ਅਧਿਕਤਰ ਵਿਗਿਆਨਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਪੀੜ੍ਹੀ ਦੂਜੀ ਦੁਆਰਾ ਬਣਾਈ ਗਈ ਚੀਜ਼ ਨੂੰ ਢਾਹ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਜੋ ਇੱਕ ਨੇ ਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਦੂਜਾ ਉਸਨੂੰ ਖਤਮ ਕਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਹੀ ਹਰ ਪੀੜ੍ਹੀ ਪੁਰਾਣੀ ਬਣਤਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਮੰਜ਼ਲ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। - ਹਰਮਨ ਹੈਂਕਲ

10.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਸਾਡੇ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਜੀਵਨ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਸਵਾਲਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ - ਤੁਹਾਡੀ ਉਚਾਈ ਕਿੰਨੀ ਹੈ? ਇੱਕ ਫੁੱਟਬਾਲ ਖਿਡਾਰੀ ਨੂੰ ਗੇਂਦ ਨੂੰ ਕਿਵੇਂ ਮਾਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਉਹ ਆਪਣੀ ਟੀਮ ਦੇ ਦੂਜੇ ਖਿਡਾਰੀ ਨੂੰ ਪਾਸ ਦੇ ਸਕੇ? ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਪਹਿਲੇ ਸਵਾਲ ਦਾ ਸੰਭਾਵੀ ਜਵਾਬ 1.6 ਮੀਟਰ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਰਾਸ਼ੀ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਮੁੱਲ (ਪਰਿਮਾਣ) ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਅਜਿਹੀਆਂ ਰਾਸ਼ੀਆਂ ਨੂੰ ਅਦਿਸ਼ (ਸਕੇਲਰ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪਰੰਤੂ, ਦੂਜੇ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਇੱਕ ਰਾਸ਼ੀ (ਜਿਸਨੂੰ ਬਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਮਾਸਪੇਸ਼ੀ ਸ਼ਕਤੀ (ਪਰਿਮਾਣ) ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ (ਜਿਸ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਦੂਜਾ ਖਿਡਾਰੀ ਸਥਿਤ ਹੈ) ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਅਜਿਹੀਆਂ ਰਾਸ਼ੀਆਂ ਨੂੰ ਸਦਿਸ਼ (ਵੈਕਟਰ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਗਣਿਤ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅਕਸਰ ਦੋਨੋਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਰਾਸ਼ੀਆਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ, ਅਦਿਸ਼ ਰਾਸ਼ੀਆਂ ਜਿਵੇਂ ਲੰਬਾਈ, ਪੁੰਜ, ਸਮਾਂ, ਦੂਰੀ, ਗਤੀ, ਖੇਤਰਫਲ, ਆਇਤਨ, ਤਾਪਮਾਨ, ਕਾਰਜ, ਪੈਸਾ, ਵੋਲਟੇਜ, ਘਣਤਾ, ਪ੍ਰਤਿਰੋਧ ਆਦਿ ਅਤੇ ਸਦਿਸ਼ ਰਾਸ਼ੀਆਂ ਜਿਵੇਂ ਵਿਸਥਾਪਨ, ਵੇਗ, ਪ੍ਰਵੇਗ, ਬਲ, ਭਾਰ, ਸੰਵੇਗ, ਵਿਦਿਅਤ ਖੇਤਰ ਤੀਬਰਤਾ ਆਦਿ।

ਡਬਲਿਊ.ਆਰ. ਹੈਮਿਲਟਨ $(1805-1865)$

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਬਾਰੇ ਕੁਝ ਬੁਨਿਆਦੀ ਧਾਰਨਾਵਾਂ, ਵੈਕਟਰਾਂ ਉੱਤੇ ਵਿਭਿੰਨ ਕਿਰਿਆਵਾਂ, ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਅਤੇ ਰੇਖਾਗਣਿਤੀ ਗੁਣਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਹ ਦੋ ਕਿਸਮ ਦੇ ਗੁਣ, ਜਦੋਂ ਇਕੱਠੇ ਵਿਚਾਰੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਮਝਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਉੱਪਰ ਦੱਸੇ ਗਏ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਲਾਗੂਕਰਤਾ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।

10.2 ਕੁਝ ਬੁਨਿਆਦੀ ਧਾਰਨਾਵਾਂ

ਮੰਨ ਲਓ ’ $l$ ’ ਸਮਤਲ ਜਾਂ ਤਿੰਨ-ਆਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਹੈ। ਇਸ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਤੀਰ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਦੁਆਰਾ ਦੋ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਇੱਕ ਦਿਸ਼ਾ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ (ਦਿਸ਼ਾ-ਰੇਖਾ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 10.1 (i), (ii))।

ਚਿੱਤਰ 10.1

ਹੁਣ ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਰੇਖਾ $l$ ਨੂੰ ਰੇਖਾ ਖੰਡ AB ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਰੇਖਾ $l$ ਉੱਤੇ ਦੋ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਦੇ ਨਾਲ ਇੱਕ ਪਰਿਮਾਣ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ (ਚਿੱਤਰ 10.1(iii))। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦੋਨੋਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 1 ਇੱਕ ਰਾਸ਼ੀ ਜਿਸਦਾ ਪਰਿਮਾਣ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਦੋਨੋਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਨੂੰ ਸਦਿਸ਼ (ਵੈਕਟਰ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 10.1(iii)), ਜਿਸਨੂੰ $\overrightarrow{{}AB}$ ਜਾਂ ਸਿਰਫ਼ $\vec{a}$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ‘ਵੈਕਟਰ $\overrightarrow{{}AB}$’ ਜਾਂ ‘ਵੈਕਟਰ $\vec{a}$’ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਬਿੰਦੂ $A$ ਜਿੱਥੋਂ ਵੈਕਟਰ $\overrightarrow{{}AB}$ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਇਸਦਾ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਬਿੰਦੂ (ਇਨੀਸ਼ੀਅਲ ਪੁਆਇੰਟ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਬਿੰਦੂ $B$ ਜਿੱਥੇ ਇਹ ਖਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਇਸਦਾ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ (ਟਰਮੀਨਲ ਪੁਆਇੰਟ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦੇ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿਚਕਾਰ ਦੂਰੀ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ (ਜਾਂ ਲੰਬਾਈ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ $|\overrightarrow{{}AB}|$, ਜਾਂ $|\vec{a}|$, ਜਾਂ $a$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤੀਰ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਨੋਟ ਕਿਉਂਕਿ ਲੰਬਾਈ ਕਦੇ ਵੀ ਰਿਣਾਤਮਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਇਸ ਲਈ $|\vec{a}|<0$ ਦਾ ਕੋਈ ਅਰਥ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ (ਪੋਜੀਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ)

ਕਲਾਸ XI ਤੋਂ, ਤਿੰਨ-ਆਯਾਮੀ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਵਾਲੀ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਯਾਦ ਕਰੋ (ਚਿੱਤਰ 10.2(i))। ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ $P$ ਨੂੰ ਲਓ, ਜਿਸਦੇ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ $O(0,0,0)$ ਦੇ ਸਾਪੇਖ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ $(x, y, z)$ ਹਨ। ਫਿਰ, ਵੈਕਟਰ $\overrightarrow{{}OP}$ ਜਿਸਦੇ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $O$ ਅਤੇ $P$ ਹਨ, ਨੂੰ ਬਿੰਦੂ $P$ ਦਾ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ $O$ ਦੇ ਸਾਪੇਖ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੂਰੀ ਸੂਤਰ (ਕਲਾਸ XI ਤੋਂ) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ, $\overrightarrow{{}OP}$ (ਜਾਂ $\vec{r}$) ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

$$ |\overrightarrow{{}OP}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $$

ਵਿਹਾਰ ਵਿੱਚ, ਬਿੰਦੂਆਂ $A, B, C$, ਆਦਿ ਦੇ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ, ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ $O$ ਦੇ ਸਾਪੇਖ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$, ਆਦਿ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 10.2 (ii))।

ਚਿੱਤਰ 10.2

ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨ (ਡਾਇਰੈਕਸ਼ਨ ਕੋਸਾਈਨ)

ਚਿੱਤਰ 10.3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ $P(x, y, z)$ ਦੇ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ $\overrightarrow{{}OP}$ (ਜਾਂ $\vec{r}$) ਨੂੰ ਲਓ। ਕੋਣ $\alpha$, $\beta, \gamma$ ਜੋ ਵੈਕਟਰ $\vec{r}$ ਦੁਆਰਾ $x, y$ ਅਤੇ $z$-ਧੁਰਿਆਂ ਦੀਆਂ ਧਨਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਨਾਲ ਬਣਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਇਸਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਣ ਕਹਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ ਮੁੱਲ, ਯਾਨੀ ਕਿ $\cos \alpha, \cos \beta$ ਅਤੇ $\cos \gamma$ ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ $\vec{r}$ ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $l, m$ ਅਤੇ $n$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।

ਚਿੱਤਰ 10.3 ਤੋਂ, ਕੋਈ ਧਿਆਨ ਦੇ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਤਿਕੋਣ OAP ਸਮਕੋਣੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ $\cos \alpha=\frac{x}{r}(r$ ਹੈ ਜੋ $|\vec{r}|)$ ਲਈ ਖੜ੍ਹਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਮਕੋਣੀ ਤਿਕੋਣ OBP ਅਤੇ OCP ਤੋਂ, ਅਸੀਂ $\cos \beta=\frac{y}{r}$ ਅਤੇ $\cos \gamma=\frac{z}{r}$ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਬਿੰਦੂ P ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਨੂੰ $(l r, m r, n r)$ ਵਜੋਂ ਵੀ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸੰਖਿਆਵਾਂ $l r, m r$ ਅਤੇ $n r$, ਜੋ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹਨ, ਨੂੰ ਵੈਕਟਰ $\vec{r}$ ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤ (ਡਾਇਰੈਕਸ਼ਨ ਰੇਸ਼ੀਓਜ਼) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $a, b$ ਅਤੇ $c$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।

ਨੋਟ ਕੋਈ ਧਿਆਨ ਦੇ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ ਪਰੰਤੂ $a^{2}+b^{2}+c^{2} \neq 1$, ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ।

10.3 ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ

ਸਿਫ਼ਰ ਵੈਕਟਰ (ਜ਼ੀਰੋ ਵੈਕਟਰ) ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਜਿਸਦੇ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਹਨ, ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਵੈਕਟਰ (ਜਾਂ ਨਲ ਵੈਕਟਰ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ $\overrightarrow{{}0}$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਿਫ਼ਰ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਦਿਸ਼ਾ ਨਹੀਂ ਦਿੱਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਕਿਉਂਕਿ ਇਸਦਾ ਪਰਿਮਾਣ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਜਾਂ, ਵਿਕਲਪਿਕ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਇਸਨੂੰ ਕੋਈ ਵੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲਾ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਵੈਕਟਰ $\overrightarrow{{}AA}, \overrightarrow{{}BB}$ ਸਿਫ਼ਰ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ,

ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ (ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ) ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਜਿਸਦਾ ਪਰਿਮਾਣ ਇਕਾਈ (ਯਾਨੀ 1 ਇਕਾਈ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵੈਕਟਰ $\vec{a}$ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ $\hat{a}$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।ਸਹਿ-ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਵੈਕਟਰ (ਕੋਇਨੀਸ਼ੀਅਲ ਵੈਕਟਰ) ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵੈਕਟਰ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਬਿੰਦੂ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਸਹਿ-ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਵੈਕਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਸਮਰੇਖੀ ਵੈਕਟਰ (ਕੋਲੀਨੀਅਰ ਵੈਕਟਰ) ਦੋ ਜਾਂ ਦੋ ਤੋਂ ਵੱਧ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਸਮਰੇਖੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਉਹ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪਰਿਮਾਣਾਂ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਇੱਕੋ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੋਣ।

ਸਮਾਨ ਵੈਕਟਰ (ਈਕੁਅਲ ਵੈਕਟਰ) ਦੋ ਵੈਕਟਰ $\vec{a}$ ਅਤੇ $\vec{b}$ ਨੂੰ ਸਮਾਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਕੀਤੇ ਬਿਨਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਪਰਿਮਾਣ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਹੋਵੇ, ਅਤੇ $\vec{a}=\vec{b}$ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਰਿਣਾਤਮਕ (ਨੈਗੇਟਿਵ) ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਜਿਸਦਾ ਪਰਿਮਾਣ ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵੈਕਟਰ (ਮੰਨ ਲਓ, $\overrightarrow{{}AB}$) ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਦਿਸ਼ਾ ਉਸਦੇ ਉਲਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵੈਕਟਰ ਦਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, ਵੈਕਟਰ $\overrightarrow{{}BA}$, ਵੈਕਟਰ $\overrightarrow{{}AB}$ ਦਾ ਰਿਣਾਤਮਕ ਹੈ, ਅਤੇ $\overrightarrow{{}BA}=-\overrightarrow{{}AB}$ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਟਿੱਪਣੀ ਉੱਪਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਵੈਕਟਰ ਅਜਿਹੇ ਹਨ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸੇ ਨੂੰ ਵੀ ਇਸਦੇ ਪਰਿਮਾਣ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਬਦਲੇ ਬਿਨਾਂ ਇਸਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਵਿਸਥਾਪਨ ਦੇ ਅਧੀਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨੂੰ ਮੁਕਤ ਵੈਕਟਰ (ਫ੍ਰੀ ਵੈਕਟਰ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪੂਰੇ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਮੁਕਤ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਹੀ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ।

ਉਦਾਹਰਣ 1 ਗ੍ਰਾਫਿਕਲੀ ਦੱਖਣ ਦੇ ਪੱਛਮ ਵੱਲ $40 km, 30^{\circ}$ ਦੇ ਵਿਸਥਾਪਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਓ।

ਹੱਲ ਵੈਕਟਰ $\overrightarrow{{}OP}$ ਲੋੜੀਂਦੇ ਵਿਸਥਾਪਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 10.4)।

ਚਿੱਤਰ 10.4

ਉਦਾਹਰਣ 2 ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਮਾਪਾਂ ਨੂੰ ਅਦਿਸ਼ (ਸਕੇਲਰ) ਅਤੇ ਸਦਿਸ਼ (ਵੈਕਟਰ) ਵਜੋਂ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰੋ।

(i) $5 \mathrm{~s}$

(ii) $1000 \mathrm{~cm}^{3}$

(iii) $10 \mathrm{~N}$

(iv) $30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$

(v) $10 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$

(vi) $20 m / s$ ਉੱਤਰ ਵੱਲ

ਹੱਲ

(i) ਸਮਾਂ-ਅਦਿਸ਼

(ii) ਆਇਤਨ-ਅਦਿਸ਼

(iii) ਬਲ-ਸਦਿਸ਼

(iv) ਗਤੀ-ਅਦਿਸ਼

(v) ਘਣਤਾ-ਅਦਿਸ਼

(vi) ਵੇਗ-ਸਦਿਸ਼

ਉਦਾਹਰਣ 3 ਚਿੱਤਰ 10.5 ਵਿੱਚ, ਕਿਹੜੇ ਵੈਕਟਰ ਹਨ:

(i) ਸਮਰੇਖੀ

(ii) ਸਮਾਨ

(iii) ਸਹਿ-ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ

ਹੱਲ

(i) ਸਮਰੇਖੀ ਵੈਕਟਰ: $\vec{a}, \vec{c}$ ਅਤੇ $\vec{d}$।

(ii) ਸਮਾਨ ਵੈਕਟਰ: $\vec{a}$ ਅਤੇ $\vec{c}$।

(iii) ਸਹਿ-ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਵੈਕਟਰ: $\vec{b}, \vec{c}$ ਅਤੇ $\vec{d}$।

10.4 ਵੈਕਟਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ

ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ $\overrightarrow{{}AB}$ ਦਾ ਸਿੱਧਾ ਅਰਥ ਹੈ ਬਿੰਦੂ A ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ $B$ ਤੱਕ ਵਿਸਥਾਪਨ। ਹੁਣ ਇੱਕ ਸਥਿਤੀ ਲਓ ਕਿ ਇੱਕ ਕੁੜੀ $A$ ਤੋਂ $B$ ਵੱਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ $B$ ਤੋਂ $C$ ਵੱਲ (ਚਿੱਤਰ 10.7)। ਕੁੜੀ ਦੁਆਰਾ ਬਿੰਦੂ $A$ ਤੋਂ ਬਿੰਦੂ $C$ ਤੱਕ ਕੀਤਾ ਕੁੱਲ ਵਿਸਥਾਪਨ, ਵੈਕਟਰ $\overrightarrow{{}AC}$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

ਚਿੱਤਰ 10.7

$ \overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC} $

ਇਸਨੂੰ ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਦਾ ਤਿਕੋਣ ਨਿਯਮ (ਟ੍ਰਾਇਐਂਗਲ ਲਾਅ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਵੈਕਟਰ $\vec{a}$ ਅਤੇ $\vec{b}$ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 10.8 (i)), ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਲਈ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਦਾ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਬਿੰਦੂ ਦੂਜੇ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 10.8(ii))।

ਚਿੱਤਰ 10.8

ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, ਚਿੱਤਰ 10.8 (ii) ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰ $\vec{b}$ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਪਰਿਮਾਣ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਨੂੰ ਬਦਲੇ ਬਿਨਾਂ ਖਿਸਕਾਇਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਿ ਇਸਦਾ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਬਿੰਦੂ $\vec{a}$ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ, ਵੈਕਟਰ $\vec{a}+\vec{b}$, ਜੋ ਤਿਕੋਣ $ABC$ ਦੀ ਤੀਜੀ ਭੁਜਾ $AC$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਸਾਨੂੰ ਵੈਕਟਰਾਂ $\vec{a}$ ਅਤੇ $\vec{b}$ ਦਾ ਜੋੜ (ਜਾਂ ਪਰਿਣਾਮੀ) ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਯਾਨੀ ਕਿ, ਤਿਕੋਣ $ABC$ (ਚਿੱਤਰ 10.8 (ii)) ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}=\overrightarrow{{}AC} $

ਹੁਣ ਫਿਰ, ਕਿਉਂਕਿ $\overrightarrow{{}AC}=-\overrightarrow{{}CA}$, ਉੱਪਰਲੇ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}+\overrightarrow{{}CA}=\overrightarrow{{}AA}=\overrightarrow{{}0} $$

ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਲਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਹ ਸਿਫ਼ਰ ਪਰਿਣਾਮੀ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਪ੍ਰਾਰੰਭਿਕ ਅਤੇ ਅੰਤਿਮ ਬਿੰਦੂ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 10.8(iii))।

ਹੁਣ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ $\overrightarrow{{}BC^{\prime}}$ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬਣਾਓ ਕਿ ਇਸਦਾ ਪਰਿਮਾਣ ਵੈਕਟਰ $\overrightarrow{{}BC}$ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ, ਪਰ ਦਿਸ਼ਾ ਇਸਦੇ ਉਲਟ ਹੋਵੇ (ਚਿੱਤਰ 10.8 (iii)), ਯਾਨੀ ਕਿ, $ \overrightarrow{{}BC^{\prime}}=-\overrightarrow{{}BC} $ ਫਿਰ, ਚਿੱਤਰ 10.8 (iii) ਤੋਂ ਤਿਕੋਣ ਨਿਯਮ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ‘ਤੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ $ \overrightarrow{{}AC^{\prime}}=\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC^{\prime}}=\overrightarrow{{}AB}+(-\overrightarrow{{}BC})=\vec{a}-\vec{b} $

ਵੈਕਟਰ $\overrightarrow{{}AC^{\prime}}$ ਨੂੰ $\vec{a}$ ਅਤੇ $\vec{b}$ ਦੇ ਅੰਤਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਹੁਣ, ਇੱਕ ਨਦੀ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਾਵ ਨੂੰ ਲਓ ਜੋ ਨਦੀ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦੇ ਲੰਬ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਨਦੀ ਦੇ ਇੱਕ ਕੰਢੇ ਤੋਂ ਦੂਜੇ ਕੰਢੇ ਵੱਲ ਜਾ ਰਹੀ ਹੈ। ਫਿਰ, ਇਸ ‘ਤੇ ਦੋ ਵੇਗ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਕਾਰਜ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ-ਇੱਕ ਤਾਂ ਨਾਵ ਦੇ ਇੰਜਣ ਦੁਆਰਾ ਨਾਵ ਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਵੇਗ ਹੈ ਅਤੇ ਦੂਜਾ ਨਦੀ ਦੇ ਪਾਣੀ ਦੇ ਪ੍ਰਵਾਹ ਦਾ ਵੇਗ ਹੈ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਦੋਨਾਂ ਵੇਗਾਂ ਦੇ ਸਮਕਾਲੀ ਪ੍ਰਭਾਵ ਹੇਠ, ਨਾਵ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੱਖਰੇ ਵੇਗ ਨਾਲ ਯਾਤਰਾ ਕਰਨ ਲੱਗਦੀ ਹੈ। ਨਾਵ ਦੀ ਪ੍ਰਭਾਵੀ ਗਤੀ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ (ਯਾਨੀ ਕਿ, ਪਰਿਣਾਮੀ ਵੇਗ) ਬਾਰੇ ਸਪੱਸ਼ਟ ਜਾਣਕਾਰੀ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਦਾ ਹੇਠ ਲਿਖਾ ਨਿਯਮ ਹੈ।

ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਦੋ ਵੈਕਟਰ $\vec{a}$ ਅਤੇ $\vec{b}$ ਹਨ ਜੋ ਇੱਕ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੀਆਂ ਦੋ ਲਗਦੀਆਂ ਭੁਜਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਮਾਣ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ (ਚਿੱਤਰ 10.9), ਤਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਜੋੜ $\vec{a}+\vec{b}$ ਪਰਿਮਾਣ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਆਮ ਬਿੰਦੂ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਦੇ ਵਿਕਰਣ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਦਾ ਸਮਾਂਤਰ ਚਤੁਰਭੁਜ ਨਿਯਮ (ਪੈਰਲਲੋਗ੍ਰਾਮ ਲਾਅ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 10.9

ਨੋਟ ਚਿੱਤਰ 10.9 ਤੋਂ, ਤਿਕੋਣ ਨਿਯ