ਗਣਿਤ ਵਿਗਿਆਨਾਂ ਦੀ ਰਾਣੀ ਹੈ ਅਤੇ ਅੰਕਗਣਿਤ ਗਣਿਤ ਦੀ ਰਾਣੀ ਹੈ। - ਗੌਸ

4.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਤੇ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੇ ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਅਤੇ ਇੱਕ ਚਲ ਵਾਲੇ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ $x^{2}+1=0$ ਦਾ ਕੋਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ $x^{2}+1=0$, $x^{2}=-1$ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੱਡੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਵਿਸਤਾਰਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਤਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ $x^{2}=-1$ ਦਾ ਹੱਲ ਲੱਭ ਸਕੀਏ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਮੁੱਖ ਉਦੇਸ਼ ਸਮੀਕਰਨ $a x^{2}+b x+c=0$ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $D=b^{2}-4 a c<0$, ਜੋ ਕਿ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਵਿੱਚ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਡਬਲਿਊ. ਆਰ. ਹੈਮਿਲਟਨ (1805-1865 ਈ.)

4.2 ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ

ਆਓ $\sqrt{-1}$ ਨੂੰ ਚਿੰਨ੍ਹ $i$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈਏ। ਫਿਰ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ $i^{2}=-1$ ਹੈ। ਇਸ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ $i$, ਸਮੀਕਰਨ $x^{2}+1=0$ ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ।

ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਜਿਸਦਾ ਰੂਪ $a+i b$ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $a$ ਅਤੇ $b$ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $2+i 3,(-1)+i \sqrt{3}, 4+i(\frac{-1}{11})$ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ।

ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ $z=a+i b, a$ ਲਈ, $Re z$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਵਾਸਤਵਿਕ ਭਾਗ ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ $b$, ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ $z$ ਦਾ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗ ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ $Im z$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ $z=2+i 5$, ਤਾਂ $Re z=2$ ਅਤੇ $Im z=5$।

ਦੋ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $z_1=a+i b$ ਅਤੇ $z_2=c+i d$ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੇਕਰ $a=c$ ਅਤੇ $b=d$।

ਉਦਾਹਰਨ 1 ਜੇਕਰ $4 x+i(3 x-y)=3+i(-6)$, ਜਿੱਥੇ $x$ ਅਤੇ $y$ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ $x$ ਅਤੇ $y$ ਦੇ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ 4 x+i(3 x-y)=3+i(-6) \tag{i} $$

(1) ਦੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਭਾਗਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ

$$ 4 x=3,3 x-y=-6, $$

ਜਿਸਨੂੰ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਹੱਲ ਕਰਨ ‘ਤੇ, $x=\frac{3}{4}$ ਅਤੇ $y=\frac{33}{4}$ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।

4.3 ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਬੀਜਗਣਿਤ

ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਬੀਜਗਣਿਤ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਾਂਗੇ।

4.3.1 ਦੋ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ

ਮੰਨ ਲਓ $z_1=a+i b$ ਅਤੇ $z_2=c+i d$ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਫਿਰ, ਜੋੜ $z_1+z_2$ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

$z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$, ਜੋ ਕਿ ਫਿਰ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $(2+i 3)+(-6+i 5)=(2-6)+i(3+5)=-4+i 8$

ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ:

(i) ਸੰਵ੍ਰਿਤੀ ਨਿਯਮ ਦੋ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ, $z_1+z_2$ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $z_1$ ਅਤੇ $z_2$ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।

(ii) ਕ੍ਰਮ-ਵਿਨਿਮੇਯ ਨਿਯਮ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $z_1$ ਅਤੇ $z_2$ ਲਈ, $z_1+z_2=z_2+z_1$

(iii) ਸਹਿਚਾਰੀ ਨਿਯਮ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਿੰਨ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $z_1, z_2, z_3$, $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$.

(iv) ਜੋੜਾਤਮਕ ਤਤਸਮਕ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ $0+i 0$ (0 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ) ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਜੋੜਾਤਮਕ ਤਤਸਮਕ ਜਾਂ ਸਿਫ਼ਰ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ, ਹਰੇਕ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ $z, z+0=z$ ਲਈ।

(v) ਜੋੜਾਤਮਕ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਹਰੇਕ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ $z=a+i b$ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ $-a+i(-b)$ ($-z$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ) ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ $z$ ਦਾ ਜੋੜਾਤਮਕ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਜਾਂ ਰਿਣਾਤਮਕ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $z+(-z)=0$ (ਜੋੜਾਤਮਕ ਤਤਸਮਕ)।

4.3.2 ਦੋ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਅੰਤਰ

ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $z_1$ ਅਤੇ $z_2$, ਅੰਤਰ $z_1-z_2$ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ,

$ z_1-z_2=z_1+(-z_2) . $

ਅਤੇ

$ \begin{aligned} & (6+3 i)-(2-i)=(6+3 i)+(-2+i)=4+4 i \\ & \quad(2-i)-(6+3 i)=(2-i)+(-6-3 i)=-4-4 i \end{aligned} $

4.3.3 ਦੋ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾ

ਮੰਨ ਲਓ $z_1=a+i b$ ਅਤੇ $z_2=c+i d$ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਫਿਰ, ਗੁਣਨਫਲ $z_1 z_2$ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

$$ z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c) $$

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $(3+i 5)(2+i 6)=(3 \times 2-5 \times 6)+i(3 \times 6+5 \times 2)=-24+i 28$

ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਬਿਨਾਂ ਸਬੂਤ ਦੇ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ।

(i) ਸੰਵ੍ਰਿਤੀ ਨਿਯਮ ਦੋ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਗੁਣਨਫਲ $z_1 z_2$ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $z_1$ ਅਤੇ $z_2$ ਲਈ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।

(ii) ਕ੍ਰਮ-ਵਿਨਿਮੇਯ ਨਿਯਮ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $z_1$ ਅਤੇ $z_2$ ਲਈ,

$$ z_1 z_2=z_2 z_1 $$

(iii) ਸਹਿਚਾਰੀ ਨਿਯਮ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਿੰਨ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $z_1, z_2, z_3$ ਲਈ,

$$ (z_1 z_2) z_3=z_1(z_2 z_3) \text{. } $$

(iv) ਗੁਣਾਤਮਕ ਤਤਸਮਕ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ $1+i 0$ (1 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ) ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਗੁਣਾਤਮਕ ਤਤਸਮਕ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $z .1=z$, ਹਰੇਕ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ $z$ ਲਈ।

(v) ਗੁਣਾਤਮਕ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਹਰੇਕ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ $z=a+i b$ ਜਾਂ $a+b i(a \neq 0, b \neq 0)$ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}(.$ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ $\frac{1}{z}$ ਜਾਂ $.z^{-1})$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ $z$ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ

$z \cdot \frac{1}{z}=1$ (ਗੁਣਾਤਮਕ ਤਤਸਮਕ)।

(vi) ਵੰਡ ਨਿਯਮ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤਿੰਨ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $z_1, z_2, z_3$ ਲਈ,

(a) $z_1(z_2+z_3)=z_1 z_2+z_1 z_3$

(b) $(z_1+z_2) z_3=z_1 z_3+z_2 z_3$

4.3.4 ਦੋ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਭਾਗ

ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $z_1$ ਅਤੇ $z_2$, ਜਿੱਥੇ $z_2 \neq 0$, ਭਾਗਫਲ $\frac{z_1}{z_2}$ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

$ \frac{z_1}{z_2}=z_1 \frac{1}{z_2} $

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ $\quad z_1=6+3 i$ ਅਤੇ $z_2=2-i$

ਤਾਂ

$ \frac{z_1}{z_2}=((6+3 i) \times \frac{1}{2-i})=(6+3 i)(\frac{2}{2^{2}+(-1)^{2}}+i \frac{-(-1)}{2^{2}+(-1)^{2}}) $

$ =(6+3 i)(\frac{2+i}{5})=\frac{1}{5}[12-3+i(6+6)]=\frac{1}{5}(9+12 i) $

4.3.5 $i$ ਦੀ ਘਾਤ

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ

$ \begin{bmatrix} i^{3}=i^{2} i=(-1) i=-i, & i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1 \\ i^{5}=(i^{2})^{2} i=(-1)^{2} i=i, & i^{6}=(i^{2})^{3}=(-1)^{3}=-1, \text{ etc. } \end{bmatrix} $

ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ $\quad i^{-1}=\frac{1}{i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-1}=-i, \quad i^{-2}=\frac{1}{i^{2}}=\frac{1}{-1}=-1$ ਹੈ,

$$ i^{-3}=\frac{1}{i^{3}}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{1}=i, \quad i^{-4}=\frac{1}{i^{4}}=\frac{1}{1}=1 $$

ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਪੂਰਨ ਅੰਕ $k, i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$ ਲਈ

4.3.6 ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ $i^{2}=-1$ ਅਤੇ $(-i)^{2}=i^{2}=-1$

ਇਸ ਲਈ, -1 ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ $i,-i$ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਚਿੰਨ੍ਹ $\sqrt{-1}$ ਦੁਆਰਾ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ $i$ ਦਾ ਅਰਥ ਲਵਾਂਗੇ।

ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $i$ ਅਤੇ $-i$ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨ $x^{2}+1=0$ ਜਾਂ $x^{2}=-1$ ਦੇ ਹੱਲ ਹਨ।

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ $\quad(\sqrt{3} i)^{2}=(\sqrt{3})^{2} i^{2}=3(-1)=-3$

$$ (-\sqrt{3} i)^{2}=(-\sqrt{3})^{2} i^{2}=-3 $$

ਇਸ ਲਈ, -3 ਦੇ ਵਰਗਮੂਲ $\sqrt{3} i$ ਅਤੇ $-\sqrt{3} i$ ਹਨ।

ਫਿਰ, ਚਿੰਨ੍ਹ $\sqrt{-3}$ ਦਾ ਅਰਥ ਸਿਰਫ਼ $\sqrt{3} i$ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ, $\sqrt{-3}=\sqrt{3} i$।

ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ $a$ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, $\sqrt{-a}=\sqrt{a} \sqrt{-1}=\sqrt{a} i$,

ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}$ ਸਾਰੀਆਂ ਧਨਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $a$ ਅਤੇ $b$ ਲਈ। ਇਹ ਨਤੀਜਾ ਉਦੋਂ ਵੀ ਸੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਜਾਂ ਤਾਂ $a>0, b<0$ ਜਾਂ $a<0, b>0$। ਜੇਕਰ $a<0, b<0$ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ? ਆਓ ਜਾਂਚ ਕਰੀਏ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ

$ \begin{aligned} i^{2} & =\sqrt{-1} \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)} \text{ (ਸਾਰੀਆਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ } \sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b} \text{ ਮੰਨ ਕੇ) } \\ & =\sqrt{1}=1 \text{, ਜੋ ਕਿ ਇਸ ਤੱਥ ਦੇ ਵਿਰੁੱਧ ਹੈ ਕਿ } i^{2}=-1 \end{aligned} $

ਇਸ ਲਈ, $\sqrt{a} \times \sqrt{b} \neq \sqrt{a b}$ ਜੇਕਰ ਦੋਵੇਂ $a$ ਅਤੇ $b$ ਰਿਣਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ।

ਇਸ ਤੋਂ ਅੱਗੇ, ਜੇਕਰ $a$ ਅਤੇ $b$ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ ‘ਤੇ, $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}=0$।

4.3.7 ਸਮਾਨਤਾਵਾਂ

ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਸਮਾਨਤਾ ਸਾਬਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$ (z_1+z_2)^{2}=z_1^{2}+z_2^{2}+2 z_1 z_2 \text{, ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ } z_1 \text{ ਅਤੇ } z_2 \text{ ਲਈ। } $

ਸਬੂਤ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ, $(z_1+z_2)^{2}=(z_1+z_2)(z_1+z_2)$,

$$ \begin{aligned} =(z_1+z_2) z_1+(z_1+z_2) z_2 & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_2 z_1+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_1 z_2+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Commutative law of multiplication) } \\ =z_1^{2}+2 z_1 z_2+z_2^{2} & \end{aligned} $$

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਸਾਬਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:

(i) $(z_1-z_2)^{2}=z_1^{2}-2 z_1 z_2+z_2^{2}$

(ii) $(z_1+z_2)^{3}=z_1^{3}+3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}+z_2^{3}$

(iii) $(z_1-z_2)^{3}=z_1^{3}-3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}-z_2^{3}$

(iv) $z_1^{2}-z_2^{2}=(z_1+z_2)(z_1-z_2)$

ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਹੋਰ ਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਜੋ ਸਾਰੀਆਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਸੱਚ ਹਨ, ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਈ ਸੱਚ ਸਾਬਿਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਨ 2 ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਨੂੰ $a+b i$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ:

(i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}$

ਹੱਲ (i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)=\frac{-5}{8} i^{2}=\frac{-5}{8}(-1)=\frac{5}{8}=\frac{5}{8}+i 0$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}=2 \times \frac{1}{8 \times 8 \times 8} \times i^{5}=\frac{1}{256}(i^{2})^{2} i=\frac{1}{256} i$.

ਉਦਾਹਰਨ 3 $(5-3 i)^{3}$ ਨੂੰ ਰੂਪ $a+i b$ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ, $(5-3 i)^{3}=5^{3}-3 \times 5^{2} \times(3 i)+3 \times 5(3 i)^{2}-(3 i)^{3}$

$$ =125-225 i-135+27 i=-10-198 i . $$

ਉਦਾਹਰਨ 4 $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)$ ਨੂੰ $a+i b$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ, $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)=(-\sqrt{3}+\sqrt{2} i)(2 \sqrt{3}-i)$

$ =-6+\sqrt{3} i+2 \sqrt{6} i-\sqrt{2} i^{2}=(-6+\sqrt{2})+\sqrt{3}(1+2 \sqrt{2}) i $

4.4 ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਮਾਪ ਅਤੇ ਸੰਯੁਗਮੀ

ਮੰਨ ਲਓ $z=a+i b$ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਫਿਰ, $z$ ਦਾ ਮਾਪ, ਜਿਸਨੂੰ $|z|$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ, $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ ਅਤੇ $z$ ਦਾ ਸੰਯੁਗਮੀ, ਜਿਸਨੂੰ $\bar{z}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ $a-i b$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ, $\bar{z}=a-i b$।

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $\quad|3+i|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10},|2-5 i|=\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{29}$,

ਅਤੇ

$ \overline{3+i}=3-i, \overline{2-5 i}=2+5 i, \overline{-3 i-5}=3 i-5 $

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ $z$ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

$ \begin{aligned} & \quad z^{-1}=\frac{1}{a+i b}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a-i b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}} \\ & \text{ or } z \bar{z}=|z|^{2} \end{aligned} $

ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਨਤੀਜੇ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਕੱਢੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।

ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $z_1$ ਅਤੇ $z_2$ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

(i) $|z_1 z_2|=|z_1||z_2|$

(ii) $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ ਜਦੋਂ ਤੱਕ $|z_2| \neq 0$

(iii) $\overline{z_1 z_2}=\overline{z_1} \overline{z_2}$

(iv) $\overline{z_1 \pm z_2}=\overline{z_1} \pm \overline{z_2} $

(v) $\overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}provied z_2\neq0 $.

ਉਦਾਹਰਨ 5 $2-3 i$ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਮੰਨ ਲਓ $z=2-3 i$

ਤਾਂ $\quad \bar{z}=2+3 i$ ਅਤੇ $\quad|z|^{2}=2^{2}+(-3)^{2}=13$

ਇਸ ਲਈ, $2-3 i$ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਕ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

$ z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i $

ਉੱਪਰਲਾ ਕੰਮ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਢੰਗ ਨਾਲ ਵੀ ਦੁਹਰਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ,

$ \begin{aligned} z^{-1} & =\frac{1}{2-3 i}=\frac{2+3 i}{(2-3 i)(2+3 i)} \\ & =\frac{2+3 i}{2^{2}-(3 i)^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i \end{aligned} $

ਉਦਾਹਰਨ 6 ਹੇਠ ਲਿਖਿਆਂ ਨੂੰ ਰੂਪ $a+i b$ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰੋ

(i) $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}$

(ii) $i^{-35}$

ਹੱਲ (i) ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ, $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}=\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i} \times \frac{1+\sqrt{2} i}{1+\sqrt{2} i}=\frac{5+5 \sqrt{2} i+\sqrt{2} i-2}{1-(\sqrt{2} i)^{2}}$

$$ =\frac{3+6 \sqrt{2} i}{1+2}=\frac{3(1+2 \sqrt{2} i)}{3}=1+2 \sqrt{2} i $$

(ii) $i^{-35}=\frac{1}{i^{35}}=\frac{1}{(i^{2})^{17} i}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-i^{2}}=i$

4.5 ਆਰਗੰਡ ਤਲ ਅਤੇ ਧਰੁਵੀ ਨਿਰੂਪਣ

ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਹਰੇਕ ਕ੍ਰਮਿਤ ਜੋੜੇ $(x, y)$ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਅਸੀਂ XY-ਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਬਿੰਦੂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਵੀ, ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਲੰਬ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ $x$-ਧੁਰਾ ਅਤੇ $y$-ਧੁਰਾ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ $x+i y$ ਜੋ ਕ੍ਰਮਿਤ ਜੋੜੇ $(x, y)$ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਨੂੰ ਭੂਮਿਤੀ ਤੌਰ ‘ਤੇ XY-ਤਲ ਵਿੱਚ ਵਿਲੱਖਣ ਬਿੰਦੂ $P(x, y)$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਵੀ।

ਕੁਝ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $2+4 i,-2+3 i, 0+1 i, 2+0 i,-5-2 i$ ਅਤੇ $1-2 i$ ਜੋ ਕ੍ਰਮਿਤ ਜੋੜਿਆਂ $(2,4),(-2,3),(0,1),(2,0),(-5,-2)$, ਅਤੇ $(1,-2)$ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹਨ, ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਚਿੱਤਰ 4.1 ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ $A, B, C, D, E$, ਅਤੇ $F$ ਦੁਆਰਾ ਭੂਮਿਤੀ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 4.1

ਉਹ ਤਲ ਜਿਸਦੇ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਨੂੰ ਸੰਯੁਕਤ ਤਲ ਜਾਂ ਆਰਗੰਡ ਤਲ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ।

ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ, ਆਰਗੰਡ ਤਲ ਵਿੱਚ, ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ $x+i y=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ਦਾ ਮਾਪ ਬਿੰਦੂ $P(x, y)$ ਅਤੇ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ $O(0,0)$ (ਚਿੱਤਰ 4.2) ਵਿਚਕਾਰ ਦੀ ਦੂਰੀ ਹੈ। $x$-ਧੁਰੇ ‘ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਰੂਪ $a+i 0$ ਦੀਆਂ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ $y$-ਧੁਰੇ ‘ਤੇ ਬਿੰਦੂ ਰੂਪ $0+i b$ ਦੀਆਂ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਆਰਗੰਡ ਤਲ ਵਿੱਚ $x$-ਧੁਰਾ ਅਤੇ $y$-ਧੁਰਾ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ, ਵਾਸਤਵਿਕ ਧੁਰਾ ਅਤੇ ਕਾਲਪਨਿਕ ਧੁਰਾ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ।

ਚਿੱਤਰ 4.2

ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ $z=x+i y$ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸੰਯੁਗਮੀ $z=x-i y$ ਦਾ ਆਰਗੰਡ ਤਲ ਵਿੱਚ ਨਿਰੂਪਣ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ, ਬਿੰਦੂਆਂ $P(x, y)$ ਅਤੇ $Q(x,-y)$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਭੂਮਿਤੀ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਬਿੰਦੂ $(x,-y)$, ਵਾਸਤਵਿਕ ਧੁਰੇ ‘ਤੇ ਬਿੰਦੂ $(x, y)$ ਦੀ ਦਰਪਣ ਪ੍ਰਤਿਬਿੰਬ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 4.3)।

ਚਿੱਤਰ 4.2

ਵਿਵਿਧ ਉਦਾਹਰਨਾਂ

ਉਦਾਹਰਨ 7 $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ ਦਾ ਸੰਯੁਗਮੀ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ, $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$

$ \begin{aligned} & =\frac{6+9 i-4 i+6}{2-i+4 i+2}=\frac{12+5 i}{4+3 i} \times \frac{4-3 i}{4-3 i} \\ & =\frac{48-36 i+20 i+15}{16+9}=\frac{63-16 i}{25}=\frac{63}{25}-\frac{16}{25} i \end{aligned} $

ਇਸ ਲਈ, $\frac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ ਦਾ ਸੰਯੁਗਮੀ $\frac{63}{25}+\frac{16}{25} i$ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 8 ਜੇਕਰ $x+i y=\frac{a+i b}{a-i b}$, ਸਾਬਿਤ ਕਰੋ ਕਿ $x^{2}+y^{2}=1$।

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ,

$ x+i y=\frac{(a+i b)(a+i b)}{(a-i b)(a+i b)}=\frac{a^{2}-b^{2}+2 a b i}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i $

ਇਸ ਲਈ, $x-i y=\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i$

ਇਸ ਲਈ,

$ \begin{aligned} x^{2}+y^{2}=(x+i y)(x-i y) & =\frac{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}+\frac{4 a^{2} b^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}\\ & =\frac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}=1 \end{aligned} $

ਸਾਰਾਂਸ਼

ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਜਿਸਦਾ ਰੂਪ $a+i b$ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $a$ ਅਤੇ $b$ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਯੁਕਤ ਸੰਖਿਆ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ, $a$ ਨੂੰ ਵਾਸਤ