“ਸਾਰਾ ਵਿਗਿਆਨ ਰੋਜ਼ਾਨਾ ਸੋਚ ਦੇ ਸੁਧਾਰ ਤੋਂ ਬਿਨਾਂ ਹੋਰ ਕੁਝ ਨਹੀਂ ਹੈ।” - ਅਲਬਰਟ ਆਈਨਸਟਾਈਨ

5.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਇਹ ਅਧਿਆਆਇ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਕਲਾਸ 11 ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅਵਕਲਨ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਦੀ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕੁਝ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਜਿਵੇਂ ਬਹੁਪਦ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਅਵਕਲਨ ਕਰਨਾ ਸਿੱਖਿਆ ਸੀ। ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਾਤਤਾ, ਅਵਕਲਨੀਤਾ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਸੰਬੰਧਾਂ ਦੀਆਂ ਬਹੁਤ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਉਲਟ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅਵਕਲਨ ਬਾਰੇ ਵੀ ਸਿੱਖਾਂਗੇ। ਇਸ ਤੋਂ ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਨੂੰ ਘਾਤੰਕ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਵਕਲਨ ਦੀਆਂ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਤਕਨੀਕਾਂ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਅਸੀਂ ਅਵਕਲਨ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੁਆਰਾ ਕੁਝ ਰੇਖਾਗਣਿਤੀ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਸਪੱਸ਼ਟ ਸਥਿਤੀਆਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਮੌਲਿਕ ਪ੍ਰਮੇਯ ਸਿੱਖਾਂਗੇ।

5.2 ਸਾਤਤਾ

ਅਸੀਂ ਇਸ ਭਾਗ ਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਸਾਤਤਾ ਦੀ ਭਾਵਨਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਲਈ ਦੋ ਅਨੌਪਚਾਰਿਕ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਨਾਲ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੋ

$$ f(x)=\begin{cases} 1, \text{ if } x \leq 0 \\ 2, \text{ if } x>0 \end{cases}. $$

ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 5.1 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਕੋਈ ਵੀ ਗ੍ਰਾਫ ਤੋਂ ਇਹ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ $x$-ਧੁਰੇ ‘ਤੇ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਬਿੰਦੂਆਂ ‘ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਦੇ ਨੇੜੇ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, $x=0$ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ। 0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ‘ਤੇ, ਯਾਨੀ, $-0.1,-0.01,-0.001$ ਵਰਗੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ‘ਤੇ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ 1 ਹੈ। 0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ‘ਤੇ, ਯਾਨੀ, $0.1,0.01$ ਵਰਗੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ‘ਤੇ,

0.001 , ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ 2 ਹੈ। ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੀ ਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 0 ‘ਤੇ $f$ ਦੀ ਖੱਬੇ (ਅਨੁਕ੍ਰਮਵਾਰ ਸੱਜੇ) ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ 1 (ਅਨੁਕ੍ਰਮਵਾਰ 2) ਹੈ। ਖਾਸ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦੀਆਂ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $x=0$ ‘ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ ਨਾਲ ਮੇਲ ਖਾਂਦਾ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਇੱਕ ਸਟ੍ਰੋਕ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਬਣਾ ਸਕਦੇ, ਯਾਨੀ, ਕਾਗਜ਼ ਦੇ ਤਲ ਤੋਂ ਕਲਮ ਨੂੰ ਉਠਾਏ ਬਿਨਾਂ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਨਹੀਂ ਬਣਾ ਸਕਦੇ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਜਦੋਂ ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸਿਓਂ 0 ‘ਤੇ ਆਉਂਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਕਲਮ ਉਠਾਉਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ $x=0$ ‘ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਾਤਤ ਨਾ ਹੋਣ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਣ ਹੈ।

ਹੁਣ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ

$$ f(x)=\begin{cases} & 1, \text{ if } x \neq 0 \\ & 2, \text{ if } x=0 \end{cases} $$

ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੀ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ। $x=0$ ‘ਤੇ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੋਵੇਂ 1 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹਨ। ਪਰ $x=0$ ‘ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ 2 ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਜੋ ਖੱਬੇ ਅਤੇ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਦੇ ਸਾਂਝੇ ਮੁੱਲ ਨਾਲ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦਾ। ਦੁਬਾਰਾ, ਅਸੀਂ ਨੋਟ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਅਸੀਂ ਕਲਮ ਉਠਾਏ ਬਿਨਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਨਹੀਂ ਬਣਾ ਸਕਦੇ। ਇਹ $x=0$ ‘ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਾਤਤ ਨਾ ਹੋਣ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਣ ਹੈ।

ਸਰਲ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਸਾਤਤ ਹੈ ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਉਸ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਕਾਗਜ਼ ਦੇ ਤਲ ਤੋਂ ਕਲਮ ਉਠਾਏ ਬਿਨਾਂ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਇਸਨੂੰ ਸਹੀ ਢੰਗ ਨਾਲ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੱਸਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 1 ਮੰਨ ਲਓ $f$ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਉਪਸਮੂਹ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਓ $c$, $f$ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਤਾਂ $f$, $c$ ‘ਤੇ ਸਾਤਤ ਹੈ ਜੇਕਰ

$$ \lim _{x \to c} f(x)=f(c) $$

ਹੋਰ ਵਿਸਤਾਰ ਨਾਲ, ਜੇਕਰ ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ, ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ ਅਤੇ $x=c$ ‘ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣ, ਤਾਂ $f$ ਨੂੰ $x=c$ ‘ਤੇ ਸਾਤਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਜੇਕਰ $x=c$ ‘ਤੇ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਅਤੇ ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਮੇਲ ਖਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਾਂਝਾ ਮੁੱਲ $x=c$ ‘ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਸਾਤਤਾ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਦੱਸ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ $x=c$ ‘ਤੇ ਸਾਤਤ ਹੈ ਜੇਕਰ ਫੰਕਸ਼ਨ $x=c$ ‘ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਜੇਕਰ $x=c$ ‘ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ $x=c$ ‘ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੈ। ਜੇਕਰ $f$, $c$ ‘ਤੇ ਸਾਤਤ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $f$, $c$ ‘ਤੇ ਅਸਾਤਤ ਹੈ ਅਤੇ $c$ ਨੂੰ $f$ ਦਾ ਅਸਾਤਤਾ ਬਿੰਦੂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 1 ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਾਤਤਾ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ $f(x)=2 x+3$, $x=1$ ‘ਤੇ।

ਹੱਲ ਪਹਿਲਾਂ ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ $x=1$ ‘ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ 5 ਹੈ। ਫਿਰ $x=1$ ‘ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੱਭੋ। ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ

$$ \lim _{x \to 1} f(x)=\lim _{x \to 1}(2 x+3)=2(1)+3=5 $$

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ $\qquad \lim _{x \to 1} f(x)=5=f(1)$

ਇਸ ਲਈ, $f$, $x=1$ ‘ਤੇ ਸਾਤਤ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 2 ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, $f(x)=x^{2}$, $x=0$ ‘ਤੇ ਸਾਤਤ ਹੈ।

ਹੱਲ ਪਹਿਲਾਂ ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ $x=0$ ‘ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ 0 ਹੈ। ਫਿਰ $x=0$ ‘ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੱਭੋ। ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ

$$ \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}=0^{2}=0 $$

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ $\qquad \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0=f(0)$

ਇਸ ਲਈ, $f$, $x=0$ ‘ਤੇ ਸਾਤਤ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 3 ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਾਤਤਾ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ $f(x)=|x|$, $x=0$ ‘ਤੇ।

ਹੱਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ

$$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ if } x<0 \\ x, & \text{ if } x \geq 0\end{cases} $$

ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ 0 ‘ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ ਅਤੇ $f(0)=0$। 0 ‘ਤੇ $f$ ਦੀ ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ

$$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}}(-x)=0 $$

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, 0 ‘ਤੇ $f$ ਦੀ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ

$$ \lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} x=0 $$

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ, ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ ਅਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ $x=0$ ‘ਤੇ ਮੇਲ ਖਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, $f$, $x=0$ ‘ਤੇ ਸਾਤਤ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 4 ਦਰਸਾਓ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ

$$ f(x)= \begin{cases}x^{3}+3, & \text{ if } x \neq 0 \\ 1, & \text{ if } x=0\end{cases} $$

, $x=0$ ‘ਤੇ ਸਾਤਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਹੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ $x=0$ ‘ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ ਅਤੇ $x=0$ ‘ਤੇ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ 1 ਹੈ। ਜਦੋਂ $x \neq 0$, ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ,

$$ \lim _{x \to 0} f(x)=\lim _{x \to 0}(x^{3}+3)=0^{3}+3=3 $$

ਕਿਉਂਕਿ $x=0$ ‘ਤੇ $f$ ਦੀ ਸੀਮਾ $f(0)$ ਨਾਲ ਮੇਲ ਨਹੀਂ ਖਾਂਦੀ, ਫੰਕਸ਼ਨ $x=0$ ‘ਤੇ ਸਾਤਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ $x=0$ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਅਸਾਤਤਾ ਦਾ ਇਕਲੌਤਾ ਬਿੰਦੂ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 5 ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਜਾਂਚੋ ਜਿੱਥੇ ਸਥਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x)=k$ ਸਾਤਤ ਹੈ।

ਹੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਾਰੀਆਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ‘ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਅਨੁਸਾਰ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ‘ਤੇ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ $k$ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ $c$ ਕੋਈ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਤਾਂ

$$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} k=k $$

ਕਿਉਂਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ $c$ ਲਈ $f(c)=k=\lim _{x \to c} f(x)$, ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਹਰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ‘ਤੇ ਸਾਤਤ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 6 ਸਾਬਤ ਕਰੋ ਕਿ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ‘ਤੇ ਪਛਾਣ ਫੰਕਸ਼ਨ, $f(x)=x$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ, ਹਰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ‘ਤੇ ਸਾਤਤ ਹੈ।

ਹੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ ਅਤੇ ਹਰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ $c$ ਲਈ $f(c)=c$ ਹੈ।

ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c$

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\lim _{x \to c} f(x)=c=f(c)$ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ‘ਤੇ ਸਾਤਤ ਹੈ।

ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸਾਤਤਾ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਤੋਂ ਬਾਅਦ, ਹੁਣ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਸਾਤਤਾ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦਾ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਵਿਸਤਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 2 ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਨੂੰ ਸਾਤਤ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ $f$ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਸਾਤਤ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਥੋੜ੍ਹਾ ਵਿਸਤਾਰ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ $f$ ਇੱਕ ਬੰਦ ਅੰਤਰਾਲ $[a, b]$ ‘ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਤਾਂ $f$ ਦੇ ਸਾਤਤ ਹੋਣ ਲਈ, ਇਸਨੂੰ $[a, b]$ ਵਿੱਚ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਸਮੇਤ ਅੰਤ ਬਿੰਦੂਆਂ $a$ ਅਤੇ $b$ ‘ਤੇ ਸਾਤਤ ਹੋਣ ਦੀ ਲੋੜ ਹੈ। $a$ ‘ਤੇ $f$ ਦੀ ਸਾਤਤਾ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਅਤੇ $b$ ‘ਤੇ $f$ ਦੀ ਸਾਤਤਾ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ

$$ \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a) $$

$$ \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=f(b) $$

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ $\lim _{x \to a^{-}} f(x)$ ਅਤੇ $\lim _{x \to b^{+}} f(x)$ ਦਾ ਕੋਈ ਅਰਥ ਨਹੀਂ ਬਣਦਾ। ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਜੇਕਰ f ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਉੱਥੇ ਸਾਤਤ ਹੈ, ਯਾਨੀ, ਜੇਕਰ $f$ ਦਾ ਡੋਮੇਨ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲਟਨ ਹੈ, ਤਾਂ $f$ ਇੱਕ ਸਾਤਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 7 ਕੀ ਫੰਕਸ਼ਨ, $f(x)=|x|$ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ, ਇੱਕ ਸਾਤਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ?

ਹੱਲ ਅਸੀਂ $f$ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ

$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ if } x<0 \\ x, & \text{ if } x \geq 0\end{cases} $

ਉਦਾਹਰਣ 3 ਦੁਆਰਾ, ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $f$, $x=0$ ‘ਤੇ ਸਾਤਤ ਹੈ।

ਮੰਨ ਲਓ $c$ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $c<0$। ਤਾਂ $f(c)=-c$।

ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ $$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(-x)=-c$$

ਕਿਉਂਕਿ $\lim _{x \to c} f(x)=f(c), f$ ਸਾਰੀਆਂ ਰਿਣਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ‘ਤੇ ਸਾਤਤ ਹੈ।

ਹੁਣ, ਮੰਨ ਲਓ $c$ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $c>0$। ਤਾਂ $f(c)=c$। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ

$$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c $$

ਕਿਉਂਕਿ $\lim _{x \to c} f(x)=f(c), f$ ਸਾਰੀਆਂ ਧਨਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ‘ਤੇ ਸਾਤਤ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, $f$ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ‘ਤੇ ਸਾਤਤ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 8 ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸਾਤਤਾ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ $f(x)=x^{3}+x^{2}-1$।

ਹੱਲ ਸਪੱਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ $f$ ਹਰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ $c$ ‘ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ ਅਤੇ $c$ ‘ਤੇ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ $c^{3}+c^{2}-1$ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ

$$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}\left(x^{3}+x^{2}-1\right)=c^{3}+c^{2}-1 $$

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ $\lim _{x \to c} f(x)=f(c)$, ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ $f$ ਹਰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ‘ਤੇ ਸਾਤਤ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ $f$ ਇੱਕ ਸਾਤਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 9 ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਾਤਤਾ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰੋ, ਜਿੱਥੇ $f(x)=\frac{1}{x}, x \neq 0$।

ਹੱਲ ਕਿਸੇ ਵੀ ਗੈਰ-ਸਿਫ਼ਰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ $c$ ਨੂੰ ਫਿਕਸ ਕਰੋ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c} \frac{1}{x}=\frac{1}{c} $$

ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਕਿਉਂਕਿ $c \neq 0, f(c)=\frac{1}{c}$ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ $\lim _{x \to c} f(x)=f(c)$ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ, $f$, $f$ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਸਾਤਤ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ $f$ ਇੱਕ ਸਾਤਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਇਸ ਮੌਕੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਨੰਤ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਨੂੰ ਸਮਝਾਉਣ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਹ ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x)=\frac{1}{x}$ ਦਾ $x=0$ ਦੇ ਨੇੜੇ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਕੇ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਨੂੰ ਕਰਨ ਲਈ ਅਸੀਂ 0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਵਾਲੀਆਂ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ‘ਤੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਦੀ ਆਮ ਚਾਲ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ 0 ‘ਤੇ $f$ ਦੀ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕਰ ਰਹੇ ਹਾਂ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ (ਟੇਬਲ 5.1) ਵਿੱਚ ਸਾਰਨੀਕ੍ਰਿਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

ਟੇਬਲ 5.1

ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਿਵੇਂ-ਜਿਵੇਂ $x$ ਸੱਜੇ ਪਾਸਿਓਂ 0 ਦੇ ਨੇੜੇ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, $f(x)$ ਦਾ ਮੁੱਲ ਵੱਧਦਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਦੱਸਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ: $f(x)$ ਦਾ ਮੁੱਲ 0 ਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਇੱਕ ਧਨਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਚੁਣ ਕੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੰਖਿਆ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ

$$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=+\infty $$

(ਪੜ੍ਹਨ ਲਈ: 0 ‘ਤੇ $f(x)$ ਦੀ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ ਧਨ ਅਨੰਤ ਹੈ)। ਅਸੀਂ ਜ਼ੋਰ ਦੇਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $+\infty$ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ 0 ‘ਤੇ $f$ ਦੀ ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ (ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਵਜੋਂ) ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, 0 ‘ਤੇ $f$ ਦੀ ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ ਲੱਭੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਟੇਬਲ 5.2 ਸਵੈ-ਵਿਆਖਿਆਤਮਕ ਹੈ।

ਟੇਬਲ 5.2

ਟੇਬਲ 5.2 ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ 0 ਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਇੱਕ ਰਿਣਾਤਮਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਚੁਣ ਕੇ $f(x)$ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਸੰਖਿਆ ਤੋਂ ਛੋਟਾ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ

$$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=-\infty $$

(ਪੜ੍ਹਨ ਲਈ: 0 ‘ਤੇ $f(x)$ ਦੀ ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ ਰਿਣ ਅਨੰਤ ਹੈ)। ਦੁਬਾਰਾ, ਅਸੀਂ ਜ਼ੋਰ ਦੇਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $-\infty$ ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ 0 ‘ਤੇ $f$ ਦੀ ਖੱਬੇ ਹੱਥ ਦੀ ਸੀਮਾ (ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਵਜੋਂ) ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਚਿੱਤਰ 5.3 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਪਰਸਪਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਉਪਰੋਕਤ ਤੱਥਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਰੇਖਾਗਣਿਤੀ ਨਿਰੂਪਣ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 5.3

ਉਦਾਹਰਣ 10 ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਾਤਤਾ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰੋ

$$ f(x)=\begin{cases} x+2, \text{ if } x \leq 1 \\ x-2, \text{ if } x1 > 1 \\ \end{cases}. $$

ਹੱਲ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਵਾਸਤਵਿਕ ਰੇਖਾ ਦੇ ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂਆਂ ‘ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ।

ਕੇਸ 1 ਜੇਕਰ $c<1$, ਤਾਂ $f(c)=c+2$। ਇਸ ਲਈ, $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x+2)=c+2$

ਇਸ ਤ