ਖੋਜ ਦਾ ਹਰ ਸਰੀਰ ਗਣਿਤਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੋਰ ਕੋਈ ਮਾਰਗਦਰਸ਼ਨ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ - ਡਾਰਵਿਨ

6.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਮੰਨ ਲਓ ਤੁਹਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਨੰਬਰ ਲਾਕ ਵਾਲਾ ਸੂਟਕੇਸ ਹੈ। ਨੰਬਰ ਲਾਕ ਵਿੱਚ 4 ਪਹੀਏ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਉੱਤੇ 0 ਤੋਂ 9 ਤੱਕ 10 ਅੰਕ ਲਿਖੇ ਹਨ। ਲਾਕ ਖੁੱਲ੍ਹ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ 4 ਖਾਸ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਬਿਨਾਂ ਦੁਹਰਾਅ ਦੇ ਲਗਾਇਆ ਜਾਵੇ। ਕਿਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਤੁਸੀਂ ਇਹ ਖਾਸ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਭੁੱਲ ਗਏ ਹੋ। ਤੁਹਾਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਪਹਿਲਾ ਅੰਕ ਯਾਦ ਹੈ ਜੋ ਕਿ 7 ਹੈ। ਲਾਕ ਖੋਲ੍ਹਣ ਲਈ, ਤੁਹਾਨੂੰ 3-ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਕ੍ਰਮਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਨੀ ਪੈ ਸਕਦੀ ਹੈ? ਇਸ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਲਈ, ਤੁਸੀਂ ਤੁਰੰਤ ਬਾਕੀ ਬਚੇ 9 ਅੰਕਾਂ ਦੇ 3-3 ਕਰਕੇ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਵਿਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਉਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ। ਪਰ, ਇਹ ਵਿਧੀ ਥਕਾਊ ਹੋਵੇਗੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਸੰਭਵ ਕ੍ਰਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵੱਡੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇੱਥੇ, ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਬੁਨਿਆਦੀ ਗਿਣਤੀ ਤਕਨੀਕਾਂ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਜੋ

ਸਾਨੂੰ 3-ਅੰਕੀ ਵਿਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾਏ ਬਿਨਾਂ ਹੀ ਇਸ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਦੇ ਯੋਗ ਬਣਾਉਣਗੀਆਂ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਤਕਨੀਕਾਂ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਵਿਵਸਥਿਤ ਅਤੇ ਚੁਣਨ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਉਪਯੋਗੀ ਹੋਣਗੀਆਂ। ਪਹਿਲੇ ਕਦਮ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਇਨ੍ਹਾਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਨੂੰ ਸਿੱਖਣ ਲਈ ਸਭ ਤੋਂ ਮੂਲ ਭੂਤ ਹੈ।

6.2 ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਮੂਲ ਭੂਤ ਸਿਧਾਂਤ

ਆਓ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸਮੱਸਿਆ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ। ਮੋਹਨ ਦੇ ਕੋਲ 3 ਪੈਂਟ ਅਤੇ 2 ਕਮੀਜ਼ਾਂ ਹਨ। ਉਹ ਪੈਂਟ ਅਤੇ ਕਮੀਜ਼ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਜੋੜੇ ਪਹਿਨ ਸਕਦਾ ਹੈ? ਪੈਂਟ ਚੁਣਨ ਦੇ 3 ਤਰੀਕੇ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ 3 ਪੈਂਟ ਉਪਲਬਧ ਹਨ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਕਮੀਜ਼ 2 ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਚੁਣੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਪੈਂਟ ਦੀ ਹਰ ਚੋਣ ਲਈ, ਕਮੀਜ਼ ਦੀਆਂ 2 ਚੋਣਾਂ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਪੈਂਟ ਅਤੇ ਕਮੀਜ਼ ਦੇ $3 \times 2=6$ ਜੋੜੇ ਹਨ।

ਆਓ ਤਿੰਨ ਪੈਂਟਾਂ ਦਾ ਨਾਮ $P_1, P_2, P_3$ ਅਤੇ ਦੋ ਕਮੀਜ਼ਾਂ ਦਾ ਨਾਮ $S_1, S_2$ ਰੱਖੀਏ। ਫਿਰ, ਇਹ ਛੇ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਚਿੱਤਰ 6.1 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 6.1

ਆਓ ਇਸੇ ਕਿਸਮ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸਮੱਸਿਆ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ।

ਸਬਨਮ ਦੇ ਕੋਲ 2 ਸਕੂਲ ਬੈਗ, 3 ਟਿੱਫਨ ਬਾਕਸ ਅਤੇ 2 ਪਾਣੀ ਦੀਆਂ ਬੋਤਲਾਂ ਹਨ। ਉਹ ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ (ਹਰ ਇੱਕ ਚੁਣ ਕੇ) ਕਿੰਨੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਲੈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।

ਸਕੂਲ ਬੈਗ 2 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਚੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਕੂਲ ਬੈਗ ਚੁਣਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਟਿੱਫਨ ਬਾਕਸ 3 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਚੁਣਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਕੂਲ ਬੈਗ ਅਤੇ ਟਿੱਫਨ ਬਾਕਸ ਦੇ $2 \times 3=6$ ਜੋੜੇ ਹਨ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਜੋੜਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਲਈ ਪਾਣੀ ਦੀ ਬੋਤਲ 2 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਚੁਣੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, ਸਬਨਮ ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਸਕੂਲ ਲੈ ਜਾਣ ਦੇ $6 \times 2=12$ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ 2 ਸਕੂਲ ਬੈਗਾਂ ਦਾ ਨਾਮ $B_1, B_2$, ਤਿੰਨ ਟਿੱਫਨ ਬਾਕਸਾਂ ਦਾ ਨਾਮ $T_1, T_2, T_3$ ਅਤੇ ਦੋ ਪਾਣੀ ਦੀਆਂ ਬੋਤਲਾਂ ਦਾ ਨਾਮ $W_1, W_2$ ਰੱਖੀਏ, ਤਾਂ ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਚਿੱਤਰ 6.2 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਈਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।

ਚਿੱਤਰ 6.2

ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਉਪਰੋਕਤ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਹੱਲ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਸਨੂੰ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਮੂਲ ਭੂਤ ਸਿਧਾਂਤ, ਜਾਂ, ਬਸ, ਗੁਣਾ ਸਿਧਾਂਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ

“ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਘਟਨਾ $m$ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਹੋਰ ਘਟਨਾ $n$ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ $m \times n$ ਹੈ।”

ਉਪਰੋਕਤ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੀਮਿਤ ਗਿਣਤੀ ਦੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਲਈ ਸਾਮਾਨਿਕ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, 3 ਘਟਨਾਵਾਂ ਲਈ, ਸਿਧਾਂਤ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ:

‘ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਘਟਨਾ $m$ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਹੋਰ ਘਟਨਾ $n$ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਤੀਜੀ ਘਟਨਾ $p$ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ $m \times n \times p$ ਹੈ।"

ਪਹਿਲੀ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ, ਪੈਂਟ ਅਤੇ ਕਮੀਜ਼ ਪਹਿਨਣ ਦੇ ਲੋੜੀਂਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੜੀਵਾਰ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਸੀ:

(i) ਪੈਂਟ ਚੁਣਨ ਦੀ ਘਟਨਾ

(ii) ਕਮੀਜ਼ ਚੁਣਨ ਦੀ ਘਟਨਾ।

ਦੂਜੀ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ, ਲੋੜੀਂਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਲੜੀਵਾਰ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਸੀ:

(i) ਸਕੂਲ ਬੈਗ ਚੁਣਨ ਦੀ ਘਟਨਾ

(ii) ਟਿੱਫਨ ਬਾਕਸ ਚੁਣਨ ਦੀ ਘਟਨਾ

(iii) ਪਾਣੀ ਦੀ ਬੋਤਲ ਚੁਣਨ ਦੀ ਘਟਨਾ।

ਇੱਥੇ, ਦੋਵਾਂ ਹੀ ਕੇਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਹਰ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਘਟਨਾਵਾਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸੰਭਵ ਕ੍ਰਮਾਂ ਵਿੱਚ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਪਰ, ਸਾਨੂੰ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਸੰਭਵ ਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਚੁਣਨਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਚੁਣੇ ਹੋਏ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਨੀ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 1 4 ਅੱਖਰਾਂ ਵਾਲੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜੋ ਕਿ ਸ਼ਬਦ ROSE ਦੇ ਅੱਖਰਾਂ ਤੋਂ ਬਣਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਭਾਵੇਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਅਰਥ ਹੋਵੇ ਜਾਂ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਜਿੱਥੇ ਅੱਖਰਾਂ ਦਾ ਦੁਹਰਾਅ ਮਨ੍ਹਾ ਹੈ।

ਹੱਲ ਜਿੰਨੇ ਸ਼ਬਦ ਹਨ, ਉੱਨੇ ਹੀ 4 ਖਾਲੀ ਥਾਵਾਂ $\square \square \square \square$ ਨੂੰ 4 ਅੱਖਰਾਂ ਨਾਲ ਭਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ, ਇਹ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਦੁਹਰਾਅ ਮਨ੍ਹਾ ਹੈ। ਪਹਿਲੀ ਥਾਂ 4 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ 4 ਅੱਖਰਾਂ R,O,S,E ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਨਾਲ ਭਰੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਦੂਜੀ ਥਾਂ ਬਾਕੀ ਬਚੇ 3 ਅੱਖਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਨਾਲ 3 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਭਰੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ; ਇਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਤੀਜੀ ਥਾਂ 2 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਭਰੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ; ਇਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਚੌਥੀ ਥਾਂ 1 ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਭਰੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਗੁਣਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦੁਆਰਾ, 4 ਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਭਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $4 \times 3 \times 2 \times 1=24$ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਲੋੜੀਂਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ 24 ਹੈ।

ਨੋਟ - ਜੇਕਰ ਅੱਖਰਾਂ ਦਾ ਦੁਹਰਾਅ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਹੁੰਦੀ, ਤਾਂ ਕਿੰਨੇ ਸ਼ਬਦ ਬਣ ਸਕਦੇ ਸਨ? ਕੋਈ ਵੀ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਸਮਝ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ 4 ਖਾਲੀ ਥਾਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਲੜੀਵਾਰ 4 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਭਰੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਲੋੜੀਂਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $=4 \times 4 \times 4 \times 4=256$।

ਉਦਾਹਰਨ 2 4 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਰੰਗਾਂ ਦੇ ਝੰਡੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ, ਕਿੰਨੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸੰਕੇਤ ਪੈਦਾ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਸੰਕੇਤ ਲਈ 2 ਝੰਡਿਆਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨੀ ਹੋਵੇ, ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਹੇਠਾਂ?

ਹੱਲ ਜਿੰਨੇ ਸੰਕੇਤ ਹੋਣਗੇ, ਉੱਨੇ ਹੀ 2 ਖਾਲੀ ਥਾਵਾਂ $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \end{array}$ ਨੂੰ ਲੜੀਵਾਰ 4 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਰੰਗਾਂ ਦੇ ਝੰਡਿਆਂ ਨਾਲ ਭਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਹੋਣਗੇ। ਉੱਪਰਲੀ ਖਾਲੀ ਥਾਂ 4 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ 4 ਝੰਡਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਨਾਲ ਭਰੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ; ਇਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਹੇਠਲੀ ਖਾਲੀ ਥਾਂ 3 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਬਾਕੀ ਬਚੇ 3 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਝੰਡਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਨਾਲ ਭਰੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਗੁਣਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦੁਆਰਾ, ਲੋੜੀਂਦੇ ਸੰਕੇਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $=4 \times 3=12$।

ਉਦਾਹਰਨ 3 ਅੰਕਾਂ $1,2,3,4,5$ ਤੋਂ ਕਿੰਨੀਆਂ 2 ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਬਣਾਈਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਜੇਕਰ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ?

ਹੱਲ ਜਿੰਨੇ ਤਰੀਕੇ ਹੋਣਗੇ, ਉੱਨੇ ਹੀ 2 ਖਾਲੀ ਥਾਵਾਂ $\square \square$ ਨੂੰ ਲੜੀਵਾਰ ਪੰਜ ਦਿੱਤੇ ਅੰਕਾਂ ਨਾਲ ਭਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਹੋਣਗੇ। ਇੱਥੇ, ਇਸ ਕੇਸ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਕਾਈ ਦੀ ਥਾਂ ਭਰਨਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਥਾਂ ਲਈ ਵਿਕਲਪ ਸਿਰਫ਼ 2 ਅਤੇ 4 ਹਨ ਅਤੇ ਇਹ 2 ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ; ਇਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਦਹਾਈ ਦੀ ਥਾਂ 5 ਅੰਕਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਇੱਕ ਨਾਲ 5 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਭਰੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਗੁਣਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦੁਆਰਾ, ਲੋੜੀਂਦੀਆਂ ਦੋ ਅੰਕਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $2 \times 5$ ਹੈ, ਭਾਵ, 10।

ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸੰਕੇਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੋ ਇੱਕ ਲੰਬਕਾਰੀ ਸਟਾਫ ਉੱਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 2 ਝੰਡਿਆਂ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ (ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਹੇਠਾਂ) ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਕੇ ਪੈਦਾ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜੇਕਰ ਪੰਜ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਝੰਡੇ ਉਪਲਬਧ ਹਨ।

ਹੱਲ ਇੱਕ ਸੰਕੇਤ ਵਿੱਚ ਜਾਂ ਤਾਂ 2 ਝੰਡੇ, 3 ਝੰਡੇ, 4 ਝੰਡੇ ਜਾਂ 5 ਝੰਡੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਹੁਣ, ਆਓ 2 ਝੰਡਿਆਂ, 3 ਝੰਡਿਆਂ, 4 ਝੰਡਿਆਂ ਅਤੇ 5 ਝੰਡਿਆਂ ਵਾਲੇ ਸੰਕੇਤਾਂ ਦੀ ਸੰਭਵ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ-ਵੱਖਰੇ ਗਿਣੀਏ ਅਤੇ ਫਿਰ ਸੰਬੰਧਿਤ ਗਿਣਤੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਦੇਈਏ।

ਜਿੰਨੇ 2 ਝੰਡੇ ਵਾਲੇ ਸੰਕੇਤ ਹੋਣਗੇ, ਉੱਨੇ ਹੀ 2 ਖਾਲੀ ਥਾਵਾਂ $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \end{array}$ ਨੂੰ ਲੜੀਵਾਰ 5 ਉਪਲਬਧ ਝੰਡਿਆਂ ਨਾਲ ਭਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਹੋਣਗੇ। ਗੁਣਾ ਨਿਯਮ ਦੁਆਰਾ, ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $5 \times 4=20$ ਹੈ।

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜਿੰਨੇ 3 ਝੰਡੇ ਵਾਲੇ ਸੰਕੇਤ ਹੋਣਗੇ, ਉੱਨੇ ਹੀ 3 ਖਾਲੀ ਥਾਵਾਂ $\begin{array}{|l|} \hline \quad \\ \hline \\ \hline \\ \hline \end{array}$ ਨੂੰ ਲੜੀਵਾਰ 5 ਝੰਡਿਆਂ ਨਾਲ ਭਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਹੋਣਗੇ।

ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $5 \times 4 \times 3=60$ ਹੈ।

ਇਸੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ

4 ਝੰਡੇ ਵਾਲੇ ਸੰਕੇਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $=5 \times 4 \times 3 \times 2=120$

ਅਤੇ 5 ਝੰਡੇ ਵਾਲੇ ਸੰਕੇਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120$

ਇਸ ਲਈ, ਲੋੜੀਂਦੇ ਸੰਕੇਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $=20+60+120+120=320$।

6.3 ਕ੍ਰਮਚਯ

ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ 1 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਅੱਖਰਾਂ ਦੀਆਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸੰਭਵ ਵਿਵਸਥਾਵਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ROSE, REOS, …, ਆਦਿ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਇੱਥੇ, ਇਸ ਸੂਚੀ ਵਿੱਚ, ਹਰ ਵਿਵਸਥਾ ਦੂਜੀ ਤੋਂ ਵੱਖਰੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅੱਖਰਾਂ ਲਿਖਣ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। ਹਰ ਵਿਵਸਥਾ ਨੂੰ 4 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਅੱਖਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਚਯ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਸਾਰੇ ਲਏ ਗਏ ਹਨ। ਹੁਣ, ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ 3-ਅੱਖਰਾਂ ਵਾਲੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨੀ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਕੋਈ ਅਰਥ ਹੋਵੇ ਜਾਂ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਜੋ ਕਿ ਸ਼ਬਦ NUMBER ਦੇ ਅੱਖਰਾਂ ਤੋਂ ਬਣਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ ਅੱਖਰਾਂ ਦਾ ਦੁਹਰਾਅ ਮਨ੍ਹਾ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਵਿਵਸਥਾਵਾਂ NUM, NMU, MUN, NUB, …, ਆਦਿ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ 6 ਵੱਖ-ਵੱਖ ਅੱਖਰਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮਚਯਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ 3 ਲਏ ਗਏ ਹਨ। ਲੋੜੀਂਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $=6 \times 5 \times 4=120$ (ਗੁਣਾ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ)।

ਜੇਕਰ ਅੱਖਰਾਂ ਦੇ ਦੁਹਰਾਅ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਹੁੰਦੀ, ਤਾਂ ਲੋੜੀਂਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $6 \times 6 \times 6=216$ ਹੁੰਦੀ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 1 ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਚਯ ਕੁਝ ਜਾਂ ਸਾਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ ਲੈ ਕੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਗਈ ਵਿਵਸਥਾ ਹੈ।

ਹੇਠਲੇ ਉਪ-ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਉਹ ਫਾਰਮੂਲਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਾਂਗੇ ਜੋ ਇਨ੍ਹਾਂ ਸਵਾਲਾਂ ਦਾ ਜਵਾਬ ਤੁਰੰਤ ਦੇਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੈ।

6.3.1 ਕ੍ਰਮਚਯ ਜਦੋਂ ਸਾਰੀਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹਨ

ਪ੍ਰਮੇਯ 1 $n$ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮਚਯਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਜੋ ਇੱਕੋ ਸਮੇਂ $r$ ਲਏ ਗਏ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ $0<r \leq n$ ਅਤੇ ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਦੁਹਰਾਅ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ, $n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)$ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ${ }^{n} P_r$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਸਬੂਤ ਜਿੰਨੇ ਕ੍ਰਮਚਯ ਹੋਣਗੇ, ਉੱਨੇ ਹੀ $r$ ਖਾਲੀ ਥਾਵਾਂ $ \underset{\leftarrow r \text{ vacant places} \rightarrow}{\Large{\square \square \square \cdots }} \Large{\square}$ ਨੂੰ

$n$ ਵਸਤੂਆਂ ਨਾਲ ਭਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਹੋਣਗੇ। ਪਹਿਲੀ ਥਾਂ $n$ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਭਰੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ; ਇਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਦੂਜੀ ਥਾਂ $(n-1)$ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਭਰੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਇਸ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਤੀਜੀ ਥਾਂ $(n-2)$ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਭਰੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ,…, $r$ ਵੀਂ ਥਾਂ $(n-(r-1))$ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਭਰੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $r$ ਖਾਲੀ ਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਲੜੀਵਾਰ ਭਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $n(n-1)(n-2) \ldots(n-(r-1))$ ਜਾਂ $n(n-1)(n-2) \ldots(n-r+1)$ ਹੈ।

${ }^{n} P$ ਲਈ ਇਹ ਪ੍ਰਗਟਾਵਾ ਔਖਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਜੋ ਇਸ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਦੇ ਆਕਾਰ ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰੇਗੀ। ਚਿੰਨ੍ਹ $n$! (ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ $n$ ਜਾਂ $n$ ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਸਾਡੀ ਮਦਦ ਲਈ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਲੇਖ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਕਿ ਅਸਲ ਵਿੱਚ $n$! ਦਾ ਕੀ ਅਰਥ ਹੈ।

6.3.2 ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ

ਨੋਟੇਸ਼ਨ $n$! ਪਹਿਲੇ $n$ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਭਾਵ, ਗੁਣਨਫਲ $1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times(n-1) \times n$ ਨੂੰ $n$ ! ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ‘$n$ ਫੈਕਟੋਰੀਅਲ’ ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $1 \times 2 \times 3 \times 4 \ldots \times(n-1) \times n=n$ !

$ \begin{aligned} & 1=1 ! \\ & 1 \times 2=2 ! \\ & 1 \times 2 \times 3=3 ! \\ & 1 \times 2 \times 3 \times 4=4 \text{ ! ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ। } \end{aligned} $

ਅਸੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ $0 !=1$

ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ $5 !=5 \times 4 !=5 \times 4 \times 3 !=5 \times 4 \times 3 \times 2$ !

$$ =5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \text{ ! } $$

ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ, ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ $n$ ਲਈ

$$ \begin{array}{rlrl} n ! & =n(n-1) ! & \\ & =n(n-1)(n-2) ! & & \text { [ provided } n \geq 2] \\ & =n(n-1)(n-2)(n-3) ! & & \text { [ provided } n \geq 3] \end{array} $$

ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ।

ਉਦਾਹਰਨ 5 ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ

(i) 5 !

(ii) 7 !

(iii) $7 !-5$ !

ਹੱਲ

(i) $5 !=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5=120$

(ii) 7 ! $=1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7=5040$

ਅਤੇ

(iii) $7 !-5 !=5040-120=4920$।

ਉਦਾਹਰਨ 6 ਗਣਨਾ ਕਰੋ (i) $\frac{7 !}{5 !}$

(ii) $\frac{12 !}{(10 !)(2 !)}$

ਹੱਲ

(i) ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ $\frac{7 !}{5 !}=\frac{7 \times 6 \times 5 !}{5 !}=7 \times 6=42$

ਅਤੇ

(ii) $\frac{12 !}{(10 !)(2 !)}=\frac{12 \times 11 \times(10 !)}{(10 !) \times(2)}=6 \times 11=66$।

ਉਦਾਹਰਨ 7 $\frac{n !}{r !(n-r) !}$ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਜਦੋਂ $n=5, r=2$।

ਹੱਲ ਸਾਨੂੰ $\frac{5 !}{2 !(5-2) !}($ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ $n=5, r=2)$

ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ $\quad \frac{5 !}{2 !(5-2) !}=\frac{5 !}{2 ! \times 3 !}=\frac{5 \times 4}{2}=10$

ਉਦਾਹਰਨ 8 ਜੇਕਰ $\frac{1}{8 !}+\frac{1}{9 !}=\frac{x}{10 !}$, ਤਾਂ $x$ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ $\frac{1}{8 !}+\frac{1}{9 \times 8 !}=\frac{x}{10 \times 9 \times 8 !}$

ਇਸ ਲਈ $1+\frac{1}{9}=\frac{x}{10 \times 9}$ ਜਾਂ $\frac{10}{9}=\frac{x}{10 \times 9}$

ਇਸ ਲਈ

$ x=100 . $

6.3.3 ${ }^{n} P_r$ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਿਉਂਤਪਤੀ

$ { }^{n} P_r=\frac{n !}{(n-r) !}, 0 \leq