3.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਸਥਿਤੀ, ਵਿਸਥਾਪਨ, ਵੇਗ ਅਤੇ ਪ੍ਰਵੇਗ ਦੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੀਆਂ ਸਨ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੀ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਵਿੱਚ ਗਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਪਾਇਆ ਕਿ ਇਨ੍ਹਾਂ ਰਾਸ਼ੀਆਂ ਦੇ ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਪਹਿਲੂ ਦਾ ਧਿਆਨ + ਅਤੇ - ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਦੁਆਰਾ ਰੱਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਪਰਿਮਾਣ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਦੋ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਸੰਭਵ ਹਨ। ਪਰ ਦੋ ਪਰਿਮਾਣਾਂ (ਇੱਕ ਸਮਤਲ) ਜਾਂ ਤਿੰਨ ਪਰਿਮਾਣਾਂ (ਸਪੇਸ) ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੀ ਗਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਉੱਪਰ ਦੱਸੀਆਂ ਭੌਤਿਕ ਰਾਸ਼ੀਆਂ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਪਹਿਲਾਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਸਿੱਖਣਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ ਕੀ ਹੈ? ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਜੋੜਿਆ, ਘਟਾਇਆ ਅਤੇ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ? ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਕੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਅਸੀਂ ਇਹ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਤਾਂ ਕਿ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਵੇਗ ਅਤੇ ਪ੍ਰਵੇਗ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕੀਏ। ਫਿਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਵਸਤੂ ਦੀ ਗਤੀ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ। ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਗਤੀ ਦੇ ਇੱਕ ਸਰਲ ਮਾਮਲੇ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ ਸਥਿਰ ਪ੍ਰਵੇਗ ਨਾਲ ਗਤੀ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਾਈਲ ਗਤੀ ਬਾਰੇ ਵਿਸਤਾਰ ਨਾਲ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ। ਚੱਕਰੀ ਗਤੀ ਗਤੀ ਦਾ ਇੱਕ ਜਾਣਿਆ-ਪਛਾਣਿਆ ਵਰਗ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਜੀਵਨ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਖਾਸ ਮਹੱਤਵ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਕਸਮਾਨ ਚੱਕਰੀ ਗਤੀ ਬਾਰੇ ਕੁਝ ਵਿਸਤਾਰ ਨਾਲ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਗਤੀ ਲਈ ਵਿਕਸਿਤ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਪਰਿਮਾਣਾਂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਵਧਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

3.2 ਅਦਿਸ਼ ਅਤੇ ਸਦਿਸ਼

ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਰਾਸ਼ੀਆਂ ਨੂੰ ਅਦਿਸ਼ ਜਾਂ ਸਦਿਸ਼ ਵਜੋਂ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਫਰਕ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਸਦਿਸ਼ ਨਾਲ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਜੁੜੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਪਰ ਇੱਕ ਅਦਿਸ਼ ਨਾਲ ਨਹੀਂ। ਇੱਕ ਅਦਿਸ਼ ਰਾਸ਼ੀ ਸਿਰਫ਼ ਪਰਿਮਾਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਰਾਸ਼ੀ ਹੈ। ਇਹ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਸੰਖਿਆ ਦੁਆਰਾ, ਢੁਕਵੀਂ ਇਕਾਈ ਦੇ ਨਾਲ, ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਹਨ: ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ, ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦਾ ਪੁੰਜ, ਕਿਸੇ ਸਰੀਰ ਦਾ ਤਾਪਮਾਨ ਅਤੇ ਉਹ ਸਮਾਂ ਜਦੋਂ ਕੋਈ ਖਾਸ ਘਟਨਾ ਵਾਪਰੀ। ਅਦਿਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੇ ਨਿਯਮ ਸਾਧਾਰਨ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਨਿਯਮ ਹਨ। ਅਦਿਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਿਆ, ਘਟਾਇਆ, ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਸਾਧਾਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ*। ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 1.0 m ਅਤੇ 0.5 m ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦੀ ਪਰਿਧੀ ਚਾਰਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੈ, 1.0 m + 0.5 m +1.0 m + 0.5 m = 3.0 m। ਹਰੇਕ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਇੱਕ ਅਦਿਸ਼ ਹੈ ਅਤੇ ਪਰਿਧੀ ਵੀ ਇੱਕ ਅਦਿਸ਼ ਹੈ। ਇੱਕ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਣ ਲਓ: ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਦਿਨ ਤੇ ਅਧਿਕਤਮ ਅਤੇ ਨਿਊਨਤਮ ਤਾਪਮਾਨ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 35.6 °C ਅਤੇ 24.2 °C ਹਨ। ਫਿਰ, ਦੋਹਾਂ ਤਾਪਮਾਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਅੰਤਰ 11.4 °C ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ 10 cm ਭੁਜਾ ਵਾਲੇ ਐਲੂਮੀਨੀਅਮ ਦੇ ਇੱਕ ਇੱਕਸਮਾਨ ਠੋਸ ਘਣ ਦਾ ਪੁੰਜ 2.7 kg ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਆਇਤਨ 10–3 m3 (ਇੱਕ ਅਦਿਸ਼) ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਘਣਤਵ 2.7×103 kg m–3 (ਇੱਕ ਅਦਿਸ਼) ਹੈ। ਇੱਕ ਸਦਿਸ਼ ਰਾਸ਼ੀ ਇੱਕ ਐਸੀ ਰਾਸ਼ੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਇੱਕ ਪਰਿਮਾਣ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਦੋਵੇਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਜੋ ਜੋੜ ਦੇ ਤਿਕੋਣ ਨਿਯਮ ਜਾਂ ਸਮਾਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜੋੜ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਨਿਯਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਸਦਿਸ਼ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਪਰਿਮਾਣ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ ਦੁਆਰਾ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਕੇ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੁਝ ਭੌਤਿਕ ਰਾਸ਼ੀਆਂ ਜੋ ਸਦਿਸ਼ਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ ਉਹ ਹਨ ਵਿਸਥਾਪਨ, ਵੇਗ, ਪ੍ਰਵੇਗ ਅਤੇ ਬਲ।

ਇੱਕ ਸਦਿਸ਼ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਕਿਤਾਬ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬੋਲਡ ਫੇਸ ਟਾਈਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇੱਕ ਵੇਗ ਸਦਿਸ਼ ਨੂੰ ਇੱਕ ਚਿੰਨ੍ਹ v ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਬੋਲਡ ਫੇਸ ਤਿਆਰ ਕਰਨਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਹੈ, ਹੱਥ ਨਾਲ ਲਿਖਣ ਸਮੇਂ, ਇੱਕ ਸਦਿਸ਼ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਅੱਖਰ ਉੱਤੇ ਰੱਖੇ ਗਏ ਤੀਰ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਮੰਨ ਲਓ rv । ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, v ਅਤੇ rv ਦੋਵੇਂ ਵੇਗ ਸਦਿਸ਼ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਸਦਿਸ਼ ਦੇ ਪਰਿਮਾਣ ਨੂੰ ਅਕਸਰ ਇਸਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ |v| = v ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਇੱਕ ਸਦਿਸ਼ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬੋਲਡ ਫੇਸ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ A, a, p, q, r, … x, y, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਪਰਿਮਾਣ ਹਲਕੇ ਫੇਸ A, a, p, q, r, … x, y ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।

3.2.1 ਸਥਿਤੀ ਅਤੇ ਵਿਸਥਾਪਨ ਸਦਿਸ਼

ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਚਲ ਰਹੀ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਨ ਲਈ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਬਿੰਦੂ ਚੁਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਮੰਨ ਲਓ O ਨੂੰ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਵਜੋਂ। ਮੰਨ ਲਓ P ਅਤੇ P′ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਸਮਾਂ t ਅਤੇ t′ ਤੇ ਵਸਤੂ ਦੀਆਂ ਸਥਿਤੀਆਂ ਹਨ [ਚਿੱਤਰ 3.1(a)]। ਅਸੀਂ O ਅਤੇ P ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਨਾਲ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਫਿਰ, OP ਸਮਾਂ t ਤੇ ਵਸਤੂ ਦਾ ਸਥਿਤੀ ਸਦਿਸ਼ ਹੈ। ਇਸ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਿਰੇ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਤੀਰ ਦਾ ਨਿਸ਼ਾਨ ਲਗਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਚਿੰਨ੍ਹ r ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ OP = r। ਬਿੰਦੂ P′ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸਥਿਤੀ ਸਦਿਸ਼, OP′ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ r′ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਦਿਸ਼ r ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਸਦਿਸ਼ ਦੇ ਪਰਿਮਾਣ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਉਹ ਦਿਸ਼ਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ P O ਤੋਂ ਦੇਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਵਸਤੂ P ਤੋਂ P′ ਵੱਲ ਚਲਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਦਿਸ਼ PP′ (ਜਿਸਦੀ ਪੂਛ P ‘ਤੇ ਅਤੇ ਸਿਰ P′ ‘ਤੇ ਹੈ) ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ P (ਸਮਾਂ t ‘ਤੇ) ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ P′ (ਸਮਾਂ t′ ‘ਤੇ) ਵੱਲ ਗਤੀ ਦੇ ਅਨੁਰੂਪ ਵਿਸਥਾਪਨ ਸਦਿਸ਼ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 3.1 (a) ਸਥਿਤੀ ਅਤੇ ਵਿਸਥਾਪਨ ਸਦਿਸ਼। (b) ਵਿਸਥਾਪਨ ਸਦਿਸ਼ PQ ਅਤੇ ਗਤੀ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਮਾਰਗ।

ਇਹ ਨੋਟ ਕਰਨਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਕਿ ਵਿਸਥਾਪਨ ਸਦਿਸ਼ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਵਾਲੀ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਦੋ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਵਸਤੂ ਦੁਆਰਾ ਅਪਣਾਏ ਗਏ ਅਸਲ ਮਾਰਗ ‘ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 4.1(b) ਵਿੱਚ, ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ P ਅਤੇ Q ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ, ਵਿਸਥਾਪਨ ਸਦਿਸ਼ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਯਾਤਰਾ ਮਾਰਗਾਂ ਲਈ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ PQ ਹੈ, ਮੰਨ ਲਓ PABCQ, PDQ, ਅਤੇ PBEFQ। ਇਸ ਲਈ, ਵਿਸਥਾਪਨ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੇ ਮਾਰਗ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਤੋਂ ਜਾਂ ਤਾਂ ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੱਥ ‘ਤੇ ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ ਵੀ ਜ਼ੋਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਸੀ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਵਿੱਚ ਗਤੀ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ।

3.2.2 ਸਦਿਸ਼ਾਂ ਦੀ ਸਮਾਨਤਾ

ਦੋ ਸਦਿਸ਼ A ਅਤੇ B ਸਮਾਨ ਕਹੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜੇਕਰ, ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਜੇਕਰ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹੀ ਹੋਵੇ।**

ਚਿੱਤਰ 3.2 (a) ਦੋ ਸਮਾਨ ਸਦਿਸ਼ A ਅਤੇ B. (b) ਦੋ ਸਦਿਸ਼ A′ ਅਤੇ B′ ਅਸਮਾਨ ਹਨ ਹਾਲਾਂਕਿ ਉਹ ਇੱਕੋ ਲੰਬਾਈ ਦੇ ਹਨ।

ਚਿੱਤਰ 3.2(a) ਦੋ ਸਮਾਨ ਸਦਿਸ਼ A ਅਤੇ B ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਜਾਂਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। B ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਸਮਾਂਤਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਖਿਸਕਾਓ ਕਿ ਇਸਦੀ ਪੂਛ Q, A ਦੀ ਪੂਛ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੈ, ਯਾਨੀ Q, O ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, ਕਿਉਂਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਿਰ S ਅਤੇ P ਵੀ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਹਨ, ਦੋਵੇਂ ਸਦਿਸ਼ ਸਮਾਨ ਕਹੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ A = B ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3.2(b) ਵਿੱਚ, ਸਦਿਸ਼ A′ ਅਤੇ B′ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੈ ਪਰ ਉਹ ਸਮਾਨ ਨਹੀਂ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹਨ। ਭਾਵੇਂ ਅਸੀਂ B′ ਨੂੰ ਆਪਣੇ ਸਮਾਂਤਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਖਿਸਕਾਈਏ ਕਿ ਇਸਦੀ ਪੂਛ Q′, A′ ਦੀ ਪੂਛ O′ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀ ਹੈ, B′ ਦਾ ਸਿਰ S′, A′ ਦੇ ਸਿਰ P′ ਨਾਲ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦਾ।

3.3 ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸਦਿਸ਼ਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ

ਇੱਕ ਸਦਿਸ਼ A ਨੂੰ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ λ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਸਦਿਸ਼ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪਰਿਮਾਣ λ ਗੁਣਨਅੰਕ ਦੁਆਰਾ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਪਰ ਦਿਸ਼ਾ A ਵਾਲੀ ਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

$$ |\lambda \mathbf{A}|=\lambda|\mathbf{A}| \text { if } \lambda=0 $$

ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, ਜੇਕਰ A ਨੂੰ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਦਿਸ਼ 2A ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ A ਵਾਲੀ ਹੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਪਰਿਮਾਣ |A| ਤੋਂ ਦੁੱਗਣਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3.3(a) ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਦਿਸ਼ A ਨੂੰ ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ −λ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸਦਿਸ਼ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਦਿਸ਼ਾ A ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਉਲਟ ਹੈ ਅਤੇ ਜਿਸਦਾ ਪਰਿਮਾਣ |A| ਦਾ λ ਗੁਣਾ ਹੈ।

ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਦਿਸ਼ A ਨੂੰ ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ, ਮੰਨ ਲਓ –1 ਅਤੇ –1.5, ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ‘ਤੇ ਸਦਿਸ਼ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3.3(b) ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਗੁਣਨਅੰਕ λ ਜਿਸ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਸਦਿਸ਼ A ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਅਦਿਸ਼ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਆਪਣਾ ਭੌਤਿਕ ਪਰਿਮਾਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, λ A ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ λ ਅਤੇ A ਦੇ ਪਰਿਮਾਣਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਵੇਗ ਸਦਿਸ਼ ਨੂੰ ਸਮੇਂ ਦੀ ਮਿਆਦ (ਸਮਾਂ) ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਵਿਸਥਾਪਨ ਸਦਿਸ਼ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 3.3 (a) ਸਦਿਸ਼ A ਅਤੇ A ਨੂੰ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ 2 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਦਿਸ਼। (b) ਸਦਿਸ਼ A ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਸੰਖਿਆ –1 ਅਤੇ –1.5 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਦਿਸ਼।

3.4 ਸਦਿਸ਼ਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਅਤੇ ਘਟਾਓ — ਗ੍ਰਾਫਿਕਲ ਵਿਧੀ

ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਭਾਗ 3.2 ਵਿੱਚ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਸਦਿਸ਼, ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਤਿਕੋਣ ਨਿਯਮ ਜਾਂ ਸਮਾਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਜੋੜ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਨਿਯਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਜੋੜ ਦੇ ਇਸ ਨਿਯਮ ਦਾ ਵਰਣਨ ਕਰਾਂਗੇ। ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਦੋ ਸਦਿਸ਼ A ਅਤੇ B ਨੂੰ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਚਿੱਤਰ 3.4(a) ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹਨ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਸਦਿਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਾਈਆਂ ਸਦਿਸ਼ਾਂ ਦੇ ਪਰਿਮਾਣ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹਨ। ਜੋੜ A + B ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਦਿਸ਼ B ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਸਦੀ ਪੂਛ ਸਦਿਸ਼ A ਦੇ ਸਿਰ ‘ਤੇ ਹੋਵੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3.4(b) ਵਿੱਚ ਹੈ। ਫਿਰ, ਅਸੀਂ A ਦੀ ਪੂਛ ਨੂੰ B ਦੇ ਸਿਰ ਨਾਲ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਰੇਖਾ OQ ਇੱਕ ਸਦਿਸ਼ R ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਯਾਨੀ ਸਦਿਸ਼ A ਅਤੇ B ਦਾ ਜੋੜ। ਕਿਉਂਕਿ, ਸਦਿਸ਼ ਜੋੜ ਦੀ ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ, ਸਦਿਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਸਿਰ ਤੋਂ ਪੂਛ ਤੱਕ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਸਿਰ-ਤੋਂ-ਪੂਛ ਵਿਧੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਸਦਿਸ਼ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਪਰਿਣਾਮੀ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਤਿੰਨ ਭੁਜਾਵਾਂ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਸਦਿਸ਼ ਜੋੜ ਦੀ ਤਿਕੋਣ ਵਿਧੀ ਵਜੋਂ ਵੀ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ B + A ਦਾ ਪਰਿਣਾਮੀ ਚਿੱਤਰ 3.4(c) ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਉਹੀ ਸਦਿਸ਼ R ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਦਿਸ਼ ਜੋੜ ਕਮਯੂਟੇਟਿਵ ਹੈ:

A + B = B + A $\quad \quad \quad$ (3.1)

ਚਿੱਤਰ 3.4 (a) ਸਦਿਸ਼ A ਅਤੇ B. (b) ਸਦਿਸ਼ A ਅਤੇ B ਗ੍ਰਾਫਿਕਲ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਜੋੜੇ ਗਏ। (c) ਸਦਿਸ਼ B ਅਤੇ A ਗ੍ਰਾਫਿਕਲ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਜੋੜੇ ਗਏ। (d) ਸਦਿਸ਼ ਜੋੜ ਦੇ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਸਦਿਸ਼ਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਐਸੋਸੀਏਟਿਵ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 3.4(d) ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ ਸਦਿਸ਼ A ਅਤੇ B ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਦਿਸ਼ C ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਪਹਿਲਾਂ B ਅਤੇ C ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਫਿਰ ਸਦਿਸ਼ A ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ:

$$ \begin{equation*} (\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C}) \tag{3.2} \end{equation*} $$

ਦੋ ਸਮਾਨ ਅਤੇ ਉਲਟ ਸਦਿਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਕੀ ਹੈ? ਦੋ ਸਦਿਸ਼ A ਅਤੇ –A ਨੂੰ ਲਓ ਜੋ ਚਿੱਤਰ 3.3(b) ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ। ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ A + (–A) ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਦੋਵੇਂ ਸਦਿਸ਼ਾਂ ਦੇ ਪਰਿਮਾਣ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਹਨ, ਪਰ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਉਲਟ ਹਨ, ਪਰਿਣਾਮੀ ਸਦਿਸ਼ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ 0 ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਨਲ ਸਦਿਸ਼ ਜਾਂ ਜ਼ੀਰੋ ਸਦਿਸ਼ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

$$\mathbf{A}-\mathbf{A}=\mathbf{0} \qquad |\mathbf{0}|=0 \tag{3.3}$$

ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਨਲ ਸਦਿਸ਼ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ। ਨਲ ਸਦਿਸ਼ ਤਦ ਵੀ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਸਦਿਸ਼ A ਨੂੰ ਸੰਖਿਆ ਜ਼ੀਰੋ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। 0 ਦੇ ਮੁੱਖ ਗੁਣ ਹਨ:

$$ \begin{align*} & \mathbf{A}+\mathbf{0}=\mathbf{A} \\ & \lambda \mathbf{0}=\mathbf{0} \\ & 0 \mathbf{A}=\mathbf{0} \tag{3.4} \end{align*} $$

ਇੱਕ ਜ਼ੀਰੋ ਸਦਿਸ਼ ਦਾ ਭੌਤਿਕ ਅਰਥ ਕੀ ਹੈ? ਚਿੱਤਰ 3.1(a) ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤੀ ਅਤੇ ਵਿਸਥਾਪਨ ਸਦਿਸ਼ਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਜੋ ਸਮਾਂ t ‘ਤੇ P ‘ਤੇ ਹੈ, P′ ਵੱਲ ਚਲਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ P ‘ਤੇ ਵਾਪਸ ਆ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਫਿਰ, ਇਸਦਾ ਵਿਸਥਾਪਨ ਕੀ ਹੈ? ਕਿਉਂਕਿ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਸਥਿਤੀਆਂ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਵਿਸਥਾਪਨ ਇੱਕ “ਨਲ ਸਦਿਸ਼” ਹੈ।

ਸਦਿਸ਼ਾਂ ਦੇ ਘਟਾਓ ਨੂੰ ਸਦਿਸ਼ਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੋ ਸਦਿਸ਼ਾਂ A ਅਤੇ B ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਦੋ ਸਦਿਸ਼ਾਂ A ਅਤੇ –B ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

$$ \begin{equation*} \mathbf{A}-\mathbf{B}=\mathbf{A}+(-\mathbf{B}) \tag{3.5} \end{equation*} $$

ਇਹ ਚਿੱਤਰ 3.5 ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਸਦਿਸ਼ $-\mathbf{B}$ ਨੂੰ ਸਦਿਸ਼ $\mathbf{A}$ ਵਿੱਚ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਕਿ $\mathbf{R} _{2}=(\mathbf{A}-\mathbf{B})$ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋ ਸਕੇ। ਸਦਿਸ਼ $\mathbf{R} _{1}=\mathbf{A}+\mathbf{B}$ ਨੂੰ ਤੁਲਨਾ ਲਈ ਉਸੇ ਚਿੱਤਰ ਵਿੱਚ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੋ ਸਦਿਸ਼ਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਮੰ