ਅਧਿਆਇ 05 ਵਰਗ ਅਤੇ ਵਰਗਮੂਲ

5.1 ਜਾਣ-ਪਛਾਣ

ਤੁਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇੱਕ ਵਰਗ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ $=$ ਭੁਜਾ $\times$ ਭੁਜਾ (ਜਿੱਥੇ ‘ਭੁਜਾ’ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ‘ਇੱਕ ਭੁਜਾ ਦੀ ਲੰਬਾਈ’)। ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਟੇਬਲ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰੋ।

ਸੰਖਿਆਵਾਂ 4, 9, 25, 64 ਅਤੇ ਹੋਰ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕੀ ਖਾਸ ਹੈ?

ਕਿਉਂਕਿ, 4 ਨੂੰ $2 \times 2=2^{2}, 9$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, $3 \times 3=3^{2}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਆਪਣੇ ਆਪ ਨਾਲ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

$1,4,9,16,25, \ldots$ ਵਰਗੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ $m$ ਨੂੰ $n^{2}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ $n$ ਵੀ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ $m$ ਇੱਕ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਕੀ 32 ਇੱਕ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆ ਹੈ?

ਅਸੀਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $5^{2}=25$ ਅਤੇ $6^{2}=36$। ਜੇਕਰ 32 ਇੱਕ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ 5 ਅਤੇ 6 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਵਰਗ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਪਰ 5 ਅਤੇ 6 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕੋਈ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ 32 ਇੱਕ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।

ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀ ਟੇਬਲ ਤੋਂ, ਕੀ ਅਸੀਂ 1 ਅਤੇ 100 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ ਬਣਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ? ਕੀ 100 ਤੱਕ ਕੋਈ ਕੁਦਰਤੀ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਛੱਡੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ?

ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ ਬਾਕੀ ਦੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਹੀਂ ਹਨ।

ਸੰਖਿਆਵਾਂ $1,4,9,16 \ldots$ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

1. 30 ਅਤੇ 40 ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲੱਭੋ

(i) 30 ਅਤੇ 40 (ii) 50 ਅਤੇ 60

5.2 ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਗੁਣ

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਟੇਬਲ 1 ਤੋਂ 20 ਤੱਕ ਦੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।

ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀ ਟੇਬਲ ਵਿੱਚ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰੋ। ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਅੰਕ (ਭਾਵ, ਇਕਾਈ ਦੇ ਸਥਾਨ ‘ਤੇ ਅੰਕ) ਕੀ ਹਨ? ਇਹ ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਇਕਾਈ ਦੇ ਸਥਾਨ ‘ਤੇ $0,1,4,5,6$ ਜਾਂ 9 ਨਾਲ ਖ਼ਤਮ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਵੀ ਇਕਾਈ ਦੇ ਸਥਾਨ ‘ਤੇ 2, 3, 7 ਜਾਂ 8 ਨਾਲ ਖ਼ਤਮ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ।

ਕੀ ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆ $0,1,4,5,6$ ਜਾਂ 9 ਨਾਲ ਖ਼ਤਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਜ਼ਰੂਰ ਇੱਕ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ? ਇਸ ਬਾਰੇ ਸੋਚੋ।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

1. ਕੀ ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹਨ? ਅਸੀਂ ਕਿਵੇਂ ਜਾਣਦੇ ਹਾਂ?

(i) 1057 $\quad$ (ii) 23453 $\quad$ (iii) 7928

(iv) 222222 $\quad$ (v) 1069 $\quad$ (vi) 2061

ਉਹ ਪੰਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਿਖੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਨੂੰ ਤੁਸੀਂ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਇਕਾਈ ਅੰਕ ਨੂੰ ਵੇਖ ਕੇ ਤੈਅ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ ਉਹ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨਹੀਂ ਹਨ।

2. ਉਹ ਪੰਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਿਖੋ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਬਾਰੇ ਤੁਸੀਂ ਸਿਰਫ਼ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਇਕਾਈ ਅੰਕ (ਜਾਂ ਇਕਾਈ ਦੇ ਸਥਾਨ) ਨੂੰ ਵੇਖ ਕੇ ਤੈਅ ਨਹੀਂ ਕਰ ਸਕਦੇ ਕਿ ਉਹ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।

• ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀ ਕੁਝ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦੀ ਟੇਬਲ ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕਰੋ ਅਤੇ ਦੋਨਾਂ ਵਿੱਚ ਇਕਾਈ ਦੇ ਸਥਾਨ ‘ਤੇ ਧਿਆਨ ਦਿਓ।

ਟੇਬਲ 1

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅੰਕ 1 ਨਾਲ ਖ਼ਤਮ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

$123^{2}, 77^{2}, 82^{2}$, $161^{2}, 109^{2}$ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੀ ਅੰਕ 1 ਨਾਲ ਖ਼ਤਮ ਹੋਵੇਗੀ?

ਅਗਲੀਆਂ ਦੋ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਲਿਖੋ ਜੋ 1 ਨਾਲ ਖ਼ਤਮ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀਆਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ।

ਤੁਸੀਂ ਦੇਖੋਗੇ ਕਿ ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਇਕਾਈ ਦੇ ਸਥਾਨ ‘ਤੇ 1 ਜਾਂ 9 ਹੈ, ਤਾਂ ਉਸਦਾ ਵਰਗ 1 ਨਾਲ ਖ਼ਤਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

• ਆਓ 6 ਨਾਲ ਖ਼ਤਮ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੀਏ।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਹੜੀ ਦੇ ਇਕਾਈ ਦੇ ਸਥਾਨ ‘ਤੇ ਅੰਕ 6 ਹੋਵੇਗਾ। (i) $19^{2}$ (ii) $24^{2}$ (iii) $26^{2}$ (iv) $36^{2}$ (v) $34^{2}$

ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਇੱਕ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆ 6 ਨਾਲ ਖ਼ਤਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਜਿਸਦਾ ਇਹ ਵਰਗ ਹੈ, ਦੇ ਇਕਾਈ ਦੇ ਸਥਾਨ ‘ਤੇ 4 ਜਾਂ 6 ਹੋਵੇਗਾ।

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ (ਟੇਬਲ 1) ਨੂੰ ਵੇਖ ਕੇ ਹੋਰ ਅਜਿਹੇ ਨਿਯਮ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹੋ?

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗ ਵਿੱਚ “ਇਕਾਈ ਦਾ ਅੰਕ” ਕੀ ਹੋਵੇਗਾ?

(i) 1234 (ii) 26387 (iii) 52698 (iv) 99880 (v) 21222 (vi) 9106

• ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ।

ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਅੰਤ ‘ਤੇ 3 ਜ਼ੀਰੋ ਹਨ, ਤਾਂ ਉਸਦੇ ਵਰਗ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨੇ ਜ਼ੀਰੋ ਹੋਣਗੇ?

ਤੁਸੀਂ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਅੰਤ ‘ਤੇ ਜ਼ੀਰੋਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਅਤੇ ਉਸਦੇ ਵਰਗ ਦੇ ਅੰਤ ‘ਤੇ ਜ਼ੀਰੋਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਬਾਰੇ ਕੀ ਨੋਟਿਸ ਕਰਦੇ ਹੋ?

ਕੀ ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਅੰਤ ‘ਤੇ ਸਿਰਫ਼ ਜਿਸਤ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਜ਼ੀਰੋ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ?

• ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਵਾਲੀ ਟੇਬਲ 1 ਵੇਖੋ।

ਤੁਸੀਂ ਜਿਸਤ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਅਤੇ ਟਾਂਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਬਾਰੇ ਕੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ?

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸਦਾ ਵਰਗ ਇੱਕ ਟਾਂਗ ਸੰਖਿਆ/ਇੱਕ ਜਿਸਤ ਸੰਖਿਆ ਹੋਵੇਗਾ? ਕਿਉਂ?

(i) 727 $\quad$ (ii) 158 $\quad$ (iii) 269 $\quad$ (iv) 1980

2. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗ ਵਿੱਚ ਜ਼ੀਰੋਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਕੀ ਹੋਵੇਗੀ? (i) 60 (ii) 400

5.3 ਕੁਝ ਹੋਰ ਦਿਲਚਸਪ ਪੈਟਰਨ

1. ਤਿਕੋਣੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ।

ਕੀ ਤੁਹਾਨੂੰ ਤਿਕੋਣੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਯਾਦ ਹਨ (ਉਹ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜਿਨ੍ਹਾਂ ਦੇ ਬਿੰਦੂ ਪੈਟਰਨ ਨੂੰ ਤਿਕੋਣਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਿਵਸਥਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ)?

ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਤਿਕੋਣੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਸਾਨੂੰ ਇੱਕ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆ ਮਿਲਦੀ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ

$\begin{aligned} 1+3 & =4 \\ & =2^{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned} 3+6 & =9 \\ & =32\end{aligned}$

$ \begin{aligned} 6+10 & =16 \\ & =4^{2} \end{aligned} $

2. ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ

ਆਓ ਹੁਣ ਵੇਖੀਏ ਕਿ ਕੀ ਅਸੀਂ ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕੁਝ ਦਿਲਚਸਪ ਪੈਟਰਨ ਲੱਭ ਸਕਦੇ ਹਾਂ।

$ \begin{array}{lr} & 1(=1^{2}) \\ \text{ ਦੋ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ } 1(=1^2) \text{ ਅਤੇ } 4(=2^2) \text{ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੋ ਗੈਰ-ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ। } & \underline{2,3},4(=2^2) \\ \text{ਦੋ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ } 4(=2^2) \text{ ਅਤੇ } 9(3^2) \text{ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ 4 ਗੈਰ-ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ } & \underline{5,6,7,8},9 (=3^2) \\ \text{ ਦੋ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ 6 ਗੈਰ-ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ } & \underline{10, 11, 13, 14, 15}, 16 (=4^2) \\ \text{ਦੋ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ } 16(=4^2) \text{ ਅਤੇ } 25(=5^2) \text{ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ 8 ਗੈਰ-ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ } & \underline{17, 18, 19, 20,22, 23, 24}, 25 (=5^2) \end{array} $

$1^{2}(=1)$ ਅਤੇ $2^{2}(=4)$ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਦੋ (ਭਾਵ, $2 \times 1$ ) ਗੈਰ-ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 2,3 ਹਨ।

$2^{2}(=4)$ ਅਤੇ $3^{2}(=9)$ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਚਾਰ (ਭਾਵ, $2 \times 2$ ) ਗੈਰ-ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $5,6,7,8$ ਹਨ।

ਹੁਣ, $\quad 3^{2}=9, \quad 4^{2}=16$

ਇਸ ਲਈ, $\quad 4^{2}-3^{2}=16-9=7$

$9(=3^{2})$ ਅਤੇ $16(=4^{2})$ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $10,11,12,13,14,15$ ਹਨ, ਭਾਵ, ਛੇ ਗੈਰ-ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜੋ ਦੋ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਤੋਂ 1 ਘੱਟ ਹਨ।

ਸਾਡੇ ਕੋਲ $\quad 4^{2}=16$ ਅਤੇ $5^{2}=25$ ਹੈ

ਇਸ ਲਈ, $\quad 5^{2}-4^{2}=9$

16 $(=4^{2})$ ਅਤੇ $25(=5^{2})$ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $17,18, \ldots, 24$ ਹਨ, ਭਾਵ, ਅੱਠ ਗੈਰ-ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਜੋ ਦੋ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਤੋਂ 1 ਘੱਟ ਹਨ।

$7^{2}$ ਅਤੇ $6^{2}$ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹੋ ਕਿ $6^{2}$ ਅਤੇ $7^{2}$ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕਿੰਨੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ? ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕਿਸੇ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ $n$ ਅਤੇ $(n+1)$ ਬਾਰੇ ਸੋਚਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ,

$ (n+1)^{2}-n^{2}=(n^{2}+2 n+1)-n^{2}=2 n+1 . $

ਅਸੀਂ ਪਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $n^{2}$ ਅਤੇ $(n+1)^{2}$ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ $2 n$ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ ਜੋ ਦੋ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਅੰਤਰ ਤੋਂ 1 ਘੱਟ ਹਨ।

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਸੰਖਿਆਵਾਂ $n$ ਅਤੇ $(n+1)$ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ $2 n$ ਗੈਰ-ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। $n=5, n=6$ ਆਦਿ ਲਈ ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਅਤੇ ਪੁਸ਼ਟੀ ਕਰੋ।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

1. $9^{2}$ ਅਤੇ $10^{2}$ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕਿੰਨੀਆਂ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ? $11^{2}$ ਅਤੇ $12^{2}$ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ?

2. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਜੋੜਿਆਂ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਕਿੰਨੀਆਂ ਗੈਰ-ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ

(i) $100^{2}$ ਅਤੇ $101^{2}$ $\quad$ (ii) $90^{2}$ ਅਤੇ $91^{2}$ $\quad$ (iii) $1000^{2}$ ਅਤੇ $1001^{2}$

3. ਟਾਂਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ

ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ

$ \begin{matrix} 1 \text{ [ਇੱਕ ਟਾਂਗ ਸੰਖਿਆ] } & =1=1^{2} \\ 1+3 \text{ [ਪਹਿਲੀਆਂ ਦੋ ਟਾਂਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ] } & =4=2^{2} \\ 1+3+5 \text{ [ਪਹਿਲੀਆਂ ਤਿੰਨ ਟਾਂਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ] } & =9=3^{2} \\ 1+3+5+7[\ldots] & =16=4^{2} \\ 1+3+5+7+9[\ldots] & =25=5^{2} \\ 1+3+5+7+9+11[\ldots] & =36=6^{2} \end{matrix} $

ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਹਿਲੀਆਂ $n$ ਟਾਂਗ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ $n^{2}$ ਹੈ।

ਇਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵੇਖਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ: ‘ਜੇਕਰ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਵਰਗ ਸੰਖਿਆ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ 1 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਲਗਾਤਾਰ ਟਾਂਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ।

ਉਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ ਜੋ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ 2, 3, 5, 6, … ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ 1 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਲਗਾਤਾਰ ਟਾਂਗ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾ ਸਕਦੇ ਹੋ? ਤੁਸੀਂ ਪਾਓਗੇ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਇਸ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦਾ। ਸੰਖਿਆ 25 ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਇਸ ਵਿੱਚੋਂ ਲਗਾਤਾਰ $1,3,5,7,9, \ldots$ ਘਟਾਓ

(i) $25-1=24$

(ii) $24-3=21$

(iii) $21-5=16$

(iv) $16-7=9$

(v) $9-9=0$

ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ, $25=1+3+5+7+9$। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, 25 ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ।

ਹੁਣ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸੰਖਿਆ 38 ‘ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਅਤੇ ਦੁਬਾਰਾ ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਕਰੋ।

(i) $38-1=37$

(ii) $37-3=34$

(iii) $34-5=29$

(iv) $29-7=22$

(v) $22-9=13$

(vi) $13-11=2$

(vii) $2-13=-11$

ਇਹ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਸੀਂ 38 ਨੂੰ 1 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਲਗਾਤਾਰ ਟਾਂਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਣ ਦੇ ਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹਾਂ। ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, 38 ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ ਅਸੀਂ ਇਹ ਵੀ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ 1 ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਣ ਵਾਲੀਆਂ ਲਗਾਤਾਰ ਟਾਂਗ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਨਹੀਂ ਜਾ ਸਕਦਾ, ਤਾਂ ਇਹ ਇੱਕ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਨਹੀਂ ਹੈ।

ਅਸੀਂ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਕੋਈ ਸੰਖਿਆ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।

4. ਲਗਾਤਾਰ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ

$11^{2}=121=60+61$

$15^{2}=225=112+113$

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

1. ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੀਆਂ ਨੂੰ ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਓ।

(i) $21^{2}$ $\quad$ (ii) $13^{2}$ $\quad$ (iii) $11^{2}$ $\quad$ (iv) $19^{2}$

2. ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਸੋਚਦੇ ਹੋ ਕਿ ਇਸਦਾ ਉਲਟ ਵੀ ਸੱਚ ਹੈ, ਭਾਵ, ਕੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਧਨਾਤਮਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਕਿਸੇ ਸੰਖਿਆ ਦਾ ਪੂਰਨ ਵਰਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ? ਆਪਣੇ ਉੱਤਰ ਦਾ ਸਮਰਥਨ ਕਰਨ ਲਈ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿਓ।

5. ਦੋ ਲਗਾਤਾਰ ਜਿਸਤ ਜਾਂ ਟਾਂਗ ਕੁਦਰਤੀ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ

$11 \times 13=143=12^{2}-1$

ਇਸ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ $\quad 11 \times 13=(12-1) \times(12+1)$

ਇਸ ਲਈ, $11 \times 13=(12-1) \times(12+1)=12^{2}-1$

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ, $\quad 13 \times 15=(14-1) \times(14+1)=14^{2}-1$

$29 \times 31=(30-1) \times(30+1)=30^{2}-1$

$44 \times 46=(45-1) \times(45+1)=45^{2}-1$

ਇਸ ਲਈ ਸਧਾਰਨ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਸੀਂ ਕਹਿ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $(a+1) \times(a-1)=a^{2}-1$।

6. ਵਰਗ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਕੁਝ ਹੋਰ ਪੈਟਰਨ

ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਵਰਗਾਂ ‘ਤੇ ਧਿਆਨ ਦਿਓ; $1,11,111 \ldots$ ਆਦਿ। ਉਹ ਇੱਕ ਸੁੰਦਰ ਪੈਟਰਨ ਦਿੰਦੇ ਹਨ:

ਇੱਕ ਹੋਰ ਦਿਲਚਸਪ ਪੈਟਰਨ।

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

$ \begin{aligned} 7^{2} & =49 \\ 67^{2} & =4489 \\ 667^{2} & =444889 \\ 6667^{2} & =44448889 \\ 66667^{2} & =4444488889 \\ 666667^{2} & =444444888889 \end{aligned} $

ਮਜ਼ਾ ਇਸ ਵਿੱਚ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਕਿਉਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਇਹ ਲੱਭਣਾ। ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਅਜਿਹੇ ਸਵਾਲਾਂ ਦੀ ਖੋਜ ਕਰਨ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣਾ ਤੁਹਾਡੇ ਲਈ ਦਿਲਚਸਪ ਹੋਵੇ ਭਾਵੇਂ ਉੱਤਰ ਕੁਝ ਸਾਲਾਂ ਬਾਅਦ ਹੀ ਕਿਉਂ ਨਾ ਆਉਂਦੇ ਹੋਣ।

ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਵਰਗ ਲਿਖੋ।

(i) $111111^{2}$

(ii) $1111111^{2}$

ਇਹ ਕਰਕੇ ਵੇਖੋ

ਕੀ ਤੁਸੀਂ ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੇ ਪੈਟਰਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰਦ