ਗਣਿਤ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਇਸ ਲਈ ਕਰਨਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਿਰਫ਼ ਗਣਿਤ ਦੁਆਰਾ ਹੀ ਹੈ ਕਿ ਕੁਦਰਤ ਨੂੰ ਸੁਮੇਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। - ਬਿਰਖੋਫ਼

8.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਤਿਕੋਣਾਂ, ਆਇਤਾਂ, ਟਰੈਪੀਜ਼ੀਆਂ ਅਤੇ ਚੱਕਰਾਂ ਸਮੇਤ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਜਿਓਮੈਟ੍ਰਿਕਲ ਆਕਾਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਸੂਤਰ ਸਿੱਖੇ ਹਨ। ਅਜਿਹੇ ਸੂਤਰ ਅਸਲ ਜ਼ਿੰਦਗੀ ਦੀਆਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਗਣਿਤ ਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਲਈ ਮੂਲ ਭੂਤ ਹਨ। ਪ੍ਰਾਥਮਿਕ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੇ ਸੂਤਰ ਸਾਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਸਧਾਰਨ ਆਕਾਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਇਜਾਜ਼ਤ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਉਹ ਵਕਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਲਈ ਅਪਰਿਪੱਕ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ ਸਾਨੂੰ ਸਮਾਕਲ ਕੈਲਕੁਲਸ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਦੀ ਲੋੜ ਪਵੇਗੀ।

ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵਕਰ $y=f(x)$, ਕੋਟੀਆਂ $x=a$, $x=b$ ਅਤੇ $x$-ਧੁਰੇ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਇੱਕ ਯੋਗ ਦੀ ਸੀਮਾ ਵਜੋਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਲੱਭਣਾ ਸਿੱਖਿਆ ਹੈ। ਇੱਥੇ, ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਸਧਾਰਨ ਵਕਰਾਂ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ, ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਤੇ ਚੱਕਰਾਂ, ਪੈਰਾਬੋਲਾਸ ਅਤੇ

ਏ.ਐਲ. ਕੌਚੀ (1789-1857) ਦੀਆਂ ਇਲਿਪਸਿਸ (ਸਿਰਫ਼ ਮਾਨਕ ਰੂਪ) ਦੀਆਂ ਚਾਪਾਂ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭਣ ਲਈ ਸਮਾਕਲਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਖਾਸ ਉਪਯੋਗ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ। ਅਸੀਂ ਉਪਰੋਕਤ ਵਕਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਨਾਲ ਵੀ ਵਿਚਾਰ ਕਰਾਂਗੇ।

8.2 ਸਧਾਰਨ ਵਕਰਾਂ ਹੇਠ ਖੇਤਰਫਲ

ਪਿਛਲੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਯੋਗ ਦੀ ਸੀਮਾ ਵਜੋਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫੰਡਾਮੈਂਟਲ ਥਿਊਰਮ ਆਫ਼ ਕੈਲਕੁਲਸ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲ ਦਾ ਮੁਲਾਂਕਣ ਕਿਵੇਂ ਕਰਨਾ ਹੈ। ਹੁਣ, ਅਸੀਂ ਵਕਰ $y=f(x), x$-ਧੁਰੇ ਅਤੇ ਕੋਟੀਆਂ $x=a$ ਅਤੇ $x=b$ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੇ ਆਸਾਨ ਅਤੇ ਸਹਿਜ ਤਰੀਕੇ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ। ਚਿੱਤਰ 8.1 ਤੋਂ, ਅਸੀਂ ਵਕਰ ਹੇਠਾਂ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਬਹੁਤ ਪਤਲੀਆਂ ਲੰਬਕਾਰੀ ਪੱਟੀਆਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਚਾਈ $y$ ਅਤੇ ਚੌੜਾਈ $d x$ ਦੀ ਇੱਕ ਮਨਮਰਜ਼ੀ ਪੱਟੀ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਫਿਰ $d A$ (ਪ੍ਰਾਥਮਿਕ ਪੱਟੀ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ) $=y d x$, ਜਿੱਥੇ, $y=f(x)$.

ਇਸ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਥਮਿਕ ਖੇਤਰਫਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਖੇਤਰ ਦੇ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਮਨਮਰਜ਼ੀ ਸਥਿਤੀ ‘ਤੇ ਸਥਿਤ ਹੈ ਜੋ $x$ ਦੇ ਕੁਝ ਮੁੱਲ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ $a$ ਅਤੇ $b$ ਵਿਚਕਾਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ $x$-ਧੁਰੇ, ਕੋਟੀਆਂ $x=a, x=b$ ਅਤੇ ਵਕਰ $y=f(x)$ ਵਿਚਕਾਰ ਖੇਤਰ ਦੇ ਕੁੱਲ ਖੇਤਰਫਲ A ਨੂੰ ਖੇਤਰ PQRSP ਵਿੱਚ ਪਤਲੀਆਂ ਪੱਟੀਆਂ ਦੇ ਪ੍ਰਾਥਮਿਕ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨ ਦੇ ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ ਸੋਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਪ੍ਰਤੀਕਾਤਮਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਵਿਅਕਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$$ \mathrm{A}=\int _{a}^{b} d \mathrm{~A}=\int _{a}^{b} y d x=\int _{a}^{b} f(x) d x $$

ਵਕਰ $x=g(y), y$-ਧੁਰੇ ਅਤੇ ਰੇਖਾਵਾਂ $y=c$, $y=d$ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $A$ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ

$$ \mathrm{A}=\int _{c}^{d} x d y=\int _{c}^{d} g(y) d y $$

ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ ਚਿੱਤਰ 8.2 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਅਨੁਸਾਰ ਖਿਤਿਜੀ ਪੱਟੀਆਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

ਚਿੱਤਰ 8.2

ਟਿੱਪਣੀ ਜੇਕਰ ਵਿਚਾਰ ਅਧੀਨ ਵਕਰ ਦੀ ਸਥਿਤੀ $x$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਹੈ, ਤਾਂ ਕਿਉਂਕਿ $f(x)<0$ ਤੋਂ $x=a$ ਤੱਕ $x=b$ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 8.3 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਵਕਰ, $x$-ਧੁਰੇ ਅਤੇ ਕੋਟੀਆਂ $x=a, x=b$ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਾ ਖੇਤਰਫਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਨਿਕਲਦਾ ਹੈ। ਪਰ, ਇਹ ਸਿਰਫ਼ ਖੇਤਰਫਲ ਦਾ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮੁੱਲ ਹੈ ਜਿਸ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੇਕਰ ਖੇਤਰਫਲ ਨਕਾਰਾਤਮਕ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇਸਦਾ ਨਿਰਪੇਖ ਮੁੱਲ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ, ਯਾਨੀ, $|\int_a^{b} f(x) d x|$.

ਚਿੱਤਰ 8.3

ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਇਹ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵਕਰ ਦਾ ਕੁਝ ਹਿੱਸਾ $x$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਉੱਪਰ ਹੈ ਅਤੇ ਕੁਝ $x$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਹੇਠਾਂ ਹੈ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 8.4 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇੱਥੇ, $A_1<0$ ਅਤੇ $A_2>0$. ਇਸ ਲਈ, ਵਕਰ $y=f(x), x$-ਧੁਰੇ ਅਤੇ ਕੋਟੀਆਂ $x=a$ ਅਤੇ $x=b$ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰੇ ਖੇਤਰਫਲ A ਨੂੰ $A=|A_1|+A_2$ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।

ਚਿੱਤਰ 8.4

ਉਦਾਹਰਨ 1 ਚੱਕਰ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ ਚਿੱਤਰ 8.5 ਤੋਂ, ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਚੱਕਰ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਾ ਸਾਰਾ ਖੇਤਰਫਲ $=4$ (ਖੇਤਰ AOBA ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਜੋ ਵਕਰ, $x$-ਧੁਰੇ ਅਤੇ ਕੋਟੀਆਂ $x=0$ ਅਤੇ $x=a$ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ) [ਕਿਉਂਕਿ ਚੱਕਰ $x$-ਧੁਰੇ ਅਤੇ $y$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਮਿਤ ਹੈ]

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} y d x \text{ (taking vertical strips) } \\ & =4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \end{aligned} $$

ਕਿਉਂਕਿ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ਦਿੰਦਾ ਹੈ $\quad y= \pm \sqrt{a^{2}-x^{2}}$

ਚਿੱਤਰ 8.5

ਕਿਉਂਕਿ ਖੇਤਰ AOBA ਪਹਿਲੇ ਚੌਥਾਈ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ, $y$ ਨੂੰ ਧਨਾਤਮਕ ਵਜੋਂ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਮਾਕਲ ਕਰਨ ‘ਤੇ, ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਚੱਕਰ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰੇ ਸਾਰੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$ \begin{aligned} & =4[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0]=4(\frac{a^{2}}{2})(\frac{\pi}{2})=\pi a^{2} \end{aligned} $

ਵਿਕਲਪਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਚਿੱਤਰ 8.6 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਅਨੁਸਾਰ ਖਿਤਿਜੀ ਪੱਟੀਆਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਚੱਕਰ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਸਾਰਾ ਖੇਤਰਫਲ

$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} x d y=4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-y^{2}} d y \text{(ਕਿਉਂ?)} \\ & =4[\frac{y}{2} \sqrt{a^{2}-y^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =4 \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a^{2} \end{aligned} $

ਚਿੱਤਰ 8.6

ਉਦਾਹਰਨ 2 ਇਲਿਪਸ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭੋ

ਹੱਲ ਚਿੱਤਰ 8.7 ਤੋਂ, ਇਲਿਪਸ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰੇ ਖੇਤਰ $ABA^{\prime} B^{\prime} A$ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

$=4(\begin{matrix} \text{ area of the region } A O B A \text{ in the first quadrant bounded } \\ \text{ by the curve, } x-\text{ axis and theordinates } x=0, x=a\end{matrix} )$

(ਕਿਉਂਕਿ ਇਲਿਪਸ $x$-ਧੁਰੇ ਅਤੇ $y$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਸੰਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸਮਮਿਤ ਹੈ)

$=4 \int_0^{a} y d x \quad$ (ਲੰਬਕਾਰੀ ਪੱਟੀਆਂ ਲੈਂਦੇ ਹੋਏ)

ਹੁਣ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ਦਿੰਦਾ ਹੈ $y= \pm \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}$, ਪਰ ਕਿਉਂਕਿ ਖੇਤਰ AOBA ਪਹਿਲੇ ਚੌਥਾਈ ਵਿੱਚ ਸਥਿਤ ਹੈ, $y$ ਨੂੰ ਧਨਾਤਮਕ ਵਜੋਂ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਲੋੜੀਂਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ

$ \begin{aligned} & =4 \int _{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\right] _{0}^{a} \text { (ਕਿਉਂ) } \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\left(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1\right)-0\right] \\ & =\frac{4 b}{a} \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \text { } \end{aligned} $

ਚਿੱਤਰ 8.7

ਵਿਕਲਪਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਚਿੱਤਰ 8.8 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਏ ਗਏ ਅਨੁਸਾਰ ਖਿਤਿਜੀ ਪੱਟੀਆਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਇਲਿਪਸ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{b} x d y=4 \frac{a}{b} \int_0^{b} \sqrt{b^{2}-y^{2}} d y \text{ (Why?) } \\ & =\frac{4 a}{b}[\frac{y}{2} \sqrt{b^{2}-y^{2}}+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{b}]_0^{b} \\ & =\frac{4 a}{b}[(\frac{b}{2} \times 0+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =\frac{4 a}{b} \frac{b^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \end{aligned} $$

ਚਿੱਤਰ 8.8

ਵਿਭਿੰਨ ਉਦਾਹਰਨਾਂ

ਉਦਾਹਰਨ 3 ਰੇਖਾ $y=3 x+2$, $x$-ਧੁਰੇ ਅਤੇ ਕੋਟੀਆਂ $x=-1$ ਅਤੇ $x=1$ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਚਿੱਤਰ 8.9 ਵਿੱਚ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਰੇਖਾ $y=3 x+2$, $x$-ਧੁਰੇ ਨੂੰ $x=\frac{-2}{3}$ ‘ਤੇ ਮਿਲਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਗ੍ਰਾਫ਼ $x$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਹੇਠਾਂ $x \in(-1, \frac{-2}{3})$ ਲਈ ਅਤੇ $x$-ਧੁਰੇ ਦੇ ਉੱਪਰ $x \in(\frac{-2}{3}, 1)$ ਲਈ ਹੈ।

ਲੋੜੀਂਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $=$ ਖੇਤਰ ACBA ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਖੇਤਰ ADEA ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ

$ \begin{aligned} & =|\int _{-1}^{\frac{-2}{3}}(3 x+2) d x|+\int _{\frac{-2}{3}}^{1}(3 x+2) d x \\ & =|[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{-1}^{\frac{-2}{3}}|+[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{\frac{-2}{3}}^{1}=\frac{1}{6}+\frac{25}{6}=\frac{13}{3} \end{aligned} $

ਚਿੱਤਰ 8.9

ਉਦਾਹਰਨ 4 ਵਕਰ $y=\cos x$ ਦੁਆਰਾ $x=0$ ਅਤੇ $x=2 \pi$ ਵਿਚਕਾਰ ਘਿਰੇ ਖੇਤਰਫਲ ਨੂੰ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ ਚਿੱਤਰ 8.10 ਤੋਂ, ਲੋੜੀਂਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $=$ ਖੇਤਰ ABCA ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਖੇਤਰ BDEB ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ + ਖੇਤਰ DEFD ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ।

ਚਿੱਤਰ 8.10

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਲੋੜੀਂਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਹੈ

$ \begin{aligned} & =\int_ 0^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x+|\int_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \cos x d x|+\int_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \cos x d x \\ & =[\sin x]_ 0^{\frac{\pi}{2}}+|[\sin x]_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}}|+[\sin x]_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \\ & =1+2+1=4 \end{aligned} $

ਸਾਰਾਂਸ਼

ਵਕਰ $y=f(x), x$-ਧੁਰੇ ਅਤੇ ਰੇਖਾਵਾਂ $x=a$ ਅਤੇ $x=b(b>a)$ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਇਸ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ: ਖੇਤਰਫਲ $=\int_a^{b} y d x=\int_a^{b} f(x) d x$. ਵਕਰ $x=\phi(y), y$-ਧੁਰੇ ਅਤੇ ਰੇਖਾਵਾਂ $y=c, y=d$ ਦੁਆਰਾ ਘਿਰੇ ਖੇਤਰ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਇਸ ਸੂਤਰ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ: ਖੇਤਰਫਲ $=\int_c^{d} x d y=\int_c^{d} \phi(y) d y$.

ਇਤਿਹਾਸਕ ਨੋਟ

ਸਮਾਕਲ ਕੈਲਕੁਲਸ ਦੀ ਉਤਪੱਤੀ ਗਣਿਤ ਦੇ ਵਿਕਾਸ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਦੌਰ ਤੱਕ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਪ੍ਰਾਚੀਨ ਯੂਨਾਨ ਦੇ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੀ ਗਈ ਥਕਾਵਟ ਦੀ ਵਿਧੀ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹੈ। ਇਹ ਵਿਧੀ ਸਮਤਲ ਆਕਾਰਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰਫਲਾਂ, ਠੋਸ ਪਿੰਡਾਂ ਦੇ ਸਤਹ ਖੇਤਰਫਲਾਂ ਅਤੇ ਆਇਤਨਾਂ ਆਦਿ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦੇ ਹੱਲ ਵਿੱਚ ਪੈਦਾ ਹੋਈ। ਇਸ ਅਰਥ ਵਿੱਚ, ਥਕਾਵਟ ਦੀ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਸਮਾਕਲਨ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵਿਧੀ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਦੌਰ ਵਿੱਚ ਥਕਾਵਟ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਵੱਡਾ ਵਿਕਾਸ ਯੂਡੌਕਸਸ (440 ਬੀ.ਸੀ.) ਅਤੇ ਆਰਕੀਮਿਡੀਜ਼ (300 ਬੀ.ਸੀ.) ਦੇ ਕੰਮਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੋਇਆ ਸੀ।

ਕੈਲਕੁਲਸ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀਬੱਧ ਪਹੁੰਚ 17ਵੀਂ ਸਦੀ ਵਿੱਚ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਈ। 1665 ਵਿੱਚ, ਨਿਊਟਨ ਨੇ ਕੈਲਕੁਲਸ ‘ਤੇ ਆਪਣਾ ਕੰਮ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤਾ ਜਿਸਨੂੰ ਉਸਨੇ ਫਲਕਸੀਅਨਜ਼ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਵਜੋਂ ਵਰਣਨ ਕੀਤਾ ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਵਕਰ ‘ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ‘ਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ ਅਤੇ ਵਕਰਤਾ ਦਾ ਅਰਧ-ਵਿਆਸ ਲੱਭਣ ਵਿੱਚ ਆਪਣੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ। ਨਿਊਟਨ ਨੇ ਉਲਟ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੀ ਮੂਲ ਧਾਰਨਾ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਜਿਸਨੂੰ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲ) ਜਾਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਉਲਟ ਵਿਧੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

1684-86 ਦੌਰਾਨ, ਲੀਬਨਿਟਜ਼ ਨੇ ਐਕਟਾ ਏਰੁਡਿਟੋਰਮ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਲੇਖ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਿਸਨੂੰ ਉਸਨੇ ਕੈਲਕੁਲਸ ਸਮਮੇਟੋਰੀਅਸ ਕਿਹਾ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਅਨੰਤ ਛੋਟੇ ਖੇਤਰਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੋਇਆ ਸੀ, ਜਿਸਦਾ ਜੋੜ, ਉਸਨੇ ਪ੍ਰਤੀਕ ‘∫’ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਇਆ। 1696 ਵਿੱਚ, ਉਸਨੇ ਜੇ. ਬਰਨੌਲੀ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੇ ਇੱਕ ਸੁਝਾਅ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕੀਤੀ ਅਤੇ ਇਸ ਲੇਖ ਨੂੰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਇੰਟੀਗ੍ਰਾਲੀ ਵਿੱਚ ਬਦਲ ਦਿੱਤਾ। ਇਹ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਦੀ ਉਲਟ ਵਿਧੀ ਦੇ ਅਨੁਰੂਪ ਸੀ।

ਨਿਊਟਨ ਅਤੇ ਲੀਬਨਿਟਜ਼ ਦੋਵਾਂ ਨੇ ਬਿਲਕੁਲ ਸੁਤੰਤਰ ਪਹੁੰਚ ਦੀਆਂ ਲਾਈਨਾਂ ਅਪਣਾਈਆਂ ਜੋ ਮੂਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੱਖਰੀਆਂ ਸਨ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸੰਬੰਧਿਤ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਨੇ ਅਭਿਆਸਕ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਨਤੀਜੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤੇ। ਲੀਬਨਿਟਜ਼ ਨੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੀਤੀ ਅਤੇ ਇਹ ਪੂਰੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਨਿਸ਼ਚਤ ਹੈ ਕਿ ਉਸਨੇ ਪਹਿਲਾਂ ਐਂਟੀਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਅਤੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮਾਕਲ ਵਿਚਕਾਰ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਸਪਸ਼ਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਮਝਿਆ।

ਅੰਤਮ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਸਮਾਕਲ ਕੈਲਕੁਲਸ ਦੀਆਂ ਮੂਲ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਅਤੇ ਸਿਧਾਂਤ ਅਤੇ ਮੁੱਖ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਇਸਦੇ ਅੰਤਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਾਂ ਨੂੰ 17ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਪੀ. ਡੀ ਫਰਮੈਟ, ਆਈ. ਨਿਊਟਨ ਅਤੇ ਜੀ. ਲੀਬਨਿਟਜ਼ ਦੇ ਕੰਮ ਵਿੱਚ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਸੀਮਾ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਦੁਆਰਾ ਇਸਦਾ ਤਰਕ 19ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ ਏ.ਐਲ. ਕੌਚੀ ਦੇ ਕੰਮਾਂ ਵਿੱਚ ਹੀ ਵਿਕਸਿਤ ਹੋਇਆ ਸੀ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, ਲਾਈ ਸੋਫੀਜ਼ ਦੇ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਕਥਨ ਦਾ ਜ਼ਿਕਰ ਕਰਨਾ ਯੋਗ ਹੈ:

“ਇਹ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅੰਤਰ ਭਾਗਫਲ ਅਤੇ ਸਮਾਕਲ ਦੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਜੋ ਆਪਣੀ ਉਤਪੱਤੀ ਵਿੱਚ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਆਰਕੀਮਿਡੀਜ਼ ਤੱਕ ਵਾਪਸ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਕੇਪਲਰ, ਡੇਕਾਰਟ, ਕੈਵਾਲੀਅਰੀ, ਫਰਮੈਟ ਅਤੇ ਵਾਲਿਸ ਦੀਆਂ ਖੋਜਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਨ …. ਇਹ ਖੋਜ ਕਿ ਅੰਤਰ ਕਰਨ ਅਤੇ ਸਮਾਕਲਨ ਉਲਟ ਕਾਰਜ ਹਨ, ਨਿਊਟਨ ਅਤੇ ਲੀਬਨਿਟਜ਼ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਹਨ”।