8.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, “ਅਨੁਕ੍ਰਮ” ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਆਮ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਾਂਗ ਹੀ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵਸਤੂਆਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਇੱਕ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਹੈ, ਤਾਂ ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇਸਦਾ ਇੱਕ ਪਛਾਣਿਆ ਪਹਿਲਾ ਮੈਂਬਰ, ਦੂਜਾ ਮੈਂਬਰ, ਤੀਜਾ ਮੈਂਬਰ ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੋਰ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਮਿਆਂ ‘ਤੇ ਮਨੁੱਖਾਂ ਜਾਂ ਬੈਕਟੀਰੀਆ ਦੀ ਆਬਾਦੀ ਇੱਕ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਬੈਂਕ ਵਿੱਚ ਜਮ੍ਹਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਪੈਸੇ ਦੀ ਰਕਮ, ਕਈ ਸਾਲਾਂ ਦੌਰਾਨ, ਇੱਕ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਕੁਝ ਵਸਤੂਆਂ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਵਿੱਚ ਹੋਣ ਵਾਲੀ ਘਟਤੀ ਇੱਕ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਨੁਕ੍ਰਮਾਂ ਦੀਆਂ ਮਨੁੱਖੀ ਗਤੀਵਿਧੀਆਂ ਦੇ ਕਈ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਹਨ।

ਖਾਸ ਪੈਟਰਨਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਅਨੁਕ੍ਰਮਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਤੀਆਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪਿਛਲੀ ਕਲਾਸ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਪ੍ਰਗਤੀ (A.P.) ਬਾਰੇ ਪੜ੍ਹਿਆ ਸੀ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, A.P. ਬਾਰੇ ਹੋਰ ਚਰਚਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ; ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਮੱਧ, ਗੁਣੋਤਰੀ ਮੱਧ, A.M. ਅਤੇ G.M. ਵਿਚਕਾਰ ਸੰਬੰਧ, ਲਗਾਤਾਰ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ $n$ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਲੜੀਆਂ, ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦੇ $n$ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਘਣਾਂ ਦੇ $n$ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਵੀ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਵੇਗਾ।

8.2 ਅਨੁਕ੍ਰਮ

ਆਓ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ:

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ 30 ਸਾਲਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਪੀੜ੍ਹੀ ਦਾ ਫਾਸਲਾ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ 300 ਸਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਦੇ ਪੂਰਵਜਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ, ਯਾਨੀ ਮਾਪੇ, ਦਾਦਾ-ਦਾਦੀ, ਪੜਦਾਦਾ-ਪੜਦਾਦੀ, ਆਦਿ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਹੈ।

ਇੱਥੇ, ਪੀੜ੍ਹੀਆਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਗਿਣਤੀ $=\frac{300}{30}=10$

ਪਹਿਲੀ, ਦੂਜੀ, ਤੀਜੀ, …, ਦਸਵੀਂ ਪੀੜ੍ਹੀ ਲਈ ਵਿਅਕਤੀ ਦੇ ਪੂਰਵਜਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $2,4,8,16,32, \ldots, 1024$ ਹੈ। ਇਹ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਉਹ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਸਨੂੰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ।

10 ਨੂੰ 3 ਨਾਲ ਵੰਡਣ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪੜਾਵਾਂ ‘ਤੇ ਅਸੀਂ ਜੋ ਲਗਾਤਾਰ ਭਾਗਫਲ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਉਸ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ $3,3.3,3.33,3.333, \ldots$ ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੋਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਭਾਗਫਲ ਵੀ ਇੱਕ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਆਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਪਦ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦਾਂ ਨੂੰ $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$, ਆਦਿ ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਹੇਠਲੇ ਸੂਚਕ ਪਦ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। $n^{\text{th }}$ ਪਦ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਦੀ $n^{\text{th }}$ ਸਥਿਤੀ ‘ਤੇ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ $a_n$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। $n^{\text{th }}$ ਪਦ ਨੂੰ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਦਾ ਸਧਾਰਨ ਪਦ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਉੱਪਰ ਦੱਸੇ ਗਏ ਵਿਅਕਤੀ ਦੇ ਪੂਰਵਜਾਂ ਦੇ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਦ ਹਨ:

$$ a_1=2, a_2=4, a_3=8, \ldots, a _{10}=1024 $$

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਲਗਾਤਾਰ ਭਾਗਫਲਾਂ ਦੀ ਉਦਾਹਰਣ ਵਿੱਚ

$$ a_1=3, a_2=3.3, a_3=3.33, \ldots, a_6=3.33333 \text{, etc. } $$

ਸੀਮਿਤ ਸੰਖਿਆ ਵਾਲੇ ਪਦਾਂ ਵਾਲੇ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਸੀਮਿਤ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਪੂਰਵਜਾਂ ਦਾ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਇੱਕ ਸੀਮਿਤ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਵਿੱਚ 10 ਪਦ (ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਖਿਆ) ਹਨ।

ਇੱਕ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਅਨੰਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਇਹ ਇੱਕ ਸੀਮਿਤ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਉੱਪਰ ਦੱਸੇ ਗਏ ਲਗਾਤਾਰ ਭਾਗਫਲਾਂ ਦਾ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਹੈ, ਇਸ ਅਰਥ ਵਿੱਚ ਅਨੰਤ ਕਿ ਇਹ ਕਦੇ ਖਤਮ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ।

ਅਕਸਰ, ਇੱਕ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸੂਤਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਮ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਕ੍ਰਮ $2,4,6, \ldots$ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ

$ \begin{aligned} & \text{ ਇੱਥੇ } \quad a_1=2=2 \times 1 \quad a_2=4=2 \times 2 \\ & a_3=6=2 \times 3 \quad a_4=8=2 \times 4 \\ &\ldots & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots\\ & a _{23}=46=2 \times 23, a _{24}=48=2 \times 24 \text{, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੋਰ। } \end{aligned} $

ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਦਾ $n^{\text{th }}$ ਪਦ $a_n=2 n$ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $n$ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਵਿਸਮ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਕ੍ਰਮ $1,3,5, \ldots$ ਵਿੱਚ, $n^{\text{th }}$ ਪਦ ਸੂਤਰ $a_n=2 n-1$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $n$ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਕੁਝ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ, ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਵਸਥਾ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $1,1,2,3,5,8, .$ ਦੀ ਕੋਈ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਗੋਚਰ ਪੈਟਰਨ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਪਰ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਸੰਬੰਧ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

$$ \begin{aligned} & a_1=a_2=1 \\ & a_3=a_1+a_2 \\ & a_n=a _{n-2}+a _{n-1}, n>2 \end{aligned} $$

ਇਸ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਫਿਬੋਨਾਚੀ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਅਨੁਕ੍ਰਮ $2,3,5,7, \ldots$ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $n^{\text{th }}$ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਲਈ ਕੋਈ ਸੂਤਰ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਵਰਣਨ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਹਰੇਕ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਉਮੀਦ ਨਹੀਂ ਕਰਨੀ ਚਾਹੀਦੀ ਕਿ ਇਸਦੇ ਪਦ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਜਾਣਗੇ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਅਸੀਂ ਪਦਾਂ $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ ਨੂੰ ਲਗਾਤਾਰ ਤਿਆਰ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਸਿਧਾਂਤਕ ਯੋਜਨਾ ਜਾਂ ਨਿਯਮ ਦੀ ਉਮੀਦ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਉੱਪਰੋਕਤ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਜਾਂ ਇਸਦਾ ਕੁਝ ਉਪਸਮੂਹ ਹੈ। ਕਈ ਵਾਰ, ਅਸੀਂ $a_n$ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਨੋਟੇਸ਼ਨ a(n) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

8.3 ਲੜੀ

ਮੰਨ ਲਓ $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$, ਇੱਕ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਹੈ। ਫਿਰ, ਸਮੀਕਰਨ $ a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n+\ldots $ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਲੜੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਲੜੀ ਸੀਮਿਤ ਜਾਂ ਅਨੰਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਸੀਮਿਤ ਜਾਂ ਅਨੰਤ ਹੈ। ਲੜੀਆਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਸਿਗਮਾ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋੜ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦੇ ਸਾਧਨ ਵਜੋਂ ਯੂਨਾਨੀ ਅੱਖਰ $\sum$ (ਸਿਗਮਾ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਲੜੀ $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$ ਨੂੰ ਸੰਖੇਪ ਵਿੱਚ $\sum_{k=1}^{n} a_k$ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਟਿੱਪਣੀ ਜਦੋਂ ਲੜੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਜੋੜ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਨਾ ਕਿ ਜੋੜ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਆਪ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $1+3+5+7$ ਚਾਰ ਪਦਾਂ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਸੀਮਿਤ ਲੜੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ “ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ” ਵਾਕੰਸ਼ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਡਾ ਮਤਲਬ ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਹੋਵੇਗੀ ਜੋ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਲੜੀ ਦਾ ਜੋੜ 16 ਹੈ।

ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਉਦਾਹਰਣ 1 ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਪਦ ਲਿਖੋ ਜੋ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹਨ:

(i) $a_n=2 n+5$,

(ii) $a_n=\frac{n-3}{4}$.

ਹੱਲ (i) ਇੱਥੇ $a_n=2 n+5$

$n=1,2,3$ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ $ a_1=2(1)+5=7, a_2=9, a_3=11 $

ਇਸ ਲਈ, ਲੋੜੀਂਦੇ ਪਦ 7, 9 ਅਤੇ 11 ਹਨ।

(ii) ਇੱਥੇ $a_n=\frac{n-3}{4}$। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $a_1=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}, a_2=-\frac{1}{4}, a_3=0$

ਇਸ ਲਈ, ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਪਦ $-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}$ ਅਤੇ 0 ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਣ 2 ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਦਾ $20^{\text{th }}$ ਪਦ ਕੀ ਹੈ ਜੋ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ $ a_n=(n-1)(2-n)(3+n) ? $ ਹੱਲ $n=20$ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$$ \begin{aligned} a _{20} & =(20-1)(2-20)(3+20) \\ & =19 \times(-18) \times(23) \\ &
=-7866 . \end{aligned} $$

ਉਦਾਹਰਣ 3 ਮੰਨ ਲਓ ਅਨੁਕ੍ਰਮ $a_n$ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ:

$$ a_1=1, a_n=a _{n-1}+2 \text{ for } n \geq 2 \text{. } $$

ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ ਲੱਭੋ ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਲੜੀ ਲਿਖੋ।

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ \begin{aligned} & a_1=1, a_2=a_1+2=1+2=3, a_3=a_2+2=3+2=5, \\ & a_4=a_3+2=5+2=7, a_5=a_4+2=7+2=9 . \end{aligned} $

ਇਸ ਲਈ, ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਪੰਜ ਪਦ $1,3,5,7$ ਅਤੇ 9 ਹਨ। ਸੰਬੰਧਿਤ ਲੜੀ $1+3+5+7+9+\ldots$ ਹੈ

8.4 ਗੁਣੋਤਰੀ ਪ੍ਰਗਤੀ (G. P.)

ਆਓ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਕ੍ਰਮਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ:

(i) $2,4,8,16, \ldots$,

(ii) $\frac{1}{9}, \frac{-1}{27}, \frac{1}{81}, \frac{-1}{243}$

(iii) $.01, .0001, .000001, \ldots$

ਇਨ੍ਹਾਂ ਅਨੁਕ੍ਰਮਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਵਿੱਚ, ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪਦ ਕਿਵੇਂ ਅੱਗੇ ਵਧਦੇ ਹਨ? ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹਰ ਪਦ, ਪਹਿਲੇ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ, ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਅੱਗੇ ਵਧਦਾ ਹੈ।

(i) ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ $a_1=2, \frac{a_2}{a_1}=2, \frac{a_3}{a_2}=2, \frac{a_4}{a_3}=2$ ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੋਰ ਹਨ।

(ii) ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ, $a_1=\frac{1}{9}, \frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{3}, \frac{a_3}{a_2}=\frac{1}{3}, \frac{a_4}{a_3}=\frac{1}{3}$ ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੋਰ ਹਨ।

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਦੱਸੋ ਕਿ (iii) ਵਿੱਚ ਪਦ ਕਿਵੇਂ ਅੱਗੇ ਵਧਦੇ ਹਨ? ਇਹ ਦੇਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਪਹਿਲੇ ਪਦ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਹਰ ਪਦ, ਇਸਦੇ ਤੁਰੰਤ ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਲੇ ਪਦ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅਨੁਪਾਤ ਰੱਖਦਾ ਹੈ। (i) ਵਿੱਚ, ਇਹ ਸਥਿਰ ਅਨੁਪਾਤ 2 ਹੈ; (ii) ਵਿੱਚ, ਇਹ $-\frac{1}{3}$ ਹੈ ਅਤੇ (iii) ਵਿੱਚ, ਸਥਿਰ ਅਨੁਪਾਤ 0.01 ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਅਨੁਕ੍ਰਮਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣੋਤਰੀ ਅਨੁਕ੍ਰਮ ਜਾਂ ਗੁਣੋਤਰੀ ਪ੍ਰਗਤੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ G.P. ਸੰਖੇਪ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇੱਕ ਅਨੁਕ੍ਰਮ $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ ਨੂੰ ਗੁਣੋਤਰੀ ਪ੍ਰਗਤੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਹਰ ਪਦ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ ਅਤੇ $\frac{a_{k+1}}{a_k}=r$ (ਸਥਿਰ), $k \geq 1$ ਲਈ।

$a_1=a$ ਰੱਖ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਗੁਣੋਤਰੀ ਪ੍ਰਗਤੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots$, ਜਿੱਥੇ $a$ ਨੂੰ ਪਹਿਲਾ ਪਦ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ $r$ ਨੂੰ G.P. ਦਾ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਗੁਣੋਤਰੀ ਪ੍ਰਗਤੀ (i), (ii) ਅਤੇ (iii) ਵਿੱਚ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $2,-\frac{1}{3}$ ਅਤੇ 0.01 ਹੈ।

ਅੰਕਗਣਿਤਕ ਪ੍ਰਗਤੀ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਾਂਗ, ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਪਦਾਂ ਵਾਲੀ ਗੁਣੋਤਰੀ ਪ੍ਰਗਤੀ ਦਾ $n^{\text{th }}$ ਪਦ ਜਾਂ $n$ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਲੱਭਣ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਬਿਨਾਂ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਤੋਂ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੋਵੇਗੀ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅਸੀਂ ਅਗਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਸੂਤਰਾਂ ਨਾਲ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਨੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ:

$ \begin{aligned} & a=\text{ ਪਹਿਲਾ ਪਦ, } r=\text{ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ, } l=\text{ ਆਖਰੀ ਪਦ, } \\ & n=\text{ ਪਦਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ, } \\ & S_n=\text{ ਪਹਿਲੇ } n \text{ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ। } \end{aligned} $

8.4.1 $a$ G.P. ਦਾ ਸਧਾਰਨ ਪਦ

ਆਓ ਇੱਕ G.P. ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ ਜਿਸਦਾ ਪਹਿਲਾ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ ਪਦ ‘$a$’ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ‘$r$’ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਕੁਝ ਪਦ ਲਿਖੋ। ਦੂਜਾ ਪਦ $a$ ਨੂੰ $r$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ $a_2=a r$। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਤੀਜਾ ਪਦ $a_2$ ਨੂੰ $r$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $a_3=a_2 r=a r^{2}$, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੋਰ।

ਅਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਅਤੇ ਕੁਝ ਹੋਰ ਪਦਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।

$1^{\text{st }}$ ਪਦ $=a_1=a=a r^{1-1}, 2^{\text{nd }}$ ਪਦ $=a_2=a r=a r^{2-1}, 3^{\text{rd }}$ ਪਦ $=a_3=a r^{2}=a r^{3-1}$ $4^{\text{th }}$ ਪਦ $=a_4=a r^{3}=a r^{4-1}, 5^{\text{th }}$ ਪਦ $=a_5=a r^{4}=a r^{5-1}$

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਪੈਟਰਨ ਦੇਖਦੇ ਹੋ? $16^{\text{th }}$ ਪਦ ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ?

$$ a _{16}=a r^{16-1}=a r^{15} $$

ਇਸ ਲਈ, ਪੈਟਰਨ ਸੁਝਾਅ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ G.P. ਦਾ $n^{\text{th }}$ ਪਦ $a_n=a r^{n-1}$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $a$, G.P. ਨੂੰ $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots a r^{n-1} ; a, a r, a r^{2}, \ldots, a r^{n-1} \ldots ;$ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ G.P. ਸੀਮਿਤ ਜਾਂ ਅਨੰਤ ਹੈ। ਲੜੀ $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}$ ਜਾਂ $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}+\ldots$ ਨੂੰ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਸੀਮਿਤ ਜਾਂ ਅਨੰਤ ਗੁਣੋਤਰੀ ਲੜੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

8.4.2. $n$ G.P. ਦੇ $a$ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ

ਮੰਨ ਲਓ G.P. ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਪਦ $a$ ਹੈ ਅਤੇ ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ $r$ ਹੈ। ਆਓ G.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ $n$ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ $S_n$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਈਏ। ਫਿਰ

$$ S_n=a+a^{n}+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

ਕੇਸ 1 ਜੇਕਰ $r=1$, ਸਾਡੇ ਕੋਲ $S_n=a+a+a+\ldots+a(n$ ਪਦ $)=n a$ ਹਨ

ਕੇਸ 2 ਜੇਕਰ $r \neq 1$, (1) ਨੂੰ $r$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ‘ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ r S_n=a r+a r^{2}+a r^{3}+\ldots+a r^{n} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

(2) ਵਿੱਚੋਂ (1) ਨੂੰ ਘਟਾਉਣ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ $$(1-r) S_n=a-a r^{n}=a(1-r^{n})$$

ਇਹ ਦਿੰਦਾ ਹੈ

$$ \mathrm{S} n=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r} \text { or } \mathrm{S} _{n}=\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1} $$

ਉਦਾਹਰਣ 4 G.P. $5,25,125, \ldots$ ਦਾ $10^{\text{th }}$ ਅਤੇ $n^{\text{th }}$ ਪਦ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ ਇੱਥੇ $a=5$ ਅਤੇ $r=5$। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $a _{10}=5(5)^{10-1}=5(5)^{9}=5^{10}$ ਅਤੇ $a_n=a r^{n-1}=5(5)^{n-1}=5^{n}$।

ਉਦਾਹਰਣ 5 G.P., 2,8,32,… ਦਾ ਕਿਹੜਾ ਪਦ $n$ ਪਦਾਂ ਤੱਕ 131072 ਹੈ?

ਹੱਲ ਮੰਨ ਲਓ 131072 ਦਿੱਤੇ G.P. ਦਾ $n^{\text{th }}$ ਪਦ ਹੈ। ਇੱਥੇ $a=2$ ਅਤੇ $r=4$।

ਇਸ ਲਈ $\quad 131072=a_n=2(4)^{n-1}$ ਜਾਂ $65536=4^{n-1}$

ਇਹ ਦਿੰਦਾ ਹੈ $\quad 4^{8}=4^{n-1}$।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਿ $n-1=8$, ਯਾਨੀ, $n=9$। ਇਸ ਲਈ, 131072 G.P. ਦਾ $9^{\text{th }}$ ਪਦ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 6 ਇੱਕ G.P. ਵਿੱਚ, $3^{\text{rd }}$ ਪਦ 24 ਹੈ ਅਤੇ $6^{\text{th }}$ ਪਦ 192 ਹੈ। $10^{\text{th }}$ ਪਦ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ ਇੱਥੇ, $a_3=a r^{2}=24 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

ਅਤੇ $ \quad \quad a_6=a r^{5}=192 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(2) ਨੂੰ (1) ਨਾਲ ਵੰਡਣ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ $r=2$। (1) ਵਿੱਚ $r=2$ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ $a=6$।

ਇਸ ਲਈ $a _{10}=6(2)^{9}=3072$।

ਉਦਾਹਰਣ 7 ਗੁਣੋਤਰੀ ਲੜੀ $1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\ldots$ ਦੇ ਪਹਿਲੇ $n$ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ 5 ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਲੱਭੋ

ਹੱਲ ਇੱਥੇ $a=1$ ਅਤੇ $r=\frac{2}{3}$। ਇਸ ਲਈ

$$ S_n=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}=\frac{[1-(\frac{2}{3})^{n}]}{1-\frac{2}{3}}=3[1-(\frac{2}{3})^{n}] $$

ਖਾਸ ਤੌਰ ‘ਤੇ, $\quad S_5=3[1-(\frac{2}{3})^{5}]=3 \times \frac{211}{243}=\frac{211}{81}$।

ਉਦਾਹਰਣ 8 G.P. $3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \ldots$ ਦੇ ਕਿੰਨੇ ਪਦਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਤਾਂ ਕਿ $sum \frac{3069}{512} ?$ ਮਿਲ ਸਕੇ

ਹੱਲ ਮੰਨ ਲਓ $n$ ਲੋੜੀਂਦੇ ਪਦਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ $a=3, r=\frac{1}{2}$ ਅਤੇ $S_n=\frac{3069}{512}$

ਕਿਉਂਕਿ $ \quad \quad \quad S_n=\frac{a(1-r^{n})}{1-r} $

ਇਸ ਲਈ $ \quad \quad \quad \frac{3069}{512}=\frac{3(1-\frac{1}{2^{n}})}{1-\frac{1}{2}}=6(1-\frac{1}{2^{n}}) $

ਜਾਂ $ \quad \quad \quad \frac{3069}{3072}=1-\frac{1}{2^{n}} $

ਜਾਂ $\quad \quad \quad \frac{1}{2^{n}} =1-\frac{3069}{3072}=\frac{3}{3072}=\frac{1}{1024}$

ਜਾਂ $\quad \quad \quad2^{n} =1024=2^{10}, \text{ which gives } n=10$

ਉਦਾਹਰਣ 9 ਇੱਕ G.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਪਦਾਂ ਦਾ ਜੋੜ $\frac{13}{12}$ ਹੈ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ -1 ਹੈ। ਸਾਂਝਾ ਅਨੁਪਾਤ ਅਤੇ ਪਦ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ ਮੰਨ ਲਓ $\frac{a}{r}, a$, ar G.P. ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਤਿੰਨ ਪਦ ਹਨ। ਫਿਰ

$$ \frac{a}{r}+a r+a=\frac{13}{12} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

ਅਤੇ $\quad(\frac{a}{r})(a)(a r)=-1 \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $

(2) ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ $a^{3}=-1$, ਯਾਨੀ, $a=-1$ (ਕੇਵਲ ਅਸਲ ਜੜ੍ਹਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹੋਏ)

(1) ਵਿੱਚ $a=-1$ ਰੱਖਣ ‘ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ -\frac{1}{r}-1-r=\frac{13}{12} \text{ or } 12 r^{2}+25 r+12=0 \text{. } $$

ਇਹ $r$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੋ ਘਾਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ, ਹੱਲ ਕਰਨ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ $r=-\frac{3}{4}$ ਜਾਂ $-\frac{4}{3}$।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, G.P. ਦੇ ਤਿੰਨ ਪਦ ਹਨ: $\frac{4}{3},-1, \frac{3}{4}$ $r=\frac{-3}{4}$ ਲਈ ਅਤੇ $\frac{3}{4},-1, \frac{4}{3}$ $r=\frac{-4}{3}$ ਲਈ,

ਉਦਾਹਰਣ10 ਅਨੁਕ੍ਰਮ 7, 77, 777, 7777, … ਦਾ $n$ ਪਦਾਂ ਤੱਕ ਜੋੜ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ ਇਹ ਇੱਕ G.P. ਨਹੀਂ ਹੈ, ਹ