ਗਣਿਤ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਚੀਜ਼ਾਂ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕਹਿਣ ਦੀ ਕਲਾ ਹੈ। - ਮੈਕਸਵੈੱਲ

5.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਚਲ ਅਤੇ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕੁਝ ਕਥਨ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਵੀ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸਵਾਲ ਉੱਠਦਾ ਹੈ: ‘ਕੀ ਇਹ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸੰਭਵ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਕਥਨ ਸਮੱਸਿਆ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਨੁਵਾਦ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ? ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, ਤੁਹਾਡੀ ਕਲਾਸ ਦੇ ਸਾਰੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀ ਉਚਾਈ $160 cm$ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ। ਤੁਹਾਡੀ ਕਲਾਸਰੂਮ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ 60 ਟੇਬਲ ਜਾਂ ਕੁਰਸੀਆਂ ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਹੀ ਆ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਖਾਸ ਕਥਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ’ $<$ ’ (ਘੱਟ), ‘>’ (ਵੱਧ), ’ $\leq$ ’ (ਘੱਟ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ) ਅਤੇ $\geq$ (ਵੱਧ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ) ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸਮੀਕਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਤੇ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਰੇਖਿਕ ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਵਿਗਿਆਨ, ਗਣਿਤ, ਅੰਕੜਾ ਵਿਗਿਆਨ, ਅਰਥ ਸ਼ਾਸਤਰ, ਮਨੋਵਿਗਿਆਨ ਆਦਿ ਦੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਲਾਭਦਾਇਕ ਹੈ।

5.2 ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ

ਆਓ ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ:

(i) ਰਵੀ ਚਾਵਲ ਖਰੀਦਣ ਲਈ ₹ 200 ਲੈ ਕੇ ਬਾਜ਼ਾਰ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ $1 kg$ ਦੇ ਪੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚ ਉਪਲਬਧ ਹੈ। ਚਾਵਲ ਦੇ ਇੱਕ ਪੈਕਟ ਦੀ ਕੀਮਤ ₹ 30 ਹੈ। ਜੇਕਰ $x$ ਚਾਵਲ ਦੇ ਪੈਕਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਉਹ ਖਰੀਦਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸਦੁਆਰਾ ਖਰਚ ਕੀਤੀ ਗਈ ਕੁੱਲ ਰਕਮ ₹ $30 x$ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ, ਉਸਨੂੰ ਚਾਵਲ ਸਿਰਫ਼ ਪੈਕਟਾਂ ਵਿੱਚ ਹੀ ਖਰੀਦਣੇ ਹਨ, ਉਹ ਸ਼ਾਇਦ ₹ 200 ਦੀ ਪੂਰੀ ਰਕਮ ਖਰਚ ਨਾ ਕਰ ਸਕੇ। (ਕਿਉਂ?) ਇਸ ਲਈ

$$ 30 x<200 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਕਥਨ (i) ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਵਿੱਚ ਬਰਾਬਰੀ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਸ਼ਾਮਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। (ii) ਰੇਸ਼ਮਾ ਕੋਲ ₹ 120 ਹਨ ਅਤੇ ਉਹ ਕੁਝ ਰਜਿਸਟਰ ਅਤੇ ਕਲਮਾਂ ਖਰੀਦਣਾ ਚਾਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇੱਕ ਰਜਿਸਟਰ ਦੀ ਕੀਮਤ ₹ 40 ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਕਲਮ ਦੀ ਕੀਮਤ ₹ 20 ਹੈ। ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ $x$ ਰਜਿਸਟਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ $y$, ਰੇਸ਼ਮਾ ਦੁਆਰਾ ਖਰੀਦੀਆਂ ਗਈਆਂ ਕਲਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸਦੁਆਰਾ ਖਰਚ ਕੀਤੀ ਗਈ ਕੁੱਲ ਰਕਮ ₹ $(40 x+20 y)$ ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ 40 x+20 y \leq 120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ ਖਰਚੀਤ ਰਕਮ ₹ 120 ਤੱਕ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਕਥਨ (2) ਵਿੱਚ ਦੋ ਕਥਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ

$ \text{ ਅਤੇ } \quad \begin{aligned} & 40 x+20 y<120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) \\ & 40 x+20 y=120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (4) \end{aligned} $

ਕਥਨ (3) ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਭਾਵ, ਇਹ ਇੱਕ ਅਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਜਦਕਿ ਕਥਨ (4) ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 1 ਦੋ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਾਂ ਦੋ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਜੋ ’ $<$,’, ‘>’, ’ $\leq$ ’ ਜਾਂ ’ $\geq$ ’ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੋਣ, ਇੱਕ ਅਸਮੀਕਰਨ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ।

ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੇ ਕਥਨ ਜਿਵੇਂ (1), (2) ਅਤੇ (3) ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹਨ।

$3<5 ; 7>5$ ਸੰਖਿਅਕ ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਹਨ ਜਦਕਿ

$x<5 ; y>2 ; x \geq 3, y \leq 4$ ਸ਼ਾਬਦਿਕ ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਹਨ। $3<5<7($ (5 ਨੂੰ 3 ਤੋਂ ਵੱਧ ਅਤੇ 7 ਤੋਂ ਘੱਟ ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ), $3 \leq x<5($ ($x$ ਨੂੰ 3 ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਅਤੇ 5 ਤੋਂ ਘੱਟ ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਅਤੇ $2<y \leq 4$ ਦੋਹਰੀਆਂ ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਹਨ। ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਹਨ:

$$ \begin{align*} & a x+b<0 \tag{5}\\ & a x+b>0 \tag{6}\\ & a x+b \leq 0 \tag{7}\\ & a x+b \geq 0 \tag{8}\\ & a x+b y<c \tag{9}\\ & a x+b y>c \tag{10}\\ & a x+b y \leq c \tag{11}\\ & a x+b y \geq c \tag{12}\\ & a x^{2}+b x+c \leq 0 \tag{13}\\ & a x^{2}+b x+c>0 \tag{14} \end{align*} $$

ਅਸਮੀਕਰਨ (5), (6), (9), (10) ਅਤੇ (14) ਸਖ਼ਤ ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹਨ ਜਦਕਿ ਅਸਮੀਕਰਨ (7), (8), (11), (12), ਅਤੇ (13) ਢਿੱਲੀਆਂ ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹਨ। (5) ਤੋਂ (8) ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਇੱਕ ਚਲ $x$ ਵਿੱਚ ਰੇਖਿਕ ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹਨ ਜਦੋਂ $a \neq 0$, ਜਦਕਿ (9) ਤੋਂ (12) ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੋ ਚਲਾਂ $x$ ਅਤੇ $y$ ਵਿੱਚ ਰੇਖਿਕ ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹਨ ਜਦੋਂ $a \neq 0, b \neq 0$। ਅਸਮੀਕਰਨ (13) ਅਤੇ (14) ਰੇਖਿਕ ਨਹੀਂ ਹਨ (ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਇੱਕ ਚਲ $x$ ਵਿੱਚ ਦੋਘਾਤੀ ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹਨ ਜਦੋਂ $a \neq 0)$।

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਅਤੇ ਦੋ ਚਲਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਰੇਖਿਕ ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਰੱਖਾਂਗੇ।

5.3 ਇੱਕ ਚਲ ਵਿੱਚ ਰੇਖਿਕ ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਹੱਲ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲ ਨਿਰੂਪਣ

ਆਓ ਅਸੀਂ ਭਾਗ 6.2 ਦੀ ਅਸਮੀਕਰਨ (1) ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ, ਯਾਨੀ, $30 x<200$ ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇੱਥੇ $x$ ਚਾਵਲ ਦੇ ਪੈਕਟਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ, $x$ ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਜਾਂ ਭਿੰਨ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ। ਇਸ ਅਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ (L.H.S.) $30 x$ ਹੈ ਅਤੇ ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ (RHS) 200 ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ \begin{aligned} & \text{ For } x=0 \text{, L.H.S. }=30(0)=0<200(\text{ R.H.S. }) \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=1 \text{, L.H.S. }=30(1)=30<200 \text{ (R.H.S.), which is true. } \\ & \text{ For } x=2 \text{, L.H.S. }=30(2)=60<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=3 \text{, L.H.S. }=30(3)=90<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=4 \text{, L.H.S. }=30(4)=120<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=5 \text{, L.H.S. }=30(5)=150<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=6 \text{, L.H.S. }=30(6)=180<200 \text{, which is true. } \\ & \text{ For } x=7 \text{, L.H.S. }=30(7)=210<200 \text{, which is false. } \end{aligned} $

ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $x$ ਦੇ ਮੁੱਲ, ਜੋ ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀ ਅਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੱਚਾ ਕਥਨ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ, $0,1,2,3,4,5,6$ ਹਨ। $x$ ਦੇ ਇਹ ਮੁੱਲ, ਜੋ ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀ ਅਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੱਚਾ ਕਥਨ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਅਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਕਹਾਉਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਸਮੂਹ ${0,1,2,3,4,5,6}$ ਨੂੰ ਇਸਦਾ ਹੱਲ ਸਮੂਹ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇੱਕ ਚਲ ਵਾਲੀ ਅਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਹੱਲ ਚਲ ਦਾ ਉਹ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸੱਚਾ ਕਥਨ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀ ਅਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਅਤੇ ਗਲਤੀ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਲੱਭੇ ਹਨ ਜੋ ਬਹੁਤ ਕੁਸ਼ਲ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ, ਇਹ ਵਿਧੀ ਸਮਾਂ ਖਾਣ ਵਾਲੀ ਹੈ ਅਤੇ ਕਈ ਵਾਰ ਸੰਭਵ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਕੁਝ ਬਿਹਤਰ ਜਾਂ ਸਿਸਟਮੈਟਿਕ ਤਕਨੀਕਾਂ ਹੋਣੀਆਂ ਚਾਹੀਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਸਾਨੂੰ ਸੰਖਿਅਕ ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਹੋਰ ਗੁਣਾਂ ਦੁਆਰਾ ਲੰਘਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਨਿਯਮਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਪਣਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।

ਤੁਸੀਂ ਯਾਦ ਕਰੋਗੇ ਕਿ ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਅਸੀਂ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕੀਤੀ ਸੀ:

ਨਿਯਮ 1 ਬਰਾਬਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ (ਜਾਂ ਘਟਾਇਆ) ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਨਿਯਮ 2 ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ (ਜਾਂ ਭਾਗ) ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਫਿਰ ਉਹੀ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਸਿਰਫ਼ ਇਸ ਅੰਤਰ ਨਾਲ ਕਿ ਨਿਯਮ 2 ਵਿੱਚ, ਅਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਉਲਟ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਭਾਵ, ‘<’ ‘>’ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, $\leq$ ’ ’ $\geq$ ’ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ) ਜਦੋਂ ਵੀ ਅਸੀਂ ਅਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ (ਜਾਂ ਭਾਗ) ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਤੱਥਾਂ ਤੋਂ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ

$ \begin{aligned} & 3>2 \text{ ਜਦਕਿ }-3<-2 \\ & -8<-7 \text{ ਜਦਕਿ }(-8)(-2)>(-7)(-2), \text{ ਭਾਵ, } 16>14 . \end{aligned} $

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਨਿਯਮ ਦੱਸਦੇ ਹਾਂ:

ਨਿਯਮ 1 ਬਰਾਬਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਅਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ (ਜਾਂ ਘਟਾਇਆ) ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਬਿਨਾਂ ਅਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕੀਤੇ।

ਨਿਯਮ 2 ਅਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ (ਜਾਂ ਭਾਗ) ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਪਰ ਜਦੋਂ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਜਾਂ ਭਾਗ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਉਲਟ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਹੁਣ, ਆਓ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ।

ਉਦਾਹਰਣ 1 $30 x<200$ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ ਜਦੋਂ (i) $x$ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, (ii) $x$ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ।

ਹੱਲ ਸਾਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ $30 x<200$

ਜਾਂ $\quad \frac{30 x}{30}<\frac{200}{30}$ (ਨਿਯਮ 2), ਭਾਵ, $x<20 / 3$.

(i) ਜਦੋਂ $x$ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ $x$ ਦੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਮੁੱਲ ਕਥਨ ਨੂੰ ਸੱਚਾ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।

$$ x=1,2,3,4,5,6 $$

ਅਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਸਮੂਹ $\{1,2,3,4,5,6\}$ ਹੈ।

(ii) ਜਦੋਂ $x$ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਹਨ

$$ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 $$

ਅਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਸਮੂਹ $ \{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 \} $ ਹੈ

ਉਦਾਹਰਣ 2 $5 x-3<3 x+1$ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ ਜਦੋਂ (i) $x$ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ, (ii) $x$ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ, $5 x-3<3 x+1$

ਜਾਂ $\quad \quad$ $5 x-3+3<3 x+1+3$ $\quad \quad \quad$ (ਨਿਯਮ 1)

ਜਾਂ $\quad \quad$ $5 x<3 x+4$

ਜਾਂ $\quad \quad$ $5 x-3 x<3 x+4-3 x$ $\quad \quad \quad \quad$ (ਨਿਯਮ 2)

ਜਾਂ $\quad \quad$ $2 x<4$

ਜਾਂ $\quad \quad$ $x<2$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$ (ਨਿਯਮ 3)

(i) ਜਦੋਂ $x$ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਹਨ

$ \ldots,-4,-3,-2,-1,0,1 $

(ii) ਜਦੋਂ $x$ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਅਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ $x<2$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਭਾਵ, ਸਾਰੀਆਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $x$ ਜੋ 2 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਸਮੂਹ $x \in(-\infty, 2)$ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ, ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਅਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਜਦ ਤੱਕ ਹੋਰ ਕੁਝ ਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ।

ਉਦਾਹਰਣ 3 $4 x+3<6 x+7$ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ, $\quad 4 x+3<6 x+7$

ਜਾਂ $\quad 4 x-6 x<6 x+4-6 x$

ਜਾਂ $\quad-2 x<4 \quad$ ਜਾਂ $x>-2$

ਭਾਵ, ਸਾਰੀਆਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜੋ -2 ਤੋਂ ਵੱਧ ਹਨ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਹੱਲ ਸਮੂਹ $(-2, \infty)$ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 4 $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ $\quad \quad \quad \quad$ $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$

ਜਾਂ $\quad \quad \quad \quad$ $2(5-2 x) \leq x-30 \text {. }$

ਜਾਂ $\quad \quad \quad \quad$ $10-4 x \leq x-30$

ਜਾਂ $\quad \quad \quad \quad$ $-5 x \leq-40 \text {, i.e., } x \geq 8$

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਾਰੀਆਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $x$ ਜੋ 8 ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲ ਹਨ, ਭਾਵ, $x \in[8, \infty)$.

ਉਦਾਹਰਣ 5 $7 x+3<5 x+9$ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਹੱਲਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ‘ਤੇ ਦਰਸਾਓ।

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ $7 x+3<5 x+9$ ਜਾਂ $2 x<6$ ਜਾਂ $x<3$

ਹੱਲਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲ ਨਿਰੂਪਣ ਚਿੱਤਰ 5.1 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 5.1

ਉਦਾਹਰਣ 6 $\frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x+1}{4}-1$ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ। ਹੱਲਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ‘ਤੇ ਦਰਸਾਓ।

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ $ \frac{3 x-4}{2}\geq\frac{x+1}{4}-1$

$ \text{or} \quad \frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x-3}{4} $

$ \text{or} \quad 2(3 x-4) \geq(x-3) $

ਜਾਂ $\quad \quad \quad \quad$ $6 x-8 \geq x-3$

ਜਾਂ $\quad \quad \quad \quad$ $5 x \geq 5$

ਜਾਂ $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 1$

ਹੱਲਾਂ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲ ਨਿਰੂਪਣ ਚਿੱਤਰ 5.2 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 5.2

ਉਦਾਹਰਣ 7 ਇੱਕ ਕਲਾਸ XI ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੁਆਰਾ ਪਹਿਲੀ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਟਰਮੀਨਲ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਅੰਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 62 ਅਤੇ 48 ਹਨ। ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ 60 ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਔਸਤ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸਾਲਾਨਾ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਵਿੱਚ ਉਸਨੂੰ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਕਿੰਨੇ ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।

ਹੱਲ ਮੰਨ ਲਓ $x$ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੁਆਰਾ ਸਾਲਾਨਾ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਅੰਕ ਹਨ। ਤਾਂ

$ \frac{62+48+x}{3} \geq 60 $

ਜਾਂ $\quad \quad \quad \quad 110+x \geq 180$

ਜਾਂ $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 70$

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨੂੰ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ 60 ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਔਸਤ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ 70 ਅੰਕ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਣ 8 ਉਹ ਸਾਰੇ ਜੋੜੇ ਲੱਭੋ ਜੋ ਲਗਾਤਾਰ ਵਿਸਮ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਦੋਵੇਂ 10 ਤੋਂ ਵੱਡੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 40 ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਵੇ।

ਹੱਲ ਮੰਨ ਲਓ $x$ ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਵਿਸਮ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਛੋਟੀ ਸੰਖਿਆ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਜੋ ਦੂਜੀ ਸੰਖਿਆ $x+2$ ਹੋਵੇ। ਤਾਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ

$$ \begin{equation*} x>10 \tag{1} \end{equation*} $$

$$ \begin{equation*} \text{ and } \quad \quad \quad x>10 \tag{2} \end{equation*} $$

(2) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ‘ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ

$$ \begin{equation*} 2 x+2<40 \tag{3} \end{equation*} $$

ਭਾਵ, $$x<19 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) $$

(1) ਅਤੇ (3) ਤੋਂ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ

$$ 10<x<19 $$

ਕਿਉਂਕਿ $x$ ਇੱਕ ਵਿਸਮ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, $x$ ਮੁੱਲ 11,13,15, ਅਤੇ 17 ਲੈ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਲੋੜੀਂਦੇ ਸੰਭਾਵੀ ਜੋੜੇ ਹੋਣਗੇ $(11,13),(13,15),(15,17),(17,19)$

ਵਿਭਿੰਨ ਉਦਾਹਰਣਾਂ

ਉਦਾਹਰਣ 9 $-8 \leq 5 x-3<7$ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਇਸ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹਨ, $-8 \leq 5 x-3$ ਅਤੇ $5 x-3<7$, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਹੱਲ ਕਰਾਂਗੇ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ $-8 \leq 5 x-3<7$

ਜਾਂ $\quad-5 \leq 5 x<10$

$ \text{ ਜਾਂ } \quad-1 \leq x<2 $

ਉਦਾਹਰਣ 10 $-5 \leq \frac{5-3 x}{2} \leq 8$ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ $\quad-5 \leq \frac{5-3 x}{2} \leq 8$

ਜਾਂ $\quad-10 \leq 5-3 x \leq 16 \quad$ ਜਾਂ $\quad-15 \leq-3 x \leq 11$

ਜਾਂ $\quad 5 \geq x \geq-\frac{11}{3}$

ਜਿਸਨੂੰ $\frac{-11}{3} \leq x \leq 5$ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

ਉਦਾਹਰਣ 11 ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ:

$$ \begin{aligned} & 3 x-7<5+x \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) \\ & 11-5 x \leq 1 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) \end{aligned} $$

ਅਤੇ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ‘ਤੇ ਨਿਰੂਪਿਤ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਅਸਮੀਕਰਨ (1) ਤੋਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ 3 x - 7 < 5 + x $$

ਜਾਂ $ \quad x < 6 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3)$

ਨਾਲ ਹੀ, ਅਸਮੀਕਰਨ (2) ਤੋਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ 11-5 x \leq 1 $$

ਜਾਂ $ \quad - 5 x \leq-10 \quad \text{ i.e., } x \geq 2 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(4)$

ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਅਸਮੀਕਰਨਾਂ (3) ਅਤੇ (4) ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਨੰਬਰ ਲਾਈਨ ‘ਤੇ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $x$ ਦੇ ਮੁੱਲ, ਜੋ ਦੋਵਾਂ ਲਈ ਸਾਂਝੇ ਹਨ, ਚਿੱਤਰ 5.3 ਵਿੱਚ ਮੋਟੀ ਲਾਈਨ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਹੱਲ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $x$ ਹਨ ਜੋ 2 ਅਤੇ 6 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ 2 ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ਭਾਵ, $2 \leq x<6$

ਉਦਾਹਰਣ 12 ਇੱਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਵਿੱਚ, ਹਾਈਡ੍ਰੋਕਲੋਰਿਕ ਐਸਿਡ ਦੇ ਇੱਕ ਘੋਲ ਨੂੰ $30^{\circ}$ ਅਤੇ $35^{\circ}$ ਸੈਲਸੀਅਸ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਰੱਖਿਆ ਜਾਣਾ ਹੈ। ਡਿਗਰੀ ਫਾਰਨਹੀਟ ਵਿੱਚ ਤਾਪਮਾਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਕੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਫਾਰਮੂਲਾ $C=\frac{5}{9} \quad(F-32)$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $C$ ਅਤੇ