“ਕੈਲਕੂਲਸ ਨੂੰ ਚਾਬੀ ਦੇ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਗਣਿਤ ਨੂੰ ਕੁਦਰਤ ਦੇ ਕੋਰਸ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕਰਨ ਲਈ ਸਫਲਤਾਪੂਰਵਕ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।” - ਵਾਈਟਹੈੱਡ

6.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਅਧਾਇ 5 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ ਕਿ ਕੰਪੋਜ਼ਿਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, ਉਲਟ ਤਿਕੋਣਮਿਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, ਅਸਪਸ਼ਟ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ, ਘਾਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਅਤੇ ਲਘੂਗਣਕ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਕਿਵੇਂ ਲੱਭਣਾ ਹੈ। ਇਸ ਅਧਾਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀਆਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤੋਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ, ਵਿਗਿਆਨ, ਸਮਾਜਿਕ ਵਿਗਿਆਨ, ਅਤੇ ਹੋਰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਿੱਖਾਂਗੇ ਕਿ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ (i) ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ, (ii) ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਕਿਸੇ ਵਕਰ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਲੰਬ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨ ਲੱਭਣ ਲਈ, (iii) ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ‘ਤੇ ਮੋੜ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭਣ ਲਈ ਜੋ ਸਾਡੀ ਮਦਦ ਕਰੇਗਾ ਕਿ ਉਹ ਬਿੰਦੂ ਲੱਭ ਸਕੀਏ ਜਿੱਥੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਜਾਂ ਛੋਟਾ ਮੁੱਲ (ਸਥਾਨਿਕ ਤੌਰ ‘ਤੇ) ਆਉਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਉਹ ਅੰਤਰਾਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਵੀ ਕਰਾਂਗੇ ਜਿਸ ‘ਤੇ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੁਝ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦਾ ਲਗਭਗ ਮੁੱਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

6.2 ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ

ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ $\\ \frac{ds}{dt} $ ਦੁਆਰਾ, ਅਸੀਂ ਦੂਰੀ $s$ ਦੇ ਸਮੇਂ $t$ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਦਾ ਮਤਲਬ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜਦੋਂ ਵੀ ਇੱਕ ਮਾਤਰਾ $y$ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਮਾਤਰਾ $x$ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲਦੀ ਹੈ, ਕੁਝ ਨਿਯਮ $y=f(x)$ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਤਾਂ $\frac{d y}{d x}$ (ਜਾਂ $f^{\prime}(x)$) $y$ ਦੀ $x$ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ $\frac{d y}{d x} _{x=x_0}(.$ ਜਾਂ $.f^{\prime}(x_0))$ $x=x_0$ ‘ਤੇ $y$ ਦੀ $x$ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਹੋਰ, ਜੇਕਰ ਦੋ ਚਲ $x$ ਅਤੇ $y$ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਚਲ $t$ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਰਹੇ ਹਨ, ਯਾਨੀ, ਜੇਕਰ $x=f(t)$ ਅਤੇ $y=g(t)$, ਤਾਂ ਚੇਨ ਨਿਯਮ ਦੁਆਰਾ

$$ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d t} / \frac{d x}{d t}, \text{ if } \frac{d x}{d t} \neq 0 $$

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, $y$ ਦੀ $x$ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਦੀ ਗਣਨਾ $y$ ਅਤੇ $x$ ਦੋਵਾਂ ਦੀ $t$ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ।

ਆਓ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ।

ਉਦਾਹਰਨ 1 ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੀ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਇਸਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $r$ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਲੱਭੋ ਜਦੋਂ $r=5 cm$।

ਹੱਲ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $r$ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ A, $A=\pi r^{2}$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਖੇਤਰਫਲ A ਦੀ ਇਸਦੇ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $r$ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ, $\frac{d A}{d r}=\frac{d}{d r}(\pi r^{2})=2 \pi r$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਜਦੋਂ $r=5 cm, \frac{d A}{d r}=10 \pi$। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $10 \pi cm^{2} / s$ ਦੀ ਦਰ ‘ਤੇ ਬਦਲ ਰਿਹਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 2 ਇੱਕ ਘਣ ਦਾ ਆਇਤਨ 9 ਘਣ ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ‘ਤੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਕਿਨਾਰੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ 10 ਸੈਂਟੀਮੀਟਰ ਹੈ, ਤਾਂ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ?

ਹੱਲ ਮੰਨ ਲਓ $x$ ਇੱਕ ਪਾਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਹੈ, $V$ ਆਇਤਨ ਹੈ ਅਤੇ $S$ ਘਣ ਦਾ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ। ਤਾਂ, $V=x^{3}$ ਅਤੇ $S=6 x^{2}$, ਜਿੱਥੇ $x$ ਸਮੇਂ $t$ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।

ਹੁਣ $ \qquad \frac{d V}{d t}=9 cm^{3} / s$ (ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ)

ਇਸ ਲਈ $ \qquad 9=\frac{d V}{d t}=\frac{d}{d t}(x^{3})=\frac{d}{d x}(x^{3}) \cdot \frac{d x}{d t} \quad(\text{ By Chain Rule })$

ਜਾਂ $ \qquad =3 x^{2} \cdot \frac{d x}{d t} $

ਹੁਣ $ \qquad \frac{d x}{d t}=\frac{3}{x^{2}} \tag{1}$

$$ \begin{array}{rlr} \frac{d S}{d t} & =\frac{d}{d t}\left(6 x^{2}\right)=\frac{d}{d x}\left(6 x^{2}\right) \cdot \frac{d x}{d t} & \text { (By Chain Rule) } \\ & =12 x \cdot\left(\frac{3}{x^{2}}\right)=\frac{36}{x} & \text { (Using (1) ) } \end{array} $$

ਇਸ ਲਈ, ਜਦੋਂ $ x=10 \mathrm{~cm}, \frac{d S}{d t}=3.6 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} $

ਉਦਾਹਰਨ 3 ਇੱਕ ਪੱਥਰ ਇੱਕ ਸ਼ਾਂਤ ਝੀਲ ਵਿੱਚ ਸੁੱਟਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਲਹਿਰਾਂ ਚੱਕਰਾਂ ਵਿੱਚ $4 cm$ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ ਦੀ ਗਤੀ ਨਾਲ ਚਲਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਸ ਪਲ, ਜਦੋਂ ਗੋਲਾਕਾਰ ਲਹਿਰ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $10 cm$ ਹੈ, ਤਾਂ ਘਿਰੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਵਾਧਾ ਹੋ ਰਿਹਾ ਹੈ?

ਹੱਲ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ $r$ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $A$, $A=\pi r^{2}$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਖੇਤਰਫਲ A ਦੀ ਸਮੇਂ $t$ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਹੈ

$$ \frac{d \mathrm{~A}}{d t}=\frac{d}{d t}\left(\pi r^{2}\right)=\frac{d}{d r}\left(\pi r^{2}\right) \cdot \frac{d r}{d t}=2 \pi r \frac{d r}{d t} $$

ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ $\frac{d r}{d t}=4 \mathrm{~cm}$

ਇਸ ਲਈ, $ r=10 \mathrm{~cm} $ $ \frac{d \mathrm{~A}}{d t}=2 \pi(10)(4)=80 \pi $

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਘਿਰੇ ਹੋਏ ਖੇਤਰਫਲ ਵਿੱਚ ਵਾਧਾ $80 \pi cm^{2} / s$ ਦੀ ਦਰ ‘ਤੇ ਹੋ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ $r=10 cm$।

ਨੋਟ $\frac{d y}{d x}$ ਧਨਾਤਮਕ ਹੈ ਜੇਕਰ $y$ ਵੱਧਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ $x$ ਵੱਧਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਰਿਣਾਤਮਕ ਹੈ ਜੇਕਰ $y$ ਘੱਟਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ $x$ ਵੱਧਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 4 ਇੱਕ ਆਇਤ ਦੀ ਲੰਬਾਈ $x$ $3 cm /$ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ‘ਤੇ ਘੱਟ ਰਹੀ ਹੈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ $y$ $2 cm /$ ਪ੍ਰਤੀ ਮਿੰਟ ਦੀ ਦਰ ‘ਤੇ ਵੱਧ ਰਹੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ $x=10 cm$ ਅਤੇ $y=6 cm$, ਤਾਂ (a) ਪਰਿਮਾਪ ਅਤੇ (b) ਆਇਤ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀਆਂ ਦਰਾਂ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ ਕਿਉਂਕਿ ਲੰਬਾਈ $x$ ਘੱਟ ਰਹੀ ਹੈ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ $y$ ਸਮੇਂ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਰਹੀ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ \frac{d x}{d t}=-3 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} \text { or } \frac{d y}{d t}=2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} $$

(a) ਇੱਕ ਆਇਤ ਦਾ ਪਰਿਮਾਪ $P$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ

$$ \mathrm{P}=2(x+y) $$

ਇਸ ਲਈ $ \frac{d \mathrm{P}}{d t}=2\left(\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}\right)=2(-3+2)=-2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} $

(b) ਆਇਤ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $A$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ

$ A=x \cdot y $

ਇਸ ਲਈ $ \begin{aligned} \frac{d \mathrm{~A}}{d t} & =\frac{d x}{d t} \cdot y+x \cdot \frac{d y}{d t} \\ & =-3(6)+10(2)(\text { ਕਿਉਂਕਿ } x=10 \mathrm{~cm} \text { ਅਤੇ } y=6 \mathrm{~cm}) \\ & =2 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{min} \end{aligned} $

ਉਦਾਹਰਨ 5 $x$ ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕੁੱਲ ਲਾਗਤ $C(x)$, ਰੁਪਏ ਵਿੱਚ, ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ

$$ C(x)=0.005 x^{3}-0.02 x^{2}+30 x+5000 $$

3 ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਉਤਪਾਦਨ ਹੋਣ ‘ਤੇ ਸੀਮਾਂਤ ਲਾਗਤ ਲੱਭੋ, ਜਿੱਥੇ ਸੀਮਾਂਤ ਲਾਗਤ ਦਾ ਅਰਥ ਕਿਸੇ ਵੀ ਆਉਟਪੁੱਟ ਪੱਧਰ ‘ਤੇ ਕੁੱਲ ਲਾਗਤ ਦੀ ਤਤਕਾਲ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਹੈ।

ਹੱਲ ਕਿਉਂਕਿ ਸੀਮਾਂਤ ਲਾਗਤ ਆਉਟਪੁੱਟ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ ਲਾਗਤ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ \begin{aligned} \text{ ਸੀਮਾਂਤ } \qquad \mathrm{MC} & =\frac{d \mathrm{C}}{d x}=0.005\left(3 x^{2}\right)-0.02(2 x)+30 \\ \text{ ਜਦੋਂ } \qquad \mathrm{MC} & =0.015\left(3^{2}\right)-0.04(3)+30 \\ & =0.135-0.12+30=30.015 \end{aligned} $

ਇਸ ਲਈ, ਲੋੜੀਂਦੀ ਸੀਮਾਂਤ ਲਾਗਤ ₹ 30.02 (ਲਗਭਗ) ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 6 $x$ ਇਕਾਈਆਂ ਦੇ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਵਿਕਰੀ ਤੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੁੱਲ ਆਮਦਨ ਰੁਪਏ ਵਿੱਚ, $R(x)=3 x^{2}+36 x+5$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ। ਸੀਮਾਂਤ ਆਮਦਨ ਲੱਭੋ, ਜਦੋਂ $x=5$, ਜਿੱਥੇ ਸੀਮਾਂਤ ਆਮਦਨ ਦਾ ਅਰਥ ਕਿਸੇ ਪਲ ‘ਤੇ ਵਿਕਰੀ ਹੋਈਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ ਆਮਦਨ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਹੈ।

ਹੱਲ ਕਿਉਂਕਿ ਸੀਮਾਂਤ ਆਮਦਨ ਵਿਕਰੀ ਹੋਈਆਂ ਇਕਾਈਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਕੁੱਲ ਆਮਦਨ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ \begin{aligned} \text{ ਸੀਮਾਂਤ ਆਮਦਨ } \qquad (MR) & =\frac{d R}{d x}=6 x+36 \end{aligned} $ $ \begin{aligned} \text{ ਜਦੋਂ } \qquad x & =5, MR=6(5)+36=66 \end{aligned} $

ਇਸ ਲਈ, ਲੋੜੀਂਦੀ ਸੀਮਾਂਤ ਆਮਦਨ ₹ 66 ਹੈ।

6.3 ਵੱਧਦੇ ਅਤੇ ਘੱਟਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ

ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਡਿਫਰੈਂਸੀਏਸ਼ਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ ਕੋਈ ਫੰਕਸ਼ਨ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਾਂ ਕੋਈ ਨਹੀਂ।

ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ $f(x)=x^{2}, x \in \mathbf{R}$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਗ੍ਰਾਫ ਚਿੱਤਰ 6.1 ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਇੱਕ ਪੈਰਾਬੋਲਾ ਹੈ।

ਮੂਲ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਮੁੱਲ

ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਵੱਲ ਜਾਂਦੇ ਹਾਂ, ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਉਚਾਈ ਘੱਟਦੀ ਹੈ

ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਵੱਲ ਜਾਂਦੇ ਹਾਂ, ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਉਚਾਈ ਵੱਧਦੀ ਹੈ ਮੂਲ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਮੁੱਲ

ਪਹਿਲਾਂ ਮੂਲ ਦੇ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਗ੍ਰਾਫ (ਚਿੱਤਰ 6.1) ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ‘ਤੇ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਵੱਲ ਜਾਂਦੇ ਹਾਂ, ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਉਚਾਈ ਲਗਾਤਾਰ ਵੱਧਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਕਾਰਨ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $x>0$ ਲਈ ਵੱਧਦਾ ਹੋਇਆ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਹੁਣ ਮੂਲ ਦੇ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਗ੍ਰਾਫ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਅਤੇ ਇੱਥੇ ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਗ੍ਰਾਫ ‘ਤੇ ਖੱਬੇ ਤੋਂ ਸੱਜੇ ਵੱਲ ਜਾਂਦੇ ਹਾਂ, ਗ੍ਰਾਫ ਦੀ ਉਚਾਈ ਲਗਾਤਾਰ ਘੱਟਦੀ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਅਸਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $x<0$ ਲਈ ਘੱਟਦਾ ਹੋਇਆ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਦੇਵਾਂਗੇ ਜੋ ਕਿਸੇ ਅੰਤਰਾਲ ‘ਤੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 1 ਮੰਨ ਲਓ I ਇੱਕ ਅਸਲ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਹੈ। ਤਾਂ $f$ ਨੂੰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

(i) I ‘ਤੇ ਵੱਧਦਾ ਹੋਇਆ ਜੇਕਰ $x_1<x_2$ ਵਿੱਚ $I \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ ਸਾਰੇ $x_1, x_2 \in I$ ਲਈ।

(ii) $I$ ‘ਤੇ ਘੱਟਦਾ ਹੋਇਆ, ਜੇਕਰ $x_1, x_2$ ਵਿੱਚ $I \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ ਸਾਰੇ $x_1, x_2 \in I$ ਲਈ।

(iii) $I$ ‘ਤੇ ਸਥਿਰ, ਜੇਕਰ $f(x)=c$ ਸਾਰੇ $x \in I$ ਲਈ, ਜਿੱਥੇ $c$ ਇੱਕ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੈ।

(iv) I ‘ਤੇ ਘੱਟਦਾ ਹੋਇਆ ਜੇਕਰ $x_1<x_2$ ਵਿੱਚ $I \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$ ਸਾਰੇ $x_1, x_2 \in I$ ਲਈ।

(v) I ‘ਤੇ ਸਖ਼ਤੀ ਨਾਲ ਘੱਟਦਾ ਹੋਇਆ ਜੇਕਰ $x_1<x_2$ ਵਿੱਚ $I \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ ਸਾਰੇ $x_1, x_2 \in I$ ਲਈ।

ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਿਕਲ ਨਿਰੂਪਣ ਲਈ ਚਿੱਤਰ 6.2 ਵੇਖੋ।

ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਾਂਗੇ ਕਿ ਕਦੋਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜਾਂ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 2 ਮੰਨ ਲਓ $x_0$ ਇੱਕ ਅਸਲ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਹੈ। ਤਾਂ $f$ ਨੂੰ $x_0$ ‘ਤੇ ਵੱਧਦਾ, ਘੱਟਦਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਖੁੱਲ੍ਹਾ ਅੰਤਰਾਲ I ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ $x_0$ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ⟦159⟅ ਕ੍ਰਮਵਾਰ I ਵਿੱਚ ਵੱਧਦਾ, ਘੱਟਦਾ ਹੈ।

ਆਓ ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਵੱਧਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਲਈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਰੀਏ।

ਉਦਾਹਰਨ 7 ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x)=7 x-3$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ, $\mathbf{R}$ ‘ਤੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।

ਹੱਲ ਮੰਨ ਲਓ $x_1$ ਅਤੇ $x_2$ $\mathbf{R}$ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਦੋ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਤਾਂ

$$ \begin{aligned} x _{1}<x _{2} & \Rightarrow 7 x _{1}<7 x _{2} \\ & \Rightarrow 7 x _{1}-3<7 x _{2}-3 \\ & \Rightarrow f\left(x _{1}\right)<f\left(x _{2}\right) \end{aligned} $$

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ 1 ਦੁਆਰਾ, ਇਹ ਅਨੁਸਰਣ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ $f$ $\mathbf{R}$ ‘ਤੇ ਸਖ਼ਤੀ ਨਾਲ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਹੁਣ ਵੱਧਦੇ ਅਤੇ ਘੱਟਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਪਹਿਲਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਟੈਸਟ ਦੇਵਾਂਗੇ। ਇਸ ਟੈਸਟ ਦੇ ਸਬੂਤ ਲਈ ਅਧਾਇ 5 ਵਿੱਚ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਮੀਨ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ।

ਪ੍ਰਮੇਯ 1 ਮੰਨ ਲਓ $f$ $[a, b]$ ‘ਤੇ ਸਤਤ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਖੁੱਲ੍ਹੇ ਅੰਤਰਾਲ $(a, b)$ ‘ਤੇ ਡਿਫਰੈਂਸੀਏਬਲ ਹੋਵੇ। ਤਾਂ

(a) $f$ $[a, b]$ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੇਕਰ $f^{\prime}(x)>0$ ਹਰੇਕ $x \in(a, b)$ ਲਈ

(b) $f$ $[a, b]$ ਵਿੱਚ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ ਜੇਕਰ $f^{\prime}(x)<0$ ਹਰੇਕ $x \in(a, b)$ ਲਈ

(c) $f$ $[a, b]$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਜੇਕਰ $f^{\prime}(x)=0$ ਹਰੇਕ $x \in(a, b)$ ਲਈ

ਸਬੂਤ (a) ਮੰਨ ਲਓ $x_1, x_2 \in[a, b]$ ਅਜਿਹੇ ਹੋਣ ਕਿ $x_1<x_2$।

ਤਾਂ, ਮੀਨ ਵੈਲਿਊ ਥਿਊਰਮ (ਅਧਾਇ 5 ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਮੇਯ 8) ਦੁਆਰਾ, ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ $c$ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਜੋ $x_1$ ਅਤੇ $x_2$ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ

$$ f\left(x _{2}\right)-f\left(x _{1}\right)=f^{\prime}(c)\left(x _{2}-x _{1}\right) $$

ਯਾਨੀ $\begin{array}{ll} f\left(x _{2}\right)-f\left(x _{1}\right)>0 & \left(\text { given } f^{\prime}(c)>0\right) \end{array}$

ਯਾਨੀ $f(x_2)>f(x_1)$

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ $x_1<x_2 \quad f(x_1) \quad f(x_2), \text{ for all } x_1, x_2 \quad[a, b]$

ਇਸ ਲਈ, $f$ $[a, b]$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਵੱਧਦਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ।

ਭਾਗ (b) ਅਤੇ (c) ਦੇ ਸਬੂਤ ਸਮਾਨ ਹਨ। ਇਹ ਪਾਠਕ ਲਈ ਇੱਕ ਅਭਿਆਸ ਦੇ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਛੱਡਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।

ਟਿੱਪਣੀਆਂ

ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸਧਾਰਨ ਪ੍ਰਮੇਯ ਹੈ, ਜੋ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਜੇਕਰ $f \phi(x)>0$ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ $x$ ਲਈ, ਅੰਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ, ਅਤੇ $f$ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਸਤਤ ਹੈ, ਤਾਂ $f$ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ $f \phi(x)<0$ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ $x$ ਲਈ, ਅੰਤ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ, ਅਤੇ $f$ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਸਤਤ ਹੈ, ਤਾਂ $f$ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 8 ਦਿਖਾਓ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ

$\mathbf{R}$ ‘ਤੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।

$$ f(x)=x^{3}-3 x^{2}+4 x, x \in \mathbf{R} $$

ਹੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ

$$ \begin{aligned} f^{\prime}(x) & =3 x^{2}-6 x+4 \\ & =3(x^{2}-2 x+1)+1 \\ & =3(x-1)^{2}+1>0, \text{ in every interval of } \mathbf{R} \end{aligned} $$

ਇਸ ਲਈ, ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ $\mathbf{R}$ ‘ਤੇ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 9 ਸਾਬਤ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ $f(x)=\cos x$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ

(a) $(0, \pi)$ ਵਿੱਚ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ

(b) $(\pi, 2 \pi)$ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਅਤੇ

(c) $(0,2 \pi)$ ਵਿੱਚ ਨਾ ਤਾਂ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।

ਹੱਲ ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ $f^{\prime}(x)=-\sin x$

(a) ਕਿਉਂਕਿ ਹਰੇਕ $x \in(0, \pi), \sin x>0$ ਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ $f^{\prime}(x)<0$ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ $f$ $(0, \pi)$ ਵਿੱਚ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।

(b) ਕਿਉਂਕਿ ਹਰੇਕ $x \in(\pi, 2 \pi)$ ਲਈ, $\sin x<0$, ਸਾਡੇ ਕੋਲ $f^{\prime}(x)>0$ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ $f$ $(\pi, 2 \pi)$ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।

(c) ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਉੱਪਰ (a) ਅਤੇ (b) ਦੁਆਰਾ, $f$ $(0,2 \pi)$ ਵਿੱਚ ਨਾ ਤਾਂ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਨਾ ਹੀ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 10 ਉਹ ਅੰਤਰਾਲ ਲੱਭੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ $f(x)=x^{2}-4 x+6$ ਹੈ (a) ਵੱਧਦਾ (b) ਘੱਟਦਾ

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ f(x)=x^{2}-4 x+6 $$ $ ਜਾਂ \qquad f^{\prime}(x)=2 x-4 $

ਇਸ ਲਈ, $f^{\prime}(x)=0$ ਦਿੰਦਾ ਹੈ $x=2$। ਹੁਣ ਬਿੰਦੂ $x=2$ ਅਸਲ ਰੇਖਾ ਨੂੰ ਦੋ ਅਲੱਗ-ਅਲੱਗ ਅੰਤਰਾਲਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਦਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ, $(-\infty, 2)$ ਅਤੇ $(2, \infty)$ (ਚਿੱਤਰ 6.3)। ਅੰਤਰਾਲ $(-\infty, 2), f^{\prime}(x)=2 x$ ਵਿੱਚ $-4<0$।

ਇਸ ਲਈ, $f$ ਇਸ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਘੱਟ ਰਿਹਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅੰਤਰਾਲ $(2, \infty), f^{\prime}(x)>0$ ਵਿੱਚ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਇਸ ਅੰਤਰਾਲ ਵਿੱਚ ਵੱਧ ਰਿਹਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 11 ਉਹ ਅੰਤਰਾਲ ਲੱਭੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ⟦