, \quad k=1.3 \text{ ਅਤੇ } r^{2}=12.58 $

ਇਸ ਲਈ, ਲੋੜੀਂਦੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ

$ (x-0.7)^{2}+(y-1.3)^{2}=12.58 . $

10.4 ਪਰਾਵਲਯ

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 2 ਇੱਕ ਪਰਾਵਲਯ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਬਿੰਦੂ (ਰੇਖਾ ‘ਤੇ ਨਹੀਂ) ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਸਥਿਰ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਪਰਾਵਲਯ ਦੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਬਿੰਦੂ $F$ ਨੂੰ ਫੋਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 10.13)। (‘ਪੈਰਾ’ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ‘ਲਈ’ ਅਤੇ ‘ਬੋਲਾ’ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ‘ਸੁੱਟਣਾ’, ਭਾਵ, ਉਹ ਆਕਾਰ ਜੋ ਤੁਸੀਂ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਹਵਾ ਵਿੱਚ ਸੁੱਟਣ ‘ਤੇ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ)।

ਚਿੱਤਰ 10.13

ਨੋਟ - ਜੇਕਰ ਸਥਿਰ ਬਿੰਦੂ ਸਥਿਰ ਰੇਖਾ ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ, ਜੋ ਸਥਿਰ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਰੇਖਾ ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਹਨ, ਸਥਿਰ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੋਈ ਅਤੇ ਸਥਿਰ ਰੇਖਾ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਪਰਾਵਲਯ ਦੇ ਅਪਭ੍ਰਿਸ਼ਟ ਕੇਸ ਵਜੋਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।

ਫੋਕਸ ਤੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੋਈ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਪਰਾਵਲਯ ਦੀ ਧੁਰੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪਰਾਵਲਯ ਦਾ ਧੁਰੀ ਨਾਲ ਕੱਟਣ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਪਰਾਵਲਯ ਦਾ ਸਿਖਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 10.14)।

ਚਿੱਤਰ 10.14

10.4.1 ਪਰਾਵਲਯ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨ

ਇੱਕ ਪਰਾਵਲਯ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਸਿਖਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ $x$-ਧੁਰੀ ਜਾਂ $y$-ਧੁਰੀ ਦੇ ਨਾਲ ਹੋਵੇ। ਪਰਾਵਲਯ ਦੀਆਂ ਚਾਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਅਜਿਹੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਹੇਠਾਂ ਚਿੱਤਰ 10.15 (ਉ) ਤੋਂ (ਸ) ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।

(ਉ)

(ਅ)

$x^{2}=4 a y$

(ੲ)

$x^{2}=-4 a y$

(ਸ)

ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਚਿੱਤਰ 10.15 (ਉ) ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਪਰਾਵਲਯ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਫੋਕਸ $(a, 0) a>0$ ‘ਤੇ; ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ $x=-a$ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਾਂਗੇ:

ਮੰਨ ਲਓ $F$ ਫੋਕਸ ਹੋਵੇ ਅਤੇ $l$ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ ਹੋਵੇ। ਮੰਨ ਲਓ FM ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਹੋਵੇ ਅਤੇ FM ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ O ‘ਤੇ ਸਮਦੁਭਾਜਿਤ ਕਰੇ। MO ਨੂੰ X ਤੱਕ ਵਧਾਓ। $(-a, y)$ B ਪਰਾਵਲਯ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ $O$ ਪਰਾਵਲਯ ‘ਤੇ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਪਰਾਵਲਯ ਦਾ ਸਿਖਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। $O$ ਨੂੰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਵਜੋਂ ਲਓ, $OX$ ਨੂੰ $x$-ਧੁਰੀ ਅਤੇ $OY$ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਲੰਬਵਤ $y$-ਧੁਰੀ ਵਜੋਂ ਲਓ। ਮੰਨ ਲਓ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ ਤੋਂ ਫੋਕਸ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ $2 a$ ਹੋਵੇ। ਫਿਰ, ਫੋਕਸ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ $(a, 0)$ ਹਨ, ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ $x+a=0$ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 10.16 ਵਿੱਚ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ $\mathbf{1 0 . 1 6}$

ਮੰਨ ਲਓ $P(x, y)$ ਪਰਾਵਲਯ ‘ਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਹੋਵੇ ਜਿਵੇਂ ਕਿ

$$ PF=PB, \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) $$

ਜਿੱਥੇ $PB$, $l$ ‘ਤੇ ਲੰਬਵਤ ਹੈ। $B$ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ $(-a, y)$ ਹਨ। ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ PF=\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}} \text{ ਅਤੇ } PB=\sqrt{(x+a)^{2}} $

ਕਿਉਂਕਿ $PF=PB$, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ \sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}}=\sqrt{(x+a)^{2}} $

ਭਾਵ $ \quad\quad\quad(x-a)^{2}+y^{2}=(x+a)^{2}$

ਜਾਂ $\quad\quad\quad x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2}=x^{2}+2 a x+a^{2}$

ਜਾਂ $\quad\quad\quad y^{2}=4 a x(a>0)$।

ਇਸ ਲਈ, ਪਰਾਵਲਯ ‘ਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ

$ y^{2}=4 a x \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) $

ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਮੰਨ ਲਓ $P(x, y)$ ਸਮੀਕਰਨ (2) ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ

$ \begin{aligned} PF & =\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}} \quad=\sqrt{(x-a)^{2}+4 a x} \\ & =\sqrt{(x+a)^{2}}=PB \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3) \end{aligned} $

ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ $P(x, y)$ ਪਰਾਵਲਯ ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, (2) ਅਤੇ (3) ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਸਾਬਤ ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਹੈ ਕਿ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਸਿਖਰ, ਫੋਕਸ $(a, 0)$ ‘ਤੇ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ $x=-a$ ਵਾਲੇ ਪਰਾਵਲਯ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ $y^{2}=4 a x$ ਹੈ।

ਚਰਚਾ ਸਮੀਕਰਨ (2) ਵਿੱਚ, ਕਿਉਂਕਿ $a>0, x$ ਕੋਈ ਵੀ ਧਨਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਜਾਂ ਸਿਫ਼ਰ ਮੰਨ ਸਕਦਾ ਹੈ ਪਰ ਕੋਈ ਰਿਣਾਤਮਕ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਅਤੇ ਵਕਰ ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਚੌਥੇ ਚਤੁਰਥਾਸ਼ ਵਿੱਚ ਅਨੰਤ ਦੂਰੀ ਤੱਕ ਫੈਲਦਾ ਹੈ। ਪਰਾਵਲਯ ਦੀ ਧੁਰੀ ਧਨਾਤਮਕ $x$-ਧੁਰੀ ਹੈ।

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਪਰਾਵਲਯਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:

ਚਿੱਤਰ 11.15 (ਅ) ਵਜੋਂ $y^{2}=-4 a x$,

ਚਿੱਤਰ 11.15 (ੲ) ਵਜੋਂ $x^{2}=4 a y$,

ਚਿੱਤਰ $11.15(d)$ ਵਜੋਂ $x^{2}=-4 a y$,

ਇਹ ਚਾਰ ਸਮੀਕਰਨ ਪਰਾਵਲਯਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਜੋਂ ਜਾਣੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।

ਨੋਟ - ਪਰਾਵਲਯਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਫੋਕਸ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਧੁਰੀ ‘ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਸਿਖਰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ ਦੂਜੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਧੁਰੀ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਫੋਕਸ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਕਾ ਵਜੋਂ ਰੱਖਣ ਵਾਲੇ ਪਰਾਵਲਯਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਇੱਥੇ ਦੇ ਦਾਇਰੇ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਹੈ।

ਪਰਾਵਲਯਾਂ ਦੇ ਮਿਆਰੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਤੋਂ, ਚਿੱਤਰ 10.15, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਨਿਰੀਖਣ ਹਨ:

1. ਪਰਾਵਲਯ ਪਰਾਵਲਯ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ $y^{2}$ ਪਦ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ $x$-ਧੁਰੀ ਦੇ ਨਾਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ $x^{2}$ ਪਦ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ $y$-ਧੁਰੀ ਦੇ ਨਾਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

2. ਜਦੋਂ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ $x$-ਧੁਰੀ ਦੇ ਨਾਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਪਰਾਵਲਯ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ

(ਉ) ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਜੇਕਰ $x$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਧਨਾਤਮਕ ਹੈ,

(ਅ) ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਜੇਕਰ $x$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਹੈ।

3. ਜਦੋਂ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਧੁਰੀ $y$-ਧੁਰੀ ਦੇ ਨਾਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਪਰਾਵਲਯ ਖੁੱਲ੍ਹਦਾ ਹੈ

(ੲ) ਉੱਪਰ ਵੱਲ ਜੇਕਰ $y$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਧਨਾਤਮਕ ਹੈ।

(ਸ) ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਜੇਕਰ $y$ ਦਾ ਗੁਣਾਂਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਹੈ।

10.4.2 ਨਾਭੀ ਲੰਬਾਈ

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 3 ਪਰਾਵਲਯ ਦੀ ਨਾਭੀ ਲੰਬਾਈ ਪਰਾਵਲਯ ਦੀ ਧੁਰੀ ਦੇ ਲੰਬਵਤ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਹੈ, ਜੋ ਫੋਕਸ ਤੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸਦੇ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂ ਪਰਾਵਲਯ '