ਗਣਿਤ ਸਾਰੇ ਭੌਤਿਕ ਖੋਜ ਦਾ ਅਨਿਵਾਰੀ ਸਾਧਨ ਹੈ। - ਬਰਥੇਲੋਟ

2.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਗਣਿਤ ਦਾ ਬਹੁਤ ਸਾਰਾ ਹਿੱਸਾ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭਣ ਬਾਰੇ ਹੈ - ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਪਛਾਣਯੋਗ ਕੜੀ ਜੋ ਬਦਲਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਾਡੇ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਜੀਵਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਪੈਟਰਨਾਂ ਨਾਲ ਮਿਲਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸੰਬੰਧਾਂ ਦੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੱਸਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਭਰਾ ਅਤੇ ਭੈਣ, ਪਿਤਾ ਅਤੇ ਪੁੱਤਰ, ਅਧਿਆਪਕ ਅਤੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ। ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਵੀ, ਅਸੀਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਸੰਬੰਧਾਂ ਨਾਲ ਮਿਲਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੰਖਿਆ $m$ ਸੰਖਿਆ $n$ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ, ਰੇਖਾ $l$ ਰੇਖਾ $m$ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ, ਸਮੂਹ $A$ ਸਮੂਹ $B$ ਦਾ ਉਪਸਮੂਹ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਸਾਰਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਦੋ ਸਮੂਹਾਂ ਤੋਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਜੋੜੇ ਜੋੜੇ ਜਾਣ ਅਤੇ ਫਿਰ ਜੋੜੇ ਵਿੱਚ ਦੋਵਾਂ ਵਸਤੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸੰਬੰਧ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਜਾਣ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਖਾਸ ਸੰਬੰਧਾਂ ਬਾਰੇ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਜੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਗੇ।

ਜੀ.ਡਬਲਿਊ.ਲੀਬਨਿਟਜ਼ (1646-1716 ਈ.)

ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਨਾਲ ਦੂਸਰੀ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਗਣਿਤੀ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਸਟੀਕ ਪੱਤਰ-ਵਿਹਾਰ ਦੇ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਕੈਦ ਕਰਦੀ ਹੈ।

2.2 ਸਮੂਹਾਂ ਦਾ ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਗੁਣਨਫਲ

ਮੰਨ ਲਓ A 2 ਰੰਗਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਅਤੇ B 3 ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ, ਯਾਨੀ,

$$ A=\{\text { red, blue }\} \text { and } B=\{b, c, s\} \text {, } $$

ਜਿੱਥੇ $b, c$ ਅਤੇ $s$ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਇੱਕ ਖਾਸ ਬੈਗ, ਕੋਟ ਅਤੇ ਕਮੀਜ਼ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ।

ਇਹਨਾਂ ਦੋ ਸਮੂਹਾਂ ਤੋਂ ਕਿੰਨੇ ਜੋੜੇ ਰੰਗੀਨ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਬਣਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ?

ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਹੀ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਢੰਗ ਨਾਲ ਅੱਗੇ ਵਧਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 6 ਵੱਖਰੇ ਜੋੜੇ ਹੋਣਗੇ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ:

(ਲਾਲ, $b$ ), (ਲਾਲ, $c$ ), (ਲਾਲ, $s$ ), (ਨੀਲਾ, $b$ ), (ਨੀਲਾ, $c$ ), (ਨੀਲਾ, $s$ ).

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਾਨੂੰ 6 ਵੱਖਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਮਿਲਦੀਆਂ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 2.1)।

ਚਿੱਤਰ 2.1

ਆਓ ਆਪਣੀਆਂ ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਤੋਂ ਯਾਦ ਕਰੀਏ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਸਮੂਹਾਂ $P$ ਅਤੇ $Q$ ਤੋਂ ਲਏ ਗਏ ਤੱਤਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਿਕ ਜੋੜਾ ਤੱਤਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਜੋੜਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਛੋਟੇ ਕੋਸ਼ਾਂ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਖਾਸ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਇਕੱਠਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ, $(p, q), p \in P$ ਅਤੇ $q \in Q$। ਇਹ ਹੇਠਲੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 1 ਦੋ ਗੈਰ-ਖਾਲੀ ਸਮੂਹ $P$ ਅਤੇ $Q$ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਗੁਣਨਫਲ $P \times Q$ $P$ ਅਤੇ $Q$ ਤੋਂ ਤੱਤਾਂ ਦੇ ਸਾਰੇ ਕ੍ਰਮਿਕ ਜੋੜਿਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ, ਯਾਨੀ,

$$ P \times Q=\{(p, q): p \in P, q \in Q\} $$

ਜੇਕਰ $P$ ਜਾਂ $Q$ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਖਾਲੀ ਸਮੂਹ ਹੈ, ਤਾਂ $P \times Q$ ਵੀ ਖਾਲੀ ਸਮੂਹ ਹੋਵੇਗਾ, ਯਾਨੀ, $P \times Q=\phi$

ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟਾਂਤ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ

$A \times B=\{(red, b),($ ਲਾਲ,$c),($ ਲਾਲ,$s),($ ਨੀਲਾ,$b),($ ਨੀਲਾ,$c),($ ਨੀਲਾ,$s)\}$.

ਦੁਬਾਰਾ, ਦੋ ਸਮੂਹਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ:

$A=\{DL, MP, KA\}$, ਜਿੱਥੇ DL, MP, KA ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਦਿੱਲੀ, ਮੱਧ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਅਤੇ ਕਰਨਾਟਕ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ B $=\{01,02, 03 \}$ DL, MP ਅਤੇ KA ਦੁਆਰਾ ਜਾਰੀ ਕੀਤੇ ਗਏ ਵਾਹਨਾਂ ਦੇ ਲਾਇਸੈਂਸ ਪਲੇਟਾਂ ਲਈ ਕੋਡ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਜੇਕਰ ਤਿੰਨ ਰਾਜ, ਦਿੱਲੀ, ਮੱਧ ਪ੍ਰਦੇਸ਼ ਅਤੇ ਕਰਨਾਟਕ ਵਾਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਲਾਇਸੈਂਸ ਪਲੇਟਾਂ ਲਈ ਕੋਡ ਬਣਾ ਰਹੇ ਹੋਣ, ਇਸ ਪਾਬੰਦੀ ਨਾਲ ਕਿ ਕੋਡ ਸਮੂਹ $A$ ਦੇ ਇੱਕ ਤੱਤ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹਨਾਂ ਸਮੂਹਾਂ ਤੋਂ ਕਿਹੜੇ ਜੋੜੇ ਉਪਲਬਧ ਹਨ ਅਤੇ ਅਜਿਹੇ ਕਿੰਨੇ ਜੋੜੇ ਹੋਣਗੇ (ਚਿੱਤਰ 2.2)?

ਚਿੱਤਰ 2.2

ਉਪਲਬਧ ਜੋੜੇ ਹਨ:$(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02)$, $(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02),(\mathrm{KA}, 03)$ ਅਤੇ ਸਮੂਹ $A$ ਅਤੇ ਸਮੂਹ $B$ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ $\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02),(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02)$, $(\mathrm{KA}, 03)\} \text {. }$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਹ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ 9 ਅਜਿਹੇ ਜੋੜੇ ਹੋਣਗੇ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਮੂਹ A ਅਤੇ B ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਵਿੱਚ 3 ਤੱਤ ਹਨ। ਇਹ ਸਾਨੂੰ 9 ਸੰਭਾਵੀ ਕੋਡ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਜਿਸ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਇਹ ਤੱਤ ਜੋੜੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਉਹ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਕੋਡ (DL, 01 ) ਕੋਡ $(01, DL)$ ਵਾਂਗ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗਾ।

ਇੱਕ ਅੰਤਿਮ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟਾਂਤ ਵਜੋਂ, ਦੋ ਸਮੂਹਾਂ $A=\{a_1, a_2\}$ ਅਤੇ $B=\{b_1, b_2, b_3, b_4\}$ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ (ਚਿੱਤਰ 2.3)।

$A \times B=\{(a_1, b_1),(a_1, b_2),(a_1, b_3),(a_1, b_4),(a_2, b_1),(a_2, b_2),(a_2, b_3),(a_2, b_4)\} .$

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬਣੇ 8 ਕ੍ਰਮਿਕ ਜੋੜੇ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ A ਅਤੇ B ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੇ ਉਪਸਮੂਹ ਹਨ ਅਤੇ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਸਥਿਤੀ $(a_1, b_2)$ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਸਥਿਤੀ $(b_2, a_1)$ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਹੋਵੇਗਾ।

ਚਿੱਤਰ 2.3

ਟਿੱਪਣੀਆਂ

(i) ਦੋ ਕ੍ਰਮਿਕ ਜੋੜੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਕੇਵਲ ਜੇਕਰ ਸੰਬੰਧਿਤ ਪਹਿਲੇ ਤੱਤ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ ਅਤੇ ਦੂਸਰੇ ਤੱਤ ਵੀ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ।

(ii) ਜੇਕਰ $p$ ਵਿੱਚ $A$ ਤੱਤ ਹਨ ਅਤੇ $q$ ਵਿੱਚ $B$ ਤੱਤ ਹਨ, ਤਾਂ $p q$ ਵਿੱਚ $A \times B$ ਤੱਤ ਹੋਣਗੇ, ਯਾਨੀ, ਜੇਕਰ $n(A)=p$ ਅਤੇ $n(B)=q$, ਤਾਂ $n(A \times B)=p q$.

(iii) ਜੇਕਰ $A$ ਅਤੇ $B$ ਗੈਰ-ਖਾਲੀ ਸਮੂਹ ਹਨ ਅਤੇ $A$ ਜਾਂ $B$ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਸਮੂਹ ਹੈ, ਤਾਂ $A \times B$ ਵੀ ਅਜਿਹਾ ਹੀ ਹੈ।

(iv) $A \times A \times A=\{(a, b, c): a, b, c \in A\}$. ਇੱਥੇ $(a, b, c)$ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਿਕ ਤਿਕੋਣੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 1 ਜੇਕਰ $(x+1, y-2)=(3,1)$, ਤਾਂ $x$ ਅਤੇ $y$ ਦੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਕਿਉਂਕਿ ਕ੍ਰਮਿਕ ਜੋੜੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਇਸਲਈ ਸੰਬੰਧਿਤ ਤੱਤ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।

ਇਸਲਈ

$ x+1=3 \text { ਅਤੇ } y-2=1 \text {. } $

ਹੱਲ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਾਨੂੰ $\quad x=2$ ਅਤੇ $y=3$ ਮਿਲਦੇ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਨ 2 ਜੇਕਰ $P=\{a, b, c\}$ ਅਤੇ $Q=\{r\}$, ਤਾਂ ਸਮੂਹ $P \times Q$ ਅਤੇ $Q \times P$ ਬਣਾਓ।

ਕੀ ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਗੁਣਨਫਲ ਬਰਾਬਰ ਹਨ?

ਹੱਲ ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ,

$$ P \times Q=\{(a, r),(b, r),(c, r)\} \text { and } Q \times P=\{(r, a),(r, b),(r, c)\} $$

ਕਿਉਂਕਿ, ਕ੍ਰਮਿਕ ਜੋੜਿਆਂ ਦੀ ਸਮਾਨਤਾ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਜੋੜਾ $(a, r)$ ਜੋੜੇ $(r, a)$ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਅਸੀਂ ਨਿਸ਼ਕਰਸ਼ ਕੱਢਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $P \times Q \neq Q \times P$.

ਹਾਲਾਂਕਿ, ਹਰੇਕ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਤੱਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਹੋਵੇਗੀ।

ਉਦਾਹਰਨ 3 ਮੰਨ ਲਓ $A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}$ ਅਤੇ $C=\{4,5,6\}$. ਪਤਾ ਕਰੋ

(i) $A \times(B \cap C)$

(ii) $(A \times B) \cap(A \times C)$

(iii) $A \times(B \cup C)$

(iv) $(A \times B) \cup(A \times C)$

ਹੱਲ (i) ਦੋ ਸਮੂਹਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਚੜਨ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, $(B \cap C)=\{4\}$.

ਇਸਲਈ, $A \times(B \cap C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$.

(ii) ਹੁਣ $(A \times B)=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)\}$ ਅਤੇ $(A \times C)=\{(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)\}$

ਇਸਲਈ, $(A \times B) \cap(A \times C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$.

(iii) ਕਿਉਂਕਿ, $\quad(B \cup C)=\{3,4,5,6\}$,

ਸਾਡੇ ਕੋਲ $\quad \mathrm{A} \times(\mathrm{B} \cup \mathrm{C})=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3)$, $(3,4),(3,5),(3,6)\}$ ਹੈ।

(iv) ਭਾਗ (ii) ਤੋਂ ਸਮੂਹਾਂ $A \times B$ ਅਤੇ $A \times C$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ $(A \times B) \cup(A \times C)=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)$, $(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\}$.

ਉਦਾਹਰਨ 4 ਜੇਕਰ $P=\{1,2\}$, ਤਾਂ ਸਮੂਹ $P \times P \times P$ ਬਣਾਓ।

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ, $ P \times P \times P=\{(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1)$, $(2,2,2)\} $.

ਉਦਾਹਰਨ 5 ਜੇਕਰ $\mathbf{R}$ ਸਾਰੀਆਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਗੁਣਨਫਲ $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ ਅਤੇ $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ ਕੀ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ?

ਹੱਲ ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਗੁਣਨਫਲ $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ ਸਮੂਹ $\mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y): x, y \in \mathbf{R}\}$ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਦੋ-ਆਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਗੁਣਨਫਲ $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ ਸਮੂਹ $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y, z): x, y, z \in \mathbf{R}\}$ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਤਿੰਨ-ਆਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 6 ਜੇਕਰ $A \times B=\{(p, q),(p, r),(m, q),(m, r)\}$, ਤਾਂ $A$ ਅਤੇ $B$ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ

$$ \begin{aligned} & A=\text { set of first elements }=\{p, m\} \\ & B=\text { set of second elements }=\{q, r\} . \end{aligned} $$

2.3 ਸੰਬੰਧ

ਦੋ ਸਮੂਹਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ $P=\{a, b, c\}$ ਅਤੇ $Q=\{$ ਅਲੀ, ਭਾਨੂ, ਬਿਨੋਏ, ਚੰਦਰਾ, ਦਿਵਿਆ $\}$.

$P$ ਅਤੇ $Q$ ਦੇ ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿੱਚ 15 ਕ੍ਰਮਿਕ ਜੋੜੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $P \times Q=\{(a, \text{Ali})$, (a, ਭਾਨੂ), (a, ਬਿਨੋਏ), …, (c, ਦਿਵਿਆ) $\}$.

ਚਿੱਤਰ 2.4

ਹੁਣ ਅਸੀਂ $P \times Q$ ਦਾ ਇੱਕ ਉਪਸਮੂਹ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਹਰੇਕ ਕ੍ਰਮਿਕ ਜੋੜੇ $(x, y)$ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਤੱਤ $x$ ਅਤੇ ਦੂਸਰੇ ਤੱਤ $y$ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧ $R$ ਪੇਸ਼ ਕਰਕੇ ਜਿਵੇਂ ਕਿ

$R=\{(x, y): x$ ਨਾਮ $y, x \in P, y \in Q\}$ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਅੱਖਰ ਹੈ।

ਤਾਂ $R=\{(a, Ali),(b, Bhanu),(b, Binoy),(c$, ਚੰਦਰਾ $)\}$

ਇਸ ਸੰਬੰਧ $R$ ਦੀ ਇੱਕ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਗਤ ਨੁਮਾਇੰਦਗੀ (ਜਿਸਨੂੰ ਇੱਕ ਤੀਰ ਚਿੱਤਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਚਿੱਤਰ 2.4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਹੈ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 2 ਇੱਕ ਗੈਰ-ਖਾਲੀ ਸਮੂਹ $A$ ਤੋਂ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਖਾਲੀ ਸਮੂਹ $B$ ਵੱਲ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧ $R$ ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਗੁਣਨਫਲ $A \times B$ ਦਾ ਇੱਕ ਉਪਸਮੂਹ ਹੈ। ਉਪਸਮੂਹ $A \times B$ ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਮਿਕ ਜੋੜਿਆਂ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਤੱਤ ਅਤੇ ਦੂਸਰੇ ਤੱਤ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੂਸਰੇ ਤੱਤ ਨੂੰ ਪਹਿਲੇ ਤੱਤ ਦੀ ਛਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 3 ਇੱਕ ਸਮੂਹ A ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਮੂਹ $B$ ਵੱਲ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧ $R$ ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਮਿਕ ਜੋੜਿਆਂ ਦੇ ਸਾਰੇ ਪਹਿਲੇ ਤੱਤਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਸੰਬੰਧ $R$ ਦਾ ਡੋਮੇਨ (ਪ੍ਰਾਪਤੀ ਸਮੂਹ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 4 ਇੱਕ ਸਮੂਹ $A$ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਮੂਹ $B$ ਵੱਲ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧ $R$ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਦੂਸਰੇ ਤੱਤਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਸੰਬੰਧ $R$ ਦੀ ਰੇਂਜ (ਸੀਮਾ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪੂਰਾ ਸਮੂਹ $B$ ਨੂੰ ਸੰਬੰਧ $R$ ਦਾ ਕੋਡੋਮੇਨ (ਸਹਿ-ਪ੍ਰਾਪਤੀ ਸਮੂਹ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਰੇਂਜ $\subset$ ਕੋਡੋਮੇਨ।

ਟਿੱਪਣੀਆਂ (i) ਇੱਕ ਸੰਬੰਧ ਨੂੰ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਜਾਂ ਤਾਂ ਰੋਸਟਰ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਜਾਂ ਸੈਟ-ਬਿਲਡਰ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

(ii) ਇੱਕ ਤੀਰ ਚਿੱਤਰ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧ ਦੀ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਗਤ ਨੁਮਾਇੰਦਗੀ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 7 ਮੰਨ ਲਓ $A=\{1,2,3,4,5,6\}$. ਇੱਕ ਸੰਬੰਧ $R$ ਨੂੰ $A$ ਤੋਂ $A$ ਵੱਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ $R=\{(x, y): y=x+1\}$

(i) ਇਸ ਸੰਬੰਧ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤੀਰ ਚਿੱਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦਰਸਾਓ।

(ii) $R$ ਦਾ ਡੋਮੇਨ, ਕੋਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਲਿਖੋ।

ਹੱਲ (i) ਸੰਬੰਧ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ,

$R=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\}$.

ਸੰਬੰਧਿਤ ਤੀਰ ਚਿੱਤਰ ਚਿੱਤਰ 2.5 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 2.5

(ii) ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਡੋਮੇਨ $=\{1,2,3,4,5\}$

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਰੇਂਜ $=\{2,3,4,5,6\}$ ਅਤੇ ਕੋਡੋਮੇਨ $=\{1,2,3,4,5,6\}$.

ਉਦਾਹਰਨ 8 ਚਿੱਤਰ 2.6 ਸਮੂਹਾਂ $P$ ਅਤੇ $Q$ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਸੰਬੰਧ ਨੂੰ ਲਿਖੋ (i) ਸੈਟ-ਬਿਲਡਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, (ii) ਰੋਸਟਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ। ਇਸਦਾ ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਕੀ ਹੈ?

ਚਿੱਤਰ 2.6

ਹੱਲ ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਸੰਬੰਧ $R$ ਹੈ “$x$, $y$ ਦਾ ਵਰਗ ਹੈ”।

(i) ਸੈਟ-ਬਿਲਡਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, $R=\{(x, y): x$, $y, x \in P, y \in \mathbf{Q}\}$ ਦਾ ਵਰਗ ਹੈ

(ii) ਰੋਸਟਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, $R=\{(9,3)$, $(9,-3),(4,2),(4,-2),(25,5),(25,-5)\}$

ਇਸ ਸੰਬੰਧ ਦਾ ਡੋਮੇਨ $\{4,9,25\}$ ਹੈ।

ਇਸ ਸੰਬੰਧ ਦੀ ਰੇਂਜ $\{-2,2,-3,3,-5,5\}$ ਹੈ।

ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਤੱਤ 1 ਸਮੂਹ $P$ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤੱਤ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਸਮੂਹ $Q$ ਇਸ ਸੰਬੰਧ ਦਾ ਕੋਡੋਮੇਨ ਹੈ।

ਨੋਟ - ਇੱਕ ਸਮੂਹ $A$ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਮੂਹ $B$ ਵੱਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੇ ਸੰਬੰਧਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ $A \times B$ ਦੇ ਸੰਭਾਵੀ ਉਪਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ $n(A)=p$ ਅਤੇ $n(B)=q$, ਤਾਂ $n(A \times B)=p q$ ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ $2^{p q}$ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 9 ਮੰਨ ਲਓ $A=\{1,2\}$ ਅਤੇ $B=\{3,4\}$. A ਤੋਂ B ਵੱਲ ਸੰਬੰਧਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ,

$ A \times B=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\} $

ਕਿਉਂਕਿ $n(A \times B)=4$, $A \times B$ ਦੇ ਉਪਸਮੂਹਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $2^{4}$ ਹੈ। ਇਸਲਈ, $A$ ਤੋਂ $B$ ਵਿੱਚ ਸੰਬੰਧਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $2^{4}$ ਹੋਵੇਗੀ।

ਟਿੱਪਣੀ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧ $R$, $A$ ਤੋਂ $A$ ਵੱਲ ਨੂੰ $A$ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧ ਵਜੋਂ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

2.4 ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ

ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਖਾਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਯਮ ਵਜੋਂ ਕਲਪਨਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜੋ ਕੁਝ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਤੱਤਾਂ ਤੋਂ ਨਵੇਂ ਤੱਤ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ‘ਮੈਪ’ ਜਾਂ ‘ਮੈਪਿੰਗ’ ਵਰਗੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਸ਼ਬਦ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 5 ਇੱਕ ਸਮੂਹ $A$ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਮੂਹ $B$ ਵੱਲ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧ $f$ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਸਮੂਹ $A$ ਦੇ ਹਰੇਕ ਤੱਤ ਦੀ ਸਮੂਹ $B$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਤੇ ਕੇਵਲ ਇੱਕ ਛਵੀ ਹੋਵੇ।

ਦੂਸਰੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਖਾਲੀ ਸਮੂਹ $A$ ਤੋਂ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਖਾਲੀ ਸਮੂਹ $B$ ਵੱਲ ਇੱਕ ਸੰਬੰਧ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $f$ ਦਾ ਡੋਮੇਨ $A$ ਹੈ ਅਤੇ $f$ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਵੱਖਰੇ ਕ੍ਰਮਿਕ ਜੋੜੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਪਹਿਲਾ ਤੱਤ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੇ।

ਜੇਕਰ $f$ A ਤੋਂ B ਵੱਲ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ $(a, b) \in f$, ਤਾਂ $f(a)=b$, ਜਿੱਥੇ $b$ ਨੂੰ $a$ ਦੀ $f$ ਅਧੀਨ ਛਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ $a$ ਨੂੰ $b$ ਦਾ $f$ ਅਧੀਨ ਪੂਰਵ-ਛਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

$A$ ਤੋਂ $B$ ਵੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਨੂੰ $f: A \rightarrow B$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਪਿਛਲੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ

ਉਦਾਹਰਨ 7 ਵਿੱਚ ਸੰਬੰਧ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਤੱਤ 6 ਦੀ ਕੋਈ ਛਵੀ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਦੁਬਾਰਾ,

ਉਦਾਹਰਨ 8 ਵਿੱਚ ਸੰਬੰਧ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਤੱਤ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਛਵੀਆਂ ਨਾਲ ਜੁੜੇ ਹੋਏ ਹਨ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ,

ਉਦਾਹਰਨ 9 ਵਿੱਚ ਸੰਬੰਧ ਵੀ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੈ। (ਕਿਉਂ?) ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਹੋਰ ਸੰਬੰਧ ਦੇਖਾਂਗੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਨਹੀਂ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਨ 10 ਮੰਨ ਲਓ $\mathbf{N}$ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਸੰਬੰਧ $R$ ਨੂੰ $N$ ‘ਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭ