ਗਣਿਤਿਕ ਖੋਜ ਦੀ ਚਲਾਉਣ ਵਾਲੀ ਸ਼ਕਤਿ ਤਰਕ ਨਹੀਂ ਬਲਕਿ ਕਲਪਨਾ ਹੈ। - ਏ.ਡੀਮੋਰਗਨ

11.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਕਲਾਸ XI ਵਿੱਚ, ਦੋ ਆਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, ਅਤੇ ਤਿੰਨ-ਆਯਾਮੀ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੀ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਵਿਧੀਆਂ ਤੱਕ ਹੀ ਸੀਮਿਤ ਸੀ। ਇਸ ਕਿਤਾਬ ਦੇ ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸੰਕਲਪਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਤਿੰਨ-ਆਯਾਮੀ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਲਈ ਵੈਕਟਰ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ। 3-ਆਯਾਮੀ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਲਈ ਇਸ ਪਹੁੰਚ ਦਾ ਉਦੇਸ਼ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਅਧਿਐਨ ਨੂੰ ਸਰਲ ਅਤੇ ਸੁੰਦਰ* ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ।

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ ਅਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸਥਿਤੀਆਂ ਅਧੀਨ, ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਤੇ ਸਮਤਲਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ, ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ, ਦੋ ਸਮਤਲਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ, ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ, ਦੋ ਤਿਰਛੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੂਰੀ ਅਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਤੱਕ ਦੀ ਦੂਰੀ ਬਾਰੇ ਵੀ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ। ਉਪਰੋਕਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਜ਼ਿਆਦਾਤਰ ਵੈਕਟਰ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਫਿਰ ਵੀ, ਅਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਨਤੀਜਿਆਂ ਨੂੰ ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਅਨੁਵਾਦ ਕਰਾਂਗੇ, ਜੋ ਕਿ ਕਈ ਵਾਰ ਸਥਿਤੀ ਦੀ ਵਧੇਰੇ ਸਪਸ਼ਟ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਤਸਵੀਰ ਪੇਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਲਿਓਨਹਾਰਡ ਯੂਲਰ $(\mathbf{1 7 0 7 - 1 7 8 3 })$

11.2 ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਅਤੇ ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤ

ਅਧਿਆਇ 10 ਤੋਂ ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ $L$ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ ਅਤੇ $x, y$ ਅਤੇ $z$-ਧੁਰਿਆਂ ਨਾਲ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $\alpha, \beta$ ਅਤੇ $\gamma$ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਣ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹਨਾਂ ਕੋਣਾਂ ਦੇ ਕੋਸਾਈਨ, ਅਰਥਾਤ, $\cos \alpha, \cos \beta$ ਅਤੇ $\cos \gamma$ ਨੂੰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ $L$ ਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ $L$ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਉਲਟਾ ਦੇਈਏ, ਤਾਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਣ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸਪਲੀਮੈਂਟਾਂ ਨਾਲ ਬਦਲ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਭਾਵ, $\pi-\alpha, \pi-\beta$ ਅਤੇ $\pi-\gamma$। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਉਲਟ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।

ਚਿੱਤਰ 11.1

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਦੋ ਉਲਟ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵਧਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇਸਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਦੇ ਦੋ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਸੈੱਟ ਰੱਖਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਵਜੋਂ ਲੈਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਵਿਲੱਖਣ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਨੂੰ $l, m$ ਅਤੇ $n$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਟਿੱਪਣੀ ਜੇਕਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਨਹੀਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ, ਇਸਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੋਈ ਅਤੇ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖਿੱਚਦੇ ਹਾਂ। ਹੁਣ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਤੋਂ ਇੱਕ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਲਓ ਅਤੇ ਇਸਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲੱਭੋ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦੋ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕੋ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਕੋਈ ਵੀ ਤਿੰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਰੇਖਾ ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ $l, m, n$ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਹਨ ਅਤੇ $a, b, c$ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹਨ, ਤਾਂ $a=\lambda l, b=\lambda m$ ਅਤੇ $c=\lambda n$, ਕਿਸੇ ਵੀ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ $\lambda \in \mathbf{R}$ ਲਈ।

ਨੋਟ ਕੁਝ ਲੇਖਕ ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਨੂੰ ਦਿਸ਼ਾ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵੀ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ।

ਮੰਨ ਲਓ $a, b, c$ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹਨ ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ $l, m$ ਅਤੇ $n$ ਰੇਖਾ ਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ (d.c’s) ਹਨ। ਤਾਂ

$$ \frac{l}{a}=\frac{m}{b}=\frac{n}{c}=k \text{ (say), } k \text{ being a constant. } $$

ਇਸ ਲਈ $ \qquad l=a k, m=b k, n=c k $

ਪਰ $ \qquad l^{2}+m^{2}+n^{2}=1 $

ਇਸ ਲਈ $ \qquad k^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=1 $

ਜਾਂ $ \qquad k= \pm \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

ਇਸ ਲਈ, (1) ਤੋਂ, ਰੇਖਾ ਦੇ d.c.’s ਹਨ $ \qquad l= \pm \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, m= \pm \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, n= \pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

ਜਿੱਥੇ, $k$ ਦੇ ਲੋੜੀਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ‘ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, $l, m$ ਅਤੇ $n$ ਲਈ ਜਾਂ ਤਾਂ ਧਨਾਤਮਕ ਜਾਂ ਰਿਣਾਤਮਕ ਚਿੰਨ੍ਹ ਲਿਆ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਰੇਖਾ ਲਈ, ਜੇਕਰ $a, b, c$ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹਨ, ਤਾਂ $k a, k b, k c ; k \neq 0$ ਵੀ ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸੈੱਟ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦੇ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਸੈੱਟ ਵੀ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਰੇਖਾ ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦੇ ਅਨੰਤ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

11.2.1 ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਤੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ

ਕਿਉਂਕਿ ਦੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਲੰਘਦੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂਆਂ $P(x_1, y_1, z_1)$ ਅਤੇ $Q(x_2, y_2, z_2)$ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ (ਚਿੱਤਰ 11.2 (a))।

ਚਿੱਤਰ 11.2

ਮੰਨ ਲਓ $l, m, n$ ਰੇਖਾ PQ ਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਹਨ ਅਤੇ ਇਹ $x, y$ ਅਤੇ $z$-ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $\alpha, \beta$ ਅਤੇ $\gamma$ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ।

$P$ ਅਤੇ $Q$ ਤੋਂ ਲੰਬ ਖਿੱਚੋ ਜੋ $XY$-ਸਮਤਲ ਨੂੰ $R$ ਅਤੇ $S$ ‘ਤੇ ਮਿਲਣ ਲਈ। $P$ ਤੋਂ ਇੱਕ ਲੰਬ ਖਿੱਚੋ ਜੋ $QS$ ਨੂੰ $N$ ‘ਤੇ ਮਿਲਣ ਲਈ। ਹੁਣ, ਸਮਕੋਣ ਤਿਕੋਣ $PNQ, \angle PQN=\gamma$ ਵਿੱਚ (ਚਿੱਤਰ 11.2 (b))।

$$ \begin{aligned} & \cos \gamma=\frac{\mathrm{NQ}}{\mathrm{PQ}}=\frac{z _{2}-z _{1}}{\mathrm{PQ}} \\ & \cos \alpha=\frac{x _{2}-x _{1}}{\mathrm{PQ}} \text { और } \cos \beta=\frac{y _{2}-y _{1}}{\mathrm{PQ}} \end{aligned} $$

ਇਸ ਲਈ ਇਸ ਲਈ, ਬਿੰਦੂਆਂ $P(x_1, y_1, z_1)$ ਅਤੇ $Q(x_2, y_2, z_2)$ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਹਨ

$$ \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $$

ਜਿੱਥੇ $ \qquad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $

ਨੋਟ $P(x_1, y_1, z_1)$ ਅਤੇ $Q(x_2, y_2, z_2)$ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ

$$ x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \text{ or } x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2 $$

ਉਦਾਹਰਨ 1 ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ $x, y$ ਅਤੇ $z$-ਧੁਰੇ ਦੀ ਧਨਾਤਮਕ ਦਿਸ਼ਾ ਨਾਲ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $90^{\circ}, 60^{\circ}$ ਅਤੇ $30^{\circ}$ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ ਮੰਨ ਲਓ $d . c$। ਰੇਖਾ ਦੇ ‘$s$ $l, m, n$ ਹਨ। ਤਾਂ $l=\cos 90^{\circ}=0, m=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$, $n=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$।

ਉਦਾਹਰਨ 2 ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤ 2, - 1, - 2 ਹਨ, ਤਾਂ ਇਸਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਹਨ

$$ \frac{2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-1}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} $$

ਜਾਂ $\qquad \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3}$

ਉਦਾਹਰਨ 3 ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ $(-2,4,-5)$ ਅਤੇ $(1,2,3)$ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ $P(x_1, y_1, z_1)$ ਅਤੇ $Q(x_2, y_2, z_2)$ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ

ਜਿੱਥੇ $ \qquad \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $

$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

ਇੱਥੇ $P$ $(-2,4,-5)$ ਹੈ ਅਤੇ $Q$ $(1,2,3)$ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ $ \qquad P Q=\sqrt{(1-(-2))^{2}+(2-4)^{2}+(3-(-5))^{2}}=\sqrt{77} $

ਇਸ ਲਈ, ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਹਨ

$ \qquad \frac{3}{\sqrt{77}}, \frac{-2}{\sqrt{77}}, \frac{8}{\sqrt{77}} $

ਉਦਾਹਰਨ 4 $x, y$ ਅਤੇ $z$-ਧੁਰੇ ਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ $x$-ਧੁਰਾ $x, y$ ਅਤੇ $z$-ਧੁਰੇ ਨਾਲ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $0^{\circ}, 90^{\circ}$ ਅਤੇ $90^{\circ}$ ਕੋਣ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $x$-ਧੁਰੇ ਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ $\cos 0^{\circ}, \cos 90^{\circ}, \cos 90^{\circ}$ ਹਨ ਭਾਵ, $1,0,0$। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $y$-ਧੁਰੇ ਅਤੇ $z$-ਧੁਰੇ ਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $0,1,0$ ਅਤੇ $0,0,1$ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਬਿੰਦੂ A $(2,3,-4), B(1,-2,3)$ ਅਤੇ $C(3,8,-11)$ ਸਮਰੇਖੀ ਹਨ।

ਹੱਲ A ਅਤੇ B ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹਨ

$1-2,-2-3,3+4$ ਭਾਵ, $-1,-5,7$।

$B$ ਅਤੇ $C$ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤ $3-1,8+2,-11-3$ ਹਨ, ਭਾਵ, $2,10,-14$।

ਇਹ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ $AB$ ਅਤੇ $BC$ ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤ ਅਨੁਪਾਤੀ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ, $AB$, $BC$ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਪਰ ਬਿੰਦੂ $B$ ਦੋਨਾਂ $AB$ ਅਤੇ $BC$ ਲਈ ਸਾਂਝਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $A, B, C$ ਸਮਰੇਖੀ ਬਿੰਦੂ ਹਨ।

11.3 ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ

ਅਸੀਂ ਕਲਾਸ XI ਵਿੱਚ ਦੋ ਆਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ।

ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਵਿਲੱਖਣ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ

(i) ਇਹ ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਦਿਸ਼ਾ ਰੱਖਦੀ ਹੈ, ਜਾਂ

(ii) ਇਹ ਦੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ।

11.3.1 ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵੈਕਟਰ $\vec{a}$ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ

ਮੰਨ ਲਓ $\vec{a}$ ਆਇਤਾਕਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਤਮਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ $O$ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ A ਦਾ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ $l$ ਉਹ ਰੇਖਾ ਹੈ ਜੋ ਬਿੰਦੂ $A$ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਵੈਕਟਰ $\vec{b}$ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ $\vec{r}$ ਰੇਖਾ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਮਨਮਾਨੇ ਬਿੰਦੂ $P$ ਦਾ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਹੈ (ਚਿੱਤਰ 11.3)।

ਤਾਂ $\overrightarrow{{}AP}$ ਵੈਕਟਰ $\vec{b}$ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ, ਭਾਵ, $\overrightarrow{{}AP}=\lambda \vec{b}$, ਜਿੱਥੇ $\lambda$ ਕੁਝ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ।

ਪਰ $$ \overrightarrow{{}AP}=\overrightarrow{{}OP}-\overrightarrow{{}OA} $$

ਭਾਵ $$\lambda \vec{b}=\vec{r}-\vec{a}$$

ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਪੈਰਾਮੀਟਰ $\lambda$ ਦੇ ਹਰੇਕ ਮੁੱਲ ਲਈ, ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਰੇਖਾ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ $P$ ਦਾ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਰੇਖਾ ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਸਮੀਕਰਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ

$$ \begin{equation*} \vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b} \tag{1} \end{equation*} $$

ਟਿੱਪਣੀ ਜੇਕਰ $\vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$, ਤਾਂ $a, b, c$ ਰੇਖਾ ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਜੇਕਰ $a, b, c$ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹਨ, ਤਾਂ $\vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੋਵੇਗਾ। ਇੱਥੇ, $b$ ਨੂੰ $|\vec{b}|$ ਨਾਲ ਉਲਝਣਾ ਨਹੀਂ ਚਾਹੀਦਾ। ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਰੂਪ ਦੀ ਵੈਕਟਰ ਰੂਪ ਤੋਂ ਵਿਉਂਤਪਤੀ

ਮੰਨ ਲਓ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ $A$ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ $(x_1, y_1, z_1)$ ਹਨ ਅਤੇ ਰੇਖਾ ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤ $a, b, c$ ਹਨ। ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ $P$ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ $(x, y, z)$ ਹੋਣ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰੋ। ਤਾਂ

$$ \overrightarrow{{}r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} ; \overrightarrow{{}a}=x_1 \hat{i}+y_1 \hat{j}+z_1 \hat{k} $$

ਅਤੇ $$ \vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k} $$

ਇਹਨਾਂ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ (1) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਕੇ ਅਤੇ $\hat{i}, \hat{j}$ ਅਤੇ $\hat{k}$ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$$ \begin{equation*} x=x _{1}+\lambda a ; \quad y=y _{1}+\lambda b ;\quad z=z _{1}+\lambda c \tag{2} \end{equation*} $$

ਇਹ ਰੇਖਾ ਦੇ ਪੈਰਾਮੈਟ੍ਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨ ਹਨ। ਪੈਰਾਮੀਟਰ $\lambda$ ਨੂੰ (2) ਤੋਂ ਹਟਾਉਣ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$$ \begin{equation*} \frac{x-x _{1}}{a}=\frac{y-y _{1}}{b}=\frac{z-z _{1}}{c} \tag{3} \end{equation*} $$

ਇਹ ਰੇਖਾ ਦਾ ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।

ਨੋਟ ਜੇਕਰ $l, m, n$ ਰੇਖਾ ਦੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ

$$ \frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n} $$

ਉਦਾਹਰਨ 6 ਬਿੰਦੂ $(5,2,-4)$ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਣ ਵਾਲੀ ਅਤੇ ਜੋ ਵੈਕਟਰ $3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}$ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹੈ, ਉਸ ਰੇਖਾ ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਅਤੇ ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ \vec{a}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k} \text{ and } \vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k} $$

ਇਸ ਲਈ, ਰੇਖਾ ਦਾ ਵੈਕਟਰ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ

$$ \vec{r}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}) $$

ਹੁਣ, $\vec{r}$ ਰੇਖਾ ‘ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ $P(x, y, z)$ ਦਾ ਸਥਿਤੀ ਵੈਕਟਰ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, $$\quad x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k})$$ $$ =(5+3 \lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(-4-8 \lambda) \hat{k} $$

$\lambda$ ਨੂੰ ਹਟਾਉਣ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$$ \frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+4}{-8} $$

ਜੋ ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ।

11.4 ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ

ਮੰਨ ਲਓ $L_1$ ਅਤੇ $L_2$ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਹਨ ਜੋ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤ $a_1, b_1, c_1$ ਅਤੇ $a_2, b_2, c_2$ ਰੱਖਦੀਆਂ ਹਨ। ਮੰਨ ਲਓ $P$, $L_1$ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਅਤੇ $Q$, $L_2$ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 11.6 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਅਨੁਸਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡਾਂ $OP$ ਅਤੇ $OQ$ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਮੰਨ ਲਓ $\theta$ OP ਅਤੇ OQ ਵਿਚਕਾਰ ਨਿਊਨ ਕੋਣ ਹੈ। ਹੁਣ ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਰੇਖਾ ਖੰਡ OP ਅਤੇ OQ ਵੈਕਟਰ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਘਟਕ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $a_1, b_1, c_1$ ਅਤੇ $a_2, b_2, c_2$ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਉਹਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ $\theta$, $\cos \theta=\left|\frac{a _{1} a _{2}+b _{1} b _{2}+c _{1} c _{2}}{\sqrt{a _{1}^{2}+b _{1}^{2}+c _{1}^{2}} \sqrt{a _{2}^{2}+b _{2}^{2}+c _{2}^{2}}}\right|$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।

$\sin \theta$ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ

$$ \begin{aligned} \sin \theta & =\sqrt{1-\cos ^{2} \theta} \\ & =\sqrt{1-\frac{(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2)^{2}}{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})}} \\ & =\frac{\sqrt{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})-(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2)^{2}}}{\sqrt{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})} \sqrt{(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})}} \\ & =\frac{\sqrt{(a_1 b_2-a_2 b_1)^{2}+(b_1 c_2-b_2 c_1)^{2}+(c_1 a_2-c_2 a_1)^{2}}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}} \end{aligned} $$

ਨੋਟ ਜੇਕਰ ਰੇਖਾਵਾਂ $L_1$ ਅਤੇ $L_2$ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਨਹੀਂ ਲੰਘਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਰੇਖਾਵਾਂ $L_1^{\prime}$ ਅਤੇ $L_2^{\prime}$ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $L_1$ ਅਤੇ $L_2$ ਦੇ ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹਨ ਅਤੇ ਮੂਲ ਬਿੰਦੂ ਵਿੱਚੋਂ ਲੰਘਦੀਆਂ ਹਨ।

ਜੇਕਰ ਰੇਖਾਵਾਂ $L_1$ ਅਤੇ $L_2$ ਲਈ ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤਾਂ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਦਿਸ਼ਾ ਕੋਸਾਈਨਾਂ, ਭਾਵ, $l_1, m_1, n_1$, $L_1$ ਲਈ ਅਤੇ $l_2, m_2, n_2$, $L_2$ ਲਈ ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ (1) ਅਤੇ (2) ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਫਾਰਮ ਲੈਂਦੇ ਹਨ:

$$ \cos \theta=|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2| \quad(\text{ as } l_1^{2}+m_1^{2}+n_1^{2}=1=l_2^{2}+m_2^{2}+n_2^{2}) $$

ਅਤੇ $$ \sin \theta=\sqrt{(l_1 m_2-l_2 m_1)^{2}-(m_1 n_2-m_2 n_1)^{2}+(n_1 l_2-n_2 l_1)^{2}} $$

ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤ $a_1, b_1, c_1$ ਅਤੇ $a_2, b_2, c_2$ ਵਾਲੀਆਂ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ

(i) ਲੰਬਵਤ ਹਨ ਭਾਵ ਜੇਕਰ $\theta=90^{\circ}$ (1) ਦੁਆਰਾ

$$ a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0 $$

(ii) ਸਮਾਨਾਂਤਰ ਹਨ ਭਾਵ ਜੇਕਰ $\theta=0$ (2) ਦੁਆਰਾ

⟦27⟍

ਹੁਣ, ਜਦੋਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹੋਣ ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦੋ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਲੱਭਦੇ ਹਾਂ। ਜੇਕਰ $\theta$ ਨਿਊਨ ਹੈ ਤਾਂ ਰੇਖਾਵਾਂ $\vec{r}=\vec{a} _{1}+\lambda \vec{b} _{1}$ ਅਤੇ $\vec{r}=\vec{a} _{2}+\mu \vec{b} _{2}$ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ। ਕਾਰਟੇਸ਼ੀਅਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ $\theta$ ਰੇਖਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਣ ਹੈ

ਤਾਂ $$ \begin{aligned} \cos \theta & =\left|\frac{\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2}{\left|\vec{b}_1\right|\left|\vec{b}_2\right|}\right|
\end{aligned} $$

$$ \frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1} \tag{1} $$

ਅਤੇ $$ \frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2} \tag{2} $$

ਜਿੱਥੇ, $a_1, b _{1,} c_1$ ਅਤੇ ⟦232⟍ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਰੇਖਾਵਾਂ (1) ਅਤੇ (2) ਦੇ ਦਿਸ਼ਾ ਅਨੁਪਾਤ ਹਨ, ਤਾਂ

$$ \cos \theta=|\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}}| $$

ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦਿੱਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਰੇਖਾਵ