ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ ਸਿਰਫ਼ ਤਰਕ ਦੀ ਵਿਗਿਆਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਮਾਤਰਾਤਮਕ ਇਲਾਜ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ - ਸੀ.ਐਸ. ਪੀਅਰਸ

13.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਪੀਅਰੇ ਡੀ ਫਰਮੈਟ $(1601-1665)$

ਪਿਛਲੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਪ੍ਰਯੋਗ ਵਿੱਚ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਤਾ ਦੇ ਮਾਪ ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਰੂਸੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ, ਏ.ਐਨ. ਕੋਲਮੋਗੋਰੋਵ (1903-1987) ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸੁਤਰਵਾਦੀ ਪਹੁੰਚ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਅਤੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਮੰਨਿਆ। ਅਸੀਂ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸੁਤਰਵਾਦੀ ਸਿਧਾਂਤ ਅਤੇ ਕਲਾਸੀਕਲ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਧਾਂਤ ਵਿਚਕਾਰ ਸਮਾਨਤਾ ਵੀ ਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਇਸ ਸੰਬੰਧ ਦੇ ਆਧਾਰ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਵੱਖਰੇ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸਾਂ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀਆਂ। ਅਸੀਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੇ ਜੋੜ ਨਿਯਮ ਦਾ ਵੀ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਦੀ ਸ਼ਰਤੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਧਾਰਨਾ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਹੋਰ ਘਟਨਾ ਵਾਪਰ ਚੁੱਕੀ ਹੈ, ਜੋ ਬੇਅਜ਼ ਦੇ ਪ੍ਰਮੇਯ, ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੇ ਗੁਣਾ ਨਿਯਮ ਅਤੇ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀ ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦਗਾਰ ਹੋਵੇਗੀ। ਅਸੀਂ ਬੇਤਰਤੀਬ ਚਰ ਦੀ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਧਾਰਨਾ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਅਤੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਦਾ ਮੱਧਮਾਨ ਅਤੇ ਪ੍ਰਸਰਣ ਵੀ ਸਿੱਖਾਂਗੇ। ਅਧਿਆਇ ਦੇ ਆਖਰੀ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਵੱਖਰੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੰਡ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿਸਨੂੰ ਦੋ-ਪਦੀ ਵੰਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪੂਰੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਜਦੋਂ ਤੱਕ ਹੋਰ ਨਾ ਕਿਹਾ ਜਾਵੇ, ਅਸੀਂ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਤੀਜੇ ਵਾਲੇ ਪ੍ਰਯੋਗਾਂ ਨੂੰ ਲਵਾਂਗੇ।

13.2 ਸ਼ਰਤੀ ਸੰਭਾਵਨਾ

ਹੁਣ ਤੱਕ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭਣ ਦੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕੋ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਤੋਂ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਕੀ ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਬਾਰੇ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦੂਜੀ ਘਟਨਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ? ਆਓ ਇਸ ਸਵਾਲ ਦਾ ਜਵਾਬ ਦੇਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰੀਏ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਪ੍ਰਯੋਗ ਨੂੰ ਲੈ ਕੇ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਨਤੀਜੇ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਹਨ।

ਤਿੰਨ ਨਿਰਪੱਖ ਸਿੱਕਿਆਂ ਨੂੰ ਟਾਸ ਕਰਨ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਪ੍ਰਯੋਗ ਦਾ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਹੈ

$$ \mathrm{S}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{TTT}\} $$

ਕਿਉਂਕਿ ਸਿੱਕੇ ਨਿਰਪੱਖ ਹਨ, ਅਸੀਂ ਹਰੇਕ ਨਮੂਨਾ ਬਿੰਦੂ ਨੂੰ ਸੰਭਾਵਨਾ $\frac{1}{8}$ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਮੰਨ ਲਓ $E$ ਘਟਨਾ ‘ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਦੋ ਸਿਰ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ’ ਅਤੇ $F$ ਘਟਨਾ ‘ਪਹਿਲਾ ਸਿੱਕਾ ਪੁੱਛ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ’ ਹੈ। ਫਿਰ

$\mathrm{E}=\{\mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\}$

ਜਾਂ $\mathrm{F}=\{ \mathrm{THH, THT, TTH, TTT} \}$

ਇਸ ਲਈ $$ \mathrm{P}(\mathrm{E})=\mathrm{P}(\{\mathrm{HHH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{HHT}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{HTH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\}) $$

$$ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} \text { (क्यों ?) } $$

ਜਾਂ $$ \mathrm{P}(\mathrm{F})=\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{THT}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{TTH}\})+\mathrm{P}(\{\mathrm{TTT}\}) $$

$$ =\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2} $$

$\mathrm{E} \cap \mathrm{F}=\{\mathrm{THH}\}$ ਨਾਲ

ਇਸ ਲਈ $\quad \mathrm{P}(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})=\mathrm{P}(\{\mathrm{THH}\})=\frac{1}{8}$

ਹੁਣ, ਮੰਨ ਲਓ ਸਾਨੂੰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਪਹਿਲਾ ਸਿੱਕਾ ਪੁੱਛ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ F ਵਾਪਰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ $E$ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ? $F$ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨਾਲ, ਅਸੀਂ ਯਕੀਨੀ ਹਾਂ ਕਿ ਉਹ ਮਾਮਲੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲਾ ਸਿੱਕਾ ਪੁੱਛ ਵਿੱਚ ਨਤੀਜਾ ਨਹੀਂ ਦਿੰਦਾ, $E$ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭਣ ਸਮੇਂ ਨਹੀਂ ਮੰਨੇ ਜਾਣੇ ਚਾਹੀਦੇ। ਇਹ ਜਾਣਕਾਰੀ ਘਟਨਾ $E$ ਲਈ ਸਾਡੇ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਸਮੂਹ $S$ ਤੋਂ ਇਸਦੇ ਉਪਸਮੂਹ $F$ ਵਿੱਚ ਘਟਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਵਾਧੂ ਜਾਣਕਾਰੀ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਸਾਨੂੰ ਦੱਸਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਥਿਤੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਵੇਂ ਬੇਤਰਤੀਬ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਉਨ੍ਹਾਂ ਸਾਰੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਿਰਫ਼ ਘਟਨਾ $F$ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਲਈ ਅਨੁਕੂਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਹੁਣ, $F$ ਦਾ ਨਮੂਨਾ ਬਿੰਦੂ ਜੋ ਘਟਨਾ $E$ ਲਈ ਅਨੁਕੂਲ ਹੈ, ਉਹ THH ਹੈ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $E$ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ, $F$ ਨੂੰ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ $=\frac{1}{4}$,

ਜਾਂ $\quad$ ਘਟਨਾ $E$ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ, ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਘਟਨਾ $F$ ਵਾਪਰ ਚੁੱਕੀ ਹੈ $=\frac{1}{4}$

ਘਟਨਾ $E$ ਦੀ ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ, $E$ ਦੀ ਸ਼ਰਤੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕਹਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ $F$ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਵਾਪਰ ਚੁੱਕਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ $P(E \mid F)$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ $\quad P(E \mid F)=\frac{1}{4}$

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ $F$ ਦੇ ਤੱਤ ਜੋ ਘਟਨਾ $E$ ਦਾ ਸਮਰਥਨ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਉਹ $E$ ਅਤੇ $F$ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਤੱਤ ਹਨ, ਯਾਨੀ $E \cap F$ ਦੇ ਨਮੂਨਾ ਬਿੰਦੂ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ $E$ ਦੀ ਸ਼ਰਤੀ ਸੰਭਾਵਨਾ, ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ $F$ ਵਾਪਰ ਚੁੱਕਾ ਹੈ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੀ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:

$$ \begin{aligned} P(E \mid F) & =\frac{\text{ Number of elementary events favourable to } E \cap F}{\text{ Number of elementary events which are favourable to } F} \\ & =\frac{n(E \cap F)}{n(F)} \end{aligned} $$

ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਦੇ ਕੁੱਲ ਪ੍ਰਾਥਮਿਕ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੁਆਰਾ ਅੰਸ਼ ਅਤੇ ਹਰ ਨੂੰ ਵੰਡ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $P(EIF)$ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

$$ P(E \mid F)=\frac{\frac{n(E \cap F)}{n(S)}}{\frac{n(F)}{n(S)}}=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \tag{1} $$

ਨੋਟ ਕਰੋ ਕਿ (1) ਤਾਂ ਹੀ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ $P(F) \neq 0$ ਯਾਨੀ, $F \neq \phi$ (ਕਿਉਂ?) ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਸ਼ਰਤੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 1 ਜੇਕਰ $E$ ਅਤੇ $F$ ਇੱਕ ਬੇਤਰਤੀਬ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਇੱਕੋ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਘਟਨਾ $E$ ਦੀ ਸ਼ਰਤੀ ਸੰਭਾਵਨਾ, ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ $F$ ਵਾਪਰ ਚੁੱਕਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ $P(E \mid F)$, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ:

$$ P(EIF)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)} \text{ provided } P(F) \neq 0 $$

13.2.1 ਸ਼ਰਤੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੇ ਗੁਣ

ਮੰਨ ਲਓ $E$ ਅਤੇ $F$ ਇੱਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ $S$ ਦੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

ਗੁਣ $1 P(S \mid F)=P(F \mid F)=1$

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $$ \mathrm{P}(\mathrm{S} \mid \mathrm{F})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{S} \cap \mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{F})}{\mathrm{P}(\mathrm{F})}=1 $$

ਇਸ ਲਈ $$ P(F \mid F)=\frac{P(F \cap F)}{P(F)}=\frac{P(F)}{P(F)}=1 $$

ਜਾਂ $$ \mathrm{P}(\mathrm{S} \mid \mathrm{F})=\mathrm{P}(\mathrm{F} \mid \mathrm{F})=1 $$

ਗੁਣ 2 ਜੇਕਰ $A$ ਅਤੇ $B$ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ $S$ ਦੀਆਂ ਕੋਈ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ ਅਤੇ $F$, $S$ ਦੀ ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $P(F) \neq 0$, ਤਾਂ

$$ P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F)-P((A \cap B) \mid F) $$

ਖਾਸ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਜੇਕਰ $A$ ਅਤੇ $B$ ਵੱਖਰੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ

ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ $$ P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F) $$

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ $$ \begin{aligned} P((A \cup B) \mid F) & =\frac{P[(A \cup B) \cap F]}{P(F)} \\ & =\frac{P[(A \cap F) \cup(B \cap F)]}{P(F)} \end{aligned} $$

(ਸਮੂਹਾਂ ਦੇ ਮਿਲਾਪ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਚੜੇ ਦੇ ਵੰਡ ਨਿਯਮ ਦੁਆਰਾ)

$$ \begin{aligned} & =\frac{P(A \cap F)+P(B \cap F)-P(A \cap B \cap F)}{P(F)} \\ & =\frac{P(A \cap F)}{P(F)}+\frac{P(B \cap F)}{P(F)}-\frac{P[(A \cap B) \cap F]}{P(F)} \\ & =P(A \mid F)+P(B \mid F)-P((A \cap B) \mid F) \end{aligned} $$

ਜਦੋਂ $A$ ਅਤੇ $B$ ਵੱਖਰੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ

$$ \begin{matrix}
& P((A \cap B) \mid F)=0 \\ \Rightarrow \quad & P((A \cup B) \mid F)=P(A \mid F)+P(B \mid F) \end{matrix} $$

ਜਦੋਂ $\mathrm{A}$ ਅਤੇ $\mathrm{B}$ ਵੱਖਰੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ, ਤਾਂ $\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \mid F)+\mathrm{P}(\mathrm{B} \mid \mathrm{F})$

ਗੁਣ $3 P(E^{\prime} \mid F)=1-P(E \mid F)$

ਗੁਣ 1 ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $P(SIF)=1$

$$ \begin{matrix} \Rightarrow & P(E \cup E^{\prime} \mid F)=1 & \text{ since } S=E \cup E^{\prime} \\ \Rightarrow & P(E \mid F)+P(E^{\prime} \mid F)=1 & \text{ since } E \text{ and } E^{\prime} \text{ are disjoint events } \\ \text{ Thus, } & P(E^{\prime} \mid F)=1-P(E \mid F) & \end{matrix} $$

ਆਓ ਹੁਣ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਲਈਏ।

ਉਦਾਹਰਣ 1 ਜੇਕਰ $P(A)=\frac{7}{13}, P(B)=\frac{9}{13}$ ਅਤੇ $P(A \cap B)=\frac{4}{13}$, ਤਾਂ $P(A \mid B)$ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ $P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{13}}{\frac{9}{13}}=\frac{4}{9}$

ਉਦਾਹਰਣ 2 ਇੱਕ ਪਰਿਵਾਰ ਦੇ ਦੋ ਬੱਚੇ ਹਨ। ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਬੱਚੇ ਲੜਕੇ ਹਨ, ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਉਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਲੜਕਾ ਹੈ?

ਹੱਲ ਮੰਨ ਲਓ $b$ ਲੜਕੇ ਲਈ ਅਤੇ $g$ ਲੜਕੀ ਲਈ ਖੜ੍ਹਾ ਹੈ। ਪ੍ਰਯੋਗ ਦਾ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਹੈ

$$ S=\{(b, b),(g, b),(b, g),(g, g)\} $$

ਮੰਨ ਲਓ $E$ ਅਤੇ $F$ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ:

E: ‘ਦੋਵੇਂ ਬੱਚੇ ਲੜਕੇ ਹਨ’

$F$: ‘ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਬੱਚਾ ਲੜਕਾ ਹੈ’

ਫਿਰ $$E=\{(b, b)\} and F=\{(b, b),(g, b),(b, g)\}$$

ਹੁਣ $$E \cap F=\{(b, b)\}$$

ਇਸ ਲਈ $$ P(F)=\frac{3}{4} \text{ and } P(E \cap F)=\frac{1}{4} $$

ਇਸ ਲਈ $$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3} $$

ਉਦਾਹਰਣ 3 1 ਤੋਂ 10 ਤੱਕ ਨੰਬਰ ਵਾਲੀਆਂ ਦਸ ਕਾਰਡਾਂ ਇੱਕ ਬਕਸੇ ਵਿੱਚ ਰੱਖੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਚੰਗੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਮਿਲਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫਿਰ ਇੱਕ ਕਾਰਡ ਬੇਤਰਤੀਬੀ ਨਾਲ ਕੱਢਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੱਢੇ ਗਏ ਕਾਰਡ ‘ਤੇ ਨੰਬਰ 3 ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕ ਜਿਸਤ ਨੰਬਰ ਹੈ?

ਹੱਲ ਮੰਨ ਲਓ A ਘਟਨਾ ‘ਕੱਢੇ ਗਏ ਕਾਰਡ ‘ਤੇ ਨੰਬਰ ਜਿਸਤ ਹੈ’ ਅਤੇ B ਘਟਨਾ ‘ਕੱਢੇ ਗਏ ਕਾਰਡ ‘ਤੇ ਨੰਬਰ 3 ਤੋਂ ਵੱਧ ਹੈ’ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ $P(AlB)$ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਹੈ।

ਹੁਣ, ਪ੍ਰਯੋਗ ਦਾ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਹੈ $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$

ਫਿਰ $$ A=\{2,4,6,8,10\}, B=\{4,5,6,7,8,9,10\} $$

ਅਤੇ $$ A \cap B=\{4,6,8,10\} $$

ਅਤੇ $$ P(A)=\frac{5}{10}, P(B)=\frac{7}{10} \text{ and } P(A \cap B)=\frac{4}{10} $$

$$ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{4}{10}}{\frac{7}{10}}=\frac{4}{7} $$

ਉਦਾਹਰਣ 4 ਇੱਕ ਸਕੂਲ ਵਿੱਚ, 1000 ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ 430 ਲੜਕੀਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ $430,10 \%$ ਲੜਕੀਆਂ ਕਲਾਸ XII ਵਿੱਚ ਪੜ੍ਹਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ ਕਿ ਬੇਤਰਤੀਬੀ ਨਾਲ ਚੁਣਿਆ ਗਿਆ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਕਲਾਸ XII ਵਿੱਚ ਪੜ੍ਹਦਾ ਹੈ, ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਚੁਣਿਆ ਗਿਆ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਇੱਕ ਲੜਕੀ ਹੈ?

ਹੱਲ ਮੰਨ ਲਓ E ਉਸ ਘਟਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਬੇਤਰਤੀਬੀ ਨਾਲ ਚੁਣਿਆ ਗਿਆ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਕਲਾਸ XII ਵਿੱਚ ਪੜ੍ਹਦਾ ਹੈ ਅਤੇ $F$ ਉਸ ਘਟਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਬੇਤਰਤੀਬੀ ਨਾਲ ਚੁਣਿਆ ਗਿਆ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਇੱਕ ਲੜਕੀ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ $P(EIF)$ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਹੈ।

ਹੁਣ $\quad P(F)=\frac{430}{1000}=0.43$ ਅਤੇ $P(E \cap F)=\frac{43}{1000}=0.043$ (ਕਿਉਂ?)

ਫਿਰ $$\quad P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{0.043}{0.43}=0.1$$

ਉਦਾਹਰਣ 5 ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਤਿੰਨ ਵਾਰ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਘਟਨਾਵਾਂ A ਅਤੇ B ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਅਨੁਸਾਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ:

A: ਤੀਜੀ ਸੁੱਟ ‘ਤੇ 4

B: ਪਹਿਲੀ ਸੁੱਟ ‘ਤੇ 6 ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਸੁੱਟ ‘ਤੇ 5

A ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ B ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਵਾਪਰ ਚੁੱਕਾ ਹੈ।

ਹੱਲ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਦੇ 216 ਨਤੀਜੇ ਹਨ।

ਹੁਣ

$\mathrm{A} =\left\lbrace \begin{array}{ccccccc} (1,1,4) & (1,2,4) & \ldots & (1,6,4) & (2,1,4)& (2,2,4)& \ldots & (2,6,4) \\
(3,1,4) & (3,2,4) &\ldots & (3,6,4)& (4,1,4)& (4,2,4) &\ldots &(4,6,4) \\ (5,1,4) & (5,2,4) & \ldots & (5,6,4)& (6,1,4)&(6,2,4)& \ldots &(6,6,4) \\ \end{array}\right\rbrace $

$$ \begin{aligned} & B=\{(6,5,1),(6,5,2),(6,5,3),(6,5,4),(6,5,5),(6,5,6)\} \end{aligned} $$

ਅਤੇ $$ A \cap B=\{(6,5,4)\} . $$

ਹੁਣ $$ P(B)=\frac{6}{216} \text{ and } P(A \cap B)=\frac{1}{216} $$

ਫਿਰ $$ P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{216}}{\frac{6}{216}}=\frac{1}{6} $$

ਉਦਾਹਰਣ 6 ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਦਿਖਾਈ ਦੇਣ ਵਾਲੇ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 6 ਦੇਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸ਼ਰਤੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ ਕਿ ਨੰਬਰ 4 ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਵਾਰ ਦਿਖਾਈ ਦਿੱਤਾ ਹੈ?

ਹੱਲ ਮੰਨ ਲਓ $E$ ਉਹ ਘਟਨਾ ਹੈ ਕਿ ‘ਨੰਬਰ 4 ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਵਾਰ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ’ ਅਤੇ $F$ ਉਹ ਘਟਨਾ ਹੈ ਕਿ ‘ਦਿਖਾਈ ਦੇਣ ਵਾਲੇ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਜੋੜ 6 ਹੈ’।

ਫਿਰ, $$ \begin{aligned} & E=\{(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(1,4),(2,4),(3,4),(5,4),(6,4)\} \\ & F=\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\} \end{aligned} $$

ਅਤੇ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ $$ P(E)=\frac{11}{36} \text{ and } P(F)=\frac{5}{36} $$

ਅਤੇ $$ E \cap F=\{(2,4),(4,2)\} $$

ਇਸ ਲਈ $$ P(E \cap F)=\frac{2}{36} $$

ਇਸ ਲਈ, ਲੋੜੀਂਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ $$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{2}{36}}{\frac{5}{36}}=\frac{2}{5} $$

ਉੱਪਰ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਸ਼ਰਤੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਾਥਮਿਕ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਮੰਨਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਸੰਬੰਧਿਤ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਰਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹੋ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਆਮ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਵੀ ਵਰਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਾਥਮਿਕ ਘਟਨਾਵਾਂ ਬਰਾਬਰ ਸੰਭਾਵਿਤ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ $P(E \cap F)$ ਅਤੇ $P(F)$ ਉਸ ਅਨੁਸਾਰ ਗਣਨਾ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਆਓ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਉਦਾਹਰਣ ਲਈਏ।

ਉਦਾਹਰਣ 7 ਇੱਕ ਸਿੱਕੇ ਨੂੰ ਟਾਸ ਕਰਨ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਜੇਕਰ ਸਿੱਕਾ ਸਿਰ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਨੂੰ ਦੁਬਾਰਾ ਟਾਸ ਕਰੋ ਪਰ ਜੇਕਰ ਇਹ ਪੁੱਛ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਪਾਸਾ ਸੁੱਟੋ। ਘਟਨਾ ‘ਪਾਸੇ ‘ਤੇ 4 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਨੰਬਰ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ’ ਦੀ ਸ਼ਰਤੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਪਤਾ ਕਰੋ, ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ‘ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਪੁੱਛ ਹੈ’।

ਹੱਲ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਚਿੱਤਰਾਤਮਕ ਢੰਗ ਨਾਲ ਦਰਸਾਏ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜਿਸਨੂੰ ‘ਟਰੀ ਡਾਇਗ੍ਰਾਮ’ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

$ S=\{(H, H),(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3),(T, 4),(T, 5),(T, 6)\} $

ਜਿੱਥੇ $(H, H)$ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਟਾਸ ਸਿਰ ਵਿੱਚ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ $(T, i)$ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਪਹਿਲੀ ਟਾਸ ਪੁੱਛ ਵਿੱਚ ਨਤੀਜਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਨੰਬਰ $i$ ਪਾਸੇ ‘ਤੇ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, $i=1,2,3,4,5,6$ ਲਈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, 8 ਪ੍ਰਾਥਮਿਕ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ

$(H, H),(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3)(T, 4),(T, 5),(T, 6)$ ਹਨ $\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}, \frac{1}{12}$ ਕ੍ਰਮਵਾਰ

ਜੋ ਚਿੱਤਰ 13.2 ਤੋਂ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ।

ਮੰਨ ਲਓ $F$ ਘਟਨਾ ਹੈ ਕਿ ‘ਘੱਟੋ-ਘੱਟ ਇੱਕ ਪੁੱਛ ਹੈ’ ਅਤੇ $E$ ਘਟਨਾ ਹੈ ‘ਪਾਸੇ ‘ਤੇ 4 ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਨੰਬਰ ਦਿਖਾਈ ਦਿੰਦਾ ਹੈ’।

ਫਿਰ $$ \begin{aligned} & F=\{(H, T),(T, 1),(T, 2),(T, 3),(T, 4),(T, 5),(T, 6)\} \\ & E=\{(T, 5),(T, 6)\} \text{ and } E \cap F=\{(T, 5),(T, 6)\} \end{aligned} $$

ਹੁਣ $$ \begin{aligned} P(F)= & P(\{(H, T)\})+P(\{(T, 1)\})+P(\{(T, 2)\})+P(\{(T, 3)\}) \\ & +P(\{(T, 4)\})+P(\{(T, 5)\})+P(\{(T, 6)\}) \\ = & \frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4} \end{aligned} $$

ਅਤੇ $\quad P(E \cap F)=P(\{(T, 5)\})+P(\{(T, 6)\})=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$

ਇਸ ਲਈ $\quad P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{4}}=\frac{2}{9}$

13.3 ਸੰਭਾਵਨਾ ‘ਤੇ ਗੁਣਾ ਪ੍ਰਮੇਯ

ਮੰਨ ਲਓ $E$ ਅਤੇ $F$ ਨਮੂਨਾ ਸਪੇਸ $S$ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਦੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਹਨ। ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ, ਸਮੂਹ $E \cap F$ ਉਸ ਘਟਨਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵੇਂ $E$ ਅਤੇ $F$ ਵਾਪਰ ਚੁੱਕੇ ਹਨ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, $E \cap F$ ਘਟਨਾਵਾਂ $E$ ਅਤੇ $F$ ਦੇ ਇਕੱਠੇ ਵਾਪਰਨ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਘਟਨਾ $E \cap F$ ਨੂੰ $EF$ ਵਜੋਂ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਬਹੁਤ ਵਾਰ ਸਾਨੂੰ ਘਟਨਾ EF ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, ਦੋ ਕਾਰਡਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਕੱਢਣ ਦੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਵਿੱਚ, ਸਾਨੂੰ ਘਟਨਾ ‘ਇੱਕ ਰਾਜਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਰਾਣੀ’ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਘਟਨਾ EF ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸ਼ਰਤੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਘਟਨਾ $E$ ਦੀ ਸ਼ਰਤੀ ਸੰਭਾਵਨਾ, ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ $F$ ਵਾਪਰ ਚੁੱਕਾ ਹੈ, ਨੂੰ $P(E \mid F)$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ:

$$ P(E \mid F)=\frac{P(E \cap F)}{P(F)}, P(F) \neq 0 $$

ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:

$$ P(E \cap F)=P(F) . P(E \mid F) \tag{1} $$

ਅਤੇ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ

$$ \begin{aligned} & P(F \mid E)=\frac{P(F \cap E)}{P(E)}, P(E) \neq 0 \\ & P(F \mid E)=\frac{P(E \cap F)}{P(E)}(\text{ since } E \cap F=F \cap E) \end{aligned} $$

ਇਸ ਲਈ, $$ P(E \cap F)=P(E) . P(F \mid E) \tag{2} $$

(1) ਅਤੇ (2) ਨੂੰ ਮਿਲਾ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ

$$ \begin{aligned} P(E \cap F) & =P(E) P(F \mid E) \\ & =P(F) P(E \mid F) \text{ provided } P(E) \neq 0 \text{ and } P(F) \neq 0 . \end{aligned} $$

ਉੱਪਰਲਾ ਨਤੀਜਾ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੇ ਗੁਣਾ ਨਿਯਮ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਆਓ ਹੁਣ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਣ ਲਈਏ।

ਉਦਾਹਰਣ 8 ਇੱਕ ਕਲਸੀ ਵਿੱਚ 10 ਕਾਲੀਆਂ ਅਤੇ 5 ਚਿੱਟੀਆਂ ਗੇਂਦਾਂ ਹਨ। ਕਲਸੀ ਵਿੱਚੋਂ ਦੋ ਗੇਂਦਾਂ ਬਿਨਾਂ ਬਦਲੇ ਇੱਕ ਤੋਂ ਬਾਅਦ ਇੱਕ ਕੱਢੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਕੀ ਹੈ ਕਿ ਦੋਵੇਂ ਕੱਢੀਆਂ ਗਈਆਂ ਗੇਂਦਾਂ ਕਾਲੀਆਂ ਹਨ?

ਹੱਲ ਮੰਨ ਲਓ $E$ ਅਤੇ $F$ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਉਹ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਪਹਿਲੀ ਅਤੇ ਦੂਜੀ ਕੱਢੀ ਗਈ ਗੇਂਦ ਕਾਲੀ ਹੈ। ਸਾਨੂੰ $P(E \cap F)$ ਜਾਂ $P(EF)$ ਪਤਾ ਕਰਨਾ ਹੈ।

ਹੁਣ $$ P(E)=P(\text{ black ball in first draw })=\frac{10}{15} $$

ਅਤੇ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਪਹਿਲੀ ਕੱਢੀ ਗਈ ਗੇਂਦ ਕਾਲੀ ਹੈ, ਯਾਨੀ, ਘਟਨਾ $E$ ਵਾਪਰ ਚੁੱਕੀ ਹੈ, ਹੁਣ ਕਲਸੀ ਵਿੱਚ 9 ਕਾਲੀਆਂ ਗੇ