ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ#

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਧਾਂਤ ਅਤੇ ਅੰਕੜਾ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਤਕਨੀਕ ਹੈ ਜੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇਸ ਤੱਥ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਿਆ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਕੁਝ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੂਜੀਆਂ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਸੰਭਾਵੀ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਦਾ ਨਾਮ ਫਰਾਂਸੀਸੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਪੀਅਰੇ-ਸਿਮੋਨ ਲਾਪਲਾਸ ਦੇ ਨਾਮ ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਨੇ 18ਵੀਂ ਸਦੀ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਇਸ ਧਾਰਨਾ ਦਾ ਪ੍ਰਸਤਾਵ ਰੱਖਿਆ ਸੀ।

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਫਾਰਮੂਲਾ#

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਫਾਰਮੂਲਾ ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਦੀ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਆਕਾਰ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਦਾ ਨਾਮ ਫਰਾਂਸੀਸੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਪੀਅਰੇ-ਸਿਮੋਨ ਲਾਪਲਾਸ ਦੇ ਨਾਮ ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਨੇ 18ਵੀਂ ਸਦੀ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਇਸ ਦਾ ਪ੍ਰਸਤਾਵ ਰੱਖਿਆ ਸੀ।

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਫਾਰਮੂਲਾ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:

$$P(X = x) = \frac{x + 1}{n + 1}$$

ਜਿੱਥੇ:

$P(X = x)$ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ $X$ ਦੁਆਰਾ ਮੁੱਲ $x$ ਲੈਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ

• $x$ ਨਮੂਨੇ ਵਿੱਚ ਘਟਨਾ $X$ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ
• $n$ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਆਕਾਰ ਹੈ

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਵੇਂ ਕਰੀਏ#

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਨ ਲਈ, ਬਸ $x$ ਅਤੇ $n$ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਨੂੰ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਭਰੋ ਅਤੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੀ ਗਣਨਾ ਕਰੋ।

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਮੰਨ ਲਓ ਤੁਸੀਂ ਇੱਕ ਸਿੱਕਾ ਉਛਾਲਣ ‘ਤੇ ਚਿੱਤ ਆਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਵਿੱਚ ਦਿਲਚਸਪੀ ਰੱਖਦੇ ਹੋ। ਤੁਸੀਂ ਸਿੱਕੇ ਨੂੰ 10 ਵਾਰ ਉਛਾਲਦੇ ਹੋ ਅਤੇ 5 ਚਿੱਤ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹੋ। ਲਾਪਲਾਸ ਸਮੂਥਿੰਗ ਫਾਰਮੂਲਾ ਤੁਹਾਨੂੰ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੇਵੇਗਾ:

$$P(X = 5) = \frac{\binom{5}{5} \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^{10-5}}{\binom{10}{5}} = \frac{1 \cdot 0.5^{10}}{252} \approx 0.0009766$$

ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਸਿੱਕਾ ਉਛਾਲਣ ‘ਤੇ ਚਿੱਤ ਆਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ 0.5, ਜਾਂ 50% ਹੈ।

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਦੇ ਫਾਇਦੇ ਅਤੇ ਨੁਕਸਾਨ#

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਫਾਰਮੂਲਾ ਛੋਟੇ ਨਮੂਨੇ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਸਮੇਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਅਤੇ ਵਰਤਣ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨ ਵਿਧੀ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸਦੀਆਂ ਕੁਝ ਸੀਮਾਵਾਂ ਵੀ ਹਨ।

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਇੱਕ ਸੀਮਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇਸਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਉਨ੍ਹਾਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸੀਮਿਤ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਵਾਪਰ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਤੁਸੀਂ ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਿਸੇ ਵਿਅਕਤੀ ਦੇ 100 ਸਾਲ ਜੀਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ, ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਵਿਅਕਤੀ ਕਿੰਨਾ ਲੰਬਾ ਜੀਵਨ ਜੀ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਸਦੀ ਕੋਈ ਸੀਮਾ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸੀਮਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਜਦੋਂ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਆਕਾਰ ਬਹੁਤ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਇਹ ਗਲਤ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਤੁਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਦੋ ਵਾਰ ਸਿੱਕਾ ਉਛਾਲਦੇ ਹੋ ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਵਾਰ ਚਿੱਤ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹੋ, ਤਾਂ ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਫਾਰਮੂਲਾ ਤੁਹਾਨੂੰ 1, ਜਾਂ 100% ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੇਵੇਗਾ, ਜੋ ਸਪੱਸ਼ਟ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਸਹੀ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਫਾਰਮੂਲਾ ਛੋਟੇ ਨਮੂਨੇ ਦੇ ਆਕਾਰ ਦੇ ਸਮੇਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਦਾ ਅੰਦਾਜ਼ਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਉਪਯੋਗੀ ਟੂਲ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਸਨੂੰ ਵਰਤਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਇਸਦੀਆਂ ਸੀਮਾਵਾਂ ਤੋਂ ਜਾਣੂ ਹੋਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ।

ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਲਈ ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਦੀ ਵਿਉਂਤਪਤੀ#

ਪਰਿਚਯ

ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀਆਂ ਜੜ੍ਹਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਟੂਲ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਜਦੋਂ ਜੜ੍ਹਾਂ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਤਾਂ ਇਹ ਗਲਤ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਨਿਊਟਨ-ਰੈਫਸਨ ਵਿਧੀ ਨਿਊਟਨ ਦੀ ਵਿਧੀ ਦਾ ਇੱਕ ਸੋਧਿਆ ਰੂਪ ਹੈ ਜੋ ਇਨ੍ਹਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਇਸਦੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਨੂੰ ਸੁਧਾਰਦਾ ਹੈ।

ਨਿਊਟਨ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ

ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨ $$p(x) = 0$$ ਦੀਆਂ ਜੜ੍ਹਾਂ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਨਿਊਟਨ ਦਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)}$$

ਜਿੱਥੇ $x_n$ ਜੜ੍ਹ ਦਾ nਵਾਂ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ ਅਤੇ $p’(x)$, $p(x)$ ਦਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ।

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ

ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਲਈ ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)} \left( 1 - \frac{p(x_n)p’’(x_n)}{2p’(x_n)^2} \right)$$

ਜਿੱਥੇ $p’’(x)$, $p(x)$ ਦਾ ਦੂਜਾ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਹੈ।

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਦੀ ਵਿਉਂਤਪਤੀ

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਨੂੰ ਜੜ੍ਹ $x=r$ ਦੇ ਆਲੇ-ਦੁਆਲੇ $p(x)$ ਦੇ ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਵਿਸਤਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਹੈ:

$$p(x) = p(r) + p’(r)(x - r) + \frac{p’’(r)}{2!}(x - r)^2 + \cdots$$

ਇਸਨੂੰ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਿਤ ਕਰਨ ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

$$x_{n+1} = r - \frac{p(r) + p’(r)(x_n - r) + \frac{p’’(r)}{2!}(x_n - r)^2 + \cdots}{p’(r)}$$

ਸਰਲ ਕਰਨ ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

$$x_{n+1} = r - \left( x_n - r \right) - \frac{p’’(r)}{2p’(r)}(x_n - r)^2 + \cdots$$

ਦੁਬਾਰਾ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕਰਨ ਤੇ, ਅਸੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ ਹਾਂ:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)} \left( 1 - \frac{p’’(x_n)}{2p’(x_n)} (x_n - r) + \cdots \right)$$

ਕਿਉਂਕਿ $x_n$ ਜੜ੍ਹ $r$ ਦਾ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਮੰਨ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $(x_n - r)$ ਛੋਟਾ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ ਵਿਸਤਾਰ ਵਿੱਚ ਉੱਚ-ਕ੍ਰਮ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਨੂੰ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਅਤੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ:

$$x_{n+1} = x_n - \frac{p(x_n)}{p’(x_n)} \left( 1 - \frac{p’’(x_n)}{2p’(x_n)^2} \right)$$

ਇਹ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਲਈ ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਹੈ।

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਨਿਊਟਨ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਨੂੰ ਸੁਧਾਰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਕਿਸੇ ਬਹੁਪਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀਆਂ ਜੜ੍ਹਾਂ ਇੱਕ-ਦੂਜੇ ਦੇ ਨੇੜੇ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਸੋਧ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਸਾਫਟਵੇਅਰ ਵਿੱਚ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਧੁਨੀ ਦੀ ਗਤੀ ਲਈ ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ#

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਇੱਕ ਵਿਧੀ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਥਰਮਲ ਵਿਸਥਾਰ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਲਈ ਗੈਸ ਵਿੱਚ ਧੁਨੀ ਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਸਹੀ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਨਾਮ ਫਰਾਂਸੀਸੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਪੀਅਰੇ-ਸਿਮੋਨ ਲਾਪਲਾਸ ਦੇ ਨਾਮ ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਨੇ 1816 ਵਿੱਚ ਇਸਨੂੰ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਸੀ।

ਪਿਛੋਕੜ#

ਇੱਕ ਤਰਲ ਵਿੱਚ ਧੁਨੀ ਦੀ ਗਤੀ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤੀ ਗਈ ਹੈ:

$$c = \sqrt{\frac{K}{\rho}}$$

ਜਿੱਥੇ:

• $c$ ਮੀਟਰ ਪ੍ਰਤੀ ਸਕਿੰਟ (m/s) ਵਿੱਚ ਧੁਨੀ ਦੀ ਗਤੀ ਹੈ
• $K$ ਪਾਸਕਲ (Pa) ਵਿੱਚ ਤਰਲ ਦਾ ਬਲਕ ਮੋਡੀਅਲਸ ਹੈ
• $\rho$ ਕਿਲੋਗ੍ਰਾਮ ਪ੍ਰਤੀ ਘਣ ਮੀਟਰ (kg/m³) ਵਿੱਚ ਤਰਲ ਦੀ ਘਣਤਾ ਹੈ

ਬਲਕ ਮੋਡੀਅਲਸ ਤਰਲ ਦੇ ਸੰਕੁਚਨ ਪ੍ਰਤੀ ਪ੍ਰਤੀਰੋਧ ਦਾ ਇੱਕ ਮਾਪ ਹੈ। ਘਣਤਾ ਪ੍ਰਤੀ ਇਕਾਈ ਆਇਤਨ ਵਿੱਚ ਤਰਲ ਦੇ ਪੁੰਜ ਦਾ ਇੱਕ ਮਾਪ ਹੈ।

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ#

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਉਪਰੋਕਤ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਸੰਕੁਚਨਸ਼ੀਲਤਾ ਅਤੇ ਥਰਮਲ ਵਿਸਥਾਰ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਣ ਲਈ ਸੋਧਦੀ ਹੈ। ਸੋਧਿਆ ਗਿਆ ਸਮੀਕਰਨ ਹੈ:

$$c = \sqrt{\frac{K}{\rho}\left(1 + \frac{4}{3}\frac{\mu}{\rho c}\right)}$$

ਜਿੱਥੇ:

$\mu$ ਪਾਸਕਲ-ਸਕਿੰਟ (Pa·s) ਵਿੱਚ ਤਰਲ ਦੀ ਡਾਇਨਾਮਿਕ ਵਿਸਕੋਸਿਟੀ ਹੈ

ਪਦ $\frac{4}{3}\frac{\mu}{\rho c}$ ਵਿਸਕੋਸਿਟੀ ਅਤੇ ਗਰਮੀ ਦੇ ਚਾਲਨ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਲਈ ਸੋਧ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਪਦ ਆਮ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਉੱਚ-ਵੇਗ ਵਹਾਅ ਲਈ ਜਾਂ ਉਨ੍ਹਾਂ ਮਾਮਲਿਆਂ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਥਰਮਲ ਅਤੇ ਸ਼ਲੇਸ਼ਮਕ ਪ੍ਰਭਾਵ ਨਜ਼ਰਅੰਦਾਜ਼ ਨਹੀਂ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ।

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਤਰਲਾਂ ਵਿੱਚ ਧੁਨੀ ਦੀ ਗਤੀ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਅਤੇ ਭਵਿੱਖਬਾਣੀ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕ ਕੀਮਤੀ ਟੂਲ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਸੋਧ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਧੁਨੀ ਦੀ ਗਤੀ ਲਈ ਬੁਨਿਆਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ‘ਤੇ ਆਸਾਨੀ ਨਾਲ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਦੀ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨ#

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਧਾਂਤ ਅਤੇ ਅੰਕੜਾ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਤਕਨੀਕ ਹੈ ਜੋ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇਸ ਤੱਥ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਿਆ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਕੁਝ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੂਜੀਆਂ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਸੰਭਾਵੀ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸਦਾ ਨਾਮ ਫਰਾਂਸੀਸੀ ਗਣਿਤ-ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਪੀਅਰੇ-ਸਿਮੋਨ ਲਾਪਲਾਸ ਦੇ ਨਾਮ ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਨੇ 18ਵੀਂ ਸਦੀ ਵਿੱਚ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਇਸ ਧਾਰਨਾ ਦਾ ਪ੍ਰਸਤਾਵ ਰੱਖਿਆ ਸੀ।

ਲਾਪਲਾਸ ਦਾ ਸਫਲਤਾ ਦਾ ਨਿਯਮ#

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਆਮ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਲਾਪਲਾਸ ਦੇ ਸਫਲਤਾ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਹੈ। ਇਹ ਨਿਯਮ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਭਵਿੱਖ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਅਤੀਤ ਵਿੱਚ ਘਟਨਾ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਕੁੱਲ ਟਰਾਇਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਇੱਕ ਨਾਲ ਵੰਡਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਸਿੱਕੇ ਨੂੰ 10 ਵਾਰ ਉਛਾਲਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ 5 ਵਾਰ ਚਿੱਤ ਆਇਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਗਲੀ ਉਛਾਲ ‘ਤੇ ਸਿੱਕੇ ਦੇ ਚਿੱਤ ਆਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਅਜੇ ਵੀ 0.5 ਹੈ।

ਛੋਟੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾ ਅੰਦਾਜ਼ਿਆਂ ਲਈ ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ#

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਖਾਸ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਉਦੋਂ ਉਪਯੋਗੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਆਕਾਰ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਫਲਤਾ ਦਾ ਨਿਯਮ ਗੁੰਮਰਾਹ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਆਕਾਰ ਛੋਟਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇਸ ਤੱਥ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦਾ ਕਿ ਕੁਝ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੂਜੀਆਂ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਸੰਭਾਵੀ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਸਿੱਕੇ ਨੂੰ ਸਿਰਫ਼ ਦੋ ਵਾਰ ਉਛਾਲਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਵਾਰ ਚਿੱਤ ਆਇਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਗਲੀ ਉਛਾਲ ‘ਤੇ ਸਿੱਕੇ ਦੇ ਚਿੱਤ ਆਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ 2/2 = 1 ਨਹੀਂ ਹੈ। ਹਾਲਾਂਕਿ, ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਹੀ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇਸ ਤੱਥ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੀ ਕਿ ਸਿੱਕੇ ਦੇ ਪੱਟ ਆਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਵੀ ਬਰਾਬਰ ਹੈ।

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਅਤੀਤ ਵਿੱਚ ਘਟਨਾ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ 1 ਜੋੜ ਕੇ ਅਤੇ ਕੁੱਲ ਟਰਾਇਲਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ 1 ਜੋੜ ਕੇ ਭਵਿੱਖ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਘਟਨਾ ਦੇ ਵਾਪਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਸਮਝਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਸੋਧ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ ਵਧੇਰੇ ਸਹੀ ਬਣਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇਸ ਤੱਥ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕੁਝ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੂਜੀਆਂ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਸੰਭਾਵੀ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਸਿੱਕੇ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਉਛਾਲਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਵਾਰ ਚਿੱਤ ਆਇਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਅਗਲੀ ਉਛਾਲ ‘ਤੇ ਸਿੱਕੇ ਦੇ ਚਿੱਤ ਆਉਣ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨੂੰ (2 + 1)/(2 + 2) = 3/4 ਵਿੱਚ ਸੋਧ ਦੇਵੇਗੀ। ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ 1 ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਨਾਲੋਂ ਵਧੇਰੇ ਸਹੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਇਸ ਤੱਥ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਿੱਕਾ ਜ਼ਰੂਰੀ ਤੌਰ ‘ਤੇ ਨਿਰਪੱਖ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ#

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਹੋਰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਵੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ:

• ਬੇਯਸੀਅਨ ਅੰਕੜਾ ਵਿਗਿਆਨ: ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬੇਯਸੀਅਨ ਅੰਕੜਾ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਪੂਰਵ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਉਦੋਂ ਉਪਯੋਗੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਪੂਰਵ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤਤਾ ਨਾਲ ਨਹੀਂ ਜਾਣੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ।
• ਮਸ਼ੀਨ ਲਰਨਿੰਗ: ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਮਸ਼ੀਨ ਲਰਨਿੰਗ ਮਾਡਲਾਂ ਨੂੰ ਨਿਯਮਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਮਾਡਲਾਂ ਨੂੰ ਡੇਟਾ ‘ਤੇ ਵੱਧ ਫਿੱਟ ਹੋਣ ਤੋਂ ਰੋਕਣ ਵਿੱਚ ਮਦਦ ਕਰ ਸਕਦਾ ਹੈ।
• ਫੈਸਲਾ ਸਿਧਾਂਤ: ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤਤਾ ਹੇਠ ਫੈਸਲੇ ਲੈਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਉਦੋਂ ਉਪਯੋਗੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤਤਾ ਨਾਲ ਨਹੀਂ ਜਾਣੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ।

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਇੱਕ ਸ਼ਕਤੀਸ਼ਾਲੀ ਤਕਨੀਕ ਹੈ ਜਿਸਦੀ ਵਰਤੋਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਮਝਾਉਣ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਇਸ ਤੱਥ ਨੂੰ ਧਿਆਨ ਵਿੱਚ ਰੱਖਿਆ ਜਾ ਸਕੇ ਕਿ ਕੁਝ ਘਟਨਾਵਾਂ ਦੂਜੀਆਂ ਨਾਲੋਂ ਘੱਟ ਸੰਭਾਵੀ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਧਾਂਤ, ਅੰਕੜਾ ਵਿਗਿਆਨ ਅਤੇ ਹੋਰ ਖੇਤਰਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਕੀਮਤੀ ਟੂਲ ਹੈ।

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ‘ਤੇ ਹੱਲ ਕੀਤੀਆਂ ਉਦਾਹਰਣਾਂ#

ਲਾਪਲਾਸ ਸੋਧ ਇੱਕ ਤਕਨੀਕ ਹੈ ਜੋ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਆਕਾਰ ਛੋਟਾ ਹੋਣ ‘ਤੇ ਦੋ-ਪਦੀ ਵੰਡ ਦੇ ਸਧਾਰਨ ਅਨੁਮਾਨ ਦੀ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਨੂੰ ਸੁਧਾਰਨ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਸਧਾਰਨ ਅਨੁਮਾਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਸੋਧ ਕਾਰਕ ਜੋੜਨ ਦੇ ਵਿਚਾਰ ‘ਤੇ ਅਧਾਰਤ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 1#

ਮੰਨ ਲਓ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਂ $n = 10$ ਅਤੇ $p = 0.5$ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਵੰਡ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਬਿਲਕੁਲ 5 ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।

ਦੋ-ਪਦੀ ਵੰਡ ਦਾ ਸਧਾਰਨ ਅਨੁਮਾਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:

$$P(X = x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$$

ਜਿੱਥੇ $X$ ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ, $\mu = np$ ਵੰਡ ਦਾ ਮਤਲਬ ਹੈ, ਅਤੇ $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ ਮਿਆਰੀ ਭਟਕਣ ਹੈ।

ਇਸ ਕੇਸ ਵਿੱਚ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ $\mu = 10(0.5) = 5$ ਅਤੇ $\sigma = \sqrt{10(0.5)(0.5)} = 1.5811$ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ, ਬਿਲਕੁਲ 5 ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦਾ ਸਧਾਰਨ ਅਨੁਮਾਨ ਹੈ:

$$P(X = 5) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}(1.5811)} e^{-(5-5)^2/(2(1.5811)^2)} = 0.3829$$

ਹਾਲਾਂਕਿ, ਬਿਲਕੁਲ 5 ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸਹੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਹੈ:

$$P(X = 5) = \binom{10}{5}(0.5)^5(0.5)^5 = 0.2461$$

ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਤੁਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਇਸ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਸਧਾਰਨ ਅਨੁਮਾਨ ਬਹੁਤ ਸਹੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਹ ਇਸ ਲਈ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਨਮੂਨੇ ਦਾ ਆਕਾਰ ਛੋਟਾ ਹੈ ਅਤੇ ਦੋ-ਪਦੀ ਵੰਡ ਸਧਾਰਨ ਵੰਡ ਦੇ ਬਹੁਤ ਨੇੜੇ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ 2#

ਹੁਣ, ਆਓ ਪੈਰਾਮੀਟਰਾਂ $n = 100$ ਅਤੇ $p = 0.5$ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਦੋ-ਪਦੀ ਵੰਡ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ। ਅਸੀਂ 45 ਅਤੇ 55 ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਦੀ ਸੰਭਾਵਨਾ ਲੱਭਣਾ ਚਾਹੁੰਦੇ ਹਾਂ।

ਦੋ-ਪਦੀ ਵੰਡ ਦਾ ਸਧਾਰਨ ਅਨੁਮਾਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ:

$$P(a < X < b) = \int_a^b \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2} dx$$

ਜਿੱਥੇ $X$ ਸਫਲਤਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਰੈਂਡਮ ਵੇਰੀਏਬਲ ਹੈ, ⟦51