ਜਿਵੇਂ ਇੱਕ ਪਰਬਤਾਰੋਹੀ ਪਹਾੜ ਚੜ੍ਹਦਾ ਹੈ - ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਉੱਥੇ ਹੈ, ਉਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇੱਕ ਚੰਗਾ ਗਣਿਤ ਦਾ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਨਵੀਂ ਸਮੱਗਰੀ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਉੱਥੇ ਹੈ। - ਜੇਮਜ਼ ਬੀ. ਬ੍ਰਿਸਟਲ

7.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਅਵਕਲਨ ਕੈਲਕੁਲਸ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ‘ਤੇ ਕੇਂਦ੍ਰਿਤ ਹੈ। ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਾ ਮੂਲ ਉਦੇਸ਼ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫਾਂ ਲਈ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਅਜਿਹੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਢਲਾਣ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਸੀ। ਸਮਾਕਲਨ ਕੈਲਕੁਲਸ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਬੰਨ੍ਹੇ ਖੇਤਰ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਅਤੇ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਤੋਂ ਪ੍ਰੇਰਿਤ ਹੈ।

ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ $I$ ਵਿੱਚ ਅਵਕਲਨਯੋਗ ਹੈ, ਯਾਨੀ, ਇਸਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ $f$ ’ $I$ ਦੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸਵਾਲ ਉੱਠਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੀ I ਦੇ ਹਰ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ $f^{\prime}$ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ, ਅਸੀਂ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਜਿਹੜੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸੰਭਵ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੇ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਦੇ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਉਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਜ (ਜਾਂ ਪ੍ਰਾਚੀਨ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ, ਫਾਰਮੂਲਾ ਜੋ ਦਿੰਦਾ ਹੈ

ਜੀ.ਡਬਲਿਊ. ਲੀਬਨਿਟਜ਼ (1646 - 1716)

ਇਹ ਸਾਰੇ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਜ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਕਹਾਉਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਜ ਲੱਭਣ ਦੀ ਅਜਿਹੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਸਮਾਕਲਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੀ ਕਿਸਮ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਵਿਹਾਰਕ ਸਥਿਤੀਆਂ ਵਿੱਚ ਉਤਪੰਨ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਦੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਲ ‘ਤੇ ਤਤਕਾਲੀਨ ਵੇਗ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸਵਾਲ ਉੱਠਦਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ, ਕੀ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਲ ‘ਤੇ ਵਸਤੂ ਦੀ ਸਥਿਤੀ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਵਿਹਾਰਕ ਅਤੇ ਸਿਧਾਂਤਕ ਸਥਿਤੀਆਂ ਹਨ ਜਿੱਥੇ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸਮਾਕਲਨ ਕੈਲਕੁਲਸ ਦਾ ਵਿਕਾਸ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਕਿਸਮਾਂ ਦੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਯਤਨਾਂ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਆਉਂਦਾ ਹੈ:

(ਉ) ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਜਦੋਂ ਇਸਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੋਵੇ,

(ਅ) ਕੁਝ ਸ਼ਰਤਾਂ ਅਧੀਨ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਗ੍ਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਬੰਨ੍ਹੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ।

ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਦੀਆਂ ਦੋ ਕਿਸਮਾਂ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਉਦਾਹਰਣ ਲਈ, ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ, ਜੋ ਮਿਲ ਕੇ ਸਮਾਕਲਨ ਕੈਲਕੁਲਸ ਦਾ ਗਠਨ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਇੱਕ ਕੜੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਦੀ ਮੂਲ ਪ੍ਰਮੇਯ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਅਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ, ਜੋ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਨੂੰ ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਇੰਜੀਨੀਅਰਿੰਗ ਲਈ ਇੱਕ ਵਿਹਾਰਕ ਔਜ਼ਾਰ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਰਥ ਸ਼ਾਸਤਰ, ਵਿੱਤ ਅਤੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵਰਗੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਵਿਸ਼ਿਆਂ ਤੋਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਦਿਲਚਸਪ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਇਸ ਅਧਿਆਏ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਅਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਅਤੇ ਉਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਮੁੱਢਲੇ ਗੁਣਾਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਰੱਖਾਂਗੇ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਤਕਨੀਕਾਂ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ।

7.2 ਸਮਾਕਲਨ, ਅਵਕਲਨ ਦੀ ਉਲਟ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਵਜੋਂ

ਸਮਾਕਲਨ ਅਵਕਲਨ ਦੀ ਉਲਟ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਅਵਕਲਿਤ ਕਰਨ ਦੀ ਬਜਾਏ, ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਪ੍ਰਾਚੀਨ, ਯਾਨੀ, ਮੂਲ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਨੂੰ ਸਮਾਕਲਨ ਜਾਂ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਓ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ:

$\text{ ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ }\quad \begin{equation*} \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x \tag{1} \end{equation*} $

$$ \begin{equation*} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2} \tag{2} \end{equation*} $$

$\text{ ਅਤੇ }\quad \begin{equation*} \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} \tag{3} \end{equation*} $

ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ (1) ਵਿੱਚ, ਫੰਕਸ਼ਨ $\cos x$, $\sin x$ ਦਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਕਹਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $\sin x$, $\cos x$ ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਜ (ਜਾਂ ਸਮਾਕਲਨ) ਹੈ। ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, (2) ਅਤੇ (3) ਵਿੱਚ, $\frac{x^{3}}{3}$ ਅਤੇ $e^{x}$ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $x^{2}$ ਅਤੇ $e^{x}$ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਜ (ਜਾਂ ਸਮਾਕਲਨ) ਹਨ। ਦੁਬਾਰਾ, ਅਸੀਂ ਧਿਆਨ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ $C$ ਲਈ, ਨਿਰੰਤਰ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਇਸਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ (1), (2) ਅਤੇ (3) ਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:

$$ \frac{d}{d x}(\sin x+C)=\cos x, \frac{d}{d x}(\frac{x^{3}}{3}+C)=x^{2} \text{ and } \frac{d}{d x}(e^{x}+C)=e^{x} $$

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਉੱਪਰਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਜ (ਜਾਂ ਸਮਾਕਲਨ) ਵਿਲੱਖਣ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਇਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਅਨੰਤ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਜ ਮੌਜੂਦ ਹਨ ਜੋ $C$ ਨੂੰ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਤੋਂ ਮਨਮਰਜ਼ੀ ਨਾਲ ਚੁਣ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਇਸ ਕਾਰਨ $C$ ਨੂੰ ਰਵਾਇਤੀ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਮਨਮਾਨੀ ਨਿਰੰਤਰਕ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, $C$ ਉਹ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਬਦਲ ਕੇ ਕੋਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਜ (ਜਾਂ ਸਮਾਕਲਨ) ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਵਧੇਰੇ ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ $F$ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $\frac{d}{d x} F(x)=f(x), \forall x \in I$ (ਅੰਤਰਾਲ), ਤਾਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਮਨਮਾਨੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ $C$ ਲਈ, (ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਨਿਰੰਤਰਕ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ)

$ \frac{d}{d x}[F(x)+C]=f(x), x \in I $

ਇਸ ਲਈ, $\qquad\{F+C, C \in \mathbf{R}\} \text{ denotes a family of anti derivatives of } f \text{. }$

ਟਿੱਪਣੀ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵਾਲੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰਕ ਦੁਆਰਾ ਵੱਖਰੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਸਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ $g$ ਅਤੇ $h$ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਅੰਤਰਾਲ I ‘ਤੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹਨ।

ਫੰਕਸ਼ਨ $f=g-h$ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜਿਸਨੂੰ $f(x)=g(x)-h(x), \forall x \in I$ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ

ਫਿਰ $\qquad \frac{d f}{d x}=f^{\prime}=g^{\prime}-h^{\prime} \text{ giving } f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)-h^{\prime}(x) \forall x \in I$

ਜਾਂ $\qquad f^{\prime}(x)=0, \forall x \in I \text{ by hypothesis, }$

ਯਾਨੀ, $f$ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ $x$ ਦੇ ਪਰਿਵਰਤਨ ਦੀ ਦਰ $I$ ‘ਤੇ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ $f$ ਨਿਰੰਤਰ ਹੈ।

ਉੱਪਰਲੀ ਟਿੱਪਣੀ ਦੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਤੋਂ, ਇਹ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣਾ ਉਚਿਤ ਹੈ ਕਿ ਪਰਿਵਾਰ $\{F+C, C \in \mathbf{R}\}$, $f$ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸੰਭਾਵਿਤ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਜ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਨਵਾਂ ਚਿੰਨ੍ਹ ਪੇਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਯਾਨੀ, $\int f(x) d x$ ਜੋ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਜਾਂ ਦੇ ਸਾਰੇ ਵਰਗ ਦੀ ਨੁਮਾਇੰਦਗੀ ਕਰੇਗਾ, ਜਿਸਨੂੰ $f$ ਦਾ $x$ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਪੜ੍ਹਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਚਿੰਨ੍ਹਾਤਮਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ $\int f(x) d x=F(x)+C$।

ਸੰਕੇਤ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ $\frac{d y}{d x}=f(x)$, ਅਸੀਂ ਲਿਖਦੇ ਹਾਂ $y=\int f(x) d x$।

ਸਹੂਲਤ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਚਿੰਨ੍ਹਾਂ/ਸ਼ਬਦਾਂ/ਵਾਕਾਂਸ਼ਾਂ ਦਾ ਜ਼ਿਕਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

ਟੇਬਲ 7.1

ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਾਂ ਲਈ ਫਾਰਮੂਲੇ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਤੁਰੰਤ ਇਨ੍ਹਾਂ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਲਈ ਸੰਬੰਧਿਤ ਫਾਰਮੂਲੇ (ਮਾਨਕ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਜੋਂ ਜਾਣੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ) ਹੇਠਾਂ ਸੂਚੀਬੱਧ ਅਨੁਸਾਰ ਲਿਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਹੋਰ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸਮਾਕਲਨ ਲੱਭਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਵੇਗੀ।

$ \begin{array}{ll} \text{ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ} & \text{ਸਮਾਕਲਨ (ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਜ)} \\ \\ \text{(i)} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^{n} & \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathrm{C}, n \neq-1 \\ \\ \text{ਖਾਸ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਧਿਆਨ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ} & \\ \\ \frac{d}{d x}(x)=1 & \int d x=x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(ii)} \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x & \int \cos x d x=\sin x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(iii)} \frac{d}{d x}(-\cos x)=\sin x & \int \sin x d x=-\cos x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(iv)} \frac{d}{d x}(\tan x)=\sec ^{2} x & \int \sec ^{2} x d x=\tan x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(v)} \frac{d}{d x}(-\cot x)=\operatorname{cosec}^{2} x & \int \operatorname{cosec}^{2} x d x=-\cot x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(vi)} \frac{d}{d x}(\sec x)=\sec x \tan x & \int \operatorname{cosec} x \cot x d x=-\operatorname{cosec} x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(vii)} \frac{d}{d x}(-\operatorname{cosec} x)=\operatorname{cosec} x \cot x & \int \sec x \tan x d x=\sec x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (viii) } \frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sin ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (ix) } \frac{d}{d x}\left(-\cos ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\cos ^{-1} x+\mathrm{C} \end{array} $

$ \begin{array}{ll} \text { (x) } \frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\tan ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xi) } \frac{d}{d x}\left(-\cot ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=-\cot ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xii) } \frac{d}{d x}\left(\sec ^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=\sec ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xiii) } \frac{d}{d x}\left(-\operatorname{cosec}^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=-\operatorname{cosec}^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xiv) } \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} & \int e^{x} d x=e^{x}+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xv) } \frac{d}{d x}(\log |x|)=\frac{1}{x} & \int \frac{1}{x} d x=\log |x|+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xvi) } \frac{d}{d x}\left(\frac{a^{x}}{\log a}\right)=a^{x} & \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\log a}+\mathrm{C} \end{array} $

ਨੋਟ ਅਭਿਆਸ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਉਸ ਅੰਤਰਾਲ ਦਾ ਜ਼ਿਕਰ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ ਜਿਸ ਉੱਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਕਿਸੇ ਵੀ ਖਾਸ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨੂੰ ਇਸਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ।

7.2.1 ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਦੇ ਕੁਝ ਗੁਣ

ਇਸ ਉਪ-ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨਾਂ ਦੇ ਕੁਝ ਗੁਣ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਾਂਗੇ।

(I) ਅਵਕਲਨ ਅਤੇ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦੇ ਅਰਥਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਦੂਜੇ ਦੇ ਉਲਟ ਹਨ:

$$ \frac{d}{d x} \int f(x) d x=f(x) $$

ਅਤੇ $\qquad \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C \text{, where } C \text{ is any arbitrary constant. }$

ਸਬੂਤ ਮੰਨ ਲਓ $F$, $f$ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਜ ਹੋਵੇ, ਯਾਨੀ,

$$ \frac{d}{d x} F(x)=f(x) $$

$$ \text{ }\qquad \int f(x) d x=F(x)+C $$

$ \text{ ਇਸ ਲਈ }\qquad \begin{aligned} \frac{d}{d x} \int f(x) d x & =\frac{d}{d x}(F(x)+C) \\ & =\frac{d}{d x} F(x)=f(x) \end{aligned} $

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਧਿਆਨ ਦਿੰਦੇ ਹਾਂ ਕਿ

$$ f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} f(x) $$

ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ$\qquad \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C$

ਜਿੱਥੇ $C$ ਮਨਮਾਨੀ ਨਿਰੰਤਰਕ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਨਿਰੰਤਰਕ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

(II) ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵਾਲੇ ਦੋ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲਨ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਾਰ ਵੱਲ ਲੈ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਉਹ ਸਮਾਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਸਬੂਤ ਮੰਨ ਲਓ $f$ ਅਤੇ $g$ ਦੋ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ

$$\frac{d}{d x} \int f(x) d x=\frac{d}{d x} \int g(x) d x$$

ਜਾਂ $\qquad \frac{d}{d x}[\int f(x) d x-\int g(x) d x]=0$

ਇਸ ਲਈ $\quad \int f(x) d x-\int g(x) d x=C$, ਜਿੱਥੇ $C$ ਕੋਈ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ

ਜਾਂ $\qquad \int f(x) d x=\int g(x) d x+C$

ਇਸ ਲਈ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਪਰਿਵਾਰ $\{\int f(x) d x+C_1, C_1 \in R\}$

ਅਤੇ $\qquad\{\int g(x) d x+C_2, C_2 \in R\} \text{ are identical. }$

ਇਸ ਲਈ, ਇਸ ਅਰਥ ਵਿੱਚ, $\int f(x) d x$ ਅਤੇ $\int g(x) d x$ ਸਮਾਨ ਹਨ।

ਨੋਟ ਪਰਿਵਾਰਾਂ $\{\int f(x) d x+C_1, C_1 \in \mathbf{R}\}$ ਅਤੇ $\{\int g(x) d x+\mathbf{C} _2, \mathbf{C} _2 \in \mathbf{R}\}$ ਦੀ ਸਮਾਨਤਾ ਨੂੰ ਰਵਾਇਤੀ ਤੌਰ ‘ਤੇ $\int f(x) d x=\int g(x) d x$ ਲਿਖ ਕੇ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਬਿਨਾਂ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਦਾ ਜ਼ਿਕਰ ਕੀਤੇ।

(III) $\int[f(x)+g(x)] d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x$

ਸਬੂਤ ਗੁਣ (I) ਦੁਆਰਾ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$ \frac{d}{d x}[\int[f(x)+g(x)] d x]=f(x)+g(x) $

ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ

$ \begin{aligned} \frac{d}{d x}[\int f(x) d x+\int g(x) d x] & =\frac{d}{d x} \int f(x) d x+\frac{d}{d x} \int g(x) d x \\ & =f(x)+g(x) \end{aligned} $

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਗੁਣ (II) ਦੇ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਤੋਂ, ਇਹ (1) ਅਤੇ (2) ਦੁਆਰਾ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ

$$ \int(f(x)+g(x)) d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x . $$

(IV) ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ $k, \int k f(x) d x=k \int f(x) d x$ ਲਈ

ਸਬੂਤ ਗੁਣ (I) ਦੁਆਰਾ, $\frac{d}{d x} \int k f(x) d x=k f(x)$.

ਵੀ $\quad \frac{d}{d x}[k \int f(x) d x]=k \frac{d}{d x} \int f(x) d x=k f(x)$

ਇਸ ਲਈ, ਗੁਣ (II) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ $\int k f(x) d x=k \int f(x) d x$ ਹੈ।

(V) ਗੁਣ (III) ਅਤੇ (IV) ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੀਮਿਤ ਸੰਖਿਆ ਵਿੱਚ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ $f_1, f_2, \ldots, f_n$ ਅਤੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ, $k_1, k_2, \ldots, k_n$ ਨੂੰ ਦਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਸਧਾਰਨ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

$$ \begin{aligned} & \int[k_1 f_1(x)+k_2 f_2(x)+\ldots+k_n f_n(x)] d x \\ & =k_1 \int f_1(x) d x+k_2 \int f_2(x) d x+\ldots+k_n \int f_n(x) d x . \end{aligned} $$

ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਜ ਲੱਭਣ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਸਹਿਜ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਖੋਜ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ। ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਜ ਲੱਭਣ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਖੋਜ ਨੂੰ ਨਿਰੀਖਣ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੁਆਰਾ ਸਮਾਕਲਨ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਇਸਨੂੰ ਕੁਝ ਉਦਾਹਰਣਾਂ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਾਂ।

ਉਦਾਹਰਣ 1 ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਹਰੇਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਨਿਰੀਖਣ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਜ ਲਿਖੋ:

(i) $\cos 2 x$

(ii) $3 x^{2}+4 x^{3}$

(iii) $\frac{1}{x}, x \neq 0$

ਹੱਲ

(i) ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਖੋਜ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ $\cos 2 x$ ਹੈ। ਯਾਦ ਰੱਖੋ ਕਿ

$ \begin{gathered} \frac{d}{d x} \sin 2 x=2 \cos 2 x \\ \end{gathered} $

ਜਾਂ $\cos 2 x=\frac{1}{2} \frac{d}{d x}(\sin 2 x)=\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{2} \sin 2 x\right)$

ਇਸ ਲਈ, $\cos 2 x$ ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਜ $\frac{1}{2} \sin 2 x$ ਹੈ।

(ii) ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਖੋਜ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜਿਸਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ $3 x^{2}+4 x^{3}$ ਹੈ। ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ

$ \frac{d}{d x}(x^{3}+x^{4})=3 x^{2}+4 x^{3} $

ਇਸ ਲਈ, $3 x^{2}+4 x^{3}$ ਦਾ ਇੱਕ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਜ $x^{3}+x^{4}$ ਹੈ।

(iii) ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ

$\frac{d}{d x}(\log x)=\frac{1}{x}, x>0$ ਅਤੇ $\frac{d}{d x}[\log (-x)]=\frac{1}{-x}(-1)=\frac{1}{x}, x<0$

ਉੱਪਰਲੇ ਨੂੰ ਜੋੜ ਕੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ $\frac{d}{d x}(\log |x|)=\frac{1}{x}, x \neq 0$

ਇਸ ਲਈ, $\int \frac{1}{x} d x=\log |x|$, $\frac{1}{x}$ ਦੇ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਜਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਣ 2 ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਮਾਕਲਨ ਲੱਭੋ:

(i) $\int \frac{x^{3}-1}{x^{2}} d x$

(ii) $\int(x^{\frac{2}{3}}+1) d x$

(iii) $\int(x^{\frac{3}{2}}+2 e^{x}-\frac{1}{x}) d x$

ਹੱਲ

(i) ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ \begin{aligned} \int \frac{x^{3}-1}{x^{2}} & d x=\int x d x-\int x^{-2} d x \quad(\text{ by Property } V) \\ = & (\frac{x^{1+1}}{1+1}+C_1)-(\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C_2) ; C_1, C_2 \text{ are constants of integration } \\ & =\frac{x^{2}}{2}+C_1-\frac{x^{-1}}{-1}-C_2=\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}+C_1-C_2 \\ & =\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}+C \text{, where } C=C_1-C_2 \text{ is another constant of integration. } \end{aligned} $$

ਨੋਟ ਹੁਣ ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਅੰਤਿਮ ਉੱਤਰ ਵਿੱਚ ਸਮਾਕਲਨ ਦਾ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰਕ ਲਿਖਾਂਗੇ।

(ii) ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ $$ \begin{aligned} \int(x^{\frac{2}{3}}+1) d x & =\int x^{\frac{2}{3}} d x+\int d x \\ & =\frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}+x+C=\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}+x+C \end{aligned} $$

(iii) ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ $\int(x^{\frac{3}{2}}+2 e^{x}-\frac{1}{x}) d x=\int x^{\frac{3}{2}} d x+\int 2 e^{x} d x-\int \frac{1}{x} d x$

$$ \begin{aligned} & =\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+2 e^{x}-\log |x|+C \\ & =\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}+2 e^{x}-\log |x|+C \end{aligned} $$

ਉਦਾਹਰਣ 3 ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਸਮਾਕਲਨ ਲੱਭੋ:

(i) $\int(\sin x+\cos x) d x$

(ii) $\int cosec x(cosec x+\cot x) d x$

(iii) $\int \frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x$

ਹੱਲ

(i) ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ $$ \begin{aligned} \int(\sin x+\cos x) d x & =\int \sin x d x+\int \cos x d x \\ & =-\cos x+\sin x+C \end{aligned} $$

(ii) ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ $$ \begin{aligned} \int(cosec x(cosec x+\cot x) d x & =\int cosec^{2} x d x+\int cosec x \cot x d x \\ & =-\cot x-cosec x+C \end{aligned} $$

(iii) ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ $$ \begin{aligned} \int \frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x & =\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x-\int \frac{\sin x}{\cos ^{2} x} d x \\ & =\int \sec ^{2} x d x-\int \tan x \sec x d x \\ & =\tan x-\sec x+C \end{aligned} $$

ਉਦਾਹਰਣ 4 $F$ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀ-ਅਵਕਲਜ $f$ ਲੱਭੋ ਜਿਸਨੂੰ $f(x)=4 x^{3}-6$ ਦੁਆ