ਗਣਿਤ, ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਮੂਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪੈਟਰਨਾਂ ਅਤੇ ਸੰਬੰਧਾਂ ਦਾ ਵਿਗਿਆਨ ਹੈ। — ਫੇਲਿਕਸ ਕਲਾਈਨ

2.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਅਧਿਆਇ 1 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੜ੍ਹਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਫਲਨ $f$ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ, ਜਿਸਨੂੰ $f^{-1}$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ $f$ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਅਤੇ ਆਚੂਕ ਹੋਵੇ। ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਫਲਨ ਹਨ ਜੋ ਇੱਕ-ਇੱਕ, ਆਚੂਕ ਜਾਂ ਦੋਵੇਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮਾਂ ਬਾਰੇ ਗੱਲ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ। ਕਲਾਸ 11 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੜ੍ਹਿਆ ਸੀ ਕਿ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਕੁਦਰਤੀ ਡੋਮੇਨਾਂ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰਾਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਅਤੇ ਆਚੂਕ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨਾਂ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰਾਂ ਉੱਤੇ ਪਾਬੰਦੀਆਂ ਬਾਰੇ ਪੜ੍ਹਾਂਗੇ ਜੋ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮਾਂ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਨੂੰ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲ ਨਿਰੂਪਣਾਂ ਰਾਹੀਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਵਿਵਹਾਰ ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕੁਝ ਮੁੱਢਲੇ ਗੁਣਾਂ ‘ਤੇ ਵੀ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਜਾਵੇਗੀ। ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਕੈਲਕੁਲਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਭੂਮਿਕਾ ਨਿਭਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਸੇਵਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਵਿੱਚ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਆਰਿਆਭੱਟ

($476-550$ ਈ.)

2.2 ਮੁੱਢਲੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ

ਕਲਾਸ 11 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:

ਸਾਈਨ ਫਲਨ, ਯਾਨੀ, ਸਾਈਨ : $\mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

ਕੋਸਾਈਨ ਫਲਨ, ਯਾਨੀ, $\cos : \mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

ਟੈਂਜੈਂਟ ਫਲਨ, ਯਾਨੀ, $\tan : \mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਫਲਨ, ਯਾਨੀ, $\cot : \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

ਸੈਕੈਂਟ ਫਲਨ, ਯਾਨੀ, ਸੈਕ : $\mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

ਕੋਸੈਕੈਂਟ ਫਲਨ, ਯਾਨੀ, $cosec: \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

ਅਸੀਂ ਅਧਿਆਇ 1 ਵਿੱਚ ਇਹ ਵੀ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ $f: X \rightarrow Y$ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੋਵੇ ਕਿ $f(x)=y$ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਅਤੇ ਆਚੂਕ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਫਲਨ $g: Y \rightarrow X$ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $g(y)=x$, ਜਿੱਥੇ $x \in X$ ਅਤੇ $y=f(x), y \in$ Y। ਇੱਥੇ, $g=$ ਦਾ ਡੋਮੇਨ $f$ ਦਾ ਪਰਿਸਰ ਹੈ ਅਤੇ $g=$ ਦਾ ਪਰਿਸਰ $f$ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਹੈ। ਫਲਨ $g$ ਨੂੰ $f$ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ $f^{-1}$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ, $g$ ਵੀ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਅਤੇ ਆਚੂਕ ਹੈ ਅਤੇ $g$ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ $f$ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $g^{-1}=(f^{-1})^{-1}=f$। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇਹ ਵੀ ਹੈ

ਅਤੇ $$ (f^{-1} \circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x $$ $$ (f \circ f^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=f(x)=y $$

ਕਿਉਂਕਿ ਸਾਈਨ ਫਲਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੀਆਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ $[-1,1]$ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਇਸਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਅਤੇ ਆਚੂਕ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪਰਿਸਰ $[-1,1]$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਸਾਈਨ ਫਲਨ ਜੋ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅੰਤਰਾਲ $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}], [\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], [\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$ ਆਦਿ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਹੈ, ਇੱਕ-ਇੱਕ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਪਰਿਸਰ $[-1,1]$ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਫਲਨ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਨੂੰ ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਸਾਈਨ ਫਲਨ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਨੂੰ $\sin ^{-1}$ (ਆਰਕ ਸਾਈਨ ਫਲਨ) ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\sin ^{-1}$ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਫਲਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ $[-1,1]$ ਹੈ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ ਅੰਤਰਾਲ $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}],[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ਜਾਂ $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਅਜਿਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਸਾਨੂੰ ਫਲਨ $\sin ^{-1}$ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼ਾਖਾ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਜਿਸ ਸ਼ਾਖਾ ਦਾ ਪਰਿਸਰ $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਮੁੱਖ ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਖਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਦਕਿ ਪਰਿਸਰ ਵਜੋਂ ਹੋਰ ਅੰਤਰਾਲ $\sin ^{-1}$ ਦੀਆਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਫਲਨ $\sin ^{-1}$ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਉਸ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ $[-1,1]$ ਹੈ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ $\sin ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਫਲਨਾਂ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ, ਇਹ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ $\sin (\sin ^{-1} x)=x$ ਜੇਕਰ $-1 \leq x \leq 1$ ਅਤੇ $\sin ^{-1}(\sin x)=x$ ਜੇਕਰ $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ $y=\sin ^{-1} x$, ਤਾਂ $\sin y=x$।

ਟਿੱਪਣੀਆਂ

(i) ਅਸੀਂ ਅਧਿਆਇ 1 ਤੋਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ $y=f(x)$ ਇੱਕ ਉਲਟਾਉਣਯੋਗ ਫਲਨ ਹੈ, ਤਾਂ $x=f^{-1}(y)$। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\sin^{-1}$ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਮੂਲ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ $x$ ਅਤੇ $y$ ਧੁਰਿਆਂ ਨੂੰ ਅਦਲਾ-ਬਦਲੀ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ, ਜੇਕਰ $(a, b)$ ਸਾਈਨ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ, ਤਾਂ $(b, a)$ ਸਾਈਨ ਫਲਨ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ‘ਤੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬਿੰਦੂ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਫਲਨ $y=\sin ^{-1} x$ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ $y=\sin x$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ $x$ ਅਤੇ $y$ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਅਦਲਾ-ਬਦਲੀ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। $y=\sin x$ ਅਤੇ $y=\sin ^{-1} x$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਫਿਗ 2.1 (i), (ii), (iii) ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ। $y=\sin ^{-1} x$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦਾ ਗੂੜ੍ਹਾ ਹਿੱਸਾ ਮੁੱਖ ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਖਾ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।

(ii) ਇਹ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਸੰਬੰਧਿਤ ਮੂਲ ਫਲਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਰੇਖਾ $y=x$ ਦੇ ਨਾਲ ਦਰਪਣ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ (ਯਾਨੀ, ਪਰਾਵਰਤਨ) ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ $y=\sin x$ ਅਤੇ $y=\sin ^{-1} x$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕੋ ਧੁਰਿਆਂ ਵਿੱਚ ਦੇਖ ਕੇ ਵਿਜ਼ੂਅਲਾਈਜ਼ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ (ਫਿਗ 2.1 (iii))।

ਸਾਈਨ ਫਲਨ ਵਾਂਗ, ਕੋਸਾਈਨ ਫਲਨ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਫਲਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਾਰੀਆਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ ਸਮੂਹ $[-1,1]$ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ $[0, \pi]$ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਅਤੇ ਆਚੂਕ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਪਰਿਸਰ $[-1,1]$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਕੋਸਾਈਨ ਫਲਨ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅੰਤਰਾਲ $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ ਆਦਿ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ, ਦੋ-ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਪਰਿਸਰ $[-1,1]$ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫਲਨ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਨੂੰ ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਕੋਸਾਈਨ ਫਲਨ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਨੂੰ $\cos ^{-1}$ (ਆਰਕ ਕੋਸਾਈਨ ਫਲਨ) ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\cos ^{-1}$ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਫਲਨ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ $[-1,1]$ ਹੈ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ ਅੰਤਰਾਲ $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ ਆਦਿ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹਰੇਕ ਅਜਿਹੇ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਸਾਨੂੰ ਫਲਨ $\cos ^{-1}$ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼ਾਖਾ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਜਿਸ ਸ਼ਾਖਾ ਦਾ ਪਰਿਸਰ $[0, \pi]$ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਫਲਨ $\cos ^{-1}$ ਦੀ ਮੁੱਖ ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਖਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ

$$ \cos ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[0, \pi] . $$

ਫਲਨ $y=\cos ^{-1} x$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫਲਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਉਸੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਖਿੱਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $y=\sin ^{-1} x$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ। $y=\sin x$ ਅਤੇ $y=\cos ^{-1} x$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਫਿਗ 2.2 (i) ਅਤੇ (ii) ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।

ਫਿਗ. 2.2 (i)

ਫਿਗ 2.2 (ii)

ਆਓ ਹੁਣ $\csc^{-1} x$ ਅਤੇ $\sec^{-1} x$ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰੀਏ:

ਕਿਉਂਕਿ, $cosec x=\frac{1}{\sin x}$, ਕੋਸੈਕ ਫਲਨ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਮੂਹ $\{x: x \in \mathbf{R}$ ਅਤੇ $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ ਹੈ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ ਸਮੂਹ $\{y: y \in \mathbf{R}, y \geq 1$ ਜਾਂ $y \leq -1\}$ ਹੈ ਯਾਨੀ, ਸਮੂਹ $\mathbf{R}-(-1,1)$। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ $y=cosec x$ $-1<y<1$ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਸਾਰੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ $\pi$ ਦੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਗੁਣਜਾਂ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕੋਸੈਕ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਅਤੇ ਆਚੂਕ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਪਰਿਸਰ ਸਮੂਹ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਕੋਸੈਕ ਫਲਨ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅੰਤਰਾਲ $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}]-\{-\pi\},[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$, $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-\{\pi\}$ ਆਦਿ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ, ਦੋ-ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਪਰਿਸਰ ਸਾਰੀਆਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ $cosec^{-1}$ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ਹੈ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ ਅੰਤਰਾਲ $[-\frac{3 \pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]-{-\pi}, [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}, [\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-{\pi}$ ਆਦਿ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਪਰਿਸਰ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}$ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਫਲਨ ਨੂੰ $cosec^{-1}$ ਦੀ ਮੁੱਖ ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਖਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਮੁੱਖ ਸ਼ਾਖਾ ਹੈ

$$ cosec^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0} $$

$y=\csc x$ ਅਤੇ $y=\csc^{-1} x$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਫਿਗ 2.3 (i), (ii) ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।

ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕਿਉਂਕਿ $\sec x=\frac{1}{\cos x}$, $y=\sec x$ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਮੂਹ $\mathbf{R}-\left{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}\right}$, $n \in \mathbf{Z}$ ਹੈ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ ਸਮੂਹ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਸੈਕ (ਸੈਕੈਂਟ ਫਲਨ) $-1<y<1$ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਸਾਰੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ $\frac{\pi}{2}$ ਦੇ ਵਿਸਮ ਗੁਣਜਾਂ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਸੈਕੈਂਟ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ $[0, \pi]-\left{\frac{\pi}{2}\right}$ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਅਤੇ ਆਚੂਕ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਪਰਿਸਰ ਸਮੂਹ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਸੈਕੈਂਟ ਫਲਨ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅੰਤਰਾਲ $[-\pi, 0]-{\frac{-\pi}{2}},[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}},[\pi, 2 \pi]-{\frac{3 \pi}{2}}$ ਆਦਿ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ, ਦੋ-ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਪਰਿਸਰ $\mathbf{R}-{-1,1}$ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ $\sec ^{-1}$ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ $\mathbf{R}-(-1,1)$ ਹੈ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ ਅੰਤਰਾਲ $[-\pi, 0]-{\frac{-\pi}{2}},[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}},[\pi, 2 \pi]-{\frac{3 \pi}{2}}$ ਆਦਿ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰਾਲ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ, ਸਾਨੂੰ ਫਲਨ $sec^{-1}$ ਦੀਆਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਮਿਲਦੀਆਂ ਹਨ। ਜਿਸ ਸ਼ਾਖਾ ਦਾ ਪਰਿਸਰ $[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}}$ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਫਲਨ $sec^{-1}$ ਦੀ ਮੁੱਖ ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਖਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ \sec ^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[0, \pi]-\{\frac{\pi}{2}\} $$

ਫਲਨਾਂ $y=\sec x$ ਅਤੇ $y=\sec^{-1} x$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਫਿਗ 2.4 (i), (ii) ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।

ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਹੁਣ $\tan ^{-1}$ ਅਤੇ $\cot ^{-1}$ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਟੈਨ ਫਲਨ (ਟੈਂਜੈਂਟ ਫਲਨ) ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਮੂਹ $\{x: x \in \mathbf{R}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ ਹੈ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ $\mathbf{R}$ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਫਲਨ $\frac{\pi}{2}$ ਦੇ ਵਿਸਮ ਗੁਣਜਾਂ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਟੈਂਜੈਂਟ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ ਸੀਮਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਅਤੇ ਆਚੂਕ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਪਰਿਸਰ $\mathbf{R}$ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਟੈਂਜੈਂਟ ਫਲਨ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅੰਤਰਾਲ $(\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}),(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ ਆਦਿ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ, ਦੋ-ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਪਰਿਸਰ $\mathbf{R}$ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ $\tan ^{-1}$ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ $\mathbf{R}$ ਹੈ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ ਅੰਤਰਾਲ $(\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}),(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ ਆਦਿ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਅੰਤਰਾਲ ਫਲਨ $\tan ^{-1}$ ਦੀਆਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਜਿਸ ਸ਼ਾਖਾ ਦਾ ਪਰਿਸਰ $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਫਲਨ $\tan ^{-1}$ ਦੀ ਮੁੱਖ ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਖਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ \tan ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $$

ਫਲਨ $y=\tan x$ ਅਤੇ $y=\arctan x$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਫਿਗ 2.5 (i), (ii) ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਟ ਫਲਨ (ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਫਲਨ) ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਸਮੂਹ $\{x: x \in \mathbf{R}$ ਅਤੇ $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ ਹੈ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ $\mathbf{R}$ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ ਕਿ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਫਲਨ $\pi$ ਦੇ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਗੁਣਜਾਂ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਫਲਨ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਨੂੰ $(0, \pi)$ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇਹ ਦੋ-ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਪਰਿਸਰ $\mathbf{R}$ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਕੋਟੈਂਜੈਂਟ ਫਲਨ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅੰਤਰਾਲ $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ ਆਦਿ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ, ਦੋ-ਦਿਸ਼ਾਤਮਕ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਪਰਿਸਰ $\mathbf{R}$ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ $\cot ^{-1}$ ਨੂੰ ਇੱਕ ਫਲਨ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੋਮੇਨ $\mathbf{R}$ ਹੈ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਅੰਤਰਾਲ $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ ਆਦਿ ਵਜੋਂ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਅੰਤਰਾਲ ਫਲਨ $\cot ^{-1}$ ਦੀਆਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਜਿਸ ਫਲਨ ਦਾ ਪਰਿਸਰ $(0, \pi)$ ਹੈ, ਉਸਨੂੰ ਫਲਨ $\cot ^{-1}$ ਦੀ ਮੁੱਖ ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਖਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ \cot ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow(0, \pi) $$

$y=\cot x$ ਅਤੇ $y=\cot^{-1} x$ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਫਿਗ 2.6 (i), (ii) ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਟੇਬਲ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ (ਮੁੱਖ ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ) ਨੂੰ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨਾਂ ਅਤੇ ਪਰਿਸਰਾਂ ਸਮੇਤ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।

ਨੋਟ

1. $\sin ^{-1} x$ ਨੂੰ $(\sin x)^{-1}$ ਨਾਲ ਉਲਝਾਇਆ ਨਹੀਂ ਜਾਣਾ ਚਾਹੀਦਾ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ $(\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}$ ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੋਰ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਲਈ।

2. ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਦੀ ਕੋਈ ਸ਼ਾਖਾ ਨਹੀਂ ਦੱਸੀ ਜਾਂਦੀ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਉਸ ਫਲਨ ਦੀ ਮੁੱਖ ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਖਾ ਦਾ ਮਤਲਬ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ।

3. ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਉਹ ਮੁੱਲ ਜੋ ਮੁੱਖ ਸ਼ਾਖਾ ਦੇ ਪਰਿਸਰ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਉਸ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਦਾ ਮੁੱਖ ਮੁੱਲ ਕਹਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

ਉਦਾਹਰਣ 1 $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ ਦਾ ਮੁੱਖ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਮੰਨ ਲਓ $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})=y$। ਤਾਂ, $\sin y=\frac{1}{\sqrt{2}}$।

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $\sin ^{-1}$ ਦੀ ਮੁੱਖ ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਖਾ ਦਾ ਪਰਿਸਰ $\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$ ਹੈ ਅਤੇ $\sin (\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$। ਇਸ ਲਈ, $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ ਦਾ ਮੁੱਖ ਮੁੱਲ $\frac{\pi}{4}$ ਹੈ

ਉਦਾਹਰਣ 2 $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$ ਦਾ ਮੁੱਖ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ

ਹੱਲ ਮੰਨ ਲਓ $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})=y$। ਤਾਂ,

$$ \cot y=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\cot (\frac{\pi}{3})=\cot (\pi-\frac{\pi}{3})=\cot (\frac{2 \pi}{3}) $$

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $\cot ^{-1}$ ਦੀ ਮੁੱਖ ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਖਾ ਦਾ ਪਰਿਸਰ $(0, \pi)$ ਹੈ ਅਤੇ $\cot (\frac{2 \pi}{3})=\frac{-1}{\sqrt{3}}$। ਇਸ ਲਈ, $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$ ਦਾ ਮੁੱਖ ਮੁੱਲ $\frac{2 \pi}{3}$ ਹੈ

2.3 ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਗੁਣ

ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਗੁਣਾਂ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਾਂਗੇ। ਇੱਥੇ ਇਹ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਨਤੀਜੇ ਸੰਬੰਧਿਤ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦੀਆਂ ਮੁੱਖ ਮੁੱਲ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਦੇ ਅੰਦਰ ਅਤੇ ਜਿੱਥੇ ਕਿਤੇ ਵੀ ਉਹ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹਨ, ਮੰਨਣਯੋਗ ਹਨ। ਕੁਝ ਨਤੀਜੇ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨਾਂ ਦੇ ਡੋਮੇਨਾਂ ਦੇ ਸਾਰੇ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਮੰਨਣਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੇ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਉਹ ਸਿਰਫ਼ $x$ ਦੇ ਕੁਝ ਮੁੱਲਾਂ ਲਈ ਹੀ ਮੰਨਣਯੋਗ ਹੋਣਗੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਲਈ ਪ੍ਰਤੀਲੋਮ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫਲਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹਨ।