ਗਣਿਤ ਇੱਕ ਬਿਲਕੁਲ ਸਹੀ ਵਿਗਿਆਨ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਦੇ ਸਿੱਟੇ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਾਬਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। - C.P. STEINMETZ

7.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਦੋ ਪਦੀ ਜਿਵੇਂ $a+b$ ਅਤੇ $a-b$ ਦੇ ਵਰਗ ਅਤੇ ਘਣ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣੇ ਹਨ। ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਿਵੇਂ $(98)^{2}=(100-2)^{2},(999)^{3}=(1000-1)^{3}$, ਆਦਿ ਦੇ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਸੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਉੱਚੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਜਿਵੇਂ $(98)^{5},(101)^{6}$, ਆਦਿ ਲਈ, ਗੁਣਾ ਨੂੰ ਦੁਹਰਾ ਕੇ ਗਣਨਾਵਾਂ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਮੁਸ਼ਕਲ ਨੂੰ ਦੋ ਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨਾਮਕ ਇੱਕ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੁਆਰਾ ਦੂਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ। ਇਹ $(a+b)^{n}$ ਨੂੰ ਫੈਲਾਉਣ ਦਾ ਇੱਕ ਆਸਾਨ ਤਰੀਕਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $n$ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਜਾਂ ਇੱਕ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੂਚਕਾਂ ਲਈ ਦੋ ਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਬਲੇਜ਼ ਪਾਸਕਲ (1623-1662 ਈ.)

7.2 ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੂਚਕਾਂ ਲਈ ਦੋ ਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ

ਆਓ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਪਛਾਣਾਂ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰੀਏ:

$$ \begin{aligned} & (a+b)^{0}=1 ; a+b \neq 0 \\ & (a+b)^{1}=a+b \\ & (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \\ & (a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3} \\ & (a+b)^{4}=(a+b)^{3}(a+b)=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4} \end{aligned} $$

ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿਸਤਾਰਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ

(i) ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ ਪਦਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਸੂਚਕ ਤੋਂ ਇੱਕ ਵੱਧ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, $(a+b)^{2}$ ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ, ਪਦਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ 3 ਹੈ ਜਦਕਿ $(a+b)^{2}$ ਦਾ ਸੂਚਕ 2 ਹੈ।

(ii) ਪਹਿਲੀ ਰਾਸ਼ੀ ‘$a$’ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ 1 ਕਰਕੇ ਘਟਦੀਆਂ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਦਕਿ ਦੂਜੀ ਰਾਸ਼ੀ ‘$b$’ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ 1 ਕਰਕੇ ਵਧਦੀਆਂ ਰਹਿੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਲਗਾਤਾਰ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ।

(iii) ਵਿਸਤਾਰ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਵਿੱਚ, $a$ ਅਤੇ $b$ ਦੇ ਸੂਚਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ $a+b$ ਦੇ ਸੂਚਕ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।

ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿਸਤਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ (ਚਿੱਤਰ 7.1):

ਚਿੱਤਰ 7.1

ਕੀ ਅਸੀਂ ਇਸ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਪੈਟਰਨ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਅਗਲੀ ਕਤਾਰ ਲਿਖਣ ਵਿੱਚ ਸਾਡੀ ਮਦਦ ਕਰੇਗੀ? ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੂਚਕ 1 ਲਈ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ 1’s ਦਾ ਜੋੜ ਸੂਚਕ 2 ਲਈ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ 2 ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਸੂਚਕ 2 ਲਈ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ 1,2 ਅਤੇ 2, 1 ਦਾ ਜੋੜ ਸੂਚਕ 3 ਲਈ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ 3 ਅਤੇ 3 ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, 1 ਹਰੇਕ ਕਤਾਰ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਅਤੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਸਾਡੀ ਰੁਚੀ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੂਚਕ ਤੱਕ ਜਾਰੀ ਰੱਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 7.2 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਕੁਝ ਹੋਰ ਕਤਾਰਾਂ ਲਿਖ ਕੇ ਵਧਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਪਾਸਕਲ ਦਾ ਤਿਕੋਣ

ਚਿੱਤਰ 7.2 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਬਣਤਰ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਵਰਗੀ ਲੱਗਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਿਖਰ ‘ਤੇ 1 ਹੈ ਅਤੇ ਦੋਵਾਂ ਢਲਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਪਾਸਿਆਂ ‘ਤੇ ਹੇਠਾਂ ਚਲਦਾ ਹੈ। ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਇਹ ਸਾਰਣੀ ਫਰਾਂਸੀਸੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਬਲੇਜ਼ ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਨਾਮ ‘ਤੇ ਪਾਸਕਲ ਦਾ ਤਿਕੋਣ ਵਜੋਂ ਜਾਣੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਪਿੰਗਲਾ ਦੁਆਰਾ ਮੇਰੂ ਪ੍ਰਸਤਾਰਾ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦੋ ਪਦੀ ਦੀਆਂ ਉੱਚੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਲਈ ਵਿਸਤਾਰ ਵੀ ਸੰਭਵ ਹਨ। ਆਓ ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ $(2 x+3 y)^{5}$ ਨੂੰ ਫੈਲਾਈਏ। ਸੂਚਕ 5 ਲਈ ਕਤਾਰ ਹੈ

$$ \begin{matrix} 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{matrix} $$

ਇਸ ਕਤਾਰ ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਨਿਰੀਖਣਾਂ (i), (ii) ਅਤੇ (iii) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$ \begin{aligned} (2 x+3 y)^{5} & =(2 x)^{5}+5(2 x)^{4}(3 y)+10(2 x)^{3}(3 y)^{2}+10(2 x)^{2}(3 y)^{3}+5(2 x)(3 y)^{4}+(3 y)^{5} \\ & =32 x^{5}+240 x^{4} y+720 x^{3} y^{2}+1080 x^{2} y^{3}+810 x y^{4}+243 y^{5} \end{aligned} $

ਹੁਣ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ $(2 x+3 y)^{12}$ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਪਹਿਲਾਂ ਸੂਚਕ 12 ਲਈ ਕਤਾਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਹ ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਕਤਾਰਾਂ ਨੂੰ ਸੂਚਕ 12 ਤੱਕ ਲਿਖ ਕੇ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਥੋੜ੍ਹਾ ਲੰਬਾ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹੋ, ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੋਰ ਵੀ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ, ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਹੋਰ ਵੀ ਵੱਡੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਵਾਲੇ ਵਿਸਤਾਰਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੋਵੇ।

ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਿਯਮ ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਾਡੀ ਮਦਦ ਕਰੇਗਾ ਤਾਂ ਕਿ ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਕਤਾਰਾਂ, ਜੋ ਲੋੜੀਂਦੇ ਸੂਚਕ ਦੀ ਕਤਾਰ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਆਉਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਨੂੰ ਲਿਖੇ ਬਿਨਾਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਘਾਤ ਲਈ ਦੋ ਪਦੀ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਲੱਭ ਸਕੀਏ।

ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤਿਕੋਣ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਮੁੜ ਲਿਖਣ ਲਈ ਪਹਿਲਾਂ ਪੜ੍ਹੇ ਗਏ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ${ }^{n} C_r=\frac{n !}{r !(n-r) !}, 0 \leq r \leq n$ ਅਤੇ $n$ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ${ }^{n} C_0=1={ }^{n} C_n$ ਪਾਸਕਲ ਦਾ ਤਿਕੋਣ ਹੁਣ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮੁੜ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 7.3)

ਚਿੱਤਰ 7.3 ਪਾਸਕਲ ਦਾ ਤਿਕੋਣ

ਇਸ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਪਾਸਕਲ ਦੇ ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਕਤਾਰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਸੂਚਕ ਲਈ ਪਹਿਲਾਂ ਦੀਆਂ ਕਤਾਰਾਂ ਲਿਖੇ ਬਿਨਾਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, ਸੂਚਕ 7 ਲਈ ਕਤਾਰ ਹੋਵੇਗੀ

$$ { }^{7} C_0 \quad{ }^{7} C_1 \quad{ }^{7} C_2 \quad{ }^{7} C_3 \quad{ }^{7} C_4 \quad{ }^{7} C_5 \quad{ }^{7} C_6 \quad{ }^{7} C_7 $$

ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਕਤਾਰ ਅਤੇ ਨਿਰੀਖਣਾਂ (i), (ii) ਅਤੇ (iii) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$(a+b)^{7}={ }^{7} C_0 a^{7}+7 C_1 a^{6} b+{ }^{7} C_2 a^{5} b^{2}+{ }^{7} C_3 a^{4} b^{3}+7 C_4 a^{3} b^{4}+{ }^{7} C_5 a^{2} b^{5}+{ }^{7} C_6 a b^{6}+{ }^{7} C_7 b^{7}$

ਇੱਕ ਦੋ ਪਦੀ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੂਚਕ, ਮੰਨ ਲਓ $n$, ਨੂੰ ਹੁਣ ਇਨ੍ਹਾਂ ਨਿਰੀਖਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕਰਣ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਕਿਸੇ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੂਚਕ ਲਈ ਦੋ ਪਦੀ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਲਿਖਣ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਵਿੱਚ ਹਾਂ।

7.2.1 ਕਿਸੇ ਵੀ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ $n$ ਲਈ ਦੋ ਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ,

$ (a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $

ਸਬੂਤ ਸਬੂਤ ਗਣਿਤਿਕ ਇੰਡਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਦਿੱਤੇ ਬਿਆਨ ਨੂੰ ਹੋਣ ਦਿਓ

$ P(n):(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $

$n=1$ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ P(1):(a+b)^{1}={ }^{1} C_0 a^{1}+{ }^{1} C_1 b^{1}=a+b $

ਇਸ ਲਈ, $P(1)$ ਸੱਚ ਹੈ।

ਮੰਨ ਲਓ $P(k)$ ਕੁਝ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ $k$ ਲਈ ਸੱਚ ਹੈ, ਯਾਨੀ

$ (a+b)^{k}={ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_k b^{k} $

ਅਸੀਂ ਸਾਬਤ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ $P(k+1)$ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ, ਯਾਨੀ,

$ (a+b)^{k+1}={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_{k+1} b^{k+1} $

ਹੁਣ, $(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}$ $ =(a+b)({ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_{k-1} a b^{k-1}+{ }^{k} C_k b^{k}) [\text{from}(1)] $ $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+{ }^{k} C_1 a^{k} b+{ }^{k} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a^{2} b^{k-1}+{ }^{k} C_k a b^{k}+{ }^{k} C_0 a^{k} b$ $+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b^{2}+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{3}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1}$ [ਅਸਲ ਗੁਣਾ ਦੁਆਰਾ] $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+({ }^{k} C_1+{ }^{k} C_0) a^{k} b+({ }^{k} C_2+{ }^{k} C_1) a^{k-1} b^{2}+\ldots$ $+({ }^{k} C_k+{ }^{k} C _{k-1}) a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1} \quad$ [ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਸਮੂਹਿਤ ਕਰਨਾ] $={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_k a b^{k}+{ }^{k+1} C _{k+1} b^{k+1}$ (${ }^{k+1} C_0=1,{ }^{k} C_r+{ }^{k} C _{r-1}={ }^{k+1} C_r \quad$ ਅਤੇ $\quad{ }^{k} C_k=1={ }^{k+1} C _{k+1}$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ)

ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਸਾਬਤ ਹੋ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ $P(k+1)$ ਸੱਚ ਹੈ ਜਦੋਂ ਵੀ $P(k)$ ਸੱਚ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਗਣਿਤਿਕ ਇੰਡਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੁਆਰਾ, $P(n)$ ਹਰ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ $n$ ਲਈ ਸੱਚ ਹੈ।

ਅਸੀਂ $(x+2)^{6}$ ਨੂੰ ਫੈਲਾ ਕੇ ਇਸ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ:

$ \begin{aligned} (x+2)^{6} & ={ }^{6} C_0 x^{6}+{ }^{6} C_1 x^{5} \cdot 2+{ }^{6} C_2 x^{4} 2^{2}+{ }^{6} C_3 x^{3} \cdot 2^{3}+{ }^{6} C_4 x^{2} \cdot 2^{4}+{ }^{6} C_5 x \cdot 2^{5}+{ }^{6} C_6 \cdot 2^{6} . \\ & =x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64 \end{aligned} $

ਇਸ ਲਈ $(x+2)^{6}=x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64$.

ਨਿਰੀਖਣ

1. ਨੋਟੇਸ਼ਨ $\sum_{k=0}^{n}{ }^{n} C_k a^{n-k} b^{k}$ ਲਈ ਖੜ੍ਹਾ ਹੈ

${ }^{n} C_0 a^{n} b^{0}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b^{1}+\ldots+{ }^{n} C_r a^{n-r} b^{r}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n-n} b^{n}$, ਜਿੱਥੇ $b^{0}=1=a^{n-n}$.

ਇਸ ਲਈ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

$$ (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{ }^{n} \mathrm{C} _{k} a^{n-k} b^{k} $$

2. ਦੋ ਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਵਿੱਚ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਗੁਣਾਂਕ ${ }^{n} C_r$ ਨੂੰ ਦੋ ਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

3. $(a+b)^{n}$ ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ $(n+1)$ ਪਦ ਹਨ, ਯਾਨੀ, ਸੂਚਕ ਤੋਂ ਇੱਕ ਵੱਧ।

4. ਵਿਸਤਾਰ ਦੇ ਲਗਾਤਾਰ ਪਦਾਂ ਵਿੱਚ $a$ ਦਾ ਸੂਚਕ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਕਰਕੇ ਘਟਦਾ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ $n$, ਦੂਜੇ ਪਦ ਵਿੱਚ $(n-1)$, ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਆਖਰੀ ਪਦ ਵਿੱਚ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਸੇ ਸਮੇਂ $b$ ਦਾ ਸੂਚਕ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਕਰਕੇ ਵਧਦਾ ਹੈ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ ਜ਼ੀਰੋ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਦੂਜੇ ਵਿੱਚ 1 ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਆਖਰੀ ਪਦ ਵਿੱਚ $n$ ਨਾਲ ਖਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

5. $(a+b)^{n}$ ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ, $a$ ਅਤੇ $b$ ਦੇ ਸੂਚਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਵਿੱਚ $n+0=n$, ਦੂਜੇ ਪਦ ਵਿੱਚ $(n-1)+1=n$ ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਆਖਰੀ ਪਦ ਵਿੱਚ $0+n=n$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ $a$ ਅਤੇ $b$ ਦੇ ਸੂਚਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਵਿਸਤਾਰ ਦੇ ਹਰੇਕ ਪਦ ਵਿੱਚ $n$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

7.2.2 ਕੁਝ ਖਾਸ ਕੇਸ

$(a+b)^{n}$ ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ,

(i) $a=x$ ਅਤੇ $b=-y$ ਲੈ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$ \begin{aligned} (x-y)^{n} & =[x+(-y)]^{n} \\ & ={ }^{n} C_0 x^{n}+{ }^{n} C_1 x^{n-1}(-y)+{ }^{n} C_2 x^{n-2}(-y)^{2}+{ }^{n} C_3 x^{n-3}(-y)^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n(-y)^{n} \\ & ={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}-{ }^{n} C_3 x^{n-3} y^{3}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n y^{n} \end{aligned} $

ਇਸ ਲਈ $(x-y)^{n}={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n y^{n}$

ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ $\quad(x-2 y)^{5}={ }^{5} C_0 x^{5}-{ }^{5} C_1 x^{4}(2 y)+{ }^{5} C_2 x^{3}(2 y)^{2}-{ }^{5} C_3 x^{2}(2 y)^{3}+$

$ \begin{aligned} & { }^{5} C_4 x(2 y)^{4}-{ }^{5} C_5(2 y)^{5} \\ = & x^{5}-10 x^{4} y+40 x^{3} y^{2}-80 x^{2} y^{3}+80 x y^{4}-32 y^{5} . \end{aligned} $

(ii) $a=1, b=x$ ਲੈ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$ \begin{gathered} (1+x)^{n}={ }^{n} C_0(1)^{n}+{ }^{n} C_1(1)^{n-1} x+{ }^{n} C_2(1)^{n-2} x^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \\ ={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \end{gathered} $

ਇਸ ਲਈ $\quad(1+x)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n}$

ਖਾਸ ਤੌਰ ‘ਤੇ, $x=1$ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ 2^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2+\ldots+{ }^{n} C_n $

(iii) $a=1, b=-x$ ਲੈ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$ (1-x)^{n}={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n x^{n} $

ਖਾਸ ਤੌਰ ‘ਤੇ, $x=1$ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$ 0={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n $

ਉਦਾਹਰਣ 1 $(x^{2}+\frac{3}{x})^{4}, x \neq 0$ ਨੂੰ ਫੈਲਾਓ

ਹੱਲ ਦੋ ਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ \begin{aligned} x^{2}+\frac{3}{x} & ={ }^{4} C_0(x^{2})^{4}+{ }^{4} C_1(x^{2})^{3}(\frac{3}{x})+{ }^{4} C_2(x^{2})^{2}(\frac{3}{x})^{2}+{ }^{4} C_3(x^{2})(\frac{3}{x})^{3}+{ }^{4} C_4(\frac{3}{x})^{4} \\ & =x^{8}+4 \cdot x^{6} \cdot \frac{3}{x}+6 \cdot x^{4} \cdot \frac{9}{x^{2}}+4 \cdot x^{2} \cdot \frac{27}{x^{3}}+\frac{81}{x^{4}} \\ & =x^{8}+12 x^{5}+54 x^{2}+\frac{108}{x}+\frac{81}{x^{4}} . \end{aligned} $

ਉਦਾਹਰਣ 2 $(98)^{5}$ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਅਸੀਂ 98 ਨੂੰ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਜਾਂ ਅੰਤਰ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਘਾਤਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੈ, ਅਤੇ ਫਿਰ ਦੋ ਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਲਿਖੋ $98=100-2$

ਇਸ ਲਈ, $(98)^{5}=(100-2)^{5}$ $ \begin{aligned} = & { }^{5} C_0(100)^{5}-{ }^{5} C_1(100)^{4} .2+{ }^{5} C_2(100)^{3} 2^{2} \\ & -{ }^{5} C_3(100)^{2}(2)^{3}+{ }^{5} C_4(100)(2)^{4}-{ }^{5} C_5(2)^{5} \\ = & 10000000000-5 \times 100000000 \times 2+10 \times 1000000 \times 4-10 \times 10000 \\ & \times 8+5 \times 100 \times 16-32 \\ = & 10040008000-1000800032=9039207968 . \end{aligned} $

ਉਦਾਹਰਣ 3 ਕਿਹੜਾ ਵੱਡਾ ਹੈ (1.01) ${ }^{1000000}$ ਜਾਂ 10,000 ?

ਹੱਲ 1.01 ਨੂੰ ਵੰਡਣਾ ਅਤੇ ਦੋ ਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪਹਿਲੇ ਕੁਝ ਪਦ ਲਿਖਣ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ \begin{aligned} (1.01)^{1000000} & =(1+0.01)^{1000000} \\ & ={ }^{1000000} C_0+{ }^{1000000} C_1(0.01)+\text{ other positive terms } \\ & =1+1000000 \times 0.01+\text{ other positive terms } \\ & =1+10000+\text{ other positive terms } \\ & >10000 \end{aligned} $

ਇਸ ਲਈ $\quad(1.01)^{1000000}>10000$

ਉਦਾਹਰਣ 4 ਦੋ ਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, ਸਾਬਤ ਕਰੋ ਕਿ $6^{n}-5 n$ ਨੂੰ 25 ਨਾਲ ਵੰਡਣ ‘ਤੇ ਹਮੇਸ਼ਾ ਸ਼ੇਸ਼ 1 ਬਚਦਾ ਹੈ।

ਹੱਲ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $a$ ਅਤੇ $b$ ਲਈ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $q$ ਅਤੇ $r$ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $a=b q+r$, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $b$, $a$ ਨੂੰ ਵੰਡਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ $q$ ਭਾਗਫਲ ਅਤੇ $r$ ਸ਼ੇਸ਼ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇਹ ਦਿਖਾਉਣ ਲਈ ਕਿ $6^{n}-5 n$ ਨੂੰ 25 ਨਾਲ ਵੰਡਣ ‘ਤੇ ਸ਼ੇਸ਼ 1 ਬਚਦਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਸਾਬਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $6^{n}-5 n=25 k+1$, ਜਿੱਥੇ $k$ ਕੁਝ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।

ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ (1+a)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 a+{ }^{n} C_2 a^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n} $

$a=5$ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$$ (1+5)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 5+{ }^{n} C_2 5^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n 5^{n} $$

ਯਾਨੀ $$ \quad (6)^{n}=1+5 n+5^{2} \cdot{ }^{n} C_2+5^{3} \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n} $$

ਯਾਨੀ $$\quad 6^{n}-5 n=1+5^{2}({ }^{n} C_2+{ }^{n} C_3 5+\ldots+5^{n-2})$$

ਜਾਂ $$\quad 6^{n}-5 n=1+25({ }^{n} C_2+5 \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n-2})$$

ਜਾਂ $$ \quad 6^{n}-5 n=25 k+1 \quad \text{ where } k={ }^{n} C_2+5 \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n-2} $$

ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ $25,6^{n}-5 n$ ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਸ਼ੇਸ਼ 1 ਬਚਦਾ ਹੈ।

ਸਾਰਾਂਸ਼

• ਕਿਸੇ ਵੀ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ $n$ ਲਈ ਦੋ ਪਦੀ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਦੋ ਪਦੀ ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਹੈ $(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+$ ${ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n}$

• ਵਿਸਤਾਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀ ਵਿੱਚ ਵਿਵਸਥਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਸਾਰਣੀ ਨੂੰ ਪਾਸਕਲ ਦਾ ਤਿਕੋਣ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਤਿਹਾਸਕ ਨੋਟ

ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਭਾਰਤੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ $(x+y)^{n}, 0 \leq n \leq 7$ ਦੇ ਵਿਸਤਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਬਾਰੇ ਜਾਣਦੇ ਸਨ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਿਵਸਥਾ ਮੇਰੂ-ਪ੍ਰਸਤਾਰਾ ਨਾਮਕ ਇੱਕ ਚਿੱਤਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੀ, ਜੋ ਪਿੰਗਲਾ ਦੁਆਰਾ ਆਪਣੀ ਕਿਤਾਬ ਛੰਦ ਸ਼ਾਸਤਰ (200 ਬੀ.ਸੀ.) ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੀ। ਇਹ ਤਿਕੋਣਾਕਾਰ ਵਿਵਸਥਾ ਚੀਨੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਚੂ-ਸ਼ੀ-ਕੀਏ ਦੇ ਕੰਮ ਵਿੱਚ 1303 ਵਿੱਚ ਵੀ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਦੋ ਪਦੀ ਗੁਣਾਂਕ ਸ਼ਬਦ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਜਰਮਨ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ, ਮਾਈਕਲ ਸਟੀਪਲ (1486-1567) ਦੁਆਰਾ ਲਗਭਗ 1544 ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਬੋਮਬੇਲੀ (1572) ਨੇ ਵੀ $(a+b)^{n}$ ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ ਗੁਣਾਂਕ ਦਿੱਤੇ, $n=1,2 \ldots, 7$ ਲਈ ਅਤੇ ਔਗਟਰੇਡ (1631) ਨੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ $n=1,2, \ldots, 10$ ਲਈ ਦਿੱਤਾ। ਅੰਕਗਣਿਤੀ ਤਿਕੋਣ, ਜਿਸਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਪਾਸਕਲ ਦਾ ਤਿਕੋਣ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਪਿੰਗਲਾ ਦੇ ਮੇਰੂ-ਪ੍ਰਸਤਾਰਾ ਵਰਗਾ ਹੈ, ਫਰਾਂਸੀਸੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਬਲੇਜ਼ ਪਾਸਕਲ (1623-1662) ਦੁਆਰਾ 1665 ਵਿ