5.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

‘ਕਾਰਜ’, ‘ਊਰਜਾ’ ਅਤੇ ‘ਸ਼ਕਤੀ’ ਸ਼ਬਦ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਬੋਲਚਾਲ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇੱਕ ਕਿਸਾਨ ਖੇਤ ਵਿੱਚ ਹਲ ਚਲਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਨਿਰਮਾਣ ਕਰਮਚਾਰੀ ਇੱਟਾਂ ਚੁੱਕਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਮੁਕਾਬਲੇਦਾਰ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਲਈ ਪੜ੍ਹਾਈ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਕਲਾਕਾਰ ਇੱਕ ਸੁੰਦਰ ਦ੍ਰਿਸ਼ ਦੀ ਪੇਂਟਿੰਗ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇਹ ਸਾਰੇ ਕਾਰਜ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਕਹੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ‘ਕਾਰਜ’ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਤੇ ਸਪਸ਼ਟ ਮਤਲਬ ਹੈ। ਜਿਸ ਕੋਲ ਦਿਨ ਵਿੱਚ 14-16 ਘੰਟੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਹੈ, ਉਸ ਨੂੰ ਵੱਡੀ ਸਟੈਮੀਨਾ ਜਾਂ ਊਰਜਾ ਵਾਲਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਲੰਬੀ ਦੂਰੀ ਦੀ ਰਨਰ ਦੀ ਉਸਦੀ ਸਟੈਮੀਨਾ ਜਾਂ ਊਰਜਾ ਲਈ ਪ੍ਰਸ਼ੰਸਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਊਰਜਾ ਸਾਡੇ ਕਾਰਜ ਕਰਨ ਦੀ ਸਮਰੱਥਾ ਹੈ। ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਵੀ, ‘ਊਰਜਾ’ ਸ਼ਬਦ ਇਸ ਅਰਥ ਵਿੱਚ ਕਾਰਜ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਪਰ ਜਿਵੇਂ ਉੱਪਰ ਕਿਹਾ ਗਿਆ ਹੈ, ‘ਕਾਰਜ’ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਖੁਦ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਬਹੁਤ ਹੀ ਸਪਸ਼ਟ ਹੈ। ‘ਸ਼ਕਤੀ’ ਸ਼ਬਦ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਜੀਵਨ ਵਿੱਚ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਅਰਥਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਰਾਟੇ ਜਾਂ ਬਾਕਸਿੰਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ‘ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ’ ਮੁੱਕਿਆਂ ਬਾਰੇ ਗੱਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਹ ਬਹੁਤ ਤੇਜ਼ ਗਤੀ ਨਾਲ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਅਰਥ ਦੀ ਇਹ ਛਾਂ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ‘ਸ਼ਕਤੀ’ ਸ਼ਬਦ ਦੇ ਅਰਥ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਾਂਗੇ ਕਿ ਭੌਤਿਕ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਅਤੇ ਇਹ ਸ਼ਬਦ ਸਾਡੇ ਦਿਮਾਗ ਵਿੱਚ ਪੈਦਾ ਕਰਦੇ ਸ਼ਾਰੀਰਿਕ ਚਿੱਤਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਢਿੱਲਾ ਸੰਬੰਧ ਹੈ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਦਾ ਉਦੇਸ਼ ਇਨ੍ਹਾਂ ਤਿੰਨ ਭੌਤਿਕ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੀ ਸਮਝ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਇਸ ਕੰਮ ‘ਤੇ ਅੱਗੇ ਵਧਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਗਣਿਤਿਕ ਪੂਰਵ-ਸ਼ਰਤ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ, ਅਰਥਾਤ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ।

5.1.1 ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ

ਅਸੀਂ ਅਧਿਆਇ 3 ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬਾਰੇ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ। ਵਿਸਥਾਪਨ, ਵੇਗ, ਪ੍ਰਵੇਗ, ਬਲ ਆਦਿ ਵਰਗੀਆਂ ਭੌਤਿਕ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਵੈਕਟਰ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂ ਘਟਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ ਹੁਣ ਇਹ ਜਾਣਨ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ ਕਿ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੇ ਦੋ ਤਰੀਕੇ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਾਂਗੇ: ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਜਿਸਨੂੰ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਸਰਾ ਜਿਸਨੂੰ ਵੈਕਟਰ ਗੁਣਨਫਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਵੈਕਟਰ ਪੈਦਾ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਅਧਿਆਇ 6 ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਗੁਣਨਫਲ ‘ਤੇ ਨਜ਼ਰ ਮਾਰਾਂਗੇ। ਇੱਥੇ ਅਸੀਂ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਨੂੰ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ। ਕਿਸੇ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ A ਅਤੇ B ਦਾ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਜਾਂ ਡੌਟ ਗੁਣਨਫਲ, ਜਿਸਨੂੰ A.B (ਪੜ੍ਹੋ $\mathbf{A} \operatorname{dot} \mathbf{B}$) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ

$$ \begin{equation*} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=A B \cos \theta \tag{5.1a} \end{equation*} $$

ਇੱਥੇ $\theta$ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5.1(a) ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ $A, B$ ਅਤੇ $\cos \theta$ ਸਕੇਲਰ ਹਨ, $\mathbf{A}$ ਅਤੇ $\mathbf{B}$ ਦਾ ਡੌਟ ਗੁਣਨਫਲ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਮਾਤਰਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਵੈਕਟਰ, $\mathbf{A}$ ਅਤੇ $\mathbf{B}$, ਦੀ ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਹੈ ਪਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਕੋਈ ਦਿਸ਼ਾ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਸਮੀਕਰਨ (5.1a) ਤੋਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ \begin{aligned} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} & =A(B \cos \theta) \\ & =B(A \cos \theta) \end{aligned} $$

ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕਲ ਤੌਰ ‘ਤੇ, $B \cos \theta$ ਚਿੱਤਰ 5.1 (b) ਵਿੱਚ $\mathbf{B}$ ਦਾ $\mathbf{A}$ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ $A \cos \theta$ ਚਿੱਤਰ 5.1 (c) ਵਿੱਚ $\mathbf{A}$ ਦਾ $\mathbf{B}$ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਇਸਲਈ, A.B, $\mathbf{A}$ ਦੇ ਪਰਿਮਾਣ ਅਤੇ A ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ $\mathbf{B}$ ਦੇ ਘਟਕ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ। ਵਿਕਲਪਿਕ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਇਹ $\mathbf{B}$ ਦੇ ਪਰਿਮਾਣ ਅਤੇ $\mathbf{A}$ ਦੇ ਘਟਕ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ ਜੋ $\mathbf{B}$ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਹੈ।

ਸਮੀਕਰਨ (5.1a) ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਕਮਿਊਟੇਟਿਵ ਨਿਯਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ:

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$

ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਵਿਤਰਕ ਨਿਯਮ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ:

$\mathbf{A} \cdot(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}+\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}$

ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, $\quad \mathbf{A} \cdot(\lambda \mathbf{B})=\lambda(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$

ਜਿੱਥੇ $\lambda$ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।

ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਸਬੂਤ ਤੁਹਾਡੇ ਲਈ ਇੱਕ ਅਭਿਆਸ ਵਜੋਂ ਛੱਡ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।

ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਲਈ $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ \begin{aligned} & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=1 \\ & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=0 \end{aligned} $$

ਦੋ ਵੈਕਟਰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ

$$ \begin{aligned} & \mathbf{A}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}} \\ & \mathbf{B}=B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}} \end{aligned} $$

ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ

$$ \begin{align*} & \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\left(A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \cdot\left(B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \\ & =A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z} \tag{5.1b} \end{align*} $$

ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਤੇ (ਸਮੀਕਰਨ 5.1b) ਤੋਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:

$$ \begin{equation*} \text{(i)} \quad \quad \quad \quad \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=A_{x} A_{x}+A_{y} A_{y}+A_{z} A_{z} \end{equation*} $$

$$\text{Or, } \quad\quad\quad\quad A^{2}=A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2} \tag{5.1c}$$

ਕਿਉਂਕਿ $\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=|\mathbf{A}||\mathbf{A}| \cos 0=A^{2}$.

(ii) $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=0$, ਜੇਕਰ $\mathbf{A}$ ਅਤੇ $\mathbf{B}$ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਨ 5.1 ਬਲ $\mathbf{F}=(3 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}-5 \hat{\mathbf{k}})$ ਯੂਨਿਟ ਅਤੇ ਵਿਸਥਾਪਨ $\mathbf{d}=(5 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}})$ ਯੂਨਿਟ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਲੱਭੋ। $\mathbf{F}$ ਦਾ $\mathbf{d}$ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਵੀ ਲੱਭੋ।

ਉੱਤਰ $\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}=F_{x} d_{x}+F_{y} d_{y}+F_{z} d_{z}$

$$ \begin{aligned} & =3(5)+4(4)+(-5)(3) \\ & =16 \text { unit } \end{aligned} $$

ਇਸਲਈ $\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}=F d \cos \theta=16$ ਯੂਨਿਟ

ਹੁਣ $\mathbf{F} \cdot \mathbf{F}$ $$ =F^{2}=F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2} $$

$$ \begin{aligned} & =9+16+25 \\ & =50 \text { unit } \end{aligned} $$

ਅਤੇ $\mathbf{d} \cdot \mathbf{d} \quad=d^{2}=d_{x}^{2}+d_{y}^{2}+d_{z}^{2}$

$$ =25+16+9 $$

$$ =50 \text { unit } $$

$\therefore \cos \theta=\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{50}}=\frac{16}{50}=0.32$,

$\theta=\cos ^{-1} 0.32$

ਚਿੱਤਰ 5.1 (a) ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ A ਅਤੇ B ਦਾ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਹੈ: A.B = A B cos θ. (b) B cos θ, B ਦਾ A ਉੱਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਹੈ। (c) A cos θ, A ਦਾ B ਉੱਤੇ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਹੈ।

5.2 ਕਾਰਜ ਅਤੇ ਗਤਿਜ ਊਰਜਾ ਦੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ: ਕਾਰਜ-ਊਰਜਾ ਪ੍ਰਮੇਯ

ਸਥਿਰ ਪ੍ਰਵੇਗ $a$ ਅਧੀਨ ਰੈਕਟੀਲੀਨੀਅਰ ਗਤੀ ਲਈ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤਾ ਸੰਬੰਧ ਅਧਿਆਇ 3 ਵਿੱਚ ਮਿਲਿਆ ਹੈ,

$$ \begin{equation*} v^{2}-u^{2}=2 a s \tag{5.2} \end{equation*} $$

ਜਿੱਥੇ $u$ ਅਤੇ $v$ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਗਤੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ $s$ ਤੈਅ ਕੀਤੀ ਗਈ ਦੂਰੀ ਹੈ। ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ $m / 2$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m a s=F s \tag{5.2a} \end{equation*} $$

ਜਿੱਥੇ ਆਖਰੀ ਕਦਮ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਦੂਸਰੇ ਨਿਯਮ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ (5.2) ਨੂੰ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਤਿੰਨ ਆਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਧਾਰਨ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ

$$ v^{2}-u^{2}=2 \text { a.d } $$

ਇੱਥੇ $\mathbf{a}$ ਅਤੇ $\mathbf{d}$ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਵਸਤੂ ਦੇ ਪ੍ਰਵੇਗ ਅਤੇ ਵਿਸਥਾਪਨ ਵੈਕਟਰ ਹਨ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਫਿਰ ਦੋਵਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ $\mathrm{m} / 2$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m \mathbf{a} \cdot \mathbf{d}=\mathbf{F} . \mathbf{d} \tag{5.2b} \end{equation*} $$

ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀ ਸਮੀਕਰਨ ਕਾਰਜ ਅਤੇ ਗਤਿਜ ਊਰਜਾ ਦੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਪ੍ਰੇਰਣਾ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ‘ਅੱਧੇ ਪੁੰਜ ਗੁਣਾ ਗਤੀ ਦਾ ਵਰਗ’ ਮਾਤਰਾ ਵਿੱਚ ਇਸਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਮੁੱਲ ਤੋਂ ਇਸਦੇ ਅੰਤਿਮ ਮੁੱਲ ਤੱਕ ਅੰਤਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ‘ਗਤਿਜ ਊਰਜਾ’ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਸਨੂੰ $K$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ ਵਿਸਥਾਪਨ ਅਤੇ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਬਲ ਦੇ ਘਟਕ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਤਰਾ ਨੂੰ ‘ਕਾਰਜ’ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ W ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ (5.2b) ਫਿਰ ਹੈ

$$ \begin{equation*} K_{f}-K_{i}=W \tag{5.3} \end{equation*} $$

ਜਿੱਥੇ $K_{i}$ ਅਤੇ $K_{f}$ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਵਸਤੂ ਦੀਆਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਗਤਿਜ ਊਰਜਾਵਾਂ ਹਨ। ਕਾਰਜ ਬਲ ਅਤੇ ਉਸ ਵਿਸਥਾਪਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਇਹ ਕਾਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਕਾਰਜ ਇੱਕ ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਵਸਤੂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਵਿਸਥਾਪਨ ਉੱਤੇ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਸਮੀਕਰਨ (5.2) ਕਾਰਜ-ਊਰਜਾ (WE) ਪ੍ਰਮੇਯ ਦਾ ਵੀ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੇਸ ਹੈ: ਇੱਕ ਕਣ ਦੀ ਗਤਿਜ ਊਰਜਾ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਇਸ ਉੱਤੇ ਕੁੱਲ ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕਾਰਜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੇ ਵਿਉਂਤਪਤੀ ਨੂੰ ਬਾਅਦ ਦੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਦਲਦੇ ਬਲ ਲਈ ਸਧਾਰਨ ਕਰਾਂਗੇ।

ਉਦਾਹਰਨ 5.2 ਇਹ ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਬਾਰਸ਼ ਦੀ ਬੂੰਦ ਹੇਠਾਂ ਵੱਲ ਗੁਰੂਤਾਕਰਸ਼ਣ ਬਲ ਅਤੇ ਵਿਰੋਧੀ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧਕ ਬਲ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਹੇਠ ਡਿੱਗਦੀ ਹੈ। ਬਾਅਦ ਵਾਲਾ ਬੂੰਦ ਦੀ ਗਤੀ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੋਣ ਲਈ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਪਰ ਹੋਰ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਅਣਜਾਣ ਹੈ। ਪੁੰਜ $1.00 \mathrm{~g}$ ਦੀ ਇੱਕ ਬੂੰਦ ਨੂੰ ਉਚਾਈ $1.00 \mathrm{~km}$ ਤੋਂ ਡਿੱਗਣ ਦਿਓ। ਇਹ ਜ਼ਮੀਨ ਨੂੰ $50.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ ਦੀ ਗਤੀ ਨਾਲ ਮਾਰਦੀ ਹੈ। (a) ਗੁਰੂਤਾਕਰਸ਼ਣ ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕਾਰਜ ਕੀ ਹੈ? ਅਣਜਾਣ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧਕ ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕਾਰਜ ਕੀ ਹੈ?

ਉੱਤਰ (a) ਬੂੰਦ ਦੀ ਗਤਿਜ ਊਰਜਾ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਹੈ

$$ \begin{aligned} & \Delta K=\frac{1}{2} m v^{2}-0 \\ & =\frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 50 \times 50 \\ & =1.25 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ ਮੰਨਿਆ ਹੈ ਕਿ ਬੂੰਦ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ਰਾਮ ‘ਤੇ ਹੈ। ਇਹ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ ਕਿ $g$ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਮੁੱਲ $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ ਹੈ, ਗੁਰੂਤਾਕਰਸ਼ਣ ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕਾਰਜ ਹੈ,

$$ \begin{aligned} W_{g} & =m g h \\ & =10^{-3} \times 10 \times 10^{3} \\ & =10.0 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

(b) ਕਾਰਜ-ਊਰਜਾ ਪ੍ਰਮੇਯ ਤੋਂ

$$ \Delta K=W_{g}+W_{r} $$

ਜਿੱਥੇ $W_{r}$ ਬਾਰਸ਼ ਦੀ ਬੂੰਦ ਉੱਤੇ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧਕ ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕਾਰਜ ਹੈ। ਇਸਲਈ

$$ \begin{aligned} W_{r} & =\Delta K-W_{g} \\ & =1.25-10 \\ & =-8.75 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ।

5.3 ਕਾਰਜ

ਜਿਵੇਂ ਪਹਿਲਾਂ ਦੇਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਕਾਰਜ ਬਲ ਅਤੇ ਉਸ ਵਿਸਥਾਪਨ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਇਹ ਕਾਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਬਲ $\mathbf{F}$ ਨੂੰ ਪੁੰਜ $m$ ਦੀ ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਉੱਤੇ ਕਾਰਜ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਮੰਨੋ। ਵਸਤੂ ਧਨਾਤਮਕ $x$-ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵਿਸਥਾਪਨ $\mathbf{d}$ ਦਾ ਅਨੁਭਵ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 5.2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 5.2 ਇੱਕ ਵਸਤੂ ਬਲ F ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਹੇਠ ਇੱਕ ਵਿਸਥਾਪਨ d ਦਾ ਅਨੁਭਵ ਕਰਦੀ ਹੈ।

ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਬਲ ਦੇ ਘਟਕ ਅਤੇ ਇਸ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦੇ ਪਰਿਮਾਣ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ

$$ \begin{equation*} W=(F \cos \theta) d=\mathbf{F} \cdot \mathbf{d} \tag{5.4} \end{equation*} $$

ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਵਿਸਥਾਪਨ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਕੋਈ ਕਾਰਜ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਭਾਵੇਂ ਬਲ ਵੱਡਾ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜਦੋਂ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਕਠੋਰ ਇੱਟ ਦੀ ਕੰਧ ਦੇ ਵਿਰੁੱਧ ਜ਼ੋਰ ਨਾਲ ਧੱਕਾ ਮਾਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਤੁਸੀਂ ਕੰਧ ‘ਤੇ ਲਗਾਉਂਦੇ ਬਲ ਕੋਈ ਕਾਰਜ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ। ਫਿਰ ਵੀ ਤੁਹਾਡੀਆਂ ਮਾਸਪੇਸ਼ੀਆਂ ਬਦਲ-ਬਦਲ ਕੇ ਸੁੰਗੜਦੀਆਂ ਅਤੇ ਆਰਾਮ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਅੰਦਰੂਨੀ ਊਰਜਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਹੋ ਰਹੀ ਹੈ ਅਤੇ ਤੁਸੀਂ ਥੱਕ ਜਾਂਦੇ ਹੋ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਕਾਰਜ ਦਾ ਅਰਥ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਬੋਲਚਾਲ ਵਿੱਚ ਇਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਹੈ।

ਕੋਈ ਕਾਰਜ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਜੇਕਰ:

(i) ਵਿਸਥਾਪਨ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀ ਉਦਾਹਰਨ ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਵੇਟਲਿਫਟਰ 150 $\mathrm{kg}$ ਪੁੰਜ ਨੂੰ $30 \mathrm{~s}$ ਲਈ ਆਪਣੇ ਮੋਢੇ ‘ਤੇ ਸਥਿਰਤਾ ਨਾਲ ਫੜ ਕੇ ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਸਮੇਂ ਦੌਰਾਨ ਭਾਰ ‘ਤੇ ਕੋਈ ਕਾਰਜ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ।

(ii) ਬਲ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ। ਇੱਕ ਚਿਕਣ ਹਰੀਜੱਟਲ ਮੇਜ਼ ‘ਤੇ ਚਲਦਾ ਬਲਾਕ ਕਿਸੇ ਹਰੀਜੱਟਲ ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਕਾਰਜ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ (ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਈ ਘਰਸ਼ ਨਹੀਂ ਹੈ), ਪਰ ਇੱਕ ਵੱਡਾ ਵਿਸਥਾਪਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।

(iii) ਬਲ ਅਤੇ ਵਿਸਥਾਪਨ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਲੰਬਕਾਰੀ ਹਨ। ਇਹ ਇਸਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ, $\theta=\pi / 2 \mathrm{rad}$ $\left(=90^{\circ}\right), \cos (\pi / 2)=0$ ਲਈ। ਇੱਕ ਚਿਕਣ ਹਰੀਜੱਟਲ ਮੇਜ਼ ‘ਤੇ ਚਲਦੇ ਬਲਾਕ ਲਈ, ਗੁਰੂਤਾਕਰਸ਼ਣ ਬਲ $m g$ ਕੋਈ ਕਾਰਜ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਵਿਸਥਾਪਨ ‘ਤੇ ਸੱਜੇ ਕੋਣਾਂ ‘ਤੇ ਕਾਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਮੰਨਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਚੰਦਰਮਾ ਦੀ ਧਰਤੀ ਦੁਆਲੇ ਕਰਵ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਗੋਲਾਕਾਰ ਹੈ ਤਾਂ ਧਰਤੀ ਦਾ ਗੁਰੂਤਾਕਰਸ਼ਣ ਬਲ ਕੋਈ ਕਾਰਜ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਚੰਦਰਮਾ ਦਾ ਤੁਰੰਤ ਵਿਸਥਾਪਨ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿ ਧਰਤੀ ਦਾ ਬਲ ਰੇਡੀਅਲੀ ਅੰਦਰ ਵੱਲ ਹੈ ਅਤੇ $\theta=\pi / 2$.

ਕਾਰਜ ਧਨਾਤਮਕ ਅਤੇ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਦੋਵੇਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ $\theta$, $0^{\circ}$ ਅਤੇ $90^{\circ}, \cos \theta$ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਮੀਕਰਨ (5.4) ਵਿੱਚ ਧਨਾਤਮਕ ਹੈ। ਜੇਕਰ $\theta$, $90^{\circ}$ ਅਤੇ $180^{\circ}, \cos \theta$ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ। ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਵਿੱਚ ਘਰਸ਼ ਬਲ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦਾ ਵਿਰੋਧ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ $\theta=180^{\circ}$. ਫਿਰ ਘਰਸ਼ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕਾਰਜ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ $\left(\cos 180^{\circ}=-1\right)$.

ਸਮੀਕਰਨ (5.4) ਤੋਂ ਇਹ ਸਪਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਕਾਰਜ ਅਤੇ ਊਰਜਾ ਦੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਆਯਾਮ ਹਨ, $\left[\mathrm{ML}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right]$. ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੀ SI ਇਕਾਈ ਜੂਲ (J) ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਮਸ਼ਹੂਰ ਬ੍ਰਿਟਿਸ਼ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਜੇਮਜ਼ ਪ੍ਰੈਸਕਾਟ ਜੂਲ (1811-1869) ਦੇ ਨਾਮ ‘ਤੇ ਰੱਖੀ ਗਈ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਕਾਰਜ ਅਤੇ ਊਰਜਾ ਭੌਤਿਕ ਸੰਕਲਪਾਂ ਵਜੋਂ ਬਹੁਤ ਵਿਆਪਕ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਵਿਕਲਪਿਕ ਇਕਾਈਆਂ ਭਰਪੂਰ ਹਨ ਅਤੇ ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁਝ ਨੂੰ ਸਾਰਣੀ 5.1 ਵਿੱਚ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।

ਸਾਰਣੀ 5.1 $\mathrm{J}$ ਵਿੱਚ ਕਾਰਜ/ਊਰਜਾ ਦੀਆਂ ਵਿਕਲਪਿਕ ਇਕਾਈਆਂ

ਉਦਾਹਰਨ 5.3 ਇੱਕ ਸਾਈਕਲ ਸਵਾਰ $10 \mathrm{~m}$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਕਿੱਡਿੰਗ ਸਟਾਪ ‘ਤੇ ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਦੌਰਾਨ, ਸੜਕ ਦੇ ਕਾਰਨ ਸਾਈਕਲ ‘ਤੇ ਬਲ $200 \mathrm{~N}$ ਹੈ ਅਤੇ ਸਿੱਧੇ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਗਤੀ ਦਾ ਵਿਰੋਧ ਕਰਦਾ ਹੈ। (a) ਸੜਕ ਸਾਈਕਲ ‘ਤੇ ਕਿੰਨਾ ਕਾਰਜ ਕਰਦੀ ਹੈ? (b) ਸਾਈਕਲ ਸੜਕ ‘ਤੇ ਕਿੰਨਾ ਕਾਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ?

ਉੱਤਰ ਸੜਕ ਦੁਆਰਾ ਸਾਈਕਲ ‘ਤੇ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕਾਰਜ ਸੜਕ ਦੇ ਕਾਰਨ ਸਾਈਕਲ ‘ਤੇ ਰੋਕਣ (ਘਰਸ਼) ਬਲ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕਾਰਜ ਹੈ।

(a) ਰੋਕਣ ਵਾਲਾ ਬਲ ਅਤੇ ਵਿਸਥਾਪਨ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਨਾਲ $180^{\circ}$ ( $\pi \mathrm{rad}$) ਦਾ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸਲਈ, ਸੜਕ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕਾਰਜ,

$$ \begin{aligned} W_{r} & =F d \cos \theta \\ & =200 \times 10 \times \cos \pi \\ & =-2000 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ਇਹ ਇਹ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਕਾਰਜ ਹੈ ਜੋ WE ਪ੍ਰਮੇਯ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਸਾਈਕਲ ਨੂੰ ਰੋਕਦਾ ਹੈ।

(b) ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਤੀਜੇ ਨਿਯਮ ਤੋਂ ਸਾਈਕਲ ਦੇ ਕਾਰਨ ਸੜਕ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਰਾਬਰ ਅਤੇ ਵਿਰੋਧੀ ਬਲ ਕਾਰਜ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਪਰਿਮਾਣ 200 N ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸੜਕ ਕੋਈ ਵਿਸਥਾਪਨ ਨਹੀਂ ਕਰਦੀ। ਇਸਲਈ, ਸਾਈਕਲ ਦੁਆਰਾ ਸੜਕ ‘ਤੇ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕਾਰਜ ਜ਼ੀਰੋ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 5.3 ਦਾ ਸਬਕ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਭਾਵੇਂ ਸਰੀਰ A ਉੱਤੇ ਸਰੀਰ $\mathrm{B}$ ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਇਆ ਗਿਆ ਬਲ ਹਮੇਸ਼ਾ B ਉੱਤੇ A ਦੁਆਰਾ ਲਗਾਏ ਗਏ ਬਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਅਤੇ ਉਲਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਨਿਊਟਨ ਦਾ ਤੀਜਾ ਨਿਯਮ); A ਉੱਤੇ B ਦੁਆਰਾ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕਾਰਜ ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਕਿ $\mathrm{B}$ ਉੱਤੇ $\mathrm{A}$ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਕਾਰਜ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਅਤੇ ਉਲਟ ਹੋਵੇ।

5.4 ਗਤਿਜ ਊਰਜਾ

ਜਿਵੇਂ ਪਹਿਲਾਂ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਪੁੰਜ $m$ ਦੀ