ਗਣਿਤ ਸਾਰੀਆਂ ਵਿਗਿਆਨਾਂ ਦੀ ਰਾਣੀ ਅਤੇ ਦਾਸੀ ਦੋਵੇਂ ਹੈ - ਈ.ਟੀ. ਬੈੱਲ

11.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਤੁਹਾਨੂੰ ਯਾਦ ਹੋਵੇਗਾ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਦੋ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਲੰਬਵਤ ਕੱਟਦੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅਕਸ਼ ਕਹਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਦੋਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸ਼ਾਂ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸਲ ਜੀਵਨ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਪਏ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨਾਲ ਹੀ ਨਹੀਂ, ਸਗੋਂ ਹੋਰਨਾਂ ਨਾਲ ਵੀ ਵਿਹਾਰ ਕਰਨਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ, ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸੁੱਟੀ ਗਏ ਗੇਂਦ ਦੀ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਮੇਂ ‘ਤੇ ਸਥਿਤੀ ਜਾਂ ਇੱਕ ਹਵਾਈ ਜਹਾਜ਼ ਦੀ ਉਸਦੀ ਉਡਾਣ ਦੌਰਾਨ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਮਿਆਂ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਥਾਂ ਤੋਂ ਦੂਜੀ ਥਾਂ ਉਡਾਣ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕਮਰੇ ਦੀ ਛੱਤ ਤੋਂ ਲਟਕਦੇ ਬਿਜਲੀ ਦੇ ਬਲਬ ਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਹੇਠਲੇ ਸਿਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਜਾਂ ਕਮਰੇ ਦੀ ਛੱਤ ਦੇ ਪੱਖੇ ਦੇ ਕੇਂਦਰੀ ਸਿਰੇ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣਾ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਨਾ ਸਿਰਫ਼ ਬਿੰਦੂ ਦੀਆਂ ਕਮਰੇ ਦੀਆਂ ਦੋ ਲੰਬਵਤ ਦੀਵਾਰਾਂ ਤੋਂ ਲੰਬਵਤ ਦੂਰੀਆਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ, ਸਗੋਂ ਬਿੰਦੂ ਦੀ ਕਮਰੇ ਦੇ ਫਰਸ਼ ਤੋਂ ਉਚਾਈ ਦੀ ਵੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇਗੀ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਦੋ ਨਹੀਂ, ਸਗੋਂ ਤਿੰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜੋ ਬਿੰਦੂ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ ਪਰਸਪਰ ਲੰਬਵਤ ਸਮਤਲਾਂ, ਯਾਨੀ ਕਮਰੇ ਦੇ ਫਰਸ਼ ਅਤੇ ਕਮਰੇ ਦੀਆਂ ਦੋ ਨੇੜਲੀਆਂ ਦੀਵਾਰਾਂ ਤੋਂ ਲੰਬਵਤ ਦੂਰੀਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਤਿੰਨ ਦੂਰੀਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਤਿੰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਸਮਤਲਾਂ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਤਿੰਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ-ਆਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੀਆਂ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸੰਕਲਪਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ।*

11.2 ਤਿੰਨ-ਆਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅਕਸ਼ ਅਤੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਸਮਤਲ

ਤਿੰਨ ਸਮਤਲਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ $O$ ‘ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ ਕਿ ਇਹ ਤਿੰਨੋਂ ਸਮਤਲ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਪਰਸਪਰ ਲੰਬਵਤ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 11.1)। ਇਹ ਤਿੰਨੋਂ ਸਮਤਲ ਰੇਖਾਵਾਂ $X^{\prime} OX, Y^{\prime} OY$ ਅਤੇ $Z^{\prime} OZ$ ਨਾਲ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $x, y$ ਅਤੇ $z$-ਅਕਸ਼ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਧਿਆਨ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਰੇਖਾਵਾਂ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਪਰਸਪਰ ਲੰਬਵਤ ਹਨ। ਇਹ ਰੇਖਾਵਾਂ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਮਤਲ XOY, YOZ ਅਤੇ ZOX, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ XY-ਸਮਤਲ, YZ-ਸਮਤਲ ਅਤੇ ZX-ਸਮਤਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਿੰਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਸਮਤਲ ਵਜੋਂ ਜਾਣੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ XOY ਸਮਤਲ ਨੂੰ ਕਾਗਜ਼ ਦੇ ਸਮਤਲ ਵਜੋਂ ਅਤੇ

ਚਿੱਤਰ 11.1 ਰੇਖਾ $Z^{\prime} OZ$ ਨੂੰ ਸਮਤਲ $XOY$ ਲਈ ਲੰਬਵਤ ਵਜੋਂ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ ਕਾਗਜ਼ ਦੇ ਸਮਤਲ ਨੂੰ ਖਿਤਿਜੀ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਰੇਖਾ $Z^{\prime} OZ$ ਲੰਬਵਤ ਹੋਵੇਗੀ। XY-ਸਮਤਲ ਤੋਂ $OZ$ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਉੱਪਰ ਮਾਪੀਆਂ ਗਈਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਨੂੰ ਧਨਾਤਮਕ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜੋ $OZ^{\prime}$ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਹੇਠਾਂ ਮਾਪੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਰਿਣਾਤਮਕ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $ZX$-ਸਮਤਲ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ $OY$ ਦੇ ਨਾਲ ਮਾਪੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਧਨਾਤਮਕ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ZX-ਸਮਤਲ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਅਤੇ $O Y^{\prime}$ ਦੇ ਨਾਲ ਰਿਣਾਤਮਕ, YZ-ਸਮਤਲ ਦੇ ਸਾਹਮਣੇ $O X$ ਦੇ ਨਾਲ ਧਨਾਤਮਕ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਪਿੱਛੇ $OX^{\prime}$ ਦੇ ਨਾਲ ਰਿਣਾਤਮਕ। ਬਿੰਦੂ $O$ ਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਮੂਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤਿੰਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਸਮਤਲ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਅੱਠ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ $XOYZ, X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY Y, XOY ’ Z, XOYZ$, $X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY^{\prime} Z^{\prime}$ ਅਤੇ $XOY^{\prime} Z^{\prime}$ ਦੇ ਨਾਮ ਦਿੱਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ I, II, III, …, VIII ਨਾਲ ਦਰਸਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।

11.3 ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ

ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਪ੍ਰਣਾਲੀ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅਕਸ਼, ਨਿਰਦੇਸ਼ ਸਮਤਲ ਅਤੇ ਮੂਲ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ, ਚੁਣਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਸਮਝਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਵੇਂ, ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਤਿੰਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ $(x, y, z)$ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਤਿੰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $(x, y, z)$ ਦਾ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣਾ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਦਾ ਪਤਾ ਕਿਵੇਂ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।

ਚਿੱਤਰ 11.2

ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ $P$ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ XY-ਸਮਤਲ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ PM ਸੁੱਟਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਪੈਰ M ਇਸ ਲੰਬ ਦਾ ਪੈਰ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 11.2)। ਫਿਰ, ਬਿੰਦੂ M ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ ML $x$-ਅਕਸ਼ ‘ਤੇ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ, ਇਸਨੂੰ L ‘ਤੇ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ OL, $x, LM$ ਹੋਵੇ, $y$ ਹੋਵੇ ਅਤੇ MP, $z$ ਹੋਵੇ। ਫਿਰ $x, y$ ਅਤੇ $z$ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ $P$ ਦੇ $x, y$ ਅਤੇ $z$ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 11.2 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਧਿਆਨ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਿੰਦੂ $P(x, y, z)$ ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ XOYZ ਵਿੱਚ ਪਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਸਾਰੇ $x, y$, $z$ ਧਨਾਤਮਕ ਹਨ। ਜੇਕਰ $P$ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ, ਤਾਂ $x, y$ ਅਤੇ $z$ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਉਸ ਅਨੁਸਾਰ ਬਦਲ ਜਾਂਦੇ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ $P$ ਲਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤਿਕੋਣਾ $(x, y, z)$ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਕੋਈ ਵੀ ਤਿਕੋਣਾ $(x, y, z)$ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ $x$-ਅਕਸ਼ ‘ਤੇ ਬਿੰਦੂ $L$ ਨੂੰ $x$ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਠੀਕ ਕਰਾਂਗੇ, ਫਿਰ XY-ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ $M$ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਵਾਂਗੇ ਤਾਂ ਕਿ $(x, y)$ XY-ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ M ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਹੋਣ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ LM, $x$-ਅਕਸ਼ ਲਈ ਲੰਬਵਤ ਹੈ ਜਾਂ $y$-ਅਕਸ਼ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਬਿੰਦੂ M ‘ਤੇ ਪਹੁੰਚਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਅਸੀਂ XY-ਸਮਤਲ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਲੰਬਵਤ MP ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸ ‘ਤੇ ਬਿੰਦੂ $P$ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਜੋ $z$ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਬਿੰਦੂ $P$ ਦੇ ਫਿਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ $(x, y, z)$ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਅਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤਿਕੋਣੇ $(x, y, z)$ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ-ਤੋਂ-ਇੱਕ ਮੇਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਵਿਕਲਪਿਕ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ $P$ ਦੁਆਰਾ, ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਸਮਤਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਸਮਤਲਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕਿ $x$-ਅਕਸ਼, $y$-ਅਕਸ਼ ਅਤੇ $z$-ਅਕਸ਼ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਬਿੰਦੂਆਂ $A, B$ ਅਤੇ $C$ ‘ਤੇ ਮਿਲਾਉਂਦੇ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 11.3)। ਮੰਨ ਲਓ $OA=x, OB=y$ ਅਤੇ $OC=z$। ਫਿਰ, ਬਿੰਦੂ $P$ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ $x, y$ ਅਤੇ $z$ ਹੋਣਗੇ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ $P(x, y, z)$। ਇਸਦੇ ਉਲਟ, $x, y$ ਅਤੇ $z$ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਤਿੰਨ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅਕਸ਼ਾਂ ‘ਤੇ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂਆਂ $A, B$ ਅਤੇ $C$ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਬਿੰਦੂਆਂ $A, B$ ਅਤੇ $C$ ਦੁਆਰਾ ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ YZ-ਸਮਤਲ, ZX-ਸਮਤਲ ਅਤੇ XY-ਸਮਤਲ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਸਮਤਲ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ,

ਚਿੱਤਰ 11.3

ਇਹਨਾਂ ਤਿੰਨ ਸਮਤਲਾਂ, ਯਾਨੀ ADPF, BDPE ਅਤੇ CEPF ਦਾ ਇੰਟਰਸੈਕਸ਼ਨ ਬਿੰਦੂ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਬਿੰਦੂ $P$ ਹੈ, ਜੋ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਤਿਕੋਣੇ $(x, y, z)$ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ $P(x, y, z)$ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਤਾਂ $x, y$ ਅਤੇ ⟦80⟈ ਕ੍ਰਮਵਾਰ YZ, ZX ਅਤੇ XY ਸਮਤਲਾਂ ਤੋਂ ਲੰਬਵਤ ਦੂਰੀਆਂ ਹਨ।

ਨੋਟ - ਮੂਲ $O$ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ $(0,0,0)$ ਹਨ। $x$-ਅਕਸ਼ ‘ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ $(x, 0,0)$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਣਗੇ ਅਤੇ YZ-ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ $(0, y, z)$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੋਣਗੇ।

ਟਿੱਪਣੀ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਬਿੰਦੂ ਕਿਸ ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਪਿਆ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਟੇਬਲ ਅੱਠ ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।

ਟੇਬਲ 11.1

ਉਦਾਹਰਣ 1 ਚਿੱਤਰ 11.3 ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ $P$, $(2,4,5)$ ਹੈ, ਤਾਂ $F$ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਬਿੰਦੂ $F$ ਲਈ, OY ਦੇ ਨਾਲ ਮਾਪੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $F$ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ $(2,0,5)$ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਣ 2 ਪਤਾ ਕਰੋ ਕਿ ਬਿੰਦੂ $(-3,1,2)$ ਅਤੇ $(-3,1,-2)$ ਕਿਸ ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਪਏ ਹਨ।

ਹੱਲ ਟੇਬਲ 11.1 ਤੋਂ, ਬਿੰਦੂ $(-3,1,2)$ ਦੂਜੇ ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ ਵਿੱਚ ਪਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ $(-3,1,-2)$ ਅਸ਼ਟਾਂਸ਼ VI ਵਿੱਚ ਪਿਆ ਹੈ।

11.4 ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ

ਅਸੀਂ ਦੋ-ਆਯਾਮੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਬਾਰੇ ਪੜ੍ਹਿਆ ਹੈ। ਆਓ ਹੁਣ ਇਸ ਅਧਿਐਨ ਨੂੰ ਤਿੰਨ-ਆਯਾਮੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਤੱਕ ਵਧਾਈਏ।

ਮੰਨ ਲਓ $P(x_1, y_1, z_1)$ ਅਤੇ $Q(x_2, y_2, z_2)$ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਹਨ ਜੋ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਅਕਸ਼ ਪ੍ਰਣਾਲੀ $OX, OY$ ਅਤੇ $OZ$ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਹਨ। ਬਿੰਦੂਆਂ $P$ ਅਤੇ $Q$ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਸਮਤਲਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਸਮਤਲ ਖਿੱਚੋ ਤਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਵਿਕਰਣ PQ (ਚਿੱਤਰ 11.4) ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਮਾਂਤਰ ਘਟਾਓ ਬਣੇ।

ਚਿੱਤਰ 11.4

ਹੁਣ, ਕਿਉਂਕਿ $\angle PAQ$ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ $\quad \mathbf{X}$ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਤਿਕੋਣ PAQ ਵਿੱਚ,

$ PQ^{2}=PA^{2}+AQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(1) $

ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਤਿਕੋਣ ANQ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤਿਕੋਣ ਹੈ ਜਿਸਦਾ $\angle ANQ$ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ $\quad\quad\quad AQ^{2}=AN^{2}+NQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(2)$

(1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{PA}^{2}+\mathrm{AN}^{2}+\mathrm{NQ}^{2} $$

ਹੁਣ $\quad\quad\quad\mathrm{PA}=y _{2}-y _{1}, \mathrm{AN}=x _{2}-x _{1}$ ਅਤੇ $\mathrm{NQ}=z _{2}-z _{1}$

ਇਸ ਲਈ $\quad\quad\quad\mathrm{PQ}^{2}=\left(x _{2}-x _{1}\right)^{2}+\left(y _{2}-y _{1}\right)^{2}+\left(z _{2}-z _{1}\right)^{2}$

ਇਸ ਲਈ $\quad\quad\quad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}$

ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ $(x_1, y_1, z_1)$ ਅਤੇ $(x_2, y_2, z_2)$ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।

ਖਾਸ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਜੇਕਰ $x_1=y_1=z_1=0$, ਯਾਨੀ ਬਿੰਦੂ $P$ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ $O$ ਹੈ, ਤਾਂ $OQ=\sqrt{x_2{ }^{2}+y_2{ }^{2}+z_2{ }^{2}}$, ਜੋ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ $O$ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ $Q(x_2, y_2, z_2)$ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 3 ਬਿੰਦੂਆਂ $P(1,-3,4)$ ਅਤੇ $Q(-4,1,2)$ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਬਿੰਦੂਆਂ $P(1,-3,4)$ ਅਤੇ $Q(-4,1,2)$ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ PQ ਹੈ

$ \begin{aligned} PQ & =\sqrt{(-4-1)^{2}+(1+3)^{2}+(2-4)^{2}} \\ & =\sqrt{25+16+4} \\ & =\sqrt{45}=3 \sqrt{5} \text{ ਇਕਾਈਆਂ } \end{aligned} $

ਉਦਾਹਰਣ 4 ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਬਿੰਦੂ $P(-2,3,5)$, $Q(1,2,3)$ ਅਤੇ $R(7,0,-1)$ ਸਮਰੇਖੀ ਹਨ।

ਹੱਲ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਸਮਰੇਖੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਹ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ‘ਤੇ ਪਏ ਹੋਣ।

ਹੁਣ,

$ \begin{aligned} & P Q=\sqrt{(1+2)^{2}+(2-3)^{2}+(3-5)^{2}}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14} \\ & Q R=\sqrt{(7-1)^{2}+(0-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{36+4+16}=\sqrt{56}=2 \sqrt{14} \end{aligned} $

ਅਤੇ

$ P R=\sqrt{(7+2)^{2}+(0-3)^{2}+(-1-5)^{2}}=\sqrt{81+9+36}=\sqrt{126}=3 \sqrt{14} $

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $PQ+QR=PR$। ਇਸ ਲਈ, $P, Q$ ਅਤੇ $R$ ਸਮਰੇਖੀ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਣ 5 ਕੀ ਬਿੰਦੂ A $(3,6,9), B(10,20,30)$ ਅਤੇ C $(25,-41,5)$, ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤਿਕੋਣ ਦੇ ਸਿਖਰ ਹਨ?

ਹੱਲ ਦੂਰੀ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ \begin{aligned} AB^{2} & =(10-3)^{2}+(20-6)^{2}+(30-9)^{2} \\ & =49+196+441=686 \\ BC^{2} & =(25-10)^{2}+(-41-20)^{2}+(5-30)^{2} \\ & =225+3721+625=4571 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} CA^{2} & =(3-25)^{2}+(6+41)^{2}+(9-5)^{2} \\ & =484+2209+16=2709 \end{aligned} $

ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $\quad \quad\quad CA^{2}+AB^{2} \neq BC^{2}$।

ਇਸ ਲਈ, ਤਿਕੋਣ $ABC$ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤਿਕੋਣ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 6 ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ $P$ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $PA^{2}+PB^{2}=2 k^{2}$, ਜਿੱਥੇ $A$ ਅਤੇ $B$ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਬਿੰਦੂ $(3,4,5)$ ਅਤੇ $(-1,3,-7)$ ਹਨ।

ਹੱਲ ਮੰਨ ਲਓ ਬਿੰਦੂ $P$ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ $(x, y, z)$ ਹਨ।

ਇੱਥੇ

$ \begin{aligned} & PA^{2}=(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2} \\ & PB^{2}=(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2} \end{aligned} $

ਦਿੱਤੀ ਸ਼ਰਤ $PA^{2}+PB^{2}=2 k^{2}$ ਦੁਆਰਾ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z-5)^{2}+(x+1)^{2}+(y-3)^{2}+(z+7)^{2}=2 k^{2} \\ \text{ ਯਾਨੀ, } \quad 2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-4 x-14 y+4 z=2 k^{2}-109 . $

ਵਿਭਿੰਨ ਉਦਾਹਰਣਾਂ

ਉਦਾਹਰਣ 7 ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਬਿੰਦੂ A $(1,2,3)$, B (-1, -2, -1), C (2, 3, 2) ਅਤੇ $D(4,7,6)$ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ $ABCD$ ਦੇ ਸਿਖਰ ਹਨ, ਪਰ ਇਹ ਇੱਕ ਆਇਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਹੱਲ ABCD ਨੂੰ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਦਿਖਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਵਿਰੋਧੀ ਭੁਜਾਵਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ

$ \begin{aligned} & AB=\sqrt{(-1-1)^{2}+(-2-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & BC=\sqrt{(2+1)^{2}+(3+2)^{2}+(2+1)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \\ & CD=\sqrt{(4-2)^{2}+(7-3)^{2}+(6-2)^{2}}=\sqrt{4+16+16}=6 \\ & DA=\sqrt{(1-4)^{2}+(2-7)^{2}+(3-6)^{2}}=\sqrt{9+25+9}=\sqrt{43} \end{aligned} $

ਕਿਉਂਕਿ $A B=C D$ ਅਤੇ $B C=A D, A B C D$ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ।

ਹੁਣ, ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ $ABCD$ ਇੱਕ ਆਇਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵਿਕਰਣ $AC$ ਅਤੇ ⟦150⟅ ਅਸਮਾਨ ਹਨ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ \begin{aligned} & AC=\sqrt{(2-1)^{2}+(3-2)^{2}+(2-3)^{2}}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3} \\ & BD \quad=\sqrt{(4+1)^{2}+(7+2)^{2}+(6+1)^{2}}=\sqrt{25+81+49}=\sqrt{155} . \end{aligned} $

ਕਿਉਂਕਿ $A C \neq B D, A B C D$ ਇੱਕ ਆਇਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਨੋਟ - ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦਿਖਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $ABCD$ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਹੈ, ਇਸ ਗੁਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਵਿਕਰਣ $AC$ ਅਤੇ ⟦154⟅ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਸਮਦੁਭਾਜਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਣ 8 ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਪਤਾ ਕਰੋ $P$ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇਸਦੀਆਂ ਬਿੰਦੂਆਂ $A(3,4,-5)$ ਅਤੇ $B(-2,1,4)$ ਤੋਂ ਦੂਰੀਆਂ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।

ਹੱਲ ਜੇਕਰ $P(x, y, z)$ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $PA=PB$।

ਹੁਣ $\sqrt{(x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+5)^{2}} = \sqrt{(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-4)^{2}}$

ਜਾਂ $\quad\quad (x-3)^{2}+(y-4)^{2}+(z+5)^{2}=(x+2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-4)^{2}$

ਜਾਂ $\quad \quad 10 x+6 y-18 z-29=0$।

ਉਦਾਹਰਣ 9 ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ $ABC$ ਦਾ ਕੇਂਦਰਕ ਬਿੰਦੂ $(1,1,1)$ ‘ਤੇ ਹੈ। ਜੇਕਰ $A$ ਅਤੇ $B$ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $(3,-5,7)$ ਅਤੇ $(-1,7,-6)$ ਹਨ, ਤਾਂ