ਇੱਕ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਜਾਣਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਉਹ ਇਸਨੂੰ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦਾ। - ਮਿਲਨੇ

3.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

‘ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ’ ਸ਼ਬਦ ਯੂਨਾਨੀ ਸ਼ਬਦਾਂ ‘ਟ੍ਰਾਈਗੋਨ’ ਅਤੇ ‘ਮੇਟ੍ਰੋਨ’ ਤੋਂ ਲਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ‘ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਨੂੰ ਮਾਪਣਾ’। ਇਹ ਵਿਸ਼ਾ ਮੂਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਤਿਕੋਣਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਇਸ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਸਮੁੰਦਰੀ ਕਪਤਾਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਨੇਵੀਗੇਸ਼ਨ ਲਈ, ਸਰਵੇਖਣ ਕਰਨ ਵਾਲਿਆਂ ਦੁਆਰਾ ਨਵੀਆਂ ਧਰਤੀਆਂ ਦਾ ਨਕਸ਼ਾ ਬਣਾਉਣ ਲਈ, ਇੰਜੀਨੀਅਰਾਂ ਅਤੇ ਹੋਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਵਰਤਮਾਨ ਵਿੱਚ, ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਈ ਖੇਤਰਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸੀਸਮੋਲੋਜੀ ਦਾ ਵਿਗਿਆਨ, ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਸਰਕਟਾਂ ਦੀ ਡਿਜ਼ਾਈਨਿੰਗ, ਇੱਕ ਐਟਮ ਦੀ ਅਵਸਥਾ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ, ਸਮੁੰਦਰ ਵਿੱਚ ਜਵਾਰ-ਭਾਟਾ ਦੀ ਉਚਾਈ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ, ਇੱਕ ਸੰਗੀਤਮਈ ਟੋਨ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨ ਅਤੇ ਕਈ ਹੋਰ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਆਰੀਆ ਭੱਟ (476-550 ਬੀ.ਸੀ.)

ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਨਿਊਨ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਮਕੋਣ ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਜੋਂ। ਅਸੀਂ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਪਛਾਣਾਂ ਅਤੇ ਉਚਾਈਆਂ ਅਤੇ ਦੂਰੀਆਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦੇ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ ਦਾ ਵੀ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਤੱਕ ਸਧਾਰਨ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ।

3.2 ਕੋਣ

ਚਿੱਤਰ 3.1

ਕੋਣ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਕਿਰਨ ਦੇ ਆਪਣੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਮਾਪ ਹੈ। ਮੂਲ ਕਿਰਨ ਨੂੰ ਕੋਣ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਭੁਜਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਘੁੰਮਣ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਕਿਰਨ ਦੀ ਅੰਤਿਮ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਕੋਣ ਦੀ ਅੰਤਿਮ ਭੁਜਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਘੁੰਮਣ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਸਿਖਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਘੁੰਮਣ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੋਣ ਨੂੰ ਧਨਾਤਮਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਜੇਕਰ ਘੁੰਮਣ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਘੜੀ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੋਣ ਨੂੰ* ਰਿਣਾਤਮਕ* ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 3.1)।

ਇੱਕ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਭੁਜਾ ਤੋਂ ਅੰਤਿਮ ਭੁਜਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੇ ਗਏ ਘੁੰਮਣ ਦੀ ਮਾਤਰਾ ਹੈ। ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਮਾਪਣ ਲਈ ਕਈ ਇਕਾਈਆਂ ਹਨ। ਇੱਕ ਕੋਣ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ

ਚਿੱਤਰ 3.2

ਚਿੱਤਰ 3.2 ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਦਾ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ ਚਿੱਤਰ 3.2 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਤੋਂ ਇੱਕ ਪੂਰੀ ਘੁੰਮਣ।

ਇਹ ਅਕਸਰ ਵੱਡੇ ਕੋਣਾਂ ਲਈ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਘੁੰਮਦਾ ਪਹੀਆ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ 15 ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕੋਣ ਦੇ ਮਾਪ ਦੀਆਂ ਦੋ ਹੋਰ ਇਕਾਈਆਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਯਾਨੀ ਡਿਗਰੀ ਮਾਪ ਅਤੇ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ।

3.2.1 ਡਿਗਰੀ ਮਾਪ

ਜੇਕਰ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਭੁਜਾ ਤੋਂ ਅੰਤਿਮ ਭੁਜਾ ਤੱਕ ਘੁੰਮਣ $(\frac{1}{360})^{\text{th }}$ ਇੱਕ ਘੁੰਮਣ ਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੋਣ ਦਾ ਮਾਪ ਇੱਕ ਡਿਗਰੀ ਹੋਣ ਦਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ $1^{\circ}$ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਡਿਗਰੀ ਨੂੰ 60 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਮਿੰਟ ਨੂੰ 60 ਸਕਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਸੱਠਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਮਿੰਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ $1^{\prime}$ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਮਿੰਟ ਦੇ ਸੱਠਵੇਂ ਹਿੱਸੇ ਨੂੰ ਸਕਿੰਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ $1^{\prime \prime}$ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\quad 1^{\circ}=60^{\prime}, \quad 1^{\prime}=60^{\prime \prime}$

ਕੁਝ ਕੋਣ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਮਾਪ $360^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}, 420^{\circ},-30^{\circ},-420^{\circ}$ ਹਨ, ਚਿੱਤਰ 3.3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਹਨ।

ਚਿੱਤਰ 3.3

3.2.2 ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ

ਇੱਕ ਕੋਣ ਦੇ ਮਾਪ ਲਈ ਇੱਕ ਹੋਰ ਇਕਾਈ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ (ਅਰਧ ਵਿਆਸ 1 ਇਕਾਈ ਦਾ ਚੱਕਰ) ਵਿੱਚ ਲੰਬਾਈ 1 ਇਕਾਈ ਦੇ ਚਾਪ ਦੁਆਰਾ ਕੇਂਦਰ ‘ਤੇ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਕੋਣ 1 ਰੇਡੀਅਨ ਦੇ ਮਾਪ ਦਾ ਹੋਣਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 3.4(i) ਤੋਂ (iv) ਵਿੱਚ, $OA$ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਭੁਜਾ ਹੈ ਅਤੇ $OB$ ਅੰਤਿਮ ਭੁਜਾ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ ਉਹ ਕੋਣ ਦਿਖਾਉਂਦੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਮਾਪ 1 ਰੇਡੀਅਨ, -1 ਰੇਡੀਅਨ, $1 \frac{1}{2}$ ਰੇਡੀਅਨ ਅਤੇ $-1 \frac{1}{2}$ ਰੇਡੀਅਨ ਹਨ।

ਚਿੱਤਰ 3.4 (i) - (iv)

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਰਧ ਵਿਆਸ 1 ਇਕਾਈ ਦੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਘੇਰਾ $2 \pi$ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਭੁਜਾ ਦੀ ਇੱਕ ਪੂਰੀ ਘੁੰਮਣ $2 \pi$ ਰੇਡੀਅਨ ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ।

ਵਧੇਰੇ ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਅਰਧ ਵਿਆਸ $r$ ਦੇ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ, ਲੰਬਾਈ $r$ ਦਾ ਚਾਪ 1 ਰੇਡੀਅਨ ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਏਗਾ। ਇਹ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਚੱਕਰ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਚਾਪ ਕੇਂਦਰ ‘ਤੇ ਬਰਾਬਰ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਰਧ ਵਿਆਸ $r$ ਦੇ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ, ਲੰਬਾਈ $r$ ਦਾ ਚਾਪ ਇੱਕ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਮਾਪ 1 ਰੇਡੀਅਨ ਹੈ, ਲੰਬਾਈ $l$ ਦਾ ਚਾਪ ਇੱਕ ਕੋਣ ਬਣਾਏਗਾ ਜਿਸਦਾ ਮਾਪ $\frac{l}{r}$ ਰੇਡੀਅਨ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਅਰਧ ਵਿਆਸ $r$ ਦੇ ਚੱਕਰ ਵਿੱਚ, ਲੰਬਾਈ $l$ ਦਾ ਚਾਪ ਕੇਂਦਰ ‘ਤੇ ਕੋਣ $\theta$ ਰੇਡੀਅਨ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ $\theta=\frac{l}{r}$ ਜਾਂ $l=r \theta$ ਹੈ।

3.2.3 ਰੇਡੀਅਨ ਅਤੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸੰਬੰਧ

ਕੇਂਦਰ $O$ ਵਾਲੇ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ $A$ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਕੋਣ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਭੁਜਾ ਵਜੋਂ OA ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਫਿਰ ਚੱਕਰ ਦੇ ਇੱਕ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਕੋਣ ਦਾ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਦੇਵੇਗੀ ਜਿਸਨੂੰ ਚਾਪ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ‘ਤੇ ਬਣਾਏਗਾ। ਰੇਖਾ PAQ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ A ‘ਤੇ ਚੱਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਬਿੰਦੂ A ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਸਿਫ਼ਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, AP ਧਨਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ AQ ਰਿਣਾਤਮਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 3.5)। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਰੇਖਾ $AP$ ਨੂੰ ਚੱਕਰ ਦੇ ਨਾਲ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਰੱਸੀ ਦੁਆਰਾ ਬੰਨ੍ਹਦੇ ਹਾਂ, ਅਤੇ $AQ$ ਨੂੰ ਘੜੀ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਤਾਂ ਹਰੇਕ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੋਵੇਗੀ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਅਤੇ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅਤੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 3.5

3.2.4 ਡਿਗਰੀ ਅਤੇ ਰੇਡੀਅਨ ਵਿਚਕਾਰ ਸੰਬੰਧ ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਕੇਂਦਰ ‘ਤੇ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ

ਇੱਕ ਕੋਣ ਜਿਸਦਾ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ $2 \pi$ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਡਿਗਰੀ ਮਾਪ $360^{\circ}$ ਹੈ, ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ$ 2 \pi \text{ radian }=360^{\circ} \quad \text{ or } \quad \pi \text{ radian }=180^{\circ} $

ਉੱਪਰਲਾ ਸੰਬੰਧ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਨੂੰ ਡਿਗਰੀ ਮਾਪ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਇੱਕ ਡਿਗਰੀ ਮਾਪ ਨੂੰ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨ ਦੇ ਯੋਗ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। $\pi$ ਦੇ ਲਗਭਗ ਮੁੱਲ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ $\frac{22}{7}$ ਵਜੋਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ 1 \text{ radian }=\frac{180^{\circ}}{\pi}=57^{\circ} 16^{\prime} \text{ approximately. } $

ਅਤੇ $\quad 1^{\circ}=\frac{\pi}{180}$ ਰੇਡੀਅਨ $=0.01746$ ਰੇਡੀਅਨ ਲਗਭਗ।

ਕੁਝ ਆਮ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਡਿਗਰੀ ਮਾਪ ਅਤੇ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਵਿਚਕਾਰ ਸੰਬੰਧ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ:

ਸੰਕੇਤਕ ਪਰੰਪਰਾ

ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਣਾਂ ਨੂੰ ਡਿਗਰੀਆਂ ਜਾਂ ਰੇਡੀਅਨਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਪਰੰਪਰਾ ਅਪਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਵੀ ਅਸੀਂ ਕੋਣ $\theta^{\circ}$ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਡਾ ਮਤਲਬ ਉਹ ਕੋਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡਿਗਰੀ ਮਾਪ $\theta$ ਹੈ ਅਤੇ ਜਦੋਂ ਵੀ ਅਸੀਂ ਕੋਣ $\beta$ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ, ਸਾਡਾ ਮਤਲਬ ਉਹ ਕੋਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ $\beta$ ਹੈ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਕੋਣ ਨੂੰ ਰੇਡੀਅਨਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ‘ਰੇਡੀਅਨ’ ਸ਼ਬਦ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਛੱਡ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\pi=180^{\circ}$ ਅਤੇ $\frac{\pi}{4}=45^{\circ}$ ਇਸ ਸਮਝ ਨਾਲ ਲਿਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਕਿ $\pi$ ਅਤੇ $\frac{\pi}{4}$ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਹਨ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ

$ \begin{aligned} & \text{ Radian measure }=\frac{\pi}{180} \times \text{ Degree measure } \\ & \text{ Degree measure }=\frac{180}{\pi} \times \text{ Radian measure } \end{aligned} $

ਉਦਾਹਰਨ 1 $40^{\circ} 20^{\prime}$ ਨੂੰ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।

ਹੱਲ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $180^{\circ}=\pi$ ਰੇਡੀਅਨ।

ਇਸ ਲਈ $\quad 40^{\circ} 20^{\prime}=40 \frac{1}{3}$ ਡਿਗਰੀ $=\frac{\pi}{180} \times \frac{121}{3}$ ਰੇਡੀਅਨ $=\frac{121 \pi}{540}$ ਰੇਡੀਅਨ।

ਇਸ ਲਈ

$ 40^{\circ} 20^{\prime}=\frac{121 \pi}{540} \text{ radian. } $

ਉਦਾਹਰਨ 2 6 ਰੇਡੀਅਨ ਨੂੰ ਡਿਗਰੀ ਮਾਪ ਵਿੱਚ ਬਦਲੋ।

ਹੱਲ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $\pi$ ਰੇਡੀਅਨ $=180^{\circ}$।

ਇਸ ਲਈ

$ \begin{aligned} 6 \text{ radians } & =\frac{180}{\pi} \times 6 \text{ degree }=\frac{1080 \times 7}{22} \text{ degree } \\ & =343 \frac{7}{11} \text{ degree }=343^{\circ}+\frac{7 \times 60}{11} \text{ minute } \quad[\text{ as } 1^{\circ}=60^{\prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+\frac{2}{11} \text{ minute } \quad[\text{ as } 1^{\prime}=60^{\prime \prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+10.9^{\prime \prime} \quad=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime} \text{ approximately. } \end{aligned} $

ਇਸ ਲਈ $\quad 6$ ਰੇਡੀਅਨ $=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime}$ ਲਗਭਗ।

ਉਦਾਹਰਨ 3 ਉਸ ਚੱਕਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੇਂਦਰੀ ਕੋਣ $60^{\circ}$ ਲੰਬਾਈ $37.4 cm$ ਦੇ ਚਾਪ ਨੂੰ ਕੱਟਦਾ ਹੈ ($\pi=\frac{22}{7}$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ)।

ਹੱਲ ਇੱਥੇ $l=37.4 cm$ ਅਤੇ $\theta=60^{\circ}=\frac{60 \pi}{180}$ ਰੇਡੀਅਨ $=\frac{\pi}{3}$

ਇਸ ਲਈ, $\quad$ ਦੁਆਰਾ $r=\frac{l}{\theta}$, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ r=\frac{37.4 \times 3}{\pi}=\frac{37.4 \times 3 \times 7}{22}=35.7 cm $

ਉਦਾਹਰਨ 4 ਇੱਕ ਘੜੀ ਦਾ ਮਿੰਟਾਂ ਵਾਲਾ ਹੱਥ $1.5 cm$ ਲੰਬਾ ਹੈ। 40 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ ਇਸਦੀ ਨੋਕ ਕਿੰਨੀ ਦੂਰ ਚਲਦੀ ਹੈ? ($\pi=3.14$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰੋ)।

ਹੱਲ 60 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ, ਘੜੀ ਦਾ ਮਿੰਟਾਂ ਵਾਲਾ ਹੱਥ ਇੱਕ ਘੁੰਮਣ ਪੂਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, 40 ਮਿੰਟਾਂ ਵਿੱਚ, ਮਿੰਟਾਂ ਵਾਲਾ ਹੱਥ ਇੱਕ ਘੁੰਮਣ ਦੇ $\frac{2}{3}$ ਦੁਆਰਾ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $\theta=\frac{2}{3} \times 360^{\circ}$ ਜਾਂ $\frac{4 \pi}{3}$ ਰੇਡੀਅਨ। ਇਸ ਲਈ, ਲੋੜੀਂਦੀ ਦੂਰੀ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ

$ l=r \theta=1.5 \times \frac{4 \pi}{3} cm=2 \pi cm=2 \times 3.14 cm=6.28 cm . $

ਉਦਾਹਰਨ 5 ਜੇਕਰ ਦੋ ਚੱਕਰਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕੋ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਚਾਪ ਕੇਂਦਰ ‘ਤੇ ਕੋਣ $65^{\circ}$ ਅਤੇ $110^{\circ}$ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸਾਂ ਦਾ ਅਨੁਪਾਤ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਮੰਨ ਲਓ $r_1$ ਅਤੇ $r_2$ ਦੋ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਹਨ। ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ

$ \theta_1=65^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 65=\frac{13 \pi}{36} \text{ radian } $

ਅਤੇ

$ \theta_2=110^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 110=\frac{22 \pi}{36} \text{ radian } $

ਮੰਨ ਲਓ $l$ ਹਰੇਕ ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ। ਫਿਰ $l=r_1 \theta_1=r_2 \theta_2$, ਜੋ ਦਿੰਦਾ ਹੈ

$ \frac{13 \pi}{36} \times r_1=\frac{22 \pi}{36} \times r_2 \text{, i.e., } \frac{r_1}{r_2}=\frac{22}{13} $

ਇਸ ਲਈ $\quad r_1: r_2=22: 13$.

3.3 ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨ

ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਨਿਊਨ ਕੋਣਾਂ ਲਈ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਮਕੋਣ ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਵਜੋਂ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਰੇਡੀਅਨ ਮਾਪ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੋਣ ਤੱਕ ਵਧਾਵਾਂਗੇ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਵਜੋਂ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ।

ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਧੁਰਿਆਂ ਦੇ ਮੂਲ ‘ਤੇ ਕੇਂਦਰ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ $P(a, b)$ ਕੋਣ $AOP=x$ ਰੇਡੀਅਨ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਯਾਨੀ, ਚਾਪ ਦੀ ਲੰਬਾਈ $AP=x$ (ਚਿੱਤਰ 3.6)।

ਚਿੱਤਰ 3.6

ਅਸੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ $\cos x=a$ ਅਤੇ $\sin x=b$ ਕਿਉਂਕਿ $\triangle OMP$ ਇੱਕ ਸਮਕੋਣ ਤਿਕੋਣ ਹੈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ $OM^{2}+MP^{2}=OP^{2}$ ਜਾਂ $a^{2}+b^{2}=1$ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ‘ਤੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ a^{2}+b^{2}=1 \text{ or } \cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1 $

ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਪੂਰੀ ਘੁੰਮਣ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕੇਂਦਰ ‘ਤੇ $2 \pi$ ਰੇਡੀਅਨ ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ,

$\angle AOB=\frac{\pi}{2}$, $\angle AOC=\pi$ ਅਤੇ $\angle AOD=\frac{3 \pi}{2}$. ਸਾਰੇ ਕੋਣ ਜੋ $\frac{\pi}{2}$ ਦੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਗੁਣਜ ਹਨ, ਚਤੁਰਭੁਜੀ ਕੋਣ ਕਹਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਬਿੰਦੂਆਂ A, B, C ਅਤੇ D ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ, $(1,0),(0,1),(-1,0)$ ਅਤੇ $(0,-1)$ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਚਤੁਰਭੁਜੀ ਕੋਣਾਂ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ \begin{aligned} & \cos 0^{\circ}=1 \quad \sin 0^{\circ}=0, \\ & \cos \frac{\pi}{2}=0 \quad \sin \frac{\pi}{2}=1 \\ & \cos \pi=-1 \quad \sin \pi=0 \\ & \cos \frac{3 \pi}{2}=0 \quad \sin \frac{3 \pi}{2}=-1 \\ & \cos 2 \pi=1 \quad \sin 2 \pi=0 \end{aligned} $

ਹੁਣ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਬਿੰਦੂ $P$ ਤੋਂ ਇੱਕ ਪੂਰੀ ਘੁੰਮਣ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੁਬਾਰਾ ਉਸੇ ਬਿੰਦੂ $P$ ‘ਤੇ ਵਾਪਸ ਆ ਜਾਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ $x$ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਗੁਣਜ ਦੁਆਰਾ $2 \pi$ ਵਧਦਾ (ਜਾਂ ਘਟਦਾ) ਹੈ, ਤਾਂ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਮੁੱਲ ਨਹੀਂ ਬਦਲਦੇ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ,

$ \sin (2 n \pi+x)=\sin x, n \in \mathbf{Z}, \cos (2 n \pi+x)=\cos x, n \in \mathbf{Z} $

ਹੋਰ, $\sin x=0$, ਜੇਕਰ $x=0, \pm \pi, \pm 2 \pi, \pm 3 \pi$, …, ਯਾਨੀ, ਜਦੋਂ $x$ $\pi$ ਦਾ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਗੁਣਜ ਹੈ ਅਤੇ $\cos x=0$, ਜੇਕਰ $x= \pm \frac{\pi}{2}, \pm \frac{3 \pi}{2}, \pm \frac{5 \pi}{2}, \ldots$ ਯਾਨੀ, $\cos x$ ਗਾਇਬ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ $x$ $\frac{\pi}{2}$ ਦਾ ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਗੁਣਜ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ

$ \begin{aligned} & \sin x=0 \text{ implies } x=n \pi, \text{ where } n \text{ is any integer } \\ & \cos x=0 \text{ implies } x=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \text{, where } n \text{ is any integer. } \end{aligned} $

ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਹੋਰ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਾਈਨ ਅਤੇ ਕੋਸਾਈਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

$\text{cosec} x=\frac{1}{\sin x}, x \neq n \pi$, ਜਿੱਥੇ $n$ ਕੋਈ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।

$\sec x=\frac{1}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, ਜਿੱਥੇ $n$ ਕੋਈ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}$, ਜਿੱਥੇ $n$ ਕੋਈ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।

$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}, x \neq n \pi$, ਜਿੱਥੇ $n$ ਕੋਈ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਦਿਖ