ਜਿਓਮੈਟਰੀ, ਇੱਕ ਤਾਰਕਿਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸਾਧਨ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਥੋਂ ਤੱਕ ਕਿ ਬੱਚਿਆਂ ਨੂੰ ਮਨੁੱਖੀ ਆਤਮਾ ਦੀ ਤਾਕਤ ਨੂੰ ਮਹਿਸੂਸ ਕਰਵਾਉਣ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਸਾਧਨ ਹੈ ਜੋ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਆਪਣੀ ਆਤਮਾ ਦੀ ਹੈ। - H. FREUDENTHAL

9.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਅਸੀਂ ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਤੋਂ ਦੋ-ਆਯਾਮੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਨਾਲ ਜਾਣੂ ਹਾਂ। ਮੁੱਖ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਇਹ ਅਲਜਬਰੇ ਅਤੇ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦਾ ਸੁਮੇਲ ਹੈ। ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੁਆਰਾ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦਾ ਸਿਸਟਮੈਟਿਕ ਅਧਿਐਨ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਮਸ਼ਹੂਰ ਫਰਾਂਸੀਸੀ ਦਾਰਸ਼ਨਿਕ ਅਤੇ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਰੇਨੇ ਡੇਸਕਾਰਟੇਸ ਦੁਆਰਾ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਕਿਤਾਬ ‘ਲਾ ਜਿਓਮੈਟਰੀ’ ਵਿੱਚ, 1637 ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਹੋਈ, ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਇਸ ਕਿਤਾਬ ਨੇ ਇੱਕ ਵਕਰ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਅਤੇ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਵਿਧੀਆਂ ਨੂੰ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਅਤੇ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੇ ਸੁਮੇਲ ਨੂੰ ਹੁਣ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਧੁਰਿਆਂ, ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਮਤਲ, ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਪਲਾਟ ਕਰਨ, ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ, ਖੰਡ ਸੂਤਰ, ਆਦਿ ਬਾਰੇ ਪੜ੍ਹਿਆ ਸੀ। ਇਹ ਸਾਰੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੀ ਬੁਨਿਆਦ ਹਨ।

ਆਓ ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਗਈ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੀ ਸੰਖੇਪ ਵਾਪਸੀ ਕਰੀਏ। ਦੁਹਰਾਉਣ ਲਈ, XY-ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ $(6,-4)$ ਅਤੇ $(3,0)$ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਚਿੱਤਰ 9.1 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਈ ਗਈ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 9.1

ਅਸੀਂ ਧਿਆਨ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਬਿੰਦੂ $(6,-4)$ $y$-ਧੁਰੇ ਤੋਂ 6 ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਹੈ ਜੋ ਧਨਾਤਮਕ $x$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਮਾਪੀ ਗਈ ਹੈ ਅਤੇ $x$-ਧੁਰੇ ਤੋਂ 4 ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਹੈ ਜੋ ਰਿਣਾਤਮਕ $y$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਮਾਪੀ ਗਈ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਬਿੰਦੂ $(3,0)$ $y$-ਧੁਰੇ ਤੋਂ 3 ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਦੂਰੀ ‘ਤੇ ਹੈ ਜੋ ਧਨਾਤਮਕ $x$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਨਾਲ ਮਾਪੀ ਗਈ ਹੈ ਅਤੇ $x$-ਧੁਰੇ ਤੋਂ ਜ਼ੀਰੋ ਦੂਰੀ ਹੈ। ਸੂਤਰ:

ਅਸੀਂ ਉੱਥੇ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਗੱਲਾਂ ਦਾ ਵੀ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਸੀ:

I. ਬਿੰਦੂਆਂ $P(x_1, y_1)$ ਅਤੇ $Q(x_2, y_2)$ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਹੈ

$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}} $

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਬਿੰਦੂਆਂ $(6,-4)$ ਅਤੇ $(3,0)$ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਹੈ

$$ \sqrt{(3-6)^{2}+(0+4)^{2}}=\sqrt{9+16}=5 \text{ units. } $$

II. ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ $(x_1, y_1)$ ਅਤੇ $(x_2, y_2)$ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਨੂੰ ਅੰਦਰੂਨੀ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਅਨੁਪਾਤ $m: n$ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ, ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਹਨ $(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n})$.

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਜੋ ਬਿੰਦੂਆਂ A $(1,-3)$ ਅਤੇ $B(-3,9)$ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਨੂੰ ਅੰਦਰੂਨੀ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਅਨੁਪਾਤ $1: 3$ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ, $x=\frac{1 .(-3)+3.1}{1+3}=0$ $\text{ and } y=\frac{1.9+3 \cdot(-3)}{1+3}=0$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।

III. ਖਾਸ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਜੇਕਰ $m=n$, ਤਾਂ ਬਿੰਦੂਆਂ $(x_1, y_1)$ ਅਤੇ $(x_2, y_2)$ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੇ ਮੱਧ-ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਹਨ $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$.

IV. ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ $(x _{1,} y_1),(x_2, y_2)$ ਅਤੇ $(x_3, y_3)$ ਹਨ, ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ

$\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)| .$

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਤ੍ਰਿਭੁਜ, ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ $(4,4),(3,-2)$ ਅਤੇ $(-3,16)$ ਹਨ, ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ

$ \frac{1}{2}|4(-2-16)+3(16-4)+(-3)(4+2)|=\frac{|-54|}{2}=27 $

ਟਿੱਪਣੀ ਜੇਕਰ ਤ੍ਰਿਭੁਜ $ABC$ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ, ਤਾਂ ਤਿੰਨ ਬਿੰਦੂ $A, B$ ਅਤੇ $C$ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਹਨ, ਯਾਨੀ ਕਿ, ਉਹ ਸਮਰੇਖੀ ਹਨ।

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਨੂੰ ਜਾਰੀ ਰੱਖਾਂਗੇ ਤਾਂ ਜੋ ਸਭ ਤੋਂ ਸਰਲ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਆਕਾਰ - ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਗੁਣਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ। ਇਸਦੀ ਸਰਲਤਾ ਦੇ ਬਾਵਜੂਦ, ਰੇਖਾ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੀ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਧਾਰਨਾ ਹੈ ਅਤੇ ਬੇਸ਼ੁਮਾਰ ਦਿਲਚਸਪ ਅਤੇ ਲਾਭਦਾਇਕ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਸਾਡੇ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਤਜਰਬਿਆਂ ਵਿੱਚ ਦਾਖਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਮੁੱਖ ਫੋਕਸ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਹੈ, ਜਿਸ ਲਈ ਢਲਾਨ ਸਭ ਤੋਂ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ।

9.2 ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ

ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖਾ $x$-ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਦੋ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਪੂਰਕ ਹਨ। ਕੋਣ (ਮੰਨ ਲਓ) $\theta$ ਜੋ ਰੇਖਾ $l$ ਦੁਆਰਾ $x$-ਧੁਰੇ ਦੀ ਧਨਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਨਾਲ ਬਣਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਘੜੀ ਦੀ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਮਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਰੇਖਾ ਦੀ ਝੁਕਾਅ ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਜ਼ਾਹਰ ਹੈ $0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$ (ਚਿੱਤਰ 9.2)।

ਚਿੱਤਰ 9.2

ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਰੇਖਾਵਾਂ ਜੋ $x$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ, ਜਾਂ $x$-ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਦਾ ਝੁਕਾਅ $0^{\circ}$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਖੜ੍ਹਵੀਂ ਰੇਖਾ ($y$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਜਾਂ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੋਈ) ਦਾ ਝੁਕਾਅ $90^{\circ}$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 1 ਜੇਕਰ $\theta$ ਇੱਕ ਰੇਖਾ $l$ ਦਾ ਝੁਕਾਅ ਹੈ, ਤਾਂ $\tan \theta$ ਨੂੰ ਰੇਖਾ $l$ ਦੀ ਢਲਾਨ ਜਾਂ ਢਾਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਜਿਸਦਾ ਝੁਕਾਅ $90^{\circ}$ ਹੈ, ਦੀ ਢਲਾਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਨੂੰ $m$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, $m=\tan \theta, \theta \neq 90^{\circ}$ ਇਹ ਦੇਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ $x$-ਧੁਰੇ ਦੀ ਢਲਾਨ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ ਅਤੇ $y$-ਧੁਰੇ ਦੀ ਢਲਾਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।

9.2.1 ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਜਦੋਂ ਰੇਖਾ ‘ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹੋਣ

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਉਸ ‘ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਰੇਖਾ ‘ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਅੱਗੇ ਵਧਦੇ ਹਾਂ।

ਮੰਨ ਲਓ $P(x_1, y_1)$ ਅਤੇ $Q(x_2, y_2)$ ਗੈਰ-ਖੜ੍ਹਵੀਂ ਰੇਖਾ $l$ ‘ਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂ ਹਨ ਜਿਸਦਾ ਝੁਕਾਅ $\theta$ ਹੈ। ਜ਼ਾਹਰ ਹੈ, $x_1 \neq x_2$, ਨਹੀਂ ਤਾਂ ਰੇਖਾ $x$-ਧੁਰੇ ‘ਤੇ ਲੰਬ ਹੋ ਜਾਵੇਗੀ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਢਲਾਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੋਵੇਗੀ। ਰੇਖਾ $l$ ਦਾ ਝੁਕਾਅ ਨਿਊਣਾ ਜਾਂ ਅਧਿਕ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਕੇਸ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ।

ਲੰਬ ਖਿੱਚੋ $QR$ $x$-ਧੁਰੇ ‘ਤੇ ਅਤੇ $PM$ ਲੰਬ $RQ$ ‘ਤੇ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 9.3 (i) ਅਤੇ (ii) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਕੇਸ 1 ਜਦੋਂ ਕੋਣ $\theta$ ਨਿਊਣਾ ਹੋਵੇ:

ਚਿੱਤਰ 9.3

(i) ਵਿੱਚ, $\angle MPQ=\theta \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$

ਇਸ ਲਈ, ਰੇਖਾ $l=m=\tan \theta$ ਦੀ ਢਲਾਨ।

ਪਰ $\triangle MPQ$ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ $\tan \theta=\frac{MQ}{MP}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$ ਹੈ

ਸਮੀਕਰਨਾਂ (1) ਅਤੇ (2) ਤੋਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $

ਕੇਸ II ਜਦੋਂ ਕੋਣ $\theta$ ਅਧਿਕ ਹੋਵੇ:

ਚਿੱਤਰ 9.3

(ii) ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ $\angle MPQ=180^{\circ}-\theta$ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, $\theta=180^{\circ}-\angle MPQ$।

ਹੁਣ, ਰੇਖਾ $l=m=\tan \theta$ ਦੀ ਢਲਾਨ।

$$ \begin{aligned} & =\tan \left(180^{\circ}-\angle \mathrm{MPQ}\right) \\ & =-\tan \angle \mathrm{MPQ} \\ & =-\frac{\mathrm{MQ}}{\mathrm{MP}}=-\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{1}-x _{2}}=\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{2}-x _{1}} . \end{aligned} $$

ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋਵਾਂ ਕੇਸਾਂ ਵਿੱਚ ਬਿੰਦੂਆਂ $(x_1, y_1)$ ਅਤੇ $(x_2, y_2)$ ਦੁਆਰਾ ਗੁਜ਼ਰਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ $m$ $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

9.2.2 ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਸਮਾਂਤਰਤਾ ਅਤੇ ਲੰਬਤਾ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਣਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ

ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ, ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਗੈਰ-ਖੜ੍ਹਵੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ $l_1$ ਅਤੇ $l_2$ ਦੀਆਂ ਢਲਾਣਾਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $m_1$ ਅਤੇ $m_2$ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਝੁਕਾਅ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $\alpha$ ਅਤੇ $\beta$ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਰੇਖਾ $\boldsymbol{l_1}$, $\boldsymbol{l_2}$ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 9.4), ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਝੁਕਾਅ ਬਰਾਬਰ ਹਨ, ਯਾਨੀ ਕਿ,

ਚਿੱਤਰ 9.4

$ \alpha=\beta, \text{ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ, } \tan \alpha=\tan \beta $

ਇਸ ਲਈ $\quad m _{1}=m _{2}$, ਯਾਨੀ ਕਿ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਣਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।

ਉਲਟਾ, ਜੇਕਰ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ $l_1$ ਅਤੇ $l_2$ ਦੀ ਢਲਾਨ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਹੈ, ਯਾਨੀ ਕਿ,

$$ m_1=m_2 $$

ਤਾਂ

$$ \tan \alpha=\tan \beta \text{. } $$

ਟੈਂਜੈਂਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਦੁਆਰਾ ($0^{\circ}$ ਅਤੇ $180^{\circ}$ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ), $\alpha=\beta$।

ਇਸ ਲਈ, ਰੇਖਾਵਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ।

ਇਸ ਲਈ, ਦੋ ਗੈਰ-ਖੜ੍ਹਵੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ $l_1$ ਅਤੇ $l_2$ ਸਮਾਂਤਰ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਕੇਵਲ ਜੇਕਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਣਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ।

ਜੇਕਰ ਰੇਖਾਵਾਂ $ \boldsymbol{l_1 } $ ਅਤੇ $\boldsymbol{l_2 } $ ਲੰਬ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 9.5), ਤਾਂ $\beta=\alpha+90^{\circ}$।

ਚਿੱਤਰ 9.5

ਇਸ ਲਈ, $\quad \tan \beta=\tan (\alpha+90^{\circ})$

$$ =-\cot \alpha=-\frac{1}{\tan \alpha} $$

ਯਾਨੀ ਕਿ, $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ ਜਾਂ $\quad m_1 m_2=-1$

ਉਲਟਾ, ਜੇਕਰ $m_1 m_2=-1$, ਯਾਨੀ ਕਿ, $\tan \alpha \tan \beta=-1$।

ਤਾਂ $\tan \alpha=-\cot \beta=\tan (\beta+90^{\circ})$ ਜਾਂ $\tan (\beta-90^{\circ})$

ਇਸ ਲਈ, $\alpha$ ਅਤੇ $\beta$ $90^{\circ}$ ਦੁਆਰਾ ਵੱਖਰੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਰੇਖਾਵਾਂ $l_1$ ਅਤੇ $l_2$ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ‘ਤੇ ਲੰਬ ਹਨ।

ਇਸ ਲਈ, ਦੋ ਗੈਰ-ਖੜ੍ਹਵੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ‘ਤੇ ਲੰਬ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਕੇਵਲ ਜੇਕਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਣਾਂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਰਿਣਾਤਮਕ ਉਲਟ ਹੋਣ,

ਯਾਨੀ ਕਿ, $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ ਜਾਂ, $m_1 m_2=-1$।

ਆਓ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਉਦਾਹਰਣ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ।

ਉਦਾਹਰਣ 1 ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਢਲਾਨ ਲੱਭੋ:

(ਉ) ਬਿੰਦੂਆਂ $(3,-2)$ ਅਤੇ $(-1,4)$ ਦੁਆਰਾ ਗੁਜ਼ਰਦੀ ਹੋਈ,

(ਅ) ਬਿੰਦੂਆਂ $(3,-2)$ ਅਤੇ $(7,-2)$ ਦੁਆਰਾ ਗੁਜ਼ਰਦੀ ਹੋਈ,

(ਇ) ਬਿੰਦੂਆਂ $(3,-2)$ ਅਤੇ $(3,4)$ ਦੁਆਰਾ ਗੁਜ਼ਰਦੀ ਹੋਈ,

(ਸ) $60^{\circ}$ ਦਾ ਝੁਕਾਅ $x$-ਧੁਰੇ ਦੀ ਧਨਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਨਾਲ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੋਈ।

ਹੱਲ (ਉ) ਬਿੰਦੂਆਂ $(3,-2)$ ਅਤੇ $(-1,4)$ ਦੁਆਰਾ ਗੁਜ਼ਰਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਹੈ

$$ m=\frac{4-(-2)}{-1-3}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2} $$

(ਅ) ਬਿੰਦੂਆਂ $(3,-2)$ ਅਤੇ $(7,-2)$ ਦੁਆਰਾ ਗੁਜ਼ਰਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਹੈ

$$ m=\frac{-2-(-2)}{7-3}=\frac{0}{4}=0 $$

(ਇ) ਬਿੰਦੂਆਂ $(3,-2)$ ਅਤੇ $(3,4)$ ਦੁਆਰਾ ਗੁਜ਼ਰਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਹੈ

$ m=\frac{4-(-2)}{3-3}=\frac{6}{0} \text{, ਜੋ ਕਿ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। } $

(ਸ) ਇੱਥੇ ਰੇਖਾ ਦਾ ਝੁਕਾਅ $\alpha=60^{\circ}$ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਹੈ

$$ m=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3} \text{. } $$

9.2.3 ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ

ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਰੇਖਾ ਬਾਰੇ ਸੋਚਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ ਰੇਖਾਵਾਂ ਜਾਂ ਤਾਂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ ਜਾਂ ਸਮਾਂਤਰ ਹਨ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਣਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ।

ਮੰਨ ਲਓ $L_1$ ਅਤੇ $L_2$ ਦੋ ਗੈਰ-ਖੜ੍ਹਵੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਣਾਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $m_1$ ਅਤੇ $m_2$ ਹਨ। ਜੇਕਰ $\alpha_1$ ਅਤੇ $\alpha_2$ ਰੇਖਾਵਾਂ $L_1$ ਅਤੇ $L_2$ ਦੇ ਝੁਕਾਅ ਹਨ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ। ਤਾਂ

$$ m_1=\tan \alpha_1 \text{ and } m_2=\tan \alpha_2 . $$

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨੂੰ ਕੱਟਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਹ ਲੰਬਕੋਣੀ ਵਿਰੋਧੀ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਦੋ ਜੋੜੇ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਨੇੜਲੇ ਕੋਣਾਂ ਦਾ ਜੋੜ $180^{\circ}$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ $\theta$ ਅਤੇ $\phi$ ਰੇਖਾਵਾਂ $L_1$ ਅਤੇ $L_2$ ਵਿਚਕਾਰ ਨੇੜਲੇ ਕੋਣ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 9.6)। ਤਾਂ

ਚਿੱਤਰ 9.6

$$ \theta=\alpha_2-\alpha_1 \text{ and } \alpha_1, \alpha_2 \neq 90^{\circ} \text{. } $$

ਇਸ ਲਈ $\tan \theta=\tan (\alpha_2-\alpha_1)=\frac{\tan \alpha_2-\tan \alpha_1}{1+\tan \alpha_1 \tan \alpha_2}=\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \quad(.$ ਕਿਉਂਕਿ $.1+m_1 m_2 \neq 0)$ ਅਤੇ $\phi=180^{\circ}-\theta$

ਤਾਂ ਜੋ $\tan \phi=\tan (180^{\circ}-\theta)=-\tan \theta=-\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$, ਕਿਉਂਕਿ $1+m_1 m_2 \neq 0$

ਹੁਣ, ਦੋ ਕੇਸ ਸਾਹਮਣੇ ਆਉਂਦੇ ਹਨ:

ਕੇਸ I ਜੇਕਰ $\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ ਧਨਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ $\tan \theta$ ਧਨਾਤਮਕ ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ $\tan \phi$ ਰਿਣਾਤਮਕ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ $\theta$ ਨਿਊਣਾ ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ $\phi$ ਅਧਿਕ ਹੋਵੇਗਾ।

ਕੇਸ II ਜੇਕਰ $\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ ਰਿਣਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ $\tan \theta$ ਰਿਣਾਤਮਕ ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ $\tan \phi$ ਧਨਾਤਮਕ ਹੋਵੇਗਾ, ਜਿਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ $\theta$ ਅਧਿਕ ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ $\phi$ ਨਿਊਣਾ ਹੋਵੇਗਾ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਰੇਖਾਵਾਂ $L_1$ ਅਤੇ $L_2$ ਵਿਚਕਾਰ ਨਿਊਣਾ ਕੋਣ (ਮੰਨ ਲਓ $\theta$) ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਣਾਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $m_1$ ਅਤੇ $m_2$ ਹਨ, ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

$ \tan \theta=|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}|, \text{ ਕਿਉਂਕਿ } 1+m_1 m_2 \neq 0 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1) $

ਅਧਿਕ ਕੋਣ (ਮੰਨ ਲਓ $\phi$) $\phi=180^{\circ}-\theta$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਲੱਭਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 2 ਜੇਕਰ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ $\frac{\pi}{4}$ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ $\frac{1}{2}$ ਹੈ, ਤਾਂ ਦੂਜੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਢਲਾਣਾਂ $m_1$ ਅਤੇ $m_2$ ਹਨ, ਵਿਚਕਾਰ ਨਿਊਣਾ ਕੋਣ $\theta$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

$\quad \tan \theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \right| \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots(1)$

ਮੰਨ ਲਓ $m_1=\frac{1}{2}, m_2=m$ ਅਤੇ $\theta=\frac{\pi}{4}$।

ਹੁਣ, ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਨਾਲ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ

$$ \tan \frac{\pi}{4}=\left|\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}\right| \text{ or } 1=\left|\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}\right| $$

ਜੋ ਕਿ $\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}=1$ ਜਾਂ $\frac{m-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2} m}=-1$ ਦਿੰਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ $m=3$ ਜਾਂ $m=-\frac{1}{3}$।

ਇਸ ਲਈ, ਦੂਜੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ 3 ਜਾਂ $-\frac{1}{3}$ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 9.7 ਦੋ ਜਵਾਬਾਂ ਦਾ ਕਾਰਨ ਸਮਝਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 9.7

ਉਦਾਹਰਣ 3 ਬਿੰਦੂਆਂ $(-2,6)$ ਅਤੇ $(4,8)$ ਦੁਆਰਾ ਗੁਜ਼ਰਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਬਿੰਦੂਆਂ $(8,12)$ ਅਤੇ $(x, 24)$ ਦੁਆਰਾ ਗੁਜ਼ਰਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ‘ਤੇ ਲੰਬ ਹੈ। $x$ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ ਬਿੰਦੂਆਂ $(-2,6)$ ਅਤੇ $(4,8)$ ਦੁਆਰਾ ਗੁਜ਼ਰਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਹੈ

$ m_1=\frac{8-6}{4-(-2)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} $

ਬਿੰਦੂਆਂ $(8,12)$ ਅਤੇ $(x, 24)$ ਦੁਆਰਾ ਗੁਜ਼ਰਨ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਢਲਾਨ ਹੈ

$ m_2=\frac{24-12}{x-8}=\frac{12}{x-8} $

ਕਿਉਂਕਿ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਲੰਬ ਹਨ, $m_1 m_2=-1$, ਜੋ ਕਿ ਦਿੰਦਾ ਹੈ

$$ \frac{1}{3} \times \frac{12}{x-8}=-1 \text{ or } x=4 \text{. } $$

9.3 ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਰੂਪ

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਹਰ ਰੇਖਾ ਉਸ ‘ਤੇ ਅਨੰਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਇਹ ਸੰਬੰਧ ਸਾਨੂੰ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

ਅਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਬਿੰਦੂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ? ਇਸਦਾ ਜਵਾਬ ਇਹ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਰੇਖਾ ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਲਈ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸ਼ਰਤ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ $P(x, y)$ XY-ਸਮਤਲ ਵ