ਸਾਰੀਆਂ ਗਣਿਤਿਕ ਸੱਚਾਈਆਂ ਸਾਪੇਖ ਅਤੇ ਸ਼ਰਤੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ - C.P. STEINMETZ

4.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਅਤੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਬੀਜਗਣਿਤ ਬਾਰੇ ਪੜ੍ਹਿਆ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਬੀਜਗਣਿਤੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਨੂੰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ, ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਜਿਵੇਂ

$$ \begin{aligned} & a _{1} x+b _{1} y=c _{1} \\ & a _{2} x+b _{2} y=c _{2} \end{aligned} $$

ਨੂੰ $\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x \\ y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}c_1 \\ c_2\end{vmatrix}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹੁਣ, ਇਸ ਸਮੀਕਰਣ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਹੱਲ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ, ਇਹ ਸੰਖਿਆ $a_1 b_2-a_2 b_1$ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। (ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਜੇ $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ ਜਾਂ, $a_1 b_2-a_2 b_1 \neq 0$, ਤਾਂ ਰੇਖਿਕ

P.S. ਲਾਪਲਾਸ $(1749-1827)$ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਹੱਲ ਹੈ)। ਸੰਖਿਆ $a_1 b_2-a_2 b_1$ ਜੋ ਹੱਲ ਦੀ ਵਿਲੱਖਣਤਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $A=\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}$ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਹੋਈ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ A ਦਾ ਸਾਰਣੀਕ ਜਾਂ det A ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਰਣੀਆਂ ਦਾ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ, ਵਿਗਿਆਨ, ਅਰਥ ਸ਼ਾਸਤਰ, ਸਮਾਜਿਕ ਵਿਗਿਆਨ, ਆਦਿ ਵਿੱਚ ਵਿਆਪਕ ਉਪਯੋਗ ਹੈ।

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਤਿੰਨ ਕ੍ਰਮ ਤੱਕ ਸਾਰਣੀਆਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀਆਂ ਐਂਟਰੀਆਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਹੋਣ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਸੀਂ ਸਾਰਣੀਆਂ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਗੁਣਾਂ, ਲਘੂ, ਸਹਿਅਗੁਣਾਂ ਅਤੇ ਸਾਰਣੀਆਂ ਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣਾ, ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਸੰਯੁਕਤ ਅਤੇ ਉਲਟਾ, ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੀ ਸੰਗਤਤਾ ਅਤੇ ਅਸੰਗਤਤਾ ਅਤੇ ਦੋ ਜਾਂ ਤਿੰਨ ਚਲਾਂ ਵਿੱਚ ਰੇਖਿਕ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦਾ ਹੱਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਉਲਟੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ।

4.2 ਸਾਰਣੀਕ

ਹਰੇਕ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $A=[a _{i j}]$ ਕ੍ਰਮ $n$ ਦੇ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ (ਵਾਸਤਵਿਕ ਜਾਂ ਜਟਿਲ) ਸੰਬੰਧਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਨੂੰ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਦਾ ਸਾਰਣੀਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $a _{i j}=(i, j)^{\text{th }}$ A ਦਾ ਅੰਸ਼ ਹੈ।

ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵਜੋਂ ਸੋਚਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਹਰੇਕ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਿਲੱਖਣ ਸੰਖਿਆ (ਵਾਸਤਵਿਕ ਜਾਂ ਜਟਿਲ) ਨਾਲ ਜੋੜਦਾ ਹੈ। ਜੇ $M$ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ, $K$ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (ਵਾਸਤਵਿਕ ਜਾਂ ਜਟਿਲ) ਦਾ ਸਮੂਹ ਹੈ ਅਤੇ $f: M \to K$ ਨੂੰ $f(A)=k$ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $A \in M$ ਅਤੇ $k \in K$, ਤਾਂ $f(A)$ ਨੂੰ $A$ ਦਾ ਸਾਰਣੀਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ $|A|$ ਜਾਂ $det A$ ਜਾਂ $\Delta$ ਦੁਆਰਾ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਜੇ $A=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$, ਤਾਂ A ਦਾ ਸਾਰਣੀਕ $|A|=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=det(A) $ ਵਜੋਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਟਿੱਪਣੀਆਂ

(i) ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਲਈ, $|A|$ ਨੂੰ $A$ ਦਾ ਸਾਰਣੀਕ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਨਾ ਕਿ $A$ ਦਾ ਮਾਡੂਲਸ।

(ii) ਸਿਰਫ਼ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਹੀ ਸਾਰਣੀਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

4.2.1 ਕ੍ਰਮ ਇੱਕ ਦੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਸਾਰਣੀਕ

ਮੰਨ ਲਓ $A=[a]$ ਕ੍ਰਮ 1 ਦਾ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ, ਤਾਂ $A$ ਦਾ ਸਾਰਣੀਕ $a$ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

4.2.2 ਕ੍ਰਮ ਦੋ ਦੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਸਾਰਣੀਕ

$\text{ਮੰਨ ਲਓ}\qquad A=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22} \end{vmatrix} \text{ ਕ੍ਰਮ } 2 \times 2 \text{ ਦਾ ਇੱਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੈ}, $

ਤਾਂ $A$ ਦਾ ਸਾਰਣੀਕ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

$ det(A)=|A|=\Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & & a _{12} \\ a _{21} & & a _{22} \end{vmatrix}=a _{11} a _{22}-a _{21} a _{12} $

ਉਦਾਹਰਣ 1 $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}$ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}=2(2)-4(-1)=4+4=8$ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 2 $\begin{vmatrix}x & x+1 \\ x-1 & x\end{vmatrix}$ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ \begin{vmatrix} x & x+1 \\ x-1 & x \end{vmatrix}=x(x)-(x+1)(x-1)=x^{2}-(x^{2}-1)=x^{2}-x^{2}+1=1 $

4.2.3 ਕ੍ਰਮ $3 \times 3$ ਦੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਸਾਰਣੀਕ

ਕ੍ਰਮ ਤਿੰਨ ਦੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਸਾਰਣੀਕ ਇਸਨੂੰ ਦੂਜੇ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਸਾਰਣੀਕਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਗਟ ਕਰਕੇ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਕਿਸੇ ਕਤਾਰ (ਜਾਂ ਕਾਲਮ) ਦੇ ਨਾਲ ਸਾਰਣੀਕ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕ੍ਰਮ 3 ਦੇ ਸਾਰਣੀਕ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਦੇ ਛੇ ਤਰੀਕੇ ਹਨ ਜੋ ਤਿੰਨ ਕਤਾਰਾਂ $(R_1, R_2.$ ਅਤੇ $.R_3)$ ਅਤੇ ਤਿੰਨ ਕਾਲਮਾਂ $(C_1, C_2.$ ਅਤੇ $C_3)$ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ ਅਤੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਮੁੱਲ ਦਿੰਦੇ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ $A=[a _{i j}] _{3 \times 3}$ ਦੇ ਸਾਰਣੀਕ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ

$\text{ਭਾਵ}\qquad |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $

ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਦੇ ਨਾਲ ਵਿਸਤਾਰ $(\mathbf{R} _1)$

ਕਦਮ 1 $\mathbf{R} _ {1}$ ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਅੰਸ਼ $ a _ {11}$ ਨੂੰ $(-1)^{(1+1)}[(-1)^{.\text{sum of suffixes in } a _ {11}}.$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਸਾਰਣੀਕ ਨਾਲ ਜੋ ਕਿ $|A|$ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ $(R_1)$ ਅਤੇ ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ $(C _ {1})$ ਦੇ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਮਿਟਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ $a _ {11}$, $ R _ {1} $ ਅਤੇ $ C _ {1} $ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ,

$\text{ਭਾਵ,}\qquad (-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right| $

ਕਦਮ 2 $R_1$ ਦੇ ਦੂਜੇ ਅੰਸ਼ $a _{12}$ ਨੂੰ $(-1)^{1+2}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{12}}]$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਸਾਰਣੀਕ ਨਾਲ ਜੋ ਕਿ $|A|$ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ $(R_1)$ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਕਾਲਮ $(C_2)$ ਦੇ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਮਿਟਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ $a _{12}$, $R_1$ ਅਤੇ $C_2$ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ,

ਭਾਵ, $\quad(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33}\end{vmatrix}$

ਕਦਮ 3 $R_1$ ਦੇ ਤੀਜੇ ਅੰਸ਼ $a _{13}$ ਨੂੰ $(-1)^{1+3}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{13}}]$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਸਾਰਣੀਕ ਨਾਲ ਜੋ ਕਿ $|A|$ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ $(R_1)$ ਅਤੇ ਤੀਜੇ ਕਾਲਮ $(C_3)$ ਦੇ ਅੰਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਮਿਟਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ $a _{13}$, $R_1$ ਅਤੇ $C_3$ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ,

ਭਾਵ, $\quad(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32}\end{vmatrix}$

ਕਦਮ 4 ਹੁਣ A ਦੇ ਸਾਰਣੀਕ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ, ਭਾਵ, $|A|$, ਕਦਮ 1,2 ਅਤੇ 3 ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਸਾਰੇ ਤਿੰਨ ਪਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਵਜੋਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ

$$ \begin{aligned} & \operatorname{det} \mathrm{A}=|\mathrm{A}|=(-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right|+(-1)^{1+2} \quad a _{12}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{array}\right| \\ & +(-1)^{1+3} a _{13}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{array}\right| \end{aligned} $$

$ \begin{align*} \text{ਜਾਂ} \qquad |\mathrm{A}|= & a _{11}\left(a _{22} a _{33}-a _{32} a _{23}\right)-a _{12}\left(a _{21} a _{33}-a _{31} a _{23}\right) \\ & +a _{13}\left(a _{21} a _{32}-a _{31} a _{22}\right) \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{32} a _{23}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{31} a _{23}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \tag{1} \end{align*} $

ਨੋਟ ਅਸੀਂ ਸਾਰੇ ਚਾਰ ਕਦਮ ਇਕੱਠੇ ਲਾਗੂ ਕਰਾਂਗੇ।

ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਦੇ ਨਾਲ ਵਿਸਤਾਰ $(\mathbf{R} _2)$

$$ |A|=\begin{vmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \end{vmatrix} $$

$R_2$ ਦੇ ਨਾਲ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$ \begin{aligned} |A|= & (-1)^{2+1} a _{21}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{2+2} a _{22}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +(-1)^{2+3} a _{23}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ = & -a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{32} a _{13})+a _{22}(a _{11} a _{33}-a _{31} a _{13}) \\ & -a _{23}(a _{11} a _{32}-a _{31} a _{12}) \\ |A|= & -a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{32} a _{13}+a _{22} a _{11} a _{33}-a _{22} a _{31} a _{13}-a _{23} a _{11} a _{32} \\ & +a _{23} a _{31} a _{12} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

ਪਹਿਲੇ ਕਾਲਮ ਦੇ ਨਾਲ ਵਿਸਤਾਰ $(C_1)$

$$ |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $$

$C_1$ ਦੇ ਨਾਲ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$ \begin{aligned} |A|= & a _{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{21}(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +a _{31}(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{22} & a _{23} \end{vmatrix} \\ = & a _{11}(a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32})-a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})+a _{31}(a _{12} a _{23}-a _{13} a _{22}) \end{aligned} $ $ \begin{aligned} |A|= & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{13} a _{32}+a _{31} a _{12} a _{23} \\ & -a _{31} a _{13} a _{22} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ ‘ਤੇ, $|A|$ ਦੇ ਮੁੱਲ (1), (2) ਅਤੇ (3) ਵਿੱਚ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਇਹ ਪਾਠਕ ਲਈ ਇੱਕ ਅਭਿਆਸ ਵਜੋਂ ਛੱਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਉਹ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੇ ਕਿ $|A|$ ਦੇ ਮੁੱਲ $R_3, C_2$ ਅਤੇ $C_3$ ਦੇ ਨਾਲ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਕੇ, (1), (2) ਜਾਂ (3) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ $|A|$ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ।

ਇਸ ਲਈ, ਕਿਸੇ ਸਾਰਣੀਕ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਦੇ ਨਾਲ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਨ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹਾ ਮੁੱਲ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

ਟਿੱਪਣੀਆਂ

(i) ਆਸਾਨ ਗਣਨਾਵਾਂ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਾਰਣੀਕ ਨੂੰ ਉਸ ਕਤਾਰ ਜਾਂ ਕਾਲਮ ਦੇ ਨਾਲ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ।

(ii) ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੇ ਸਮੇਂ, $(-1)^{i+j}$ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਅਸੀਂ +1 ਜਾਂ -1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $(i+j)$ ਜਿਸਤ ਜਾਂ ਵਿਸਮ ਹੈ।

(iii) ਮੰਨ ਲਓ $A=\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 4 & 0\end{vmatrix}$ ਅਤੇ $B=\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{vmatrix}$। ਤਾਂ, ਇਹ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰਨਾ ਆਸਾਨ ਹੈ ਕਿ $A=2 B$। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ $|A|=0-8=-8$ ਅਤੇ $|B|=0-2=-2$।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ, $|A|=4(-2)=2^{2}|B|$ ਜਾਂ $|A|=2^{n}|B|$, ਜਿੱਥੇ $n=2$ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ $A$ ਅਤੇ $B$ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਹੈ।

ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਜੇ $A=k B$ ਜਿੱਥੇ $A$ ਅਤੇ $B$ ਕ੍ਰਮ $n$ ਦੇ ਵਰਗ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹਨ, ਤਾਂ $|A|=k^{n}$ $|B|$, ਜਿੱਥੇ $n=1,2,3$

ਉਦਾਹਰਣ 3 ਸਾਰਣੀਕ $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0\end{vmatrix}$ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਤੀਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਐਂਟਰੀਆਂ ਸਿਫ਼ਰ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਤੀਜੇ ਕਾਲਮ $(C_3)$ ਦੇ ਨਾਲ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$$ \begin{aligned} \Delta & =4\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}-0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \\ & =4(-1-12)-0+0=-52 \end{aligned} $$

ਉਦਾਹਰਣ 4 $\Delta=\begin{vmatrix}0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \\ -\sin \alpha & 0 & \sin \beta \\ \cos \alpha & -\sin \beta & 0\end{vmatrix}$ ਦਾ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ $R_1$ ਦੇ ਨਾਲ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$ \begin{aligned} \Delta & =0\begin{vmatrix} 0 & \sin \beta \\ -\sin \beta & 0 \end{vmatrix}-\sin \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & \sin \beta \\ \cos \alpha & 0 \end{vmatrix}-\cos \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & 0 \\ \cos \alpha & -\sin \beta \end{vmatrix} \\ & =0-\sin \alpha(0-\sin \beta \cos \alpha)-\cos \alpha(\sin \alpha \sin \beta-0) \\ & =\sin \alpha \sin \beta \cos \alpha-\cos \alpha \sin \alpha \sin \beta=0 \end{aligned} $

ਉਦਾਹਰਣ 5 $x$ ਦੇ ਉਹ ਮੁੱਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸ ਲਈ $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$।

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$ ਹੈ

ਭਾਵ $\qquad 3-x^{2}=3-8$

$\text{ਭਾਵ}\qquad \begin{aligned} x^{2} & =8 \\ \end{aligned} $

ਇਸ ਲਈ $\qquad\ x= \pm 2 \sqrt{2}$

4.3 ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

ਪਹਿਲਾਂ ਦੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਪੜ੍ਹਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਤਿਕੋਣ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ $(x_1, y_1),(x_2, y_2)$ ਅਤੇ $(x_3, y_3)$ ਹਨ, ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ $\frac{1}{2}[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+.$ $.x_3(y_1-y_2)]$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹੁਣ ਇਸ ਪ੍ਰਗਟਾਵੇ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀਕ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

$$ \Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} x _{1} & y _{1} & 1 \tag{1}\\ x _{2} & y _{2} & 1 \\ x _{3} & y _{3} & 1 \end{array}\right| $$

ਟਿੱਪਣੀਆਂ

(i) ਕਿਉਂਕਿ ਖੇਤਰਫਲ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਮਾਤਰਾ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਹਮੇਸ਼ਾ (1) ਵਿੱਚ ਸਾਰਣੀਕ ਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ।

(ii) ਜੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਗਣਨਾ ਲਈ ਸਾਰਣੀਕ ਦੇ ਧਨਾਤਮਕ ਅਤੇ ਰਿਣਾਤਮਕ ਦੋਵੇਂ ਮੁੱਲ ਵਰਤੋ।

(iii) ਤਿੰਨ ਸਮਰੇਖੀ ਬਿੰਦੂਆਂ ਦੁਆਰਾ ਬਣੇ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 6 ਉਸ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜਿਸਦੇ ਸਿਖਰ $(3,8),(-4,2)$ ਅਤੇ $(5,1)$ ਹਨ।

ਹੱਲ ਤਿਕੋਣ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ

$$ \begin{aligned} \Delta & =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{rrr} 3 & 8 & 1 \\ -4 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \end{array}\right|=\frac{1}{2}[3(2-1)-8(-4-5)+1(-4-10)] \\ & =\frac{1}{2}(3+72-14)=\frac{61}{2} \end{aligned} $$

ਉਦਾਹਰਣ 7 ਸਾਰਣੀਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ $A(1,3)$ ਅਤੇ $B(0,0)$ ਨੂੰ ਮਿਲਾਉਣ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਸਮੀਕਰਣ ਪਤਾ ਕਰੋ ਅਤੇ $k$ ਪਤਾ ਕਰੋ ਜੇ $D(k, 0)$ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ ਕਿ ਤਿਕੋਣ ABD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 3 ਵਰਗ ਇਕਾਈ ਹੈ।

ਹੱਲ ਮੰਨ ਲਓ $P(x, y)$, $AB$ ‘ਤੇ ਕੋਈ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਤਾਂ, ਤਿਕੋਣ ABP ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ (ਕਿਉਂ?)।

$\text{ਇਸ ਲਈ}\qquad \frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ x & y & 1 \end{array}\right|=0 $

$\text{ਇਹ ਦਿੰਦਾ ਹੈ}\qquad \frac{1}{2}(y-3 x)=0 \text{ ਜਾਂ } y=3 x $

ਜੋ ਕਿ ਲੋੜੀਂਦੀ ਰੇਖਾ $AB$ ਦਾ ਸਮੀਕਰਣ ਹੈ।

ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਤਿਕੋਣ ABD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ 3 ਵਰਗ ਇਕਾਈ ਹੈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ \frac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ k & 0 & 1 \end{vmatrix}= \pm 3 $

ਇਹ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, $\frac{-3 k}{2}= \pm 3$, ਭਾਵ, $k=\mp 2$।

4.4 ਲਘੂ ਅਤੇ ਸਹਿਅਗੁਣ

ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਲਘੂ ਅਤੇ ਸਹਿਅਗੁਣਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਾਰਣੀਕ ਦੇ ਵਿਸਤਾਰ ਨੂੰ ਲਿਖਣਾ ਸਿੱਖਾਂਗੇ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 1 ਇੱਕ ਸਾਰਣੀਕ ਦੇ ਅੰਸ਼ $a _{i j}$ ਦਾ ਲਘੂ ਉਹ ਸਾਰਣੀਕ ਹੈ ਜੋ ਉਸ $i$ ਵੀਂ ਕਤਾਰ ਅਤੇ $j$ ਵੇਂ ਕਾਲਮ ਨੂੰ ਮਿਟਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਅੰਸ਼ $a _{i j}$ ਸਥਿਤ ਹੈ। ਅੰਸ਼ $a _{i j}$ ਦੇ ਲਘੂ ਨੂੰ $M _{i j}$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਟਿੱਪਣੀ ਕ੍ਰਮ $n(n \geq 2)$ ਦੇ ਸਾਰਣੀਕ ਦੇ ਇੱਕ ਅੰਸ਼ ਦਾ ਲਘੂ ਕ੍ਰਮ $n-1$ ਦਾ ਇੱਕ ਸਾਰਣੀਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 8 ਸਾਰਣੀਕ $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}$ ਵਿੱਚ ਅੰਸ਼ 6 ਦਾ ਲਘੂ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਕਿਉਂਕਿ 6 ਦੂਜੀ ਕਤਾਰ ਅਤੇ ਤੀਜੇ ਕਾਲਮ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ, ਇਸਦਾ ਲਘੂ $M _{23}$ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ

$ M _{23}=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}=8-14=-6 \text{ (Δ ਵਿੱਚ } R_2 \text{ ਅਤੇ } C_3 \text{ ਨੂੰ ਮਿਟਾ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ) } $

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 2 ਅੰਸ਼ $a _{i j}$ ਦਾ ਸਹਿਅਗੁਣ, ਜਿਸਨੂੰ $A _{i j}$ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ

$ A _{i j}=(-1)^{i+j} M _{i j} \text{, ਜਿੱਥੇ } M _{i j} \text{, } a _{i j} \text{ ਦਾ ਲਘੂ ਹੈ। } $

ਉਦਾਹਰਣ 9 ਸਾਰਣੀਕ $\begin{vmatrix}1 & -2 \\ 4 & 3\end{vmatrix}$ ਦੇ ਸਾਰੇ ਅੰਸ਼ਾਂ ਦੇ ਲਘੂ ਅਤੇ ਸਹਿਅਗੁਣ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਅੰਸ਼ $a _{i j}$ ਦਾ ਲਘੂ $M _{i j}$ ਹੈ

ਇੱਥੇ $a _{11}=1$। ਇਸ ਲਈ $M _{11}=$। $a _{11}=3$ ਦਾ ਲਘੂ

$$ \begin{aligned} & \mathrm{M} _{12}=\text { Minor of the element } a _{12} =4 \\ & \mathrm{M} _{21}=\text { Minor of the element } a _{21} =-2 \\ & \mathrm{M} _{22}=\text { Minor of the element } a _{22} =1 \end{aligned} $$

ਹੁਣ, $a _{i j}$ ਦਾ ਸਹਿਅਗੁਣ $A _{i j}$ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ

$$ \begin{aligned} & A _{11}=(-1)^{1+1} \quad M _{11}=(-1)^{2}(3)=3 \\ & A _{12}=(-1)^{1+2} \quad M _{12}=(-1)^{3}(4)=-4 \\ & A _{21}=(-1)^{2+1} \quad M _{21}=(-1)^{3}(-2)=2 \\ & A _{22}=(-1)^{2+2} \quad M _{22}=(-1)^{4}(1)=1 \end{aligned} $$

ਉਦਾਹਰਣ 10 ਸਾਰਣੀਕ $ \Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $ ਦੇ ਅੰਸ਼ਾਂ $a _{11}, a _{21}$ ਦੇ ਲਘੂ ਅਤੇ ਸਹਿਅਗੁਣ ਪਤਾ ਕਰੋ।

ਹੱਲ ਲਘੂਆਂ ਅਤੇ ਸਹਿਅਗੁਣਾਂ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੁਆਰਾ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$a _{11}=M _{11}=\begin{vmatrix}a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}=a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32}$ ਦਾ ਲਘੂ $a _{11}=A _{11}=(-1)^{1+1} \quad M _{11}=a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32}$ ਦਾ ਸਹਿਅਗੁਣ $a _{21}=M _{21}=\begin{vmatrix}a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}=a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32}$ ਦਾ ਲਘੂ $a _{21}=A _{21}=(-1)^{2+1} \quad M _{21}=(-1)(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})=-a _{12} a _{33}+a _{13} a _{32}$ ਦਾ ਸਹਿਅਗੁਣ

ਟਿੱਪਣੀ ਸਾਰਣੀਕ $\Delta$ ਦਾ ਵਿਸਤਾਰ ਉਦਾਹਰਣ 21 ਵਿੱਚ, $R_1$ ਦੇ ਨਾਲ ਕਰਕੇ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ \begin{aligned} \Delta & =(-1)^{1+1} a _{11}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix} a _{21} & a _{23} \\