ਜਿੱਥੇ ਗਣਿਤਿਕ ਤਰਕ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਉੱਥੇ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਉੱਨਾ ਹੀ ਮੂਰਖਤਾ ਹੈ ਜਿੰਨਾ ਕਿ ਕਿਸੇ ਚੀਜ਼ ਨੂੰ ਹਨੇਰੇ ਵਿੱਚ ਟੱਟੋਲਣਾ, ਜਦੋਂ ਤੁਹਾਡੇ ਹੱਥ ਵਿੱਚ ਮੋਮਬੱਤੀ ਹੋਵੇ। - ਜੌਨ ਅਰਬਥਨੋਟ

14.1 ਘਟਨਾ

ਅਸੀਂ ਬੇਤਰਤੀਬ ਪ੍ਰਯੋਗ ਅਤੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਬਾਰੇ ਪੜ੍ਹਿਆ ਹੈ। ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਾਰੇ ਸਵਾਲਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਸਰਵ ਵਿਆਪਕ ਸਮੂਹ ਦਾ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ।

ਇੱਕ ਸਿੱਕੇ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਉਛਾਲਣ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਸ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ $S=\{HH, HT, TH, TT\}$ ਹੈ।

ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨਤੀਜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਹੈੱਡ ਦੀ ਘਟਨਾ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $HT$ ਅਤੇ $TH$, $S$ ਦੇ ਇਕਲੌਤੇ ਤੱਤ ਹਨ ਜੋ ਇਸ ਘਟਨਾ ਦੀ ਘਟਨਾ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ। ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਤੱਤ ਸਮੂਹ $E=\{HT, TH\}$ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੂਹ $E$ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ $S$ ਦਾ ਇੱਕ ਉਪਸਮੂਹ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਅਤੇ S ਦੇ ਉਪਸਮੂਹਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਸੰਬੰਧ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।

ਉਪਰੋਕਤ ਚਰਚਾ ਸੰਕੇਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਦਾ ਇੱਕ ਉਪਸਮੂਹ ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਦੇ ਇੱਕ ਉਪਸਮੂਹ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ $S$ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਉਪਸਮੂਹ $E$ ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ।

14.1.1 ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਦੀ ਘਟਨਾ

ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਸੁੱਟਣ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ $E$ ਉਸ ਘਟਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ “4 ਤੋਂ ਘੱਟ ਇੱਕ ਨੰਬਰ ਦਿਸਦਾ ਹੈ”। ਜੇ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਪਾਸੇ ‘ਤੇ ‘1’ ਆਇਆ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਘਟਨਾ $E$ ਘਟੀ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਜੇ ਨਤੀਜੇ 2 ਜਾਂ 3 ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਘਟਨਾ $E$ ਘਟੀ ਹੈ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ $S$ ਦੀ ਘਟਨਾ $E$ ਨੂੰ ਘਟਿਆ ਹੋਇਆ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦਾ ਨਤੀਜਾ $\omega$ ਅਜਿਹਾ ਹੋਵੇ ਕਿ $\omega \in E$। ਜੇ ਨਤੀਜਾ $\omega$ ਅਜਿਹਾ ਹੋਵੇ ਕਿ $\omega \notin E$, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਘਟਨਾ $E$ ਨਹੀਂ ਘਟੀ ਹੈ।

14.1.2 ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ

ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਤੱਤਾਂ ਦੇ ਆਧਾਰ ‘ਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

1. ਅਸੰਭਵ ਅਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਘਟਨਾਵਾਂ ਖਾਲੀ ਸਮੂਹ $\phi$ ਅਤੇ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ $S$ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ $\phi$ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਸੰਭਵ ਘਟਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ S, ਯਾਨੀ ਪੂਰੀ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਘਟਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਲਈ ਆਓ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਰੋਲ ਕਰਨ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ। ਇਸ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਹੈ $ S=\{1,2,3,4,5,6\} $

ਮੰਨ ਲਓ $E$ ਉਹ ਘਟਨਾ ਹੈ “ਪਾਸੇ ‘ਤੇ ਦਿਸਣ ਵਾਲਾ ਨੰਬਰ 7 ਦਾ ਗੁਣਜ ਹੈ”। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਘਟਨਾ $E$ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਉਪਸਮੂਹ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹੋ?

ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਨਤੀਜਾ ਘਟਨਾ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਸ਼ਰਤ ਨੂੰ ਪੂਰਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ, ਯਾਨੀ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਤੱਤ ਘਟਨਾ $E$ ਦੀ ਘਟਨਾ ਨੂੰ ਯਕੀਨੀ ਨਹੀਂ ਬਣਾਉਂਦਾ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਖਾਲੀ ਸਮੂਹ ਸਿਰਫ ਘਟਨਾ $E$ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਾਸੇ ਦੇ ਉੱਪਰਲੇ ਪਾਸੇ 7 ਦਾ ਗੁਣਜ ਹੋਣਾ ਅਸੰਭਵ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਘਟਨਾ $E=\phi$ ਇੱਕ ਅਸੰਭਵ ਘਟਨਾ ਹੈ।

ਹੁਣ ਆਓ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਹੋਰ ਘਟਨਾ $F$ “ਨੰਬਰ ਟਾਂਗ ਜਾਂ ਇਵੈਂ ਆਉਂਦਾ ਹੈ” ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ। ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ $F=\{1,2,3,4,5,6\}=,S$, ਯਾਨੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਸਾਰੇ ਨਤੀਜੇ ਘਟਨਾ $F$ ਦੀ ਘਟਨਾ ਨੂੰ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਘਟਨਾ $F=S$ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਘਟਨਾ ਹੈ।

2. ਸਧਾਰਨ ਘਟਨਾ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਘਟਨਾ $E$ ਦੇ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਨਮੂਨਾ ਬਿੰਦੂ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ (ਜਾਂ ਪ੍ਰਾਥਮਿਕ) ਘਟਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਜਿਸ ਵਿੱਚ $n$ ਵੱਖਰੇ ਤੱਤ ਹਨ, ਵਿੱਚ ਬਿਲਕੁਲ $n$ ਸਧਾਰਨ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ ਦੋ ਸਿੱਕੇ ਟੌਸ ਕਰਨ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਹੈ

$$ S=\{HH, HT, TH, TT\} $$

ਇਸ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਚਾਰ ਸਧਾਰਨ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ। ਇਹ ਹਨ

$$ E_1=\{HH\}, E_2=\{HT\}, E_3=\{TH\} \text{ and } E_4=\{TT\} $$

3. ਮਿਸ਼ਰਿਤ ਘਟਨਾ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਦੇ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਮੂਨਾ ਬਿੰਦੂ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਮਿਸ਼ਰਿਤ ਘਟਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ, “ਇੱਕ ਸਿੱਕੇ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਵਾਰ ਟੌਸ ਕਰਨ” ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਵਿੱਚ ਘਟਨਾਵਾਂ

E: ‘ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਹੈੱਡ ਦਿਸਦਾ ਹੈ’

F: ‘ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਹੈੱਡ ਦਿਸਦਾ ਹੈ’

G: ‘ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕ ਹੈੱਡ ਦਿਸਦਾ ਹੈ’ ਆਦਿ।

ਸਾਰੀਆਂ ਮਿਸ਼ਰਿਤ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ। $S$ ਦੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਉਪਸਮੂਹ ਹਨ

$ \begin{aligned} & E=\{HTT, THT, TTH\} \\ & F=\{HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH\} \\ & G=\{TTT, \text{ THT, HTT, TTH }\} \end{aligned} $

ਉਪਰੋਕਤ ਹਰੇਕ ਉਪਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਨਮੂਨਾ ਬਿੰਦੂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਸਾਰੀਆਂ ਮਿਸ਼ਰਿਤ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ।

14.1.3 ਘਟਨਾਵਾਂ ਦਾ ਬੀਜਗਣਿਤ

ਸਮੂਹਾਂ ਦੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਮੂਹਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਬਾਰੇ ਪੜ੍ਹਿਆ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੰਘ, ਪ੍ਰਤੀਚੜ, ਅੰਤਰ, ਸਮੂਹ ਦਾ ਪੂਰਕ ਆਦਿ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਸਮਾਨ ਸਮੂਹ ਸੰਕੇਤਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਮੰਨ ਲਓ A, B, C ਉਹ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ ਜੋ ਇੱਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ ਜਿਸਦੀ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ S ਹੈ।

1. ਪੂਰਕ ਘਟਨਾ ਹਰ ਘਟਨਾ A ਲਈ, ਇੱਕ ਹੋਰ ਘਟਨਾ $A^{\prime}$ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ $A$ ਦੀ ਪੂਰਕ ਘਟਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ‘$A$ ਨਹੀਂ’ ਘਟਨਾ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ, ‘ਤਿੰਨ ਸਿੱਕੇ ਟੌਸ ਕਰਨ’ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨੂੰ ਲਓ। ਇਸ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਹੈ $ S=\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\} $

ਮੰਨ ਲਓ $A=\{HTH, HHT, THH\}$ ਉਹ ਘਟਨਾ ਹੈ ‘ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਟੇਲ ਦਿਸਦੀ ਹੈ’ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਨਤੀਜੇ HTT ਲਈ, ਘਟਨਾ A ਨਹੀਂ ਘਟੀ ਹੈ। ਪਰ ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਘਟਨਾ ‘A ਨਹੀਂ’ ਘਟੀ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਹਰੇਕ ਨਤੀਜੇ ਲਈ ਜੋ A ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ‘A ਨਹੀਂ’ ਘਟਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ ਘਟਨਾ A ਦੀ ਪੂਰਕ ਘਟਨਾ ‘A ਨਹੀਂ’ ਹੈ

$ A^{\prime}=\{HHH, HTT, THT, TTH, TTT\} $

ਜਾਂ $ \quad \quad \quad \quad A^{\prime}=\{\omega: \omega \in S \text{ and } \omega \notin A\}=S-A . $

2. ਘਟਨਾ ‘A ਜਾਂ B’ ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਦੋ ਸਮੂਹਾਂ A ਅਤੇ B ਦਾ ਸੰਘ, ਜਿਸਨੂੰ A $\cup$ B ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਵਿੱਚ ਉਹ ਸਾਰੇ ਤੱਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਜਾਂ ਤਾਂ A ਵਿੱਚ ਹਨ ਜਾਂ B ਵਿੱਚ ਹਨ ਜਾਂ ਦੋਵਾਂ ਵਿੱਚ ਹਨ।

ਜਦੋਂ ਸਮੂਹ $A$ ਅਤੇ $B$ ਇੱਕ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ ‘A $\cup B$’ ਘਟਨਾ ਹੈ ‘ਜਾਂ ਤਾਂ $A$ ਜਾਂ $B$ ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ’। ਇਸ ਘਟਨਾ ‘A $\cup B$’ ਨੂੰ ‘A ਜਾਂ B’ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ

$ \begin{aligned} \text{ ਘਟਨਾ }^{\prime} A \text{ ਜਾਂ } B^{\prime} & =A \cup B \\ & =\{\omega: \omega \in A \text{ or } \omega \in B\} \end{aligned} $

3. ਘਟਨਾ ‘A ਅਤੇ B’ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋ ਸਮੂਹਾਂ $A \cap B$ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਚੜ ਉਨ੍ਹਾਂ ਤੱਤਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ A ਅਤੇ B ਦੋਵਾਂ ਲਈ ਸਾਂਝੇ ਹਨ। ਯਾਨੀ, ਜੋ ‘A ਅਤੇ B’ ਦੋਵਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ।

ਜੇਕਰ $A$ ਅਤੇ $B$ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਸਮੂਹ $A \cap B$ ਘਟਨਾ ‘$A$ ਅਤੇ $B$’ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, $ \quad A \cap B=\{\omega: \omega \in A and \omega \in B\} $

ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ, ‘ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਸੁੱਟਣ’ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਵਿੱਚ ਮੰਨ ਲਓ $A$ ਘਟਨਾ ਹੈ ‘ਪਹਿਲੀ ਸੁੱਟ ‘ਤੇ ਸਕੋਰ ਛੇ ਹੈ’ ਅਤੇ B ਘਟਨਾ ਹੈ ‘ਦੋ ਸਕੋਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 11 ਹੈ’ ਤਾਂ

$ A=\{(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\}, \text{ and } B=\{(5,6),(6,5),(6,6)\} $

ਇਸ ਲਈ $\quad A \cap B=\{(6,5),(6,6)\}$

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸਮੂਹ $A \cap B=\{(6,5),(6,6)\}$ ਘਟਨਾ ‘ਪਹਿਲੀ ਸੁੱਟ ‘ਤੇ ਸਕੋਰ ਛੇ ਹੈ ਅਤੇ ਸਕੋਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 11 ਹੈ’ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

4. ਘਟਨਾ ‘A ਪਰ B ਨਹੀਂ’ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ A-B ਉਨ੍ਹਾਂ ਸਾਰੇ ਤੱਤਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜੋ A ਵਿੱਚ ਹਨ ਪਰ B ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਸਮੂਹ A-B ਘਟਨਾ ‘A ਪਰ B ਨਹੀਂ’ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $ A-B=A \cap B^{\prime} $

ਉਦਾਹਰਣ 1 ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਰੋਲ ਕਰਨ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ A ਘਟਨਾ ਹੈ ‘ਇੱਕ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣੀ’, B ਘਟਨਾ ਹੈ ‘ਇੱਕ ਵਿਸਮ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਣੀ’। ਉਹ ਸਮੂਹ ਲਿਖੋ ਜੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ (i) A ਜਾਂ B (ii) A ਅਤੇ B (iii) A ਪਰ B ਨਹੀਂ (iv) ‘A ਨਹੀਂ’।

ਹੱਲ ਇੱਥੇ $\quad S=\{1,2,3,4,5,6\}, A=\{2,3,5\}$ ਅਤੇ $B=\{1,3,5\}$

ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ

(i) ‘A ਜਾਂ $B ‘=A \cup B=\{1,2,3,5\}$

(ii) ‘$A$ ਅਤੇ $B ‘=A \cap B=\{3,5\}$

(iii) ‘A ਪਰ $B$ ਨਹੀਂ’ $=A-B=\{2\}$

(iv) ‘$A^{\prime}=A^{\prime}=\{1,4,6\}$ ਨਹੀਂ

14.1.4 ਪਰਸਪਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਘਟਨਾਵਾਂ

ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਰੋਲ ਕਰਨ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਹੈ $S=\{1,2,3,4,5,6\}$। ਘਟਨਾਵਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, $A$ ‘ਇੱਕ ਵਿਸਮ ਸੰਖਿਆ ਦਿਸਦੀ ਹੈ’ ਅਤੇ $B$ ‘ਇੱਕ ਟਾਂਗ ਸੰਖਿਆ ਦਿਸਦੀ ਹੈ’

ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਘਟਨਾ A ਘਟਨਾ B ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕਰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਉਲਟ ਵੀ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਕੋਈ ਨਤੀਜਾ ਨਹੀਂ ਹੈ ਜੋ ਘਟਨਾਵਾਂ A ਅਤੇ B ਦੀ ਇਕੱਠੀ ਘਟਨਾ ਨੂੰ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ

$A=\{1,3,5\}$ ਅਤੇ $B=\{2,4,6\}$

ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ $A \cap B=\phi$, ਯਾਨੀ $A$ ਅਤੇ $B$ ਅਸੰਬੱਧ ਸਮੂਹ ਹਨ।

ਸਾਧਾਰਣ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ $A$ ਅਤੇ $B$ ਨੂੰ ਪਰਸਪਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਘਟਨਾਵਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਦੀ ਘਟਨਾ ਦੂਜੀ ਘਟਨਾ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਯਾਨੀ ਜੇਕਰ ਉਹ ਇਕੱਠੀਆਂ ਨਹੀਂ ਘਟ ਸਕਦੀਆਂ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਸਮੂਹ A ਅਤੇ B ਅਸੰਬੱਧ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਦੁਬਾਰਾ ਪਾਸਾ ਰੋਲ ਕਰਨ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਵਿੱਚ, ਘਟਨਾ A ‘ਇੱਕ ਵਿਸਮ ਸੰਖਿਆ ਦਿਸਦੀ ਹੈ’ ਅਤੇ ਘਟਨਾ $B$ ‘4 ਤੋਂ ਘੱਟ ਇੱਕ ਨੰਬਰ ਦਿਸਦਾ ਹੈ’ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।

ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ $A=\{1,3,5\}$ ਅਤੇ $B=\{1,2,3\}$

ਹੁਣ $3 \in A$ ਅਤੇ ਨਾਲ ਹੀ $3 \in B$

ਇਸ ਲਈ, A ਅਤੇ B ਪਰਸਪਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨਹੀਂ ਹਨ।

ਟਿੱਪਣੀ ਇੱਕ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਦੀਆਂ ਸਧਾਰਨ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਮੇਸ਼ਾ ਪਰਸਪਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

14.1.5 ਸੰਪੂਰਨ ਘਟਨਾਵਾਂ

ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਸੁੱਟਣ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ ਹੈ। ਆਓ ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੀਏ

A: ‘4 ਤੋਂ ਘੱਟ ਇੱਕ ਨੰਬਰ ਦਿਸਦਾ ਹੈ’,

B: ‘2 ਤੋਂ ਵੱਧ ਪਰ 5 ਤੋਂ ਘੱਟ ਇੱਕ ਨੰਬਰ ਦਿਸਦਾ ਹੈ’

ਅਤੇ C: ‘4 ਤੋਂ ਵੱਧ ਇੱਕ ਨੰਬਰ ਦਿਸਦਾ ਹੈ’।

ਤਾਂ $A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}$ ਅਤੇ $C=\{5,6\}$। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ

$$ A \cup B \cup C=\{1,2,3\} \cup\{3,4\} \cup\{5,6\}=S . $$

ਅਜਿਹੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ $A, B$ ਅਤੇ $C$ ਨੂੰ ਸੰਪੂਰਨ ਘਟਨਾਵਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਧਾਰਣ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਜੇਕਰ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ ਇੱਕ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ $S$ ਦੀਆਂ $n$ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ ਜੇਕਰ

$$ E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup \ldots \cup E_n=\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i=S $$

ਤਾਂ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ ਨੂੰ ਸੰਪੂਰਨ ਘਟਨਾਵਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਘਟਨਾਵਾਂ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ ਨੂੰ ਸੰਪੂਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਜਦੋਂ ਵੀ ਪ੍ਰਯੋਗ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਜ਼ਰੂਰ ਘਟਦੀ ਹੈ।

ਹੋਰ, ਜੇਕਰ $E_i \cap E_j=\phi$ ਲਈ $i \neq j$ ਯਾਨੀ ਘਟਨਾਵਾਂ $E_i$ ਅਤੇ $E_j$ ਜੋੜੀਦਾਰ ਅਸੰਬੱਧ ਹਨ ਅਤੇ $\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i=S$, ਤਾਂ ਘਟਨਾਵਾਂ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ ਨੂੰ ਪਰਸਪਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਅਤੇ ਸੰਪੂਰਨ ਘਟਨਾਵਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਉਦਾਹਰਣ 2 ਦੋ ਪਾਸੇ ਸੁੱਟੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਜੋ ਪਾਸਿਆਂ ‘ਤੇ ਆਉਂਦੇ ਹਨ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਅਸੀਂ ਇਸ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ

A: ‘ਜੋੜ ਟਾਂਗ ਹੈ’।

B: ‘ਜੋੜ 3 ਦਾ ਗੁਣਜ ਹੈ’।

C: ‘ਜੋੜ 4 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ’।

$D$ : ‘ਜੋੜ 11 ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ’।

ਇਨ੍ਹਾਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੇ ਜੋੜੇ ਪਰਸਪਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹਨ?

ਹੱਲ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ $S=\{(x, y): x, y=1,2,3,4,5,6\}$ ਵਿੱਚ 36 ਤੱਤ ਹਨ।

ਤਾਂ $ A= \{(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4), (4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)\} $

$ B= \{(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(3,3),(2,4),(4,2),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4), (6,6)\} $

$ C= \{(1,1),(2,1),(1,2)\} \text{ and } D=\{(6,6)\} $

ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ

$ A \cap B=\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6)\} \neq \phi $

ਇਸ ਲਈ, $A$ ਅਤੇ $B$ ਪਰਸਪਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨਹੀਂ ਹਨ।

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ $A \cap C \neq \phi, A \cap D \neq \phi, B \cap C \neq \phi$ ਅਤੇ $B \cap D \neq \phi$।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਜੋੜੇ, $(A, C),(A, D),(B, C),(B, D)$ ਪਰਸਪਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨਹੀਂ ਹਨ।

ਨਾਲ ਹੀ $C \cap D=\phi$ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ $C$ ਅਤੇ $D$ ਪਰਸਪਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਣ 3 $A$ ਸਿੱਕੇ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਵਾਰ ਟੌਸ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਦਿਸਦਾ ਹੈ’।

$\mathrm{A}$ : ‘ਕੋਈ ਹੈੱਡ ਨਹੀਂ ਦਿਸਦਾ’, $\mathrm{B}$ : ‘ਬਿਲਕੁਲ ਇੱਕ ਹੈੱਡ ਦਿਸਦਾ ਹੈ’ ਅਤੇ $\mathrm{C}$ : ‘ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਹੈੱਡ

ਕੀ ਉਹ ਪਰਸਪਰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਅਤੇ ਸੰਪੂਰਨ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ?

ਹੱਲ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੀ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਹੈ

$S=\{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT \}$

ਅਤੇ $A=\{TTT\}, B=\{HTT, THT, TTH\}, C=\{HHT, HTH, THH, HHH\}$

ਹੁਣ $\mathrm{A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C}=\{\mathrm{TTT}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HHH}\}=\mathrm{S}$

ਇਸ ਲਈ, $A, B$ ਅਤੇ $C$ ਸੰਪੂਰਨ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ।

ਨਾਲ ਹੀ, $\quad A \cap B=\phi, A \cap C=\phi$ ਅਤੇ $B \cap C=\phi$

ਇਸ ਲਈ, ਘਟਨਾਵਾਂ ਜੋੜੀਦਾਰ ਅਸੰਬੱਧ ਹਨ, ਯਾਨੀ ਉਹ ਪਰਸ