ਗਣਿਤ ਦਾ ਸਾਰ ਇਸਦੀ ਆਜ਼ਾਦੀ ਵਿੱਚ ਹੈ। - ਕੈਂਟਰ

3.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਗਿਆਨ ਗਣਿਤ ਦੀਆਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਜ਼ਰੂਰੀ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਸਾਧਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹਨ। ਇਹ ਗਣਿਤੀ ਸਾਧਨ ਸਾਡੇ ਕੰਮ ਨੂੰ ਹੋਰ ਸਿੱਧੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਦੇ ਮੁਕਾਬਲੇ ਬਹੁਤ ਹੱਦ ਤੱਕ ਸਰਲ ਬਣਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦਾ ਵਿਕਾਸ ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਨਿਖੇੜੇ ਦੇ ਸੰਖੇਪ ਅਤੇ ਸਰਲ ਤਰੀਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਾ ਸਿਰਫ਼ ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਨਿਖੇੜੇ ਵਿੱਚ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਵਜੋਂ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਸਗੋਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਉਪਯੋਗਿਤਾ ਉਸ ਵਰਤੋਂ ਤੋਂ ਕਿਤੇ ਵੱਧ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੋਟੇਸ਼ਨ ਅਤੇ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਨੂੰ ਨਿੱਜੀ ਕੰਪਿਊਟਰ ਲਈ ਇਲੈਕਟ੍ਰਾਨਿਕ ਸਪ੍ਰੈਡਸ਼ੀਟ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ ਵਪਾਰ ਅਤੇ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਖੇਤਰਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਬਜਟ ਬਣਾਉਣਾ, ਵਿਕਰੀ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ, ਲਾਗਤ ਅੰਦਾਜ਼ਾ, ਕਿਸੇ ਪ੍ਰਯੋਗ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਆਦਿ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕਈ ਭੌਤਿਕ ਕਾਰਵਾਈਆਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਵੱਡਾ ਕਰਨਾ, ਘੁੰਮਾਉਣਾ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਤੀਬਿੰਬ ਨੂੰ ਗਣਿਤੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕ੍ਰਿਪਟੋਗ੍ਰਾਫੀ ਵਿੱਚ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਗਣਿਤੀ ਸਾਧਨ ਨਾ ਸਿਰਫ਼ ਵਿਗਿਆਨ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਜੈਨੇਟਿਕਸ, ਅਰਥ ਸ਼ਾਸਤਰ, ਸਮਾਜ ਸ਼ਾਸਤਰ, ਆਧੁਨਿਕ ਮਨੋਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਉਦਯੋਗਿਕ ਪ੍ਰਬੰਧਨ ਵਿੱਚ ਵੀ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਅਲਜਬਰੇ ਦੀਆਂ ਬੁਨਿਆਦਾਂ ਨਾਲ ਜਾਣੂ ਹੋਣਾ ਦਿਲਚਸਪ ਪਾਵਾਂਗੇ।

3.2 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ

ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਰਾਧਾ ਦੇ ਕੋਲ 15 ਨੋਟਬੁੱਕਾਂ ਹਨ, ਇਹ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦਰਸਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ [15] ਵਜੋਂ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇਹ ਸਮਝਦੇ ਹੋਏ ਕਿ [ ] ਦੇ ਅੰਦਰਲੀ ਸੰਖਿਆ ਰਾਧਾ ਦੇ ਕੋਲ ਮੌਜੂਦ ਨੋਟਬੁੱਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਹੁਣ, ਜੇਕਰ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਦਰਸਾਉਣਾ ਹੋਵੇ ਕਿ ਰਾਧਾ ਦੇ ਕੋਲ 15 ਨੋਟਬੁੱਕਾਂ ਅਤੇ 6 ਕਲਮਾਂ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ $\begin{bmatrix}15 & 6\end{bmatrix}$ ਵਜੋਂ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਇਹ ਸਮਝਦੇ ਹੋਏ ਕਿ [ ] ਦੇ ਅੰਦਰ ਪਹਿਲੀ ਸੰਖਿਆ ਨੋਟਬੁੱਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ ਜਦਕਿ ਦੂਜੀ ਰਾਧਾ ਦੇ ਕੋਲ ਮੌਜੂਦ ਕਲਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ। ਹੁਣ ਮੰਨ ਲਓ ਅਸੀਂ ਰਾਧਾ ਅਤੇ ਉਸਦੀਆਂ ਦੋ ਸਹੇਲੀਆਂ ਫ਼ੌਜ਼ੀਆ ਅਤੇ ਸਿਮਰਨ ਦੁਆਰਾ ਨੋਟਬੁੱਕਾਂ ਅਤੇ ਕਲਮਾਂ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਦੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਦਰਸਾਉਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਕਿ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ:

$$ \begin{array}{llllll} \text { Radha } & \text { has } & 15 & \text { notebooks } & \text { and } & 6 \text { pens, } \\ \text { Fauzia } & \text { has } & 10 & \text { notebooks } & \text { and } & 2 \text { pens, } \\ \text { Simran } & \text { has } & 13 & \text { notebooks } & \text { and } & 5 \text { pens. } \end{array} $$

ਹੁਣ ਇਸਨੂੰ ਸਾਰਣੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

$$ \begin{array}{lcc} & \text { Notebooks } & \text { Pens } \\ \text { Radha } & 15 & 6 \\ \text { Fauzia } & 10 & 2 \\ \text { Simran } & 13 & 5 \end{array} $$

ਜਾਂ

ਜਿਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

ਪਹਿਲੀ ਵਿਵਸਥਾ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਦੀਆਂ ਐਂਟਰੀਆਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਰਾਧਾ, ਫ਼ੌਜ਼ੀਆ ਅਤੇ ਸਿਮਰਨ ਦੇ ਕੋਲ ਮੌਜੂਦ ਨੋਟਬੁੱਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਕਾਲਮ ਦੀਆਂ ਐਂਟਰੀਆਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਰਾਧਾ, ਫ਼ੌਜ਼ੀਆ ਅਤੇ ਸਿਮਰਨ ਦੇ ਕੋਲ ਮੌਜੂਦ ਕਲਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਦੂਜੀ ਵਿਵਸਥਾ ਵਿੱਚ, ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਦੀਆਂ ਐਂਟਰੀਆਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਰਾਧਾ, ਫ਼ੌਜ਼ੀਆ ਅਤੇ ਸਿਮਰਨ ਦੇ ਕੋਲ ਮੌਜੂਦ ਨੋਟਬੁੱਕਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਦੀਆਂ ਐਂਟਰੀਆਂ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਰਾਧਾ, ਫ਼ੌਜ਼ੀਆ ਅਤੇ ਸਿਮਰਨ ਦੇ ਕੋਲ ਮੌਜੂਦ ਕਲਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਪਰੋਕਤ ਕਿਸਮ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਵਸਥਾ ਜਾਂ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਨ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਰਸਮੀ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 1 ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਾਰਣੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਤੱਤ ਜਾਂ ਐਂਟਰੀਆਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਕੈਪੀਟਲ ਅੱਖਰਾਂ ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਹੇਠਾਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਹਨ:

$$ A=\begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 0 & \sqrt{5} \\ 3 & 6 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 2+i & 3 & -\frac{1}{2} \\ 3.5 & -1 & 2 \\ \sqrt{3} & 5 & \frac{5}{7} \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 1+x & x^{3} & 3 \\ \cos x & \sin x+2 & \tan x \end{bmatrix} $$

ਉਪਰੋਕਤ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਤੱਤਾਂ ਦੀਆਂ ਖਿਤਿਜੀ ਲਾਈਨਾਂ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀਆਂ ਕਤਾਰਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਤੱਤਾਂ ਦੀਆਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਲਾਈਨਾਂ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਕਾਲਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ $A$ ਦੀਆਂ 3 ਕਤਾਰਾਂ ਅਤੇ 2 ਕਾਲਮ ਹਨ, $B$ ਦੀਆਂ 3 ਕਤਾਰਾਂ ਅਤੇ 3 ਕਾਲਮ ਹਨ ਜਦਕਿ $C$ ਦੀਆਂ 2 ਕਤਾਰਾਂ ਅਤੇ 3 ਕਾਲਮ ਹਨ।

3.2.1 ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਕ੍ਰਮ

ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਜਿਸਦੀਆਂ $m$ ਕਤਾਰਾਂ ਅਤੇ $n$ ਕਾਲਮ ਹਨ, ਨੂੰ ਕ੍ਰਮ $m \times n$ ਦਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਜਾਂ ਸਿਰਫ਼ $m \times n$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ($m$ ਬਾਈ $n$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਜੋਂ ਪੜ੍ਹੋ)। ਇਸ ਲਈ ਉਪਰੋਕਤ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀਆਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਦਾ ਹਵਾਲਾ ਦਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ $A$, $3 \times 2$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ, $B$, $3 \times 3$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ ਅਤੇ $C$, $2 \times 3$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $A$ ਦੇ $3 \times 2=6$ ਤੱਤ ਹਨ, $B$ ਅਤੇ $C$ ਦੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 9 ਅਤੇ 6 ਤੱਤ ਹਨ।

ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ $m \times n$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਆਇਤਾਕਾਰ ਸਾਰਣੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} _{m \times n} $

ਜਾਂ $ A=[a_{i j}]_{m \times n}, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \quad i, j \in N $

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ $i^{\text {th }}$ ਕਤਾਰ ਵਿੱਚ ਤੱਤ $a_{i 1}, a_{i 2}, a_{i 3}, \ldots, a_{i n}$ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਦਕਿ $j^{\text {th }}$ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਤੱਤ $a_{1 j}, a_{2 j}, a_{3 j}, \ldots, a_{m j}$ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ,

ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ $a_{i j}$, $i^{\text {th }}$ ਕਤਾਰ ਅਤੇ $j^{\text {th }}$ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਪਏ ਇੱਕ ਤੱਤ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ $(i, j)^{\text {th }}$ ਦਾ $A$ ਤੱਤ ਵੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਇੱਕ $m \times n$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵਿੱਚ ਤੱਤਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ $m n$ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇਗੀ।

ਨੋਟ ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ

1. ਅਸੀਂ ਨੋਟੇਸ਼ਨ, ਅਰਥਾਤ $A=[a_{i j}]_{m \times n}$ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਾਂਗੇ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ $A$ ਕ੍ਰਮ $m \times n$ ਦਾ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ।

2. ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਉਹਨਾਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਤੱਤ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਾਂ ਅਸਲ ਮੁੱਲ ਲੈਣ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ।

ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ $(x, y)$ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ (ਕਾਲਮ ਜਾਂ ਕਤਾਰ) ਦੁਆਰਾ $\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$ (ਜਾਂ $.[x, y]$) ਵਜੋਂ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ ਬਿੰਦੂ $P(0,1)$ ਨੂੰ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਵਜੋਂ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

$$ \mathbf{P}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \text { or }\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} $$

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਬੰਦ ਸਰਲ ਰੇਖੀ ਆਕ੍ਰਿਤੀ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਇੱਕ ਚਤੁਰਭੁਜ $A B C D$ ਨੂੰ ਸਿਖਰਾਂ A $(1,0), B(3,2), C(1,3), D(-1,2)$ ਨਾਲ ਵਿਚਾਰੋ।

ਹੁਣ, ਚਤੁਰਭੁਜ $ABCD$ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇੱਕ ਸਮਤਲ ਵਿੱਚ ਭੂਮਿਤੀ ਆਕ੍ਰਿਤੀਆਂ ਦੇ ਸਿਖਰਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀਨਿਧਤਾ ਵਜੋਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।

ਹੁਣ, ਆਓ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ।

ਉਦਾਹਰਨ 1 ਤਿੰਨ ਫੈਕਟਰੀਆਂ I, II ਅਤੇ III ਵਿੱਚ ਮਰਦ ਅਤੇ ਔਰਤ ਮਜ਼ਦੂਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਬਾਰੇ ਹੇਠ ਲਿਖੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ

ਉਪਰੋਕਤ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਇੱਕ $3 \times 2$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਓ। ਤੀਜੀ ਕਤਾਰ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਐਂਟਰੀ ਕੀ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ?

ਹੱਲ ਜਾਣਕਾਰੀ ਨੂੰ ਇੱਕ $3 \times 2$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ:

$$ A=\begin{bmatrix} 30 & 25 \\ 25 & 31 \\ 27 & 26 \end{bmatrix} $$

ਤੀਜੀ ਕਤਾਰ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਐਂਟਰੀ ਫੈਕਟਰੀ III ਵਿੱਚ ਔਰਤ ਮਜ਼ਦੂਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 2 ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ 8 ਤੱਤ ਹਨ, ਤਾਂ ਇਸਦੇ ਸੰਭਾਵਿਤ ਕ੍ਰਮ ਕੀ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ?

ਹੱਲ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕ੍ਰਮ $m \times n$ ਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦੇ $m n$ ਤੱਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, 8 ਤੱਤਾਂ ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵਿਤ ਕ੍ਰਮ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਾਰੇ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ ਲੱਭਾਂਗੇ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ 8 ਹੈ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵਿਤ ਕ੍ਰਮਬੱਧ ਜੋੜੇ ਹਨ $(1,8),(8,1),(4,2),(2,4)$ ਇਸ ਲਈ, ਸੰਭਾਵਿਤ ਕ੍ਰਮ ਹਨ $1 \times 8,8 \times 1,4 \times 2,2 \times 4$

ਉਦਾਹਰਨ 3 ਇੱਕ $3 \times 2$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦੇ ਤੱਤ $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ।

ਹੱਲ ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ $3 \times 2$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{bmatrix}$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਹੁਣ $\quad$ $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|, i=1,2,3 \text { and } j=1,2$

ਇਸ ਲਈ $\quad a_{11}=\frac{1}{2}|1-3 \times 1|=1 \quad a_{12}=\frac{1}{2}|1-3 \times 2|=\frac{5}{2}$

$$ \begin{matrix} a_{21}= \frac{1}{2}|2-3 \times 1|=\frac{1}{2} & a_{22}=\frac{1}{2}|2-3 \times 2|=2 \\ \\ a_{31} =\frac{1}{2}|3-3 \times 1|=0 & a_{32} =\frac{1}{2}|3-3 \times 2|=\frac{3}{2} \end{matrix} $$

ਇਸ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $A=\begin{bmatrix}1 & \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{3}{2}\end{bmatrix}$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।

3.3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ

ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਕਿਸਮਾਂ ਦੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ।

(i) ਕਾਲਮ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ

ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਕਾਲਮ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸਦਾ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਕਾਲਮ ਹੋਵੇ।

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $A=\begin{bmatrix}{c}0 \\ \sqrt{3} \\ -1 \\ 1 / 2\end{bmatrix}$ ਕ੍ਰਮ $4 \times 1$ ਦਾ ਇੱਕ ਕਾਲਮ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ।

ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, $A=[a_{i j}]_{m \times 1}$ ਕ੍ਰਮ $m \times 1$ ਦਾ ਇੱਕ ਕਾਲਮ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ।

(ii) ਕਤਾਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ

ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਕਤਾਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸਦੀ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਕਤਾਰ ਹੋਵੇ।

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $B=[\begin{bmatrix}-\frac{1}{2} & \sqrt{5} & 2 & 3\end{bmatrix}]_{1 \times 4}$ ਇੱਕ ਕਤਾਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ।

ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, $B=[b_{i j}]_{1 \times n}$ ਕ੍ਰਮ $1 \times n$ ਦਾ ਇੱਕ ਕਤਾਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ।

(iii) ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ

ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਤਾਰਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਾਲਮਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਨੂੰ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਇੱਕ $m \times n$ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ $m=n$ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਕ੍ਰਮ ‘$n$’ ਦਾ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ $A=\begin{bmatrix}3 & -1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 3 \sqrt{2} & 1 \\ 4 & 3 & -1\end{bmatrix}$ ਕ੍ਰਮ 3 ਦਾ ਇੱਕ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ।

ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, $A=[a_{i j}]_{m \times m}$ ਕ੍ਰਮ $m$ ਦਾ ਇੱਕ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ।

ਨੋਟ ਜੇਕਰ $A=[a_{i j}]$ ਕ੍ਰਮ $n$ ਦਾ ਇੱਕ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ, ਤਾਂ ਤੱਤ (ਐਂਟਰੀਆਂ) $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{n n}$

ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਦਾ ਵਿਕਰਣ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਜੇਕਰ $A=\begin{bmatrix}1 & -3 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 3 & 5 & 6\end{bmatrix}$.

ਤਾਂ A ਦੇ ਵਿਕਰਣ ਦੇ ਤੱਤ 1, 4, 6 ਹਨ।

(iv) ਵਿਕਰਣ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ

ਇੱਕ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $B=[b_{ij}]_ {m\times m} $ ਨੂੰ ਵਿਕਰਣ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸਦੇ ਸਾਰੇ ਗੈਰ-ਵਿਕਰਣ ਤੱਤ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ, ਅਰਥਾਤ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $B=[b_{ij}]_ {m\times m} $ ਨੂੰ ਵਿਕਰਣ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ $b_{i j}=0$, ਜਦੋਂ $i \neq j$.

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $A=[4], B=\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix}-1.1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}$, ਕ੍ਰਮਵਾਰ 1,2,3 ਦੇ ਵਿਕਰਣ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹਨ।

(v) ਅਦਿਸ਼ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ

ਇੱਕ ਵਿਕਰਣ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਅਦਿਸ਼ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸਦੇ ਵਿਕਰਣ ਤੱਤ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ, ਅਰਥਾਤ, ਇੱਕ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $B=[b_{i j}]_{n \times n}$ ਨੂੰ ਅਦਿਸ਼ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ

$$ \begin{aligned} & b_{i j}=0, \quad \text { when } i \neq j \\ & b_{i j}=k, \quad \text { when } i=j, \text { for some constant } k . \end{aligned} $$

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ $A=[3], \quad B=[\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}], \quad C=\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3}\end{bmatrix}$

ਕ੍ਰਮਵਾਰ 1,2 ਅਤੇ 3 ਦੇ ਅਦਿਸ਼ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹਨ।

(vi) ਇਕਾਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ

ਇੱਕ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵਿਕਰਣ ਵਿੱਚ ਤੱਤ ਸਾਰੇ 1 ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਸਾਰੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਨੂੰ ਇਕਾਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $A=[a_{i j}]_{n \times n}$ ਇੱਕ

ਇਕਾਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ, ਜੇਕਰ $a_{ij}=\begin{cases}1 & \text { if } & i=j \\ 0 & \text { if } & i \neq j\end{cases}.$.

ਅਸੀਂ ਕ੍ਰਮ $n$ ਦੇ ਇਕਾਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ $I_{n}$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਜਦੋਂ ਕ੍ਰਮ ਸੰਦਰਭ ਤੋਂ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ I ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ [1], $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}\sqrt 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt 3\end{bmatrix}$ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 1, 2 ਅਤੇ 3 ਦੇ ਇਕਾਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹਨ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਇੱਕ ਅਦਿਸ਼ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇੱਕ ਇਕਾਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ $k=1$। ਪਰ ਹਰ ਇਕਾਈ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਅਦਿਸ਼ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

(vii) ਸਿਫ਼ਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ

ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਸਿਫ਼ਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਜਾਂ ਨਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਸਦੇ ਸਾਰੇ ਤੱਤ ਸਿਫ਼ਰ ਹੋਣ।

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $[0],\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix},[0,0]$ ਸਾਰੇ ਸਿਫ਼ਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਸਿਫ਼ਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ $O$ ਨਾਲ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਸਦਾ ਕ੍ਰਮ ਸੰਦਰਭ ਤੋਂ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੋ ਜਾਵੇਗਾ।

3.3.1 _ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਸਮਾਨਤਾ

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 2 ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ $A=[a_{i j}]$ ਅਤੇ $B=[b_{i j}]$ ਨੂੰ ਸਮਾਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ

(i) ਉਹ ਇੱਕੋ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਹੋਣ

(ii) $A$ ਦਾ ਹਰੇਕ ਤੱਤ $B$ ਦੇ ਸੰਗਤ ਤੱਤ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਵੇ, ਅਰਥਾਤ $a_{i j}=b_{i j}$ ਸਾਰੇ $i$ ਅਤੇ $j$ ਲਈ।

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ ਅਤੇ $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ ਸਮਾਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹਨ ਪਰ $\begin{bmatrix}3 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ ਅਤੇ $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ ਸਮਾਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਪ੍ਰਤੀਕਾਤਮਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਦੋ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ $A$ ਅਤੇ $B$ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ $A=B$ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ।

$ \text { ਜੇਕਰ }\begin{bmatrix} x & y \\ z & a \\ b & c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1.5 & 0 \\ 2 & \sqrt{6} \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \text {, ਤਾਂ }$ $x=-1.5, y=0, z=2, a=\sqrt{6}, b=3, c=2 $

ਉਦਾਹਰਨ 4 ਜੇਕਰ $\begin{bmatrix}x+3 & z+4 & 2 y-7 \\ -6 & a-1 & 0 \\ b-3 & -21 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 6 & 3 y-2 \\ -6 & -3 & 2 c+2 \\ 2 b+4 & -21 & 0\end{bmatrix}$

$a, b, c, x, y$ ਅਤੇ $z$ ਦੇ ਮੁੱਲ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ, ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਸੰਗਤ ਤੱਤ ਸਮਾਨ ਹੋਣੇ ਚਾਹੀਦੇ ਹਨ। ਸੰਗਤ ਤੱਤਾਂ ਦੀ ਤੁਲਨਾ ਕਰਕੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ

$$ \begin{aligned} & x+3=0, \\ & z+4=6 \\ & 2 y-7=3 y-2 \\ & a-1=-3, \\ & 0=2 c+2 \\ & b-3=2 b+4 \text {, } \end{aligned} $$

ਸਰਲ ਕਰਨ ‘ਤੇ, ਸਾਨੂੰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ

$$ a=-2, b=-7, c=-1, x=-3, y=-5, z=2 $$

**ਉਦ