ਕੈਲਕੂਲਸ ਨੂੰ ਚਾਬੀ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲੈ ਕੇ, ਗਣਿਤ ਨੂੰ ਕੁਦਰਤ ਦੇ ਕੋਰਸ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਲਈ ਸਫਲਤਾਪੂਰਵਕ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ - ਵਾਈਟਹੈੱਡ

12.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਇਹ ਅਧਿਆਏ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੀ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਹੈ। ਕੈਲਕੂਲਸ ਗਣਿਤ ਦੀ ਉਹ ਸ਼ਾਖਾ ਹੈ ਜੋ ਮੁੱਖ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ, ਅਸੀਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਸਹਿਜ ਧਾਰਨਾ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ (ਵਾਸਤਵ ਵਿੱਚ ਇਸਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ)। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਸੀਮਾ ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਅਲਜਬਰੇ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ‘ਤੇ ਵਾਪਸ ਆਉਂਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੇ ਕੁਝ ਅਲਜਬਰੇ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਮਾਨਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਸਰ ਆਈਜ਼ੈਕ ਨਿਊਟਨ (1642-1727 ਈ.)

12.2 ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਦੀ ਸਹਿਜ ਧਾਰਨਾ

ਭੌਤਿਕ ਪ੍ਰਯੋਗਾਂ ਨੇ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕੀਤੀ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਉੱਚੀ ਚਟਾਨ ਤੋਂ ਸੁੱਟਿਆ ਗਿਆ ਸਰੀਰ ਸਰ ਆਈਜ਼ੈਕ ਨਿਊਟਨ $(1642-1727)$ $t$ ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ $4.9 t^{2}$ ਮੀਟਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਤੈਅ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ, ਸਮਾਂ $t$ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਸਰੀਰ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ $s$ ਮੀਟਰ ਵਿੱਚ $s=4.9 t^{2}$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ।

ਸੰਲਗਨ ਟੇਬਲ 13.1 ਇੱਕ ਉੱਚੀ ਚਟਾਨ ਤੋਂ ਸੁੱਟੇ ਗਏ ਸਰੀਰ ਦੁਆਰਾ ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮੇਂ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ‘ਤੇ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਮੀਟਰਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।

ਮਕਸਦ ਇਸ ਡੇਟਾ ਤੋਂ ਸਮਾਂ $t=2$ ਸਕਿੰਟਾਂ ‘ਤੇ ਸਰੀਰ ਦੀ ਵੇਗ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਇਸ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ $t=2$ ਸਕਿੰਟਾਂ ‘ਤੇ ਖਤਮ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਲਈ ਔਸਤ ਵੇਗ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਉਮੀਦ ਕਰੋ ਕਿ ਇਹ $t=2$ ਸਕਿੰਟਾਂ ‘ਤੇ ਵੇਗ ‘ਤੇ ਕੁਝ ਰੋਸ਼ਨੀ ਪਾਉਂਦੇ ਹਨ।

$t=t_1$ ਅਤੇ $t=t_2$ ਵਿਚਕਾਰ ਔਸਤ ਵੇਗ $t=t_l$ ਅਤੇ $t=t_2$, ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਨੂੰ $(t_2-t_1)$ ਨਾਲ ਵੰਡਣ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਔਸਤ ਵੇਗ

$$ \begin{aligned} & =\frac{\text{ Distance travelled between } t_2=2 \text{ and } t_1=0}{\text{ Time interval }(t_2-t_1)} \\ & =\frac{(19.6-0) m}{(2-0) s}=9.8 m / s . \end{aligned} $$

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $t=1$ ਅਤੇ $t=2$ ਵਿਚਕਾਰ ਔਸਤ ਵੇਗ ਹੈ

$$ \frac{(19.6-4.9) m}{(2-1) s}=14.7 m / s $$

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ $t_1$ ਲਈ $t=t_1$ ਅਤੇ $t=2$ ਵਿਚਕਾਰ ਔਸਤ ਵੇਗ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਟੇਬਲ 13.2 $(v), t=t_1$ ਸਕਿੰਟਾਂ ਅਤੇ $t=2$ ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਔਸਤ ਵੇਗ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।

ਟੇਬਲ 12.1

ਟੇਬਲ 12.2

ਟੇਬਲ 12.2 ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਔਸਤ ਵੇਗ ਧੀਰੇ-ਧੀਰੇ ਵਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ $t=2$ ‘ਤੇ ਖਤਮ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਨੂੰ ਛੋਟਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਨੂੰ $t=2$ ‘ਤੇ ਵੇਗ ਦਾ ਬਿਹਤਰ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਿ 1.99 ਸਕਿੰਟਾਂ ਅਤੇ 2 ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੁਝ ਵੀ ਵਾਸਤਵ ਵਿੱਚ ਨਾਟਕੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ‘ਤੇ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $t=2$ ਸਕਿੰਟਾਂ ‘ਤੇ ਔਸਤ ਵੇਗ $19.551 m / s$ ਤੋਂ ਥੋੜ੍ਹਾ ਜਿਹਾ ਉੱਪਰ ਹੈ।

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਗਣਨਾ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੁਆਰਾ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਨੂੰ ਕੁਝ ਹੱਦ ਤੱਕ ਮਜ਼ਬੂਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। $t=2$ ਸਕਿੰਟਾਂ ‘ਤੇ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਲਈ ਔਸਤ ਵੇਗ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, $t=2$ ਸਕਿੰਟਾਂ ਅਤੇ $t=t_2$ ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਔਸਤ ਵੇਗ $v$ ਹੈ

$ \begin{aligned} & =\frac{\text{ 2 ਸਕਿੰਟਾਂ ਅਤੇ } t_2 \text{ ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ }}{t_2-2} \\ & =\frac{\text{ } t_2 \text{ ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ }- \text{ 2 ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ }}{t_2-2} \end{aligned} $

$ =\frac{\text{ } t_2 \text{ ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ }-19.6}{t_2-2} $

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਟੇਬਲ 12.3 $t=2$ ਸਕਿੰਟਾਂ ਅਤੇ $t_2$ ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਵਿੱਚ ਔਸਤ ਵੇਗ $v$ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।

ਟੇਬਲ 12.3

ਇੱਥੇ ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇ ਅਸੀਂ $t=2$ ‘ਤੇ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਛੋਟੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ $t=2$ ‘ਤੇ ਵੇਗ ਦਾ ਬਿਹਤਰ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

ਗਣਨਾ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਜੋ ਕੀਤਾ ਹੈ ਉਹ ਹੈ $t=2$ ‘ਤੇ ਖਤਮ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਵਧਦੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਔਸਤ ਵੇਗ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਮੀਦ ਕਰਨਾ ਕਿ $t=2$ ਤੋਂ ਠੀਕ ਪਹਿਲਾਂ ਕੁਝ ਵੀ ਨਾਟਕੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਗਣਨਾ ਦੇ ਦੂਜੇ ਸੈੱਟ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ $t=2$ ‘ਤੇ ਖਤਮ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਘਟਦੇ ਔਸਤ ਵੇਗ ਪਾਏ ਹਨ ਅਤੇ ਫਿਰ ਉਮੀਦ ਕੀਤੀ ਹੈ ਕਿ $t=2$ ਤੋਂ ਠੀਕ ਬਾਅਦ ਕੁਝ ਵੀ ਨਾਟਕੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਭੌਤਿਕ ਆਧਾਰਾਂ ‘ਤੇ, ਔਸਤ ਵੇਗ ਦੇ ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਕ੍ਰਮ ਇੱਕ ਸਾਂਝੀ ਸੀਮਾ ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਢੰਗ ਨਾਲ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ‘ਤੇ ਪਹੁੰਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $t=2$ ‘ਤੇ ਸਰੀਰ ਦਾ ਵੇਗ $19.551 m / s$ ਅਤੇ $19.649 m / s$ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ। ਤਕਨੀਕੀ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $t=2$ ‘ਤੇ ਤਤਕਾਲ ਵੇਗ $19.551 m / s$ ਅਤੇ $19.649 m / s$ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਵੇਗ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਜੋ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਹੈ ਉਹ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਮੇਂ ਦੇ ਪਲਾਂ ‘ਤੇ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਡੇਟਾ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੇਂ ‘ਤੇ ਦੂਰੀ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਇਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੂਰੀ ਫੰਕਸ਼ਨ $s=4.9 t^{2}$ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ $t=2$ ‘ਤੇ 19.551 ਅਤੇ 19.649 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ।

ਇਸ ਸੀਮਿਤ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਕਲਪਿਕ ਤਰੀਕਾ ਚਿੱਤਰ 12.1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਚਟਾਨ ਦੇ ਸਿਖਰ ਤੋਂ ਸਰੀਰ ਦੀ ਦੂਰੀ $s$ ਬਨਾਮ ਬੀਤੇ ਸਮੇਂ $t$ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਹੈ। ਸੀਮਾ ਵਿੱਚ ਜਿਵੇਂ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ $h_1, h_2, \ldots$, ਜ਼ੀਰੋ ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਔਸਤ ਵੇਗ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਉਸੇ ਸੀਮਾ ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ

ਚਿੱਤਰ 12.1

$ \frac{C_1 B_1}{AC_1}, \frac{C_2 B_2}{AC_2}, \frac{C_3 B_3}{AC_3}, \ldots $

ਜਿੱਥੇ $C_1 B_1=s_1-s_0$ ਸਮੇਂ ਦੇ ਅੰਤਰਾਲ $h_1=AC_1$ ਵਿੱਚ ਸਰੀਰ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਹੈ, ਆਦਿ। ਚਿੱਤਰ 12.1 ਤੋਂ ਇਹ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਢੰਗ ਨਾਲ ਨਿਸ਼ਕਰਸ਼ ਕੱਢਣਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਬਾਅਦ ਵਾਲਾ ਕ੍ਰਮ ਬਿੰਦੂ $A$ ‘ਤੇ ਵਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਸਮਾਂ $t=2$ ‘ਤੇ ਸਰੀਰ ਦਾ ਤਤਕਾਲ ਵੇਗ $v(t)$ ਵਕਰ $s=4.9 t^{2}$ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ $t=2$ ‘ਤੇ।

12.3 ਸੀਮਾਵਾਂ

ਉਪਰੋਕਤ ਚਰਚਾ ਸਪੱਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤੱਥ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਾਨੂੰ ਸੀਮਿਤ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਸਪੱਸ਼ਟਤਾ ਨਾਲ ਸਮਝਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨਾਲ ਕੁਝ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੁਝ ਵਿਆਖਿਆਤਮਕ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x)=x^{2}$ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜਿਵੇਂ $x$ 0 ਦੇ ਬਹੁਤ ਨਜ਼ਦੀਕ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦਾ ਹੈ, $f(x)$ ਦਾ ਮੁੱਲ ਵੀ 0 ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 2.10 ਅਧਿਆਏ 2 ਦੇਖੋ)। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ

$ \begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0} f(x)=0 \end{aligned} $

(ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਣਾ ਹੈ: ਜਿਵੇਂ $x$ ਜ਼ੀਰੋ ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, $f(x)$ ਦੀ ਸੀਮਾ ਜ਼ੀਰੋ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ)। ਜਿਵੇਂ $x$ ਜ਼ੀਰੋ ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, $f(x)$ ਦੀ ਸੀਮਾ ਨੂੰ ਉਸ ਮੁੱਲ ਵਜੋਂ ਸੋਚਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜੋ $f(x)$ ਨੂੰ $x=0$ ‘ਤੇ ਲੈਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।

ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਜਿਵੇਂ $x \to a, f(x) \to l$, ਤਾਂ $l$ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x)$ ਦੀ ਸੀਮਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਪ੍ਰਤੀਕਾਤਮਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ $\lim\limits_{x \to a} f(x)=l$ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ $g(x)=|x|, x \neq 0$ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ $g(0)$ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। $x$ ਦੇ 0 ਦੇ ਬਹੁਤ ਨਜ਼ਦੀਕ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ $g(x)$ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $g(x)$ ਦਾ ਮੁੱਲ 0 ਵੱਲ ਵਧਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $\lim\limits_{x \to 0} g(x)=0$। ਇਹ $x \neq 0$ ਲਈ $y=|x|$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਸਹਿਜ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ। (ਚਿੱਤਰ 2.13, ਅਧਿਆਏ 2 ਦੇਖੋ)।

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।

$ h(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}, x \neq 2 $

$x$ ਦੇ 2 ਦੇ ਬਹੁਤ ਨਜ਼ਦੀਕ (ਪਰ 2 ‘ਤੇ ਨਹੀਂ) ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ $h(x)$ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ। ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਯਕੀਨ ਦਿਵਾਓ ਕਿ ਇਹ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲ 4 ਦੇ ਨਜ਼ਦੀਕ ਹਨ। ਇੱਥੇ ਦਿੱਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ $y=h(x)$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ (ਚਿੱਤਰ 12.2) ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਕੇ ਇਹ ਕੁਝ ਹੱਦ ਤੱਕ ਮਜ਼ਬੂਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 12.2

ਇਨ੍ਹਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਵਿਆਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਬਿੰਦੂ $x=a$ ‘ਤੇ ਕਿਹੜਾ ਮੁੱਲ ਲੈਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਵਾਸਤਵ ਵਿੱਚ ਇਸ ‘ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਸੀ ਕਿ $x$ ਕਿਵੇਂ $a$ ਵੱਲ ਪਹੁੰਚ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਦੋ ਤਰੀਕੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨਾਲ $x$ ਇੱਕ ਨੰਬਰ $a$ ਵੱਲ ਪਹੁੰਚ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ ਜਾਂ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ, ਯਾਨੀ, $a$ ਦੇ ਨਜ਼ਦੀਕ $x$ ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲ $a$ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜਾਂ $a$ ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਕੁਦਰਤੀ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਦੋ ਸੀਮਾਵਾਂ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ - ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ। ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x)$ ਦੀ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ $f(x)$ ਦਾ ਉਹ ਮੁੱਲ ਹੈ ਜੋ $f(x)$ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ $x$ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ $a$ ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ। ਇਸ ਨੂੰ ਸਮਝਾਉਣ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ

$ f(x)= \begin{cases}1, & x \leq 0 \\ 2, & x>0\end{cases} $

ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 12.3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ $f(x)$ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ 0 ‘ਤੇ $f$ ਦਾ ਮੁੱਲ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਯਾਨੀ, 0 ‘ਤੇ $f(x)$ ਦੀ ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ $ \lim\limits_{x \to 0} f(x)=1 . $

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $f(x)$ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨਾਲ ਨਿਰਧਾਰਿਤ 0 ‘ਤੇ $f$ ਦਾ ਮੁੱਲ 2 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਯਾਨੀ, 0 ‘ਤੇ $f(x)$ ਦੀ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ

$ \lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x)=2 . $

ਇਸ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਸੱਜੇ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਿਵੇਂ $x$ ਜ਼ੀਰੋ ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, $f(x)$ ਦੀ ਸੀਮਾ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ (ਭਾਵੇਂ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ 0 ‘ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ)।

ਸਾਰਾਂਸ਼

ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ $\lim\limits_{x \to a^{-}} f(x)$ $x=a$ ‘ਤੇ $f$ ਦਾ ਉਮੀਦਿਤ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ $a$ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ $x$ ਦੇ ਨਜ਼ਦੀਕ $f$ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ $a$ ‘ਤੇ $f$ ਦੀ ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ $\lim\limits_{x \to a^{+}} f(x)$ $x=a$ ‘ਤੇ $f$ ਦਾ ਉਮੀਦਿਤ ਮੁੱਲ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ $a$ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ $x$ ਦੇ ਨਜ਼ਦੀਕ $f$ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਮੁੱਲ ਨੂੰ $a$ ‘ਤੇ $f(x)$ ਦੀ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਜੇਕਰ ਸੱਜੇ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਸ ਸਾਂਝੇ ਮੁੱਲ ਨੂੰ $x=a$ ‘ਤੇ $f(x)$ ਦੀ ਸੀਮਾ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।

ਉਦਾਹਰਣ 1 ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x)=x+10$ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਅਸੀਂ $x=5$ ‘ਤੇ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਆਓ 5 ਦੇ ਬਹੁਤ ਨਜ਼ਦੀਕ $x$ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x)$ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੀਏ। 5 ਦੇ ਨਜ਼ਦੀਕ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਕੁਝ ਬਿੰਦੂ $4.9,4.95,4.99,4.995 \ldots$, ਆਦਿ ਹਨ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ‘ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸਲ ਨੰਬਰ 5.001,

5.01, 5.1 ਵੀ 5 ਦੇ ਨਜ਼ਦੀਕ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ਹਨ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ‘ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਵੀ ਟੇਬਲ 12.4 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।

ਟੇਬਲ 12.4

ਟੇਬਲ 12.4 ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਨਿਸ਼ਕਰਸ਼ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $x=5$ ‘ਤੇ $f(x)$ ਦਾ ਮੁੱਲ 14.995 ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ 15.001 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ $x=4.995$ ਅਤੇ 5.001 ਵਿਚਕਾਰ ਕੁਝ ਵੀ ਨਾਟਕੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ। ਇਹ ਮੰਨਣਾ ਉਚਿਤ ਹੈ ਕਿ 5 ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਨੰਬਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਿਤ $x=5$ ‘ਤੇ $f(x)$ ਦਾ ਮੁੱਲ 15 ਹੈ, ਯਾਨੀ,

$$ \lim\limits_{x \to 5^{-}} f(x)=15 . $$

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜਦੋਂ $x$ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ 5 ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ $f(x)$ ਨੂੰ ਮੁੱਲ 15 ਲੈਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ,

$$ \lim\limits_{x \to 5^{+}} f(x)=15 \text{. } $$

ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ ਕਿ $f(x)$ ਦੀ ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ ਅਤੇ $f(x)$ ਦੀ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦੋਵੇਂ 15 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,

$$ \lim\limits_{x \to 5^{-}} f(x)=\lim\limits_{x \to 5^{+}} f(x)=\lim\limits_{x \to 5} f(x)=15 . $$

15 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਸੀਮਾ ਬਾਰੇ ਇਹ ਨਿਸ਼ਕਰਸ਼ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਨੂੰ ਦੇਖ ਕੇ ਕੁਝ ਹੱਦ ਤੱਕ ਮਜ਼ਬੂਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਚਿੱਤਰ 2.16, ਅਧਿਆਏ 2 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਿਵੇਂ $x$ ਸੱਜੇ ਜਾਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਤੋਂ 5 ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x)=x+10$ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਬਿੰਦੂ $(5,15)$ ਵੱਲ ਪਹੁੰਚਦਾ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $x=5$ ‘ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਵੀ 15 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰ