ਦੁਨੀਆ ਵਿੱਚ ਬਦਸੂਰਤ ਗਣਿਤ ਲਈ ਕੋਈ ਸਥਾਈ ਥਾਂ ਨਹੀਂ ਹੈ … . ਗਣਿਤੀ ਸੁੰਦਰਤਾ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਬਹੁਤ ਮੁਸ਼ਕਿਲ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਪਰ ਇਹ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕਿਸਮ ਦੀ ਸੁੰਦਰਤਾ ਲਈ ਵੀ ਉੱਤੇ ਹੀ ਸੱਚ ਹੈ, ਸ਼ਾਇਦ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੁੰਦਰ ਕਵਿਤਾ ਦਾ ਕੀ ਮਤਲਬ ਹੈ ਇਹ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਹੀਂ ਜਾਣਦੇ, ਪਰ ਇਹ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਨੂੰ ਪੜ੍ਹਨ ਤੇ ਪਛਾਣਨ ਤੋਂ ਨਹੀਂ ਰੋਕਦਾ। - G. H. HARDY

1.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਯਾਦ ਕਰੋ ਕਿ ਸਬੰਧਾਂ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਧਾਰਨਾ, ਡੋਮੇਨ, ਕੋ-ਡੋਮੇਨ ਅਤੇ ਰੇਂਜ ਦੀ ਜਾਣ-ਪਛਾਣ ਕਲਾਸ XI ਵਿੱਚ ਕਰਵਾਈ ਗਈ ਸੀ, ਨਾਲ ਹੀ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਖਾਸ ਵਾਸਤਵਿਕ ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ ਵੀ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਨ। ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ‘ਸਬੰਧ’ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸਬੰਧ ਦੇ ਅਰਥਾਂ ਤੋਂ ਲਈ ਗਈ ਹੈ, ਜਿਸ ਅਨੁਸਾਰ ਦੋ ਵਸਤੂਆਂ ਜਾਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਸਬੰਧਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੇਕਰ ਉਹਨਾਂ ਵਸਤੂਆਂ ਜਾਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਈ ਪਛਾਣਯੋਗ ਜੁੜਾਅ ਜਾਂ ਲਿੰਕ ਹੋਵੇ। ਮੰਨ ਲਓ A ਕਿਸੇ ਸਕੂਲ ਦੀ ਕਲਾਸ XII ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਅਤੇ B ਉਸੇ ਸਕੂਲ ਦੀ ਕਲਾਸ XI ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ। ਤਾਂ $A$ ਤੋਂ $B$ ਤੱਕ ਸਬੰਧਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨ ਹਨ

(i) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a is brother of b}\}$

(ii) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a is sister of b}\}$,

ਲੇਜੂਨ ਡਿਰਿਚਲੇ (1805-1859)

(iii) $\{(a, b) \in A \times B : \text{age of a is greater than age of b}\}$,

(iv) $\{(a, b) \in A \times B$ : a ਦੁਆਰਾ ਅੰਤਿਮ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੁੱਲ ਅੰਕ, b ਦੁਆਰਾ ਅੰਤਿਮ ਪ੍ਰੀਖਿਆ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੁੱਲ ਅੰਕਾਂ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹਨ $\}$

(v) $\{(a, b) \in A \times B: a$, $b\}$ ਦੇ ਉਸੇ ਇਲਾਕੇ ਵਿੱਚ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸ ਤੋਂ ਅਮੂਰਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਗਣਿਤੀ ਤੌਰ ‘ਤੇ $A$ ਤੋਂ $B$ ਤੱਕ ਇੱਕ ਸਬੰਧ $R$ ਨੂੰ $A \times B$ ਦੇ ਇੱਕ ਮਨਮਰਜ਼ੀ ਉਪਸਮੂਹ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਜੇਕਰ $(a, b) \in R$, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $a$, ਸਬੰਧ $R$ ਦੇ ਅਧੀਨ $b$ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ $a R b$ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ। ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ, $(a, b) \in R$, ਅਸੀਂ ਇਸ ਗੱਲ ਦੀ ਪਰਵਾਹ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਕਿ ਕੀ $a$ ਅਤੇ $b$ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਈ ਪਛਾਣਯੋਗ ਜੁੜਾਅ ਜਾਂ ਲਿੰਕ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ। ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਕਲਾਸ XI ਵਿੱਚ ਦੇਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਖਾਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸਬੰਧ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਸਬੰਧਾਂ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸੰਰਚਨਾ, ਉਲਟਾਉਣਯੋਗ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਬਾਈਨਰੀ ਆਪਰੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ।

1.2 ਸਬੰਧਾਂ ਦੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ

ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਸਬੰਧਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਸਮੂਹ $A$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਬੰਧ $A \times A$ ਦਾ ਇੱਕ ਉਪਸਮੂਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਖਾਲੀ ਸਮੂਹ $\phi$ ਅਤੇ $A \times A$ ਦੋ ਅਤਿ ਸਬੰਧ ਹਨ। ਦ੍ਰਿਸ਼ਟਾਂਤ ਲਈ, ਸਮੂਹ $A=\{1,2,3,4\}$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਬੰਧ $R$ ਨੂੰ ਲਓ ਜੋ $R=\{(a, b): a-b=10\}$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਖਾਲੀ ਸਮੂਹ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਜੋੜਾ $(a, b)$ ਸ਼ਰਤ $a-b=10$ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $R^{\prime}=\{(a, b):|a-b| \geq 0\}$ ਪੂਰਾ ਸਮੂਹ $A \times A$ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ A $\times$ A ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਜੋੜੇ $(a, b)$, $|a-b| \geq 0$ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਦੋ ਅਤਿ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਸਾਨੂੰ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 1 ਇੱਕ ਸਮੂਹ $A$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਬੰਧ $R$ ਨੂੰ ਖਾਲੀ ਸਬੰਧ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੇਕਰ $A$ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਤੱਤ $A$ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤੱਤ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਨਾ ਹੋਵੇ, ਯਾਨੀ, $R=\phi \subset A \times A$.

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 2 ਇੱਕ ਸਮੂਹ $A$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਬੰਧ $R$ ਨੂੰ ਸਰਵ-ਵਿਆਪਕ ਸਬੰਧ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੇਕਰ $A$ ਦਾ ਹਰੇਕ ਤੱਤ $A$ ਦੇ ਹਰੇਕ ਤੱਤ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹੋਵੇ, ਯਾਨੀ, $R=A \times A$.

ਖਾਲੀ ਸਬੰਧ ਅਤੇ ਸਰਵ-ਵਿਆਪਕ ਸਬੰਧ ਦੋਵੇਂ ਕਈ ਵਾਰ ਤੁੱਛ ਸਬੰਧ ਕਹਾਉਂਦੇ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਨ 1 ਮੰਨ ਲਓ $A$ ਇੱਕ ਲੜਕਿਆਂ ਦੇ ਸਕੂਲ ਦੇ ਸਾਰੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ। ਦਿਖਾਓ ਕਿ $A$ ਵਿੱਚ ਸਬੰਧ $R$ ਜੋ $R=\{(a, b): a$, $b\}$ ਦੀ ਭੈਣ ਹੈ, ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਖਾਲੀ ਸਬੰਧ ਹੈ ਅਤੇ $R^{\prime}=\{(a, b):$, $a$ ਅਤੇ $b$ ਦੀਆਂ ਉਚਾਈਆਂ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ 3 ਮੀਟਰ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ $\}$, ਸਰਵ-ਵਿਆਪਕ ਸਬੰਧ ਹੈ।

ਹੱਲ ਕਿਉਂਕਿ ਸਕੂਲ ਲੜਕਿਆਂ ਦਾ ਸਕੂਲ ਹੈ, ਸਕੂਲ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਸਕੂਲ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਦੀ ਭੈਣ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ। ਇਸ ਲਈ, $R=\phi$, ਜੋ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ $R$ ਖਾਲੀ ਸਬੰਧ ਹੈ। ਇਹ ਵੀ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਸਕੂਲ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਵਿਦਿਆਰਥੀਆਂ ਦੀਆਂ ਉਚਾਈਆਂ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ 3 ਮੀਟਰ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਣਾ ਹੈ। ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ $R^{\prime}=A \times A$ ਸਰਵ-ਵਿਆਪਕ ਸਬੰਧ ਹੈ।

ਟਿੱਪਣੀ ਕਲਾਸ XI ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦੇ ਦੋ ਤਰੀਕੇ ਦੇਖੇ ਹਨ, ਯਾਨੀ ਰਾਸਟਰ ਵਿਧੀ ਅਤੇ ਸਮੂਹ-ਨਿਰਮਾਤਾ ਵਿਧੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇੱਕ ਸਬੰਧ $R$ ਸਮੂਹ $\{1,2,3,4\}$ ਵਿੱਚ ਜੋ $R$ $=\{(a, b): b=a+1\}$ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਲੇਖਕਾਂ ਦੁਆਰਾ $a R b$ ਜੇਕਰ ਅਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਜੇਕਰ $b=a+1$ ਵਜੋਂ ਵੀ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਵੀ ਇਸ ਸੰਕੇਤਨੂੰ, ਜਦੋਂ ਵੀ ਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੋਵੇ, ਵਰਤ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਜੇਕਰ $(a, b) \in R$, ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $a$, $b$ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ $a R b$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।

ਸਭ ਤੋਂ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸਬੰਧਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ, ਜੋ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਭੂਮਿਕਾ ਨਿਭਾਉਂਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਸਮਾਨਤਾ ਸਬੰਧ ਹੈ। ਸਮਾਨਤਾ ਸਬੰਧ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਤਿੰਨ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਸਬੰਧਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਯਾਨੀ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬੀ, ਸਮਮਿਤ ਅਤੇ ਸੰਚਾਰੀ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 3 ਇੱਕ ਸਮੂਹ $A$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਬੰਧ $R$ ਨੂੰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

(i) ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬੀ, ਜੇਕਰ $(a, a) \in R$, ਹਰੇਕ $a \in A$ ਲਈ,

(ii) ਸਮਮਿਤ, ਜੇਕਰ $(a_{1}, a_{2}) \in R$ ਇਹ ਸੂਚਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ $(a_{2}, a_{1}) \in R$, ਸਾਰੇ $a_{1}, a_{2} \in A$ ਲਈ।

(iii) ਸੰਚਾਰੀ, ਜੇਕਰ $(a_{1}, a_{2}) \in R$ ਅਤੇ $(a_{2}, a_{3}) \in R$ ਇਹ ਸੂਚਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ $(a_{1}, a_{3}) \in R$, ਸਾਰੇ $a_{1}, a_{2}$, $a_{3} \in A$ ਲਈ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 4 ਇੱਕ ਸਮੂਹ $A$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਬੰਧ $R$ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਾਨਤਾ ਸਬੰਧ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ $R$ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬੀ, ਸਮਮਿਤ ਅਤੇ ਸੰਚਾਰੀ ਹੋਵੇ।

ਉਦਾਹਰਨ 2 ਮੰਨ ਲਓ $T$ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਅਤੇ $T$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਬੰਧ $R$, $R=\{(T_{1}, T_{2}): T_{1}.$, $.T_{2}\}$ ਨਾਲ ਸਰੂਪ ਹੈ, ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਦਿਖਾਓ ਕਿ $R$ ਇੱਕ ਸਮਾਨਤਾ ਸਬੰਧ ਹੈ।

ਹੱਲ $R$ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਹਰ ਤਿਕੋਣ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਸਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ, $(T_{1}, T_{2}) \in R \Rightarrow T_{1}$, $T_{2} \Rightarrow T_{2}$ ਨਾਲ ਸਰੂਪ ਹੈ, ਤਾਂ $T_{1} \Rightarrow(T_{2}, T_{1}) \in R$, $R$ ਨਾਲ ਸਰੂਪ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $(T_{1}, T_{2}),(T_{2}, T_{3}) \in R \Rightarrow T_{1}$ ਸਮਮਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, $T_{2}$, $T_{2}$ ਨਾਲ ਸਰੂਪ ਹੈ ਅਤੇ $T_{3} \Rightarrow T_{1}$, $T_{3} \Rightarrow(T_{1}, T_{3}) \in R$ ਨਾਲ ਸਰੂਪ ਹੈ, ਤਾਂ $R$, $ Let L$ ਨਾਲ ਸਰੂਪ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $R$ ਇੱਕ ਸਮਾਨਤਾ ਸਬੰਧ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 3 ਮੰਨ ਲਓ $L$ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਸਾਰੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਅਤੇ $.L_{2}\}$ ਵਿੱਚ ਸਬੰਧ $R=\{(L_{1}, L_{2}): L_{1}.$ ਨੂੰ $R$, $R$ ‘ਤੇ ਲੰਬ ਹੈ, ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਦਿਖਾਓ ਕਿ $L_{1}$ ਸਮਮਿਤ ਹੈ ਪਰ ਨਾ ਤਾਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬੀ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਸੰਚਾਰੀ।

ਹੱਲ $(L_{1}, L_{1})$ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬੀ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਰੇਖਾ $\notin R$ ਆਪਣੇ ਆਪ ‘ਤੇ ਲੰਬ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ, ਯਾਨੀ, $(L_{1}, L_{2}) \in R$ $R$. R ਸਮਮਿਤ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ $L_{1}$

$$ \begin{array}{ll} \Rightarrow & L_{1} \text { is perpendicular to } L_{2} \\ \Rightarrow & L_{2} \text { is perpendicular to } L_{1} \\ \Rightarrow & (L_{2}, L_{1}) \in R . \end{array} $$

$L_{2}$ ਸੰਚਾਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਵਾਸਤਵ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ $L_{2}$, $L_{3}$ ‘ਤੇ ਲੰਬ ਹੈ ਅਤੇ $L_{1}$, $L_{3}$ ‘ਤੇ ਲੰਬ ਹੈ, ਤਾਂ $L_{1}$ ਕਦੇ ਵੀ $L_{3}$ ‘ਤੇ ਲੰਬ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, $(L_{1}, L_{2}) \in R,(L_{2}, L_{3}) \in R$, $(L_{1}, L_{3}) \notin R$ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਹੈ, ਯਾਨੀ, $R$ ਪਰ $\{1,2,3\}$.

ਚਿੱਤਰ 1.1

ਉਦਾਹਰਨ 4 ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਸਮੂਹ $R$ ਵਿੱਚ ਸਬੰਧ $\{(1,1),(2,2), (3,3),(1,2),(2,3)\}$, R=$(1,1),(2,2)$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬੀ ਹੈ ਪਰ ਨਾ ਤਾਂ ਸਮਮਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਸੰਚਾਰੀ।

ਹੱਲ $(3,3)$ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ $R$ ਅਤੇ $R$, $(1,2) \in R$ ਵਿੱਚ ਪਏ ਹਨ। ਇਹ ਵੀ, $(2,1) \notin R$ ਸਮਮਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ $R$ ਪਰ $(1,2) \in R$. ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $(2,3) \in R$ ਸੰਚਾਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ $(1,3) \notin R$ ਅਤੇ $R$ ਪਰ $\mathbf{Z}$.

ਉਦਾਹਰਨ 5 ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਪੂਰਨਾਂਕਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ $R$ ਵਿੱਚ ਸਬੰਧ $R=\{(a, b): 2 \text { divides } a-b\}$, $(a-a)$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਇੱਕ ਸਮਾਨਤਾ ਸਬੰਧ ਹੈ।

ਹੱਲ $a \in \mathbf{Z}$ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ 2, ਸਾਰੇ $(a, b) \in R$ ਲਈ $a-b$ ਨੂੰ ਵੰਡਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ, ਜੇਕਰ $b-a$, ਤਾਂ 2, $(b, a) \in R$ ਨੂੰ ਵੰਡਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, 2, $R$ ਨੂੰ ਵੰਡਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $(a, b) \in R$, ਜੋ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ $(b, c) \in R$ ਸਮਮਿਤ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ $a-b$ ਅਤੇ $b-c$, ਤਾਂ $a-c=(a-b)+(b-c)$ ਅਤੇ $(a-c)$ 2 ਨਾਲ ਵੰਡਣਯੋਗ ਹਨ। ਹੁਣ, $R$ ਜਿਸਤ ਹੈ (ਕਿਉਂ?)। ਇਸ ਲਈ, $R$ 2 ਨਾਲ ਵੰਡਣਯੋਗ ਹੈ। ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ $\mathbf{Z}$ ਸੰਚਾਰੀ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $(0, \pm 2),(0, \pm 4)$, $R$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਮਾਨਤਾ ਸਬੰਧ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵਿੱਚ, ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਸਾਰੇ ਜਿਸਤ ਪੂਰਨਾਂਕ ਜ਼ੀਰੋ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ $(0, \pm 1),(0, \pm 3)$ ਆਦਿ, $R$ ਵਿੱਚ ਪਏ ਹਨ ਅਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਵਿਸਮ ਪੂਰਨਾਂਕ 0 ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ $E$ ਆਦਿ, $O$ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਪਏ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਾਰੇ ਵਿਸਮ ਪੂਰਨਾਂਕ ਇੱਕ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹਨ ਅਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਜਿਸਤ ਪੂਰਨਾਂਕ ਇੱਕ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਸਾਰੇ ਜਿਸਤ ਪੂਰਨਾਂਕਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ $\mathbf{Z}$ ਅਤੇ ਸਾਰੇ ਵਿਸਮ ਪੂਰਨਾਂਕਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ $E$, $O$ ਦੇ ਉਪਸਮੂਹ ਹਨ ਜੋ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ:

(i) $E$ ਦੇ ਸਾਰੇ ਤੱਤ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹਨ ਅਤੇ $O$ ਦੇ ਸਾਰੇ ਤੱਤ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹਨ।

(ii) $E$ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਤੱਤ $O$ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤੱਤ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਉਲਟ ਵੀ।

(iii) $\mathbf{Z}=E \cup O$ ਅਤੇ $E$ ਅਸੰਗਤ ਹਨ ਅਤੇ $O$.

ਉਪਸਮੂਹ $[0] \neq[1],[0]=[2 r]$ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਵਾਲੀ ਸਮਾਨਤਾ ਕਲਾਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ [0] ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $[1]=[2 r+1], r \in \mathbf{Z}$, ਇੱਕ ਵਾਲੀ ਸਮਾਨਤਾ ਕਲਾਸ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ [1] ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ $R$ ਅਤੇ $X$. ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਜੋ ਅਸੀਂ ਉੱਪਰ ਦੇਖਿਆ ਹੈ ਉਹ ਇੱਕ ਮਨਮਰਜ਼ੀ ਸਮਾਨਤਾ ਸਬੰਧ $R$ ਲਈ ਇੱਕ ਮਨਮਰਜ਼ੀ ਸਮੂਹ $X, R$ ਵਿੱਚ ਸੱਚ ਹੈ। ਇੱਕ ਮਨਮਰਜ਼ੀ ਸਮੂਹ $A_{i}$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਨਮਰਜ਼ੀ ਸਮਾਨਤਾ ਸਬੰਧ $X$, $X$ ਨੂੰ ਪਰਸਪਰ ਅਸੰਗਤ ਉਪਸਮੂਹਾਂ $A_{i}$ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ $i$ ਦੇ ਭਾਗ ਜਾਂ ਉਪ-ਵਿਭਾਜਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ:

(i) $A_{i}$ ਦੇ ਸਾਰੇ ਤੱਤ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹਨ, ਸਾਰੇ $A_{j}, i \neq j$ ਲਈ।

(ii) $\cup A_{j}=X$ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਤੱਤ $A_{i} \cap A_{j}=\phi, i \neq j$ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤੱਤ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।

(iii) $A_{i}$ ਅਤੇ $\mathbf{Z}$.

ਉਪਸਮੂਹਾਂ $A_{1}, A_{2}$ ਨੂੰ ਸਮਾਨਤਾ ਕਲਾਸਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਥਿਤੀ ਦਾ ਦਿਲਚਸਪ ਹਿੱਸਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ ਉਲਟਾ ਵੀ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਸਮੂਹ $R$ ਦੇ ਇੱਕ ਉਪ-ਵਿਭਾਜਨ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ ਤਿੰਨ ਪਰਸਪਰ ਅਸੰਗਤ ਉਪਸਮੂਹਾਂ $A_{3}$, $\mathbf{Z}$ ਅਤੇ $\mathbf{Z}$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਮਿਲਾਪ $R=\{(a, b): 3$ ਹੈ, ਨਾਲ

$$ \begin{aligned} & A_{1}=\{x \in \mathbf{Z}: x \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-6,-3,0,3,6, \ldots\} \\ & A_{2}=\{x \in \mathbf{Z}: x-1 \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-5,-2,1,4,7, \ldots\} \\ & A_{3}=\{x \in \mathbf{Z}: x-2 \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-4,-1,2,5,8, \ldots\} \end{aligned} $$

ਸਮੂਹ $R$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਬੰਧ $a-b\}$ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰੋ ਜੋ $A_{1}$, $\mathbf{Z}$ ਨੂੰ ਵੰਡਦਾ ਹੈ, ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ 5 ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਗਏ ਤਰਕਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਤਰਕਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦਿਖਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $A_{2}$ ਇੱਕ ਸਮਾਨਤਾ ਸਬੰਧ ਹੈ। ਇਹ ਵੀ, $A_{3}$, ਉਨ੍ਹਾਂ ਸਾਰੇ ਪੂਰਨਾਂਕਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਜ਼ੀਰੋ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹਨ, $\mathbf{Z}$, ਉਨ੍ਹਾਂ ਸਾਰੇ ਪੂਰਨਾਂਕਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ 1 ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹਨ, ਅਤੇ $A_{1}=[0], A_{2}=[1]$, ਉਨ੍ਹਾਂ ਸਾਰੇ ਪੂਰਨਾਂਕਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ 2 ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹਨ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $A_{3}=[2]$ ਅਤੇ $A_{1}=[3 r], A_{2}=[3 r+1]$. ਅਸਲ ਵਿੱਚ, $A_{3}=[3 r+2]$ ਅਤੇ $r \in \mathbf{Z}$, ਸਾਰੇ $R$ ਲਈ।

ਉਦਾਹਰਨ 6 ਮੰਨ ਲਓ $\{(a, b) :$, ਸਮੂਹ $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ ਵਿੱਚ ਸਬੰਧ $R$, R=$\}$, a ਅਤੇ b ਦੋਵੇਂ ਜਾਂ ਤਾਂ ਵਿਸਮ ਹਨ ਜਾਂ ਜਿਸਤ ਹਨ $R$, ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। ਦਿਖਾਓ ਕਿ $\{1,3,5,7\}$ ਇੱਕ ਸਮਾਨਤਾ ਸਬੰਧ ਹੈ। ਹੋਰ, ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਉਪਸਮੂਹ $\{2,4,6\}$ ਦੇ ਸਾਰੇ ਤੱਤ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹਨ ਅਤੇ ਉਪਸਮੂਹ $\{1,3,5,7\}$ ਦੇ ਸਾਰੇ ਤੱਤ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹਨ, ਪਰ ਉਪਸਮੂਹ $\{2,4,6\}$ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਤੱਤ ਉਪਸਮੂਹ $a$ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤੱਤ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਹੱਲ A ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਤੱਤ $a$ ਦਿੱਤਾ ਹੋਣ ‘ਤੇ, $a$ ਅਤੇ $(a, a) \in R$ ਦੋਵੇਂ ਜਾਂ ਤਾਂ ਵਿਸਮ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ ਜਾਂ ਜਿਸਤ, ਤਾਂ ਜੋ $(a, b) \in R \Rightarrow$. ਹੋਰ, $a$, $b$ ਅਤੇ $\Rightarrow(b, a) \in R$ ਦੋਵੇਂ ਜਾਂ ਤਾਂ ਵਿਸਮ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ ਜਾਂ ਜਿਸਤ $(a, b) \in R$. ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $(b, c) \in R \Rightarrow$ ਅਤੇ $a, b, c$, ਸਾਰੇ ਤੱਤ $\Rightarrow(a, c) \in R$, ਇਕੱਠੇ ਜਾਂ ਤਾਂ ਜਿਸਤ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ ਜਾਂ ਵਿਸਮ $R$. ਇਸ ਲਈ, $\{1,3,5,7\}$ ਇੱਕ ਸਮਾਨਤਾ ਸਬੰਧ ਹੈ। ਹੋਰ, $\{2,4,6\}$ ਦੇ ਸਾਰੇ ਤੱਤ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਸ ਉਪਸਮੂਹ ਦੇ ਸਾਰੇ ਤੱਤ ਵਿਸਮ ਹਨ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਉਪਸਮੂਹ $\{1,3,5,7\}$ ਦੇ ਸਾਰੇ ਤੱਤ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਾਰੇ ਜਿਸਤ ਹਨ। ਇਹ ਵੀ, ਉਪਸਮੂਹ $\{2,4,6\}$ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਤੱਤ $\{1,3,5,7\}$ ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਤੱਤ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦਾ, ਕਿਉਂਕਿ $\{2,4,6\}$ ਦੇ ਤੱਤ ਵਿਸਮ ਹਨ, ਜਦੋਂ ਕਿ $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ ਦੇ ਤੱਤ ਜਿਸਤ ਹਨ।

1.3 ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ

ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਕੁਝ ਖਾਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਪਛਾਣ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਪਰਿਮੇਯ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਮਾਡੂਲਸ ਫੰਕਸ਼ਨ, ਸਿਗਨਮ ਫੰਕਸ਼ਨ ਆਦਿ, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ਼ਾਂ ਸਮੇਤ, ਕਲਾਸ XI ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।

ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਜੋੜ, ਘਟਾਓ, ਗੁਣਾ ਅਤੇ ਭਾਗ ਵੀ ਪੜ੍ਹਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਹੋਰ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੀ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਾਰੇ ਆਪਣੇ ਅਧਿਐਨ ਨੂੰ ਉੱਥੋਂ ਤੱ