ਜਿਹੜਾ ਵਿਅਕਤੀ ਕੋਈ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਮੱਸਿਆ ਮਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖੇ ਬਿਨਾਂ ਤਰੀਕੇ ਲੱਭਦਾ ਹੈ, ਉਹ ਬਹੁਤੇ ਕੇਸਾਂ ਵਿੱਚ ਵਿਅਰਥ ਲੱਭਦਾ ਹੈ। - ਡੀ. ਹਿਲਬਰਟ

9.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਕਲਾਸ XI ਅਤੇ ਮੌਜੂਦਾ ਕਿਤਾਬ ਦੇ ਅਧਿਆਇ 5 ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਸੀ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਇੱਕ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੁਤੰਤਰ ਚਲ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਕਰਨਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ, ਕਿਵੇਂ ਹਰੇਕ $x$ ਲਈ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਦਾ $f^{\prime}(x)$ ਲੱਭਣਾ ਹੈ ਜੋ ਇਸਦੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਡੋਮੇਨ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਅੱਗੇ, ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਕੈਲਕੂਲਸ ਦੇ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ ਸੀ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਲੱਭਣਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਫੰਕਸ਼ਨ $g$ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਵੀ ਘੜਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਫੰਕਸ਼ਨ $g$ ਲਈ, ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ $f$ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲੱਭੋ ਕਿ

$$ \frac{d y}{d x}=g(x) \text { where } y=f(x) $$

ਹੈਨਰੀ ਪੋਇਨਕੇਅਰ $(1854-1912)$

ਫਾਰਮ (1) ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਜੋਂ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਰਸਮੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ ਜਾਵੇਗੀ।

ਇਹ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਉਭਰਦੀਆਂ ਹਨ, ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ, ਰਸਾਇਣ ਵਿਗਿਆਨ, ਜੀਵ ਵਿਗਿਆਨ, ਨਸਲ-ਵਿਗਿਆਨ, ਭੂ-ਵਿਗਿਆਨ, ਅਰਥ-ਸ਼ਾਸਤਰ ਆਦਿ ਵਿੱਚ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਲਈ, ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਡੂੰਘਾ ਅਧਿਐਨ ਸਾਰੀਆਂ ਆਧੁਨਿਕ ਵਿਗਿਆਨਕ ਖੋਜਾਂ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਮਹੱਤਤਾ ਰੱਖਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਅਧਿਆਇ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਸੰਬੰਧਿਤ ਕੁਝ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸੰਕਲਪਾਂ, ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਧਾਰਨ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੱਲਾਂ, ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ, ਪਹਿਲੇ ਕ੍ਰਮ - ਪਹਿਲੀ ਡਿਗਰੀ ਦੀ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕੁਝ ਤਰੀਕਿਆਂ ਅਤੇ ਵੱਖ-ਵੱਖ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਕੁਝ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਾਂਗੇ।

9.2 ਬੁਨਿਆਦੀ ਸੰਕਲਪ

ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਹੀ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਾਲ ਜਾਣੂ ਹਾਂ:

$$ \begin{align*} x^{2}-3 x+3=0 \tag{1} \\ \sin x+\cos x=0 \tag{2} \\ x+y=7 \tag{3} \end{align*} $$

ਆਓ ਅਸੀਂ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਵਿਚਾਰੀਏ:

$$ \begin{equation*} x \frac{d y}{d x}+y=0 \tag{4} \end{equation*} $$

ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ (1), (2) ਅਤੇ (3) ਵਿੱਚ ਸੁਤੰਤਰ ਅਤੇ/ਜਾਂ ਨਿਰਭਰ ਚਲ (ਚਲ) ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ ਪਰ ਸਮੀਕਰਨ (4) ਵਿੱਚ ਚਲਾਂ ਦੇ ਨਾਲ-ਨਾਲ ਨਿਰਭਰ ਚਲ $y$ ਦਾ ਸੁਤੰਤਰ ਚਲ $x$ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵੀ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ। ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ‘ਤੇ, ਇੱਕ ਸਮੀਕਰਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਨਿਰਭਰ ਚਲ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼) ਸੁਤੰਤਰ ਚਲ (ਚਲਾਂ) ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਨਿਰਭਰ ਚਲ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸਿਰਫ਼ ਇੱਕ ਸੁਤੰਤਰ ਚਲ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਾਧਾਰਨ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ,

$ 2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+(\frac{d y}{d x})^{3}=0 \text{ ਇੱਕ ਸਾਧਾਰਨ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ } $

ਬੇਸ਼ਕ, ਅਜਿਹੀਆਂ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਹਨ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਸੁਤੰਤਰ ਚਲਾਂ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਅੰਸ਼ਕ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਸ ਪੜਾਅ ‘ਤੇ ਅਸੀਂ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਸਾਧਾਰਨ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਤੱਕ ਸੀਮਿਤ ਰੱਖਾਂਗੇ। ਹੁਣ ਤੋਂ ਅੱਗੇ, ਅਸੀਂ ‘ਸਾਧਾਰਨ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ’ ਲਈ ‘ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ’ ਸ਼ਬਦ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਾਂਗੇ।

ਨੋਟ

1. ਅਸੀਂ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਲਈ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਨੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨਾ ਪਸੰਦ ਕਰਾਂਗੇ:

$$ \frac{d y}{d x}=y^{\prime}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=y^{\prime \prime}, \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=y^{\prime \prime \prime} $$

2. ਉੱਚੇ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਲਈ, ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਡੈਸ਼ਾਂ ਨੂੰ ਸੁਪਰਸਫਿਕਸ ਵਜੋਂ ਵਰਤਣਾ ਅਸੁਵਿਧਾਜਨਕ ਹੋਵੇਗਾ, ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ $n$ਵੇਂ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ $\frac{d^{n} y}{d x^{n}}$ ਲਈ ਨੋਟੇਸ਼ਨ $y_n$ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ।

9.2.1 ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਕ੍ਰਮ

ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਉੱਚੇ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਵਜੋਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੋ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਸੁਤੰਤਰ ਚਲ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਨਿਰਭਰ ਚਲ ਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਵਿਚਾਰੋ:

$$ \begin{align*} & \frac{d y}{d x}=e^{x} \tag{6}\\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0 \tag{7}\\ & \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+x^{2}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}=0 \tag{8} \end{align*} $$

ਸਮੀਕਰਨ (6), (7) ਅਤੇ (8) ਵਿੱਚ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਪਹਿਲੇ, ਦੂਜੇ ਅਤੇ ਤੀਜੇ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਉੱਚੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ। ਇਸ ਲਈ, ਇਨ੍ਹਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਕ੍ਰਮ ਕ੍ਰਮਵਾਰ 1,2 ਅਤੇ 3 ਹਨ।

9.2.2 ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ

ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰਨ ਲਈ, ਮੁੱਖ ਬਿੰਦੂ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਯਾਨੀ, $y^{\prime}, y^{\prime \prime}, y^{\prime \prime \prime}$ ਆਦਿ। ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਵਿਚਾਰੋ:

$ \begin{aligned} \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+2(\frac{d^{2} y}{d x^{2}})^{2}-\frac{d y}{d x}+y & =0 \\ (\frac{d y}{d x})^{2}+(\frac{d y}{d x})-\sin ^{2} y & =0 \\ \frac{d y}{d x}+\sin (\frac{d y}{d x}) & =0 \end{aligned} $

ਅਸੀਂ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ (9) $y^{\prime \prime \prime}, y^{\prime \prime}$ ਅਤੇ $y^{\prime}$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ, ਸਮੀਕਰਨ (10) $y^{\prime}$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ (ਹਾਲਾਂਕਿ $y$ ਵਿੱਚ ਬਹੁਪਦ ਨਹੀਂ ਹੈ)। ਅਜਿਹੀਆਂ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਪਰ ਸਮੀਕਰਨ (11) $y^{\prime}$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ ਅਜਿਹੀ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ।

ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦੁਆਰਾ, ਜਦੋਂ ਇਹ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਉੱਚੇ ਕ੍ਰਮ ਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੀ ਉੱਚੀ ਸ਼ਕਤੀ (ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਸੂਚਕ) ਦਾ ਮਤਲਬ ਰੱਖਦੇ ਹਾਂ।

ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਆਧਾਰ ‘ਤੇ, ਕੋਈ ਵੀ ਦੇਖ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ (6), (7), (8) ਅਤੇ (9) ਹਰੇਕ ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਇੱਕ ਹੈ, ਸਮੀਕਰਨ (10) ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਦੋ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ (11) ਦੀ ਡਿਗਰੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਨੋਟ ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਅਤੇ ਡਿਗਰੀ (ਜੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ) ਹਮੇਸ਼ਾ ਸਕਾਰਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਨ 1 ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਹਰੇਕ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦਾ ਕ੍ਰਮ ਅਤੇ ਡਿਗਰੀ, ਜੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੈ, ਲੱਭੋ:

(i) $\frac{d y}{d x}-\cos x=0$

(ii) $x y \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x(\frac{d y}{d x})^{2}-y \frac{d y}{d x}=0$

(iii) $y^{\prime \prime \prime}+y^{2}+e^{y^{\prime}}=0$

ਹੱਲ

(i) ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਉੱਚੇ ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ $\frac{d y}{d x}$ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦਾ ਕ੍ਰਮ ਇੱਕ ਹੈ। ਇਹ $y^{\prime}$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਅਤੇ $\frac{d y}{d x}$ ਨੂੰ ਉਠਾਈ ਗਈ ਉੱਚੀ ਸ਼ਕਤੀ ਇੱਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦੀ ਡਿਗਰੀ ਇੱਕ ਹੈ।

(ii) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਉੱਚੇ ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦਾ ਕ੍ਰਮ ਦੋ ਹੈ। ਇਹ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ਅਤੇ $\frac{d y}{d x}$ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ ਅਤੇ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ਨੂੰ ਉਠਾਈ ਗਈ ਉੱਚੀ ਸ਼ਕਤੀ ਇੱਕ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦੀ ਡਿਗਰੀ ਇੱਕ ਹੈ।

(iii) ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਉੱਚੇ ਕ੍ਰਮ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ $y^{\prime \prime \prime}$ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਇਸਦਾ ਕ੍ਰਮ ਤਿੰਨ ਹੈ। ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਇਸਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਸਮੀਕਰਨ ਨਹੀਂ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇਸਦੀ ਡਿਗਰੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਨਹੀਂ ਹੈ।

9.3 ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਸਧਾਰਨ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੱਲ

ਪਹਿਲਾਂ ਦੀਆਂ ਕਲਾਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕੀਤਾ ਹੈ:

$$ \begin{align*} x^{2}+1=0 \tag{1} \\ \sin ^{2} x-\cos x=0 \tag{2} \end{align*} $$

ਸਮੀਕਰਨ (1) ਅਤੇ (2) ਦਾ ਹੱਲ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ, ਅਸਲ ਜਾਂ ਜਟਿਲ, ਜੋ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨਗੀਆਂ, ਯਾਨੀ, ਜਦੋਂ ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਣਜਾਣ $x$ ਲਈ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਹੁਣ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਵਿਚਾਰੋ

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$

ਪਹਿਲੇ ਦੋ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੇ ਉਲਟ, ਇਸ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ $\phi$ ਹੈ ਜੋ ਇਸਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰੇਗਾ, ਯਾਨੀ, ਜਦੋਂ ਫੰਕਸ਼ਨ $\phi$ ਨੂੰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਣਜਾਣ $y$ (ਨਿਰਭਰ ਚਲ) ਲਈ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ ਸੱਜੇ ਪਾਸੇ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਕਰਵ $y=\phi(x)$ ਨੂੰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਹੱਲ ਕਰਵ (ਇੰਟੀਗ੍ਰਲ ਕਰਵ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫੰਕਸ਼ਨ ਨੂੰ ਵਿਚਾਰੋ ਜੋ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:

$$ \begin{equation*} y=\phi(x)=a \sin (x+b) \tag{4} \end{equation*} $$

ਜਿੱਥੇ $a, b \in \mathbf{R}$. ਜਦੋਂ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (3) ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ = ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ। ਇਸ ਲਈ ਇਹ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ (3) ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ।

ਮੰਨ ਲਓ $a$ ਅਤੇ $b$ ਨੂੰ ਕੁਝ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮੁੱਲ ਦਿੱਤੇ ਗਏ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਕਿ $a=2$ ਅਤੇ $b=\frac{\pi}{4}$, ਤਾਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$$ \begin{equation*} y=\phi _{1}(x)=2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \tag{5} \end{equation*} $$

ਜਦੋਂ ਇਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਨੂੰ ਸਮੀਕਰਨ (3) ਵਿੱਚ ਦੁਬਾਰਾ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ = ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ। ਇਸ ਲਈ $\phi_1$ ਵੀ ਸਮੀਕਰਨ (3) ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ।

ਫੰਕਸ਼ਨ $\phi$ ਵਿੱਚ ਦੋ ਮਨਮਾਨੀ ਸਥਿਰਾਂਕ (ਪੈਰਾਮੀਟਰ) $a, b$ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸਧਾਰਨ ਹੱਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਦਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ $\phi_1$ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਮਨਮਾਨੀ ਸਥਿਰਾਂਕ ਨਹੀਂ ਹਨ ਪਰ ਸਿਰਫ਼ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਂ $a$ ਅਤੇ $b$ ਦੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮੁੱਲ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸ ਲਈ ਇਸਨੂੰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੱਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹੱਲ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਮਨਮਾਨੀ ਸਥਿਰਾਂਕ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਨੂੰ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਸਧਾਰਨ ਹੱਲ (ਪ੍ਰਿਮਿਟਿਵ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਹੱਲ ਜੋ ਮਨਮਾਨੀ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਤੋਂ ਮੁਕਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਯਾਨੀ, ਸਧਾਰਨ ਹੱਲ ਤੋਂ ਮਨਮਾਨੀ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮੁੱਲ ਦੇ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੱਲ, ਨੂੰ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਹੱਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 2 ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ $y=e^{-3 x}$ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}-6 y=0$ ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ।

ਹੱਲ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਫੰਕਸ਼ਨ $y=e^{-3 x}$ ਹੈ। ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ $x$ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=3 e^{-3 x} \tag{1} \end{equation*} $$

ਹੁਣ, (1) ਨੂੰ $x$ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=9 e^{-3 x} $$

ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d y}{d x}$ ਅਤੇ $y$ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ $=9 e^{-3 x}+(-3 e^{-3 x})-6 . e^{-3 x}=9 e^{-3 x}-9 e^{-3 x}=0=$ ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ।

ਇਸ ਲਈ, ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 3 ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨ $y=a \cos x+b \sin x$, ਜਿੱਥੇ, $a, b \in \mathbf{R}$ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$

ਹੱਲ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ

$$ \begin{equation*} y=a \cos x+b \sin x \tag{1} \end{equation*} $$

ਸਮੀਕਰਨ (1) ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ $x$ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ, ਲਗਾਤਾਰ ਅੰਤਰ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =-a \sin x+b \cos x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-a \cos x-b \sin x \end{aligned} $$

ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ਅਤੇ $y$ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

ਖੱਬਾ ਪਾਸਾ $=(-a \cos x-b \sin x)+(a \cos x+b \sin x)=0=$ ਸੱਜਾ ਪਾਸਾ।

ਇਸ ਲਈ, ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦਾ ਇੱਕ ਹੱਲ ਹੈ।

9.4 ਪਹਿਲੇ ਕ੍ਰਮ, ਪਹਿਲੀ ਡਿਗਰੀ ਦੀਆਂ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ

ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਪਹਿਲੇ ਕ੍ਰਮ ਪਹਿਲੀ ਡਿਗਰੀ ਦੀਆਂ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਦੇ ਤਿੰਨ ਤਰੀਕਿਆਂ ਬਾਰੇ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ।

9.4.1 ਵੱਖਰੇ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੇ ਚਲਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨਾਂ

ਇੱਕ ਪਹਿਲੇ ਕ੍ਰਮ-ਪਹਿਲੀ ਡਿਗਰੀ ਦੀ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਇਸ ਫਾਰਮ ਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\mathrm{F}(x, y) \tag{1} \end{equation*} $$

ਜੇਕਰ $F(x, y)$ ਨੂੰ ਇੱਕ ਗੁਣਨਫਲ $g(x) h(y)$ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ, $g(x)$ $x$ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ ਅਤੇ $h(y)$ $y$ ਦਾ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਤਾਂ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ (1) ਨੂੰ ਵੇਰੀਏਬਲ ਸੈਪਰੇਬਲ ਕਿਸਮ ਦਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ (1) ਦਾ ਫਿਰ ਫਾਰਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=h(y) \cdot g(x) \tag{2} \end{equation*} $$

ਜੇਕਰ $h(y) \neq 0$, ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, (2) ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੁਬਾਰਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

$$ \begin{equation*} \frac{1}{h(y)} d y=g(x) d x \tag{3} \end{equation*} $$

(3) ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$$ \begin{equation*} \int \frac{1}{h(y)} d y=\int g(x) d x \tag{4} \end{equation*} $$

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, (4) ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਹੱਲਾਂ ਨੂੰ ਫਾਰਮ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਦਾਨ ਕਰਦਾ ਹੈ

$$ \begin{equation*} \mathrm{H}(y)=\mathrm{G}(x)+\mathrm{C} \tag{5} \end{equation*} $$

ਇੱਥੇ, $H(y)$ ਅਤੇ $G(x)$ ਕ੍ਰਮਵਾਰ $\frac{1}{h(y)}$ ਅਤੇ $g(x)$ ਦੇ ਐਂਟੀ-ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਜ਼ ਹਨ ਅਤੇ $C$ ਮਨਮਾਨੀ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 4 ਅੰਤਰ ਕਲਨ ਸਮੀਕਰਨ $\frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y},(y \neq 2)$ ਦਾ ਸਧਾਰਨ ਹੱਲ ਲੱਭੋ।

ਹੱਲ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y}(y \neq 2) \tag{1} \end{equation*} $$

ਸਮੀਕਰਨ (1) ਵਿੱਚ ਚਲਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$$ \begin{equation*} (2-y) d y=(x+1) d x \tag{2} \end{equation*} $$

ਸਮੀਕਰਨ (2) ਦੇ ਦੋਵੇਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ ਇੰਟੀਗ੍ਰੇਟ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ

$$ \int(2-y) d y=\int(x+1) d x $$

$$ \text{ or } \qquad 2 y-\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+x+\mathrm{C} _{1} $$

$$ \text{ or } \qquad x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+2 \mathrm{C} _{1}=0 $$

$\text{ or } \qquad x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+\mathrm{C}=0 \text { where } \mathrm{C}=2 \mathrm{C} _{1}$

ਜੋ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ (1) ਦਾ ਸਧਾਰਨ ਹੱਲ ਹੈ।